广西桂林市2025-2026学年中考数学学业水平质量检测

桂林市2025-2026学年数学中考学业水平质量检测 （全卷满分120分 考试时间120分钟） 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．） 1. 2026的相反数是（ ） A. B. 2026 C. D. 2. 下列航天航空企业的标志中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式超高音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行一小时的距离约为22100000米，将数据22100000用科学记数法表示时，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若是一元二次方程的一个根，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 5. 如图，一把直尺、两个含的三角尺拼接在一起，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条 7．如图，在△ABC中，BC＝4，点D，E分别为AB，AC的中点，则DE＝（　　） A． B． C．1 D．2 8. 因式分解：（ ） A. B. C. D. 9．已知三点，，都在反比例函数的图像上，若，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 10. 如图，是的直径，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 11. 在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 电池能量最多可充 B. 摩托车每行驶消耗能量 C. 一次性充满电后，摩托车最多行驶 D. 摩托车充满电后，行驶将自动报警 12. 如图，▱ABCD的顶点A在反比例函数图象上，边CD落在x轴上，点B在y轴上，AD交y轴于点E，OE：EB＝1：2，四边形BCDE的面积为6，则这个反比例函数的解析式是（　　） A. y＝﹣ B. y＝﹣ C. y＝﹣ D. y＝﹣ 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 当______时，分式的值为零． 14. 如图，已知中，点D在上，点E在上，．，，，则________． 15．单项式3xy的系数为 　 　． 16. 如图，在扇形中，，点为的三等分点，连接，过点作交于点．连接．则阴影部分的面积为___________． 三、解答题（第17题8分，第18~21题每题10分，第22~23题每题12分，共72分） 17. （1）计算： （2）解分式方程： 18. 如图，在△ABC中： （1）尺规作图：分别在边上取点，使得线段等于线段的一半（要求：不写作法，保留作图痕迹，标清楚字母）． （2）在（1）的条件下，若，求△ADE的面积． 19. 电影《哪吒之魔童闹海》截至2025年3月10日，票房突破148.87亿元人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：A哪吒，B敖丙，C太乙真人，D申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片．求下列事件发生的概率： （1）第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的概率为_________； （2）用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的概率． 20. 2026马年中央广播电视总台《春节联欢晚会》上，人形机器人凭借在武术、小品、歌曲等多类型节目中的精彩亮相，带动行业销量激增．某公司主推A，B两款人形机器人，已知生产6台A款人形机器人和生产7台B款人形机器人的成本相同；且每台A款人形机器人的成本比每台B款人形机器人的成本多3万元． （1）该公司生产的A，B两款人形机器人每台的成本各是多少万元？ （2）该公司对这两款人形机器人实行网上预约销售，且每台B款人形机器人的定价比每台A款人形机器人的定价少20%，当这两款人形机器人的销售额都为800万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出8台．则该公司每台A款人形机器人在网上销售的定价是多少万元？ 21．如图①，是的外接圆，是的直径，点在上，连接平分，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长； 22. 启航中学八年级数学兴趣小组对“校门口车道拥堵”问题展开项目式学习． 【模型准备】 启航中学校门口呈东西方向共5条车道，路口无红绿灯．兴趣小组认为，某方向车道的拥堵程度可以用该方向的交通量（每分钟该方向通行的车辆数，单位：辆/分钟）与该方向车道数的比值来衡量．例如，自西向东方向的交通量为20，有2个车道，故拥堵度为10．拥堵度的数值越大，该方向越拥堵．记自东向西的拥堵度为，自西向东的拥堵度为． 【收集数据】 小组成员分工进行数据收集并整理如下： 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自东向西交通量（辆/分钟） 32 26 20 14 8 自西向东交通量（辆/分钟） 11 14 17 20 23 【建立模型】 成员小明发现，时间与交通量的变化规律符合一次函数的特征，并由此得到与的函数关系式及与的函数关系式． 【模型应用】 兴趣小组希望根据两个方向的拥堵度来合理设置不同时段可变车道的方向．成员小敏认为，在没有可变车道的情况下，哪个方向的拥堵程度更高，可变车道就设置为该方向． 【问题求解】 （1）与的函数关系式为_____；与的函数关系式为____．（不写自变量的取值范围） （2）在13时，如果可变车道为自东向西方向，通过计算及的值说明哪个方向更拥堵． （3）根据小敏的想法，在没有可变车道的情况下，若，求的值；并直接写出该路段8时至20时的可变车道设计方案． 23．在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学探究活动： 如图1，在矩形中，（其中），点是边上一动点（点不与重合），点是边的中点，连结，将矩形沿直线进行翻折，其顶点翻折后的对应点为，连结并延长，交边于点（点不与重合），过点作的平分线，交矩形的边于点． (1)【初步感知】请判断与的位置关系，并说明理由； (2)【特例探究】如图2，在点运动过程中，若、、三点在同一条直线上时，点与点刚好重合，求的值； (3)【拓展应用】若，连结，，当是以为直角边的直角三角形时，请求出的值． 桂林市2025-2026学年数学中考学业水平质量检测 （全卷满分120分 考试时间120分钟） 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．） 1. 2026的相反数是（ ） A. B. 2026 C. D. 【答案】A 【详解】解：∵只有符号不同的两个数互为相反数， ∴2026的相反数是， 故选：A． 2. 下列航天航空企业的标志中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意． 3. 第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式超高音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行一小时的距离约为22100000米，将数据22100000用科学记数法表示时，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】解：， 故选：C． 4. 若是一元二次方程的一个根，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】D 【详解】解：把代入一元二次方程， 得， 即． 故选：D． 5. 如图，一把直尺、两个含的三角尺拼接在一起，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】解：由题意知，， ∴， 故选：C． 6．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条 【答案】A 【详解】解：A、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意； B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； C、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意； D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； 故选：A． 7．（3分）如图，在△ABC中，BC＝4，点D，E分别为AB，AC的中点，则DE＝（　　） A． B． C．1 D．2 【解答】解：∵点D，E分别为AB，AC的中点，BC＝4， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE＝BC＝×4＝2， 故选：D． 8. 因式分解：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】解：． 故选：A 9．已知三点，，都在反比例函数的图像上，若，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴反比例函数解析式为， ∵点都在反比例函数的图象上，， ∴， 故选：D． 10. 如图，是的直径，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵是的直径，， ∴． 故选：B． 11. 在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 电池能量最多可充 B. 摩托车每行驶消耗能量 C. 一次性充满电后，摩托车最多行驶 D. 摩托车充满电后，行驶将自动报警 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实际问题的函数图象，解题的关键是读懂函数图象，根据图象中的数据逐项求解判断即可． 【详解】由图象可得，当时，， ∴电池能量最多可充，故A错误； ， ∴摩托车每行驶消耗能量，故B错误； 由图象可得，当时，， ∴一次性充满电后，摩托车最多行驶，故C正确； ∴摩托车充满电后，行驶将自动报警，故D错误； 故选：C． 12. 如图，▱ABCD的顶点A在反比例函数图象上，边CD落在x轴上，点B在y轴上，AD交y轴于点E，OE：EB＝1：2，四边形BCDE的面积为6，则这个反比例函数的解析式是（　　） A. y＝﹣ B. y＝﹣ C. y＝﹣ D. y＝﹣ 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△EOD∽△BOC， ∵OE：EB＝1：2， ∴＝， ∴＝， ∴＝， 解得：S△EOD＝， ∵AB∥DO， ∴△ABE∽△DOE， ∵＝， ∴＝4， ∴S△ABE＝4×＝3， ∴四边形ABCD的面积为6+3＝9， 如图，过A作AF⊥x轴于F，则S矩形ABOF＝S平行四边形ABCD＝9， 即|k|＝9， 又∵函数图象在二、四象限， ∴k＝﹣9， 即函数解析式为：y＝﹣. 故选：C. 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质等知识，正确得出四边形ABCD的面积是解题关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 当______时，分式的值为零． 【答案】0 【详解】解：由题意，得2x=0，且x+2≠0，解得：x=0， 故答案为：0． 14. 如图，已知中，点D在上，点E在上，．，，，则________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ，即， 解得：， 故答案为：． 15．（3分）单项式3xy的系数为 　3　． 【解答】解：单项式3xy的系数为3． 故答案为：3． 16. 如图，在扇形中，，点为的三等分点，连接，过点作交于点．连接．则阴影部分的面积为___________． 【答案】 【详解】解：如图所示，、交于点， 在扇形中，，点为的三等分点， ，， ， ， ， ， ，， 在中，， ， ， 故答案为：． 三、解答题（第17题8分，第18~21题每题10分，第22~23题每题12分，共72分） 17. （1）计算： （2）解分式方程： 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 18. 如图，在△ABC中： （1）尺规作图：分别在边上取点，使得线段等于线段的一半（要求：不写作法，保留作图痕迹，标清楚字母）． （2）在（1）的条件下，若，求△ADE的面积． 【答案】（1）见解析； （2）． 【小问1详解】 解：分别作、的垂直平分线，垂直平分线与、的交点分别为、，连接，即为所求． 【小问2详解】 解：，，， ，， ， ． ． 、是、中点， 是中位线， ，， ． ， ． 19. 电影《哪吒之魔童闹海》截至2025年3月10日，票房突破148.87亿元人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：A哪吒，B敖丙，C太乙真人，D申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片．求下列事件发生的概率： （1）第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的概率为_________； （2）用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的概率． 【答案】（1） （2） 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的结果有1种， ∴第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图： 共有12种等可能的结果，其中取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的结果有2种， ∴取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的概率为． 20. 2026马年中央广播电视总台《春节联欢晚会》上，人形机器人凭借在武术、小品、歌曲等多类型节目中的精彩亮相，带动行业销量激增．某公司主推A，B两款人形机器人，已知生产6台A款人形机器人和生产7台B款人形机器人的成本相同；且每台A款人形机器人的成本比每台B款人形机器人的成本多3万元． （1）该公司生产的A，B两款人形机器人每台的成本各是多少万元？ （2）该公司对这两款人形机器人实行网上预约销售，且每台B款人形机器人的定价比每台A款人形机器人的定价少20%，当这两款人形机器人的销售额都为800万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出8台．则该公司每台A款人形机器人在网上销售的定价是多少万元？ 【答案】（1）A款人形机器人每台成本为21万元，B款人形机器人每台成本为18万元 （2）每台A款人形机器人在网上的售价是25万元 【小问1详解】 解：设每台B款人形机器人的成本为x万元，则每台A款人形机器人的成本为万元． 根据题意可得， 解得， 则（万元）． 答：A款人形机器人每台成本为21万元，B款人形机器人每台成本为18万元． 【小问2详解】 解：设每台A款人形机器人的售价为y万元， 则每台B款人形机器人的售价为（万元）． 根据题意可得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：每台A款人形机器人在网上的售价是25万元． 21．如图①，是的外接圆，是的直径，点在上，连接平分，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长； 【答案】(1)见解析 (2)10 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴设， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 21. 启航中学八年级数学兴趣小组对“校门口车道拥堵”问题展开项目式学习． 【模型准备】 启航中学校门口呈东西方向共5条车道，路口无红绿灯．兴趣小组认为，某方向车道的拥堵程度可以用该方向的交通量（每分钟该方向通行的车辆数，单位：辆/分钟）与该方向车道数的比值来衡量．例如，自西向东方向的交通量为20，有2个车道，故拥堵度为10．拥堵度的数值越大，该方向越拥堵．记自东向西的拥堵度为，自西向东的拥堵度为． 【收集数据】 小组成员分工进行数据收集并整理如下： 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自东向西交通量（辆/分钟） 32 26 20 14 8 自西向东交通量（辆/分钟） 11 14 17 20 23 【建立模型】 成员小明发现，时间与交通量的变化规律符合一次函数的特征，并由此得到与的函数关系式及与的函数关系式． 【模型应用】 兴趣小组希望根据两个方向的拥堵度来合理设置不同时段可变车道的方向．成员小敏认为，在没有可变车道的情况下，哪个方向的拥堵程度更高，可变车道就设置为该方向． 【问题求解】 （1）与的函数关系式为_____；与的函数关系式为_____．（不写自变量的取值范围） （2）在13时，如果可变车道为自东向西方向，通过计算及的值说明哪个方向更拥堵． （3）根据小敏的想法，在没有可变车道的情况下，若，求的值；并直接写出该路段8时至20时的可变车道设计方案． 【答案】（1） （2），，自西向东方向更拥堵 （3），在8时至15时，可变车道设置为自东向西方向；在15时至20时，可变车道设置为自西向东方向 【小问1详解】 解：设为常数，且． 将和代入， 得， 解得， ∴． 设为常数，且． 将和代入， 得， 解得， ∴． 故答案为：，． 【小问2详解】 由（1）得，，， 当时，，， 可变车道为自东向西方向， 自东向西方向的车道数为3，自西向东方向的车道数为2， ，， ， 自西向东方向更拥堵． 【小问3详解】 在没有可变车道的情况下，两个方向的车道数均为2，即，， 当时，， ，解得， 经判断，在8时至15时，可变车道设置为自东向西方向；在15时至20时，可变车道设置为自西向东方向． 23．（本题满分14分） 在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学探究活动： 如图1，在矩形中，（其中），点是边上一动点（点不与重合），点是边的中点，连结，将矩形沿直线进行翻折，其顶点翻折后的对应点为，连结并延长，交边于点（点不与重合），过点作的平分线，交矩形的边于点． (1)【初步感知】请判断与的位置关系，并说明理由； (2)【特例探究】如图2，在点运动过程中，若、、三点在同一条直线上时，点与点刚好重合，求的值； (3)【拓展应用】若，连结，，当是以为直角边的直角三角形时，请求出的值． 【答案】(1)，理由见解析； (2) (3)或或 【详解】（1）解：，理由如下： 由翻折可得：， ∵平分， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴ ∴， ∴； （2）解：∵四边形为矩形， ∴， 由翻折可得：，， ∵平分， ∴， ∵，，三点在同一直线上， ∴， ∴在和中： ， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴设， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）设， ∵， ∴， ①若点在上，当时，此时，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴矩形为正方形， ∴设，则 ∴， ∴； ②若点在上，当时，此时，，三点在同一直线上，过点作于点，如图所示： 由（2）可知，，， ∴， ∴， ∴； ③若点在上，显然不能成为直角，当时，连接如图所示： ∵是角平分线， ∴， ∵在和中： ， ∴ ∴， ∵， ∴在和中： ， ∴， ∴， 设，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵当时，在边上， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述的值为：或或． 学科网（北京）股份有限公司 $