2026年九年级中考数学复习训练专题：特殊四边形问题（二次函数综合）

2026年九年级中考数学复习训练专题：特殊四边形问题（二次函数综合） 1．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线与y轴交于，且过点， ①求此抛物线的对称轴； ②当时，函数有最大值6，求a的值； (2)如图，若正方形的顶点A，B在x轴上，，．抛物线与x轴交于点和点F．若抛物与正方形恰有两个交点，求a的取值范围． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线．点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，并将沿轴对折，得到四边形，是否存在点，使四边形为菱形？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)连接，若点为轴上一点，如果直线与直线的夹角为，求线段的长度； (3)点是线段上一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求当四边形为平行四边形时点的坐标． 4．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，点为抛物线上一动点（不与点重合），图中虚线是抛物线的对称轴． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点在抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以点为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线经过坐标轴上，，三点，直线过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线下方抛物线上一动点，连接，，求面积等于3时点的坐标； (3)是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点F是直线上方抛物线上的一动点，过点F作，交于点D，过点F作y轴的平行线交直线于点E，过点D作，交于点G，求的最大值及此时点E的坐标； (3)在（2）问中取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移5个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点N，使得以点B、E、M、N为顶点的四边形是矩形，直接写出所有符合条件的点N的坐标． 7．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，点P是x轴上方抛物线上一动点，轴于点M，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图1，当点P在第二象限时，连接交y轴于点D，若，求m的值； (3)当点P不与抛物线的顶点重合时，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点Q，作轴于点N，四边形的周长记为l． ①求l关于m的函数解析式； ②当l随m的增大而增大时，请写出m的取值范围． 8．如图，二次函数交轴于点，交轴于点C，顶点为D，对称轴与交于点E，动直线垂直于轴，交线段于点F，交抛物线于点P，动直线在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿轴正方向移动到B点． (1)求二次函数的解析式； (2)当四边形为平行四边形时，求点P的坐标； (3)连接，在直线移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 9．如图，已知二次函数的图像与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点E为线段上任意一点（不与端点重合），过点E作y轴的平行线交抛物线于点F，过点F作y轴的垂线交抛物线于点G，以、为邻边构造矩形．设点E的横坐标为m，矩形的周长为L． ①求L关于m的函数表达式； ②若L取一个具体的数值t时，对应的点E有三个不同的位置，请直接写出t的取值范围． 10．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在线段上，点与点关于对称轴对称，过点作轴交抛物线于点，直线交轴于点．若四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)若点是对称轴上一动点，当最大时，直接写出点的坐标． 11．如图，抛物线与轴相交于点、两点，交轴于点，顶点为点，点是点关于抛物线对称轴的对称点，过点作轴于点．      (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是线段上方抛物线上一点，过点．作轴交轴于点，交线段与点，当四边形的面积最大时，在线段上有一动点，在线段上有一动点，在轴上有一动点，且满足，连接，求的最小值． (3)将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线．点为新抛物线对称轴上一动点，连接，当时，在平面内找到一点，使得四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出一个点的求解过程． 12．如图，抛物线的最大值为4，顶点为，轴于，经过中点的任意直线与抛物线交于分别与轴交于． (1)求抛物线的解析式． (2)当四边形是平行四边形时，求四边形的面积． (3)判断是否为定值，并说明由． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别相交于A，B两点，与y轴交于点C，直线经过B、C两点． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线的顶点为M，点N是y轴上一点，点Q是平面内一点，是否存在以B、M、N、Q为顶点的四边形是以BM为边的矩形？若存在，请求出点N、Q的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)①；②或 (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质等知识， （1）①利用待定系数法求出之间的关系即可解答；②分时，时，两种情况结合二次函数的性质即可解答； （2）先求出二次函数顶点坐标为，分当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，当抛物线与直线交点在点C上方，且与直线交点在点D下方时，与正方形有两个交点，两种情况建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：①：把，分别代入抛物线中得： 解得： 对称轴为直线； ②当时，此时时，y有最大值即：解得： 当时，此时时，y有最大值即： 解得： 综上所述：或． （2）解：四边形是正方形，， ，，， 点A为，点B为 将代入，得：， 顶点坐标为 ①如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点， ，解得： ②如图，当抛物线与直线交点在点C上方，且与直线交点在点D下方时，与正方形有两个交点， ， 解得： 综上所述，a的取值范围为或． 2．(1) (2) (3)最大值为 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质、特殊四边形的性质，函数与坐标轴的交点问题以及二次函数最值问题，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）根据题意抛物线过点和对称轴是直线，利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式； （2）连接交于点，结合菱形的性质可得，且，进一步求得点的纵坐标为 ，代入函数解析式有，即可求得点的坐标； （3）如图，延长交轴于，过作轴交于，求解出，再求解直线的函数表达式为，设，则，写出，表达式，代入，利用二次函数的性质求得最大值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线， 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，存在点，使四边形为菱形， 理由如下：在中，当， ∴， 假设抛物线上存在点，使四边形为菱形，连接交于点， ∵四边形为菱形，， ∴于点，，即点的纵坐标为， 由，得，（不合题意，舍去）， 故存在点，使四边形为菱形，此时点的坐标为； （3）如图，延长交轴于，过作轴交于， 在中，令，得，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， ∵， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为， 设，则， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为． 3．(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角函数值、平行四边形的性质、线段长度的表示方法． （1）由待定系数法即可求解； （2）分点D在点B上方、下方两种情况，由运用三角函数求出的值，即可求出的长度； （3）先求出线段所在直线的函数解析式，设点，则点，由，即可求解． 【详解】（1）解∶由，则当时，． 即点B坐标为，故． ， ，． ∴点A、B、C的坐标分别为、、． 将A、C两点坐标代入， 解得 此抛物线的表达式为； （2）解：， ． 如图，当点D在点B上方时， 依题意得， ． ． ． 当点D在点B下方时， ， ， ． ． 综上所述，线段的长度为或； （3）解：如图所示 设所在直线的函数解析式为 、， 代入解析式得 解得 ∴线段所在直线的函数解析式为， 设点，则点， 则． 当四边形为平行四边形时， 则． 即， 解得， 则点P的坐标为或 4．(1)； (2)或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解解析式即可； （2）求解抛物线的对称轴为直线，设，，再分类讨论即可 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 令，则， ∴, 设， 如图， 当时，则且 解得：， ∴ 当时，则且 解得：， ∴ 综上：点M坐标为或 5．(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）作轴交于点，求出直线的解析式，将的面积转化为一元二次方程求解即可； （3）分分别为平行四边形的对角线，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过坐标轴上三点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴. （2）解：∵， ∴设直线的解析式为，把代入，得， 解得， ∴， 作轴交于点，设，则， ∴， ∴， 解得：，， ∴或． （3）解：存在， ∵， ∴对称轴为直线， 设，， ∵， 当以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形时， ①当为对角线时，，解得， ∴， ∴； ②当为对角线时，，解得， ∴， ∴； ③当为对角线时，，解得， ∴， ∴； 综上：或或． 6．(1) (2)的最大值为，此时点 (3)或或或 【分析】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，熟练利用分类讨论思想是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）设，利用表示出的长，即可求解； （3）当是对角线时，由勾股定理和中点坐标公式，列出方程组即可求解；当是边时，同理可解． 【详解】（1）解：抛物线交轴于两点， 设抛物线解析式为， 把代入抛物线可得， ， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 把，代入可得， 解得， 直线的解析式为， 在中，， ， 如图， 轴， ， 设点，则点， 则， 则， ， ，故当时，有最大值，为，此时点； （3）解：将该抛物线沿射线方向平移5个单位长度，则相当于向右平移了4个单位，向下平移了3个单位， 则新抛物线的对称轴为直线，设点， 如图，当为对角线时，存在两种情况，可得， ， 解得， 则， 的中点为，即， 设，则可得，解得， 当时，，解得，此时； 当时，，解得，此时； 如图，当为边时，存在两种情况，当在下方时， 当时，， ， ， ， ， 根据勾股定理可得， ， ， 根据中点公式可得； 如图，当为边时，当在上方时， 可得， 根据勾股定理可得， ， ， 根据中点公式可得； 综上，或或或． 7．(1) (2) (3)①；②或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由题意可得，得到，设，则，根据，建立方程求出n的值，再根据，由题意可知，，求出，利用建立方程求解即可； （3）①求出抛物线的对称轴为，分当时，当时两种情况，求出，即可解答；②根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得        解得，； 抛物线的函数解析式为． （2）解：当时， 解得．        ， ． 轴，轴， ． ． ． ， ． ．       设，则． ， ． 解得．       ． 由题意可知，， ． ． 解得， ，（不合题意，舍去） ． （3）解：①抛物线的对称轴为， 如图2，当时，， ． 如图3，当时，， ． ②如图4所示，由图象可知或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形，二次函数的性质和矩形的性质；会利用待定系数法求二次函数的解析式；理解坐标与图形的性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题． 8．(1)； (2)； (3)存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与相似，此时点P的坐标为． 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式为； （2）证，只要，四边形即为平行四边形，由二次函数解析式求出点D的坐标，由直线的解析式求出点E的坐标，则，设点P的横坐标为t，则P的坐标为，F的坐标为，由得出方程，解方程进而得出答案； （3）由平行线的性质得出，当时，，则，得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点，， ∴把，代入得， ， 解之得，， ∴抛物线解析式； （2）解：①对于，令，则， ∴， 设所在直线的表达式为：， 将、代入， 得： ， 解得：， ∴所在直线的表达式为：； ∵轴，轴， ∴， 只要，四边形即为平行四边形， ∵， ∴点D的坐标为：， 将代入，即， ∴点E的坐标为：， ∴， 设点P的横坐标为t， 则P的坐标为：，F的坐标为：， ∴， 由得：， 解得：（不合题意舍去），， 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与相似． 理由如下：如图2所示： 由（2）得：， ∴， 又∵与有共同的顶点C，且在的内部， ∴， ∴只有时，， ∴， ∵、， ∴， 由（2）得：，，F的坐标为：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 当时，， ∴点P的坐标为：． 【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握待定系数法求函数解析式，熟记二次函数的性质是解题的关键． 9．(1) (2)① ② 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，矩形的性质，数形结合的运用． （1）由待定系数法可求出答案； （2）①求出，，则，分两种情况由矩形的性质可得出答案； ②先根据①的结论画出L的图形，根据题意结合图形即可得出答案． 【详解】（1）解：将，代入， ∴， 解得， ∴； （2）解：①抛物线对称轴为直线，与y轴交于点． ∴直线的表达式为， ∴设， ∵过点E作y轴的平行线交抛物线于点F，过点F作y轴的垂线交抛物线于点G，以、为邻边构造矩形， ∴，， ∴， 分以下两种情况讨论： 当（点E在点H左侧，如图1所示），，， 当时，点E在H右侧，如图2所示，，， ∴； ②L关于m的函数图象如图所示， 当时，， 当时，， 由图象可知，若L取一个具体的数值t时，对应的点E有三个不同的位置，则t的取值范围． 10．(1)抛物线解析式为 (2)四边形是平行四边形求点的坐标为或 (3) 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）设，则，，则，直线的解析式为，则，根据四边形是平行四边形，得，即，由此即可求解； （3）根据题意，设，如图所示，取的外接圆圆心，连接并延伸，交于点，交抛物线对称轴直线榆点，连接，当于抛物线对称轴相切时的最最大，则，设，且，，，点是三角形的内心，则，由此列式得，求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点对称轴， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为； （2）解：抛物线解析式为，令，则， 解得，， ∴， 令，则， ∴， 当时，，即顶点坐标为， ∵点在线段上，点与点关于对称轴对称， ∴设，则，， ∴， 这直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 整理得，， ∴， 解得，，，， ∵，，， ∴或， ∴当时，，即； 当时，，即； ∴四边形是平行四边形求点的坐标为或； （3）解：点是对称轴上一动点， ∴设， 如图所示，取的外接圆圆心，连接并延伸，交于点，交抛物线对称轴直线榆点，连接， ∴， ∴当于抛物线对称轴相切时的最最大，则， 设，且， ∴，， ∵点是三角形的内心， ∴， ∴， 由得，，则， 由得，， 整理①②得，， ∴， 解得，，， ∵（不符合题意，舍去），， ∴，则， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数与特殊四边形的计算，两点直线的距离公式，三角形外接圆的基础知识的综合运用，数形结合分析是关键． 11．(1) (2) (3)点的坐标是或 【分析】（1）将点、代入，解得的值，即得到抛物线的解析式； （2）由抛物线的解析式．可知对称轴为，从而得到， 因为点是点关于抛物线对称轴的对称点，故得点的坐标为，再利用待定系数法求得直线的解析式为，设点的坐标为，则点的坐标为，可得的长为，，由于，故当时，有最大值，从而得到点的坐标，将点向右平移个单位得到， 连接，可得四边形是平行四边形 ，故当点共线时，有最小值，从而得到的最小值． （3）根据题中提供的平移方式得新抛物线解析式为，从而得到新抛物线的对称轴为直线．由于点为新抛物线对称轴上一动点，设点的坐标为 由题意可知， 过点作交于点，则为等腰直角三角形，且．再过点作轴于点，过点作轴于点．易得．得到，由，可得，解得或，从而求得点的坐标，设点的坐标为，由于四边形是平行四边形，故且，从而列方程得，解方程即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点、两点， ∴ 解得： 抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为． ∴对称轴为， 当时，，故， 点是点关于抛物线对称轴的对称点， 点的坐标为， ，， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， ， ， 当时，有最大值， 此时点的坐标为， ， 将点向右平移个单位得到， 连接，可得四边形是平行四边形 ，    作点关于轴的对称点，连接， 当点共线时，有最小值， 此时 的最小值为． （3）解：将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移1个单位， 所得新抛物线解析式为，所得新抛物线的对称轴为直线． 点为新抛物线对称轴上一动点， 设点的坐标为 由题意可知， ， 方法一：过点作交于点，    则为等腰直角三角形，且． 再过点作轴于点， 过点作轴于点．易得． ， ， ， 由，可得， 解得或， 点的坐标是或． 设点的坐标为 四边形是平行四边形， 且， ， 点的坐标是或． 方法二：由（定边对定角）得，    点是在以点为圆心，以为半径的圆上． 或 点的坐标是或． 设点的坐标为， 四边形是平行四边形， 且， 点的坐标是或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质与四边形的综合题，熟练掌握二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，函数图象的平移，二次函数与四边形结合动点问题是解题的关键． 12．(1) (2) (3)是定值，为8 【分析】（1）把解析式化为顶点式得到顶点坐标，再根据最大值为4求出a的值即可得到答案； （2）作于，延长交抛物线于，作于．可证明．得到．由对称性可得．则．可知点与点重合．则轴．可求出．由，解得．则，． （3）可求出直线为．直线为．设．由，得．则直线为．由，得．据此可求出，．由根系关系，得．则． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∵抛物线的最大值为4， ∴． ∴． ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图1，作于，延长交抛物线于，作于． ∴． 当四边形是平行四边形时，． 又∵， ∴． ∴． 由题意，为对称轴，则． ∴． ∴点与点重合． ∴轴． 由（1），得顶点坐标为， ∴． 由，得． ∴． ∴． ∴． （3）解：设直线为，则． ∴． ∴直线为． 同理，可设直线为． 设． 则．否则，无两个交点． 由，得． ∴直线为． 由，得． ∴． 同理，． 由，得． 以为元，由根系关系，得． ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于证明轴，解（3）的关键在于设出坐标，进而用A、B横坐标表示出线段的长． 13．(1) (2)或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）先根据一次函数解析式求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）先根据二次函数的性质求得顶点为，设，然后分、和三种情况，分别画出图形并运用矩形的对角线相等且相互平分列方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵B、C分别是直线与x轴，y轴的交点， ∴点B的坐标为，点C的坐标为， ∵B、C在抛物线上， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴顶点， 设， ①如图：当时， 则，解得：， ∴； ②如图：当时， 则，解得：， ∴． 所以或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $