2025-2026学年人教版八年级数学下册期中模拟提升卷（考试范围：19章-21章）

2025-2026学年人教版八年级数学下册期中模拟提升卷 （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、单选题（共30分） 1.(本题3分)下列式子中，属于最简二次根式的是() A.√4 B.5 C.√0.3 2 D. 2.(本题3分)（√75-√30÷V3的结果是() A.5-0 B.55-10 C.5+√10 D.√25+10 3.(本题3分)一个直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则它的斜边长为() A.119 B.12 C.13 D.13或V19 4.(本题3分)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,EB∥DF,且EB与DF之间的距离为3，则AE的 长是() A.7 B. 3-2 C.3 D. 8 5.(本题3分)如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点0，∠A0D=120°，AB=4,则AC的长等 于() 0 A.6 B.4V5 C.8√2 D.8 6.(本题3分)如图，在平面直角坐标系中，△0AB是等腰直角三角形，∠0AB=90°，A0=AB,点B的 坐标为(2,0)，点A在第一象限内，将△0AB沿O到A的方向平移6个单位至△OAB的位置，则点B的坐标 为( ) 第1页，共3页 A.(8,3V2) B.(2+3√2,3√2)C.(3√2,32) D.(2,3V2) 7.(本题3分)若√x(x-2)=VVr-2,则x的取值范围是() A.x为全体实数B.0≤x≤2 C.x≥0 D.x22 8.(本题3分)在Rt ABC中，∠ACB=90°，以ABC的三边为边向外作正方形，S,S2,S,分别表示这三 个正方形的面积.若S2=16,S,=10,则BC的长为() S S2 A.5 B.√6 C.26 D.6 9.(本题3分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,点E在AB边上，连接CE交BD于点 F.若∠ODC=60°，CE平分∠ACB,则∠CEA的度数为() D A.95° B.105 C.100° D.135 1O.(本题3分)如图，在ABCD中，AC、BD交于O,AE平分∠BAD,EC=CD=1, ∠ECD=21CD4.以下结论①AC平分∠EAD:②OE=4D:国BD=万：@S=5 正确的有() 4 4 个 D 0 B E A.①②③④B.①③④ C.①②④ D.①②③ 二、填空题（共18分） 11.(本题3分)若y=√x-4+√4-x+3,则x的值为 第1页，共3页 12.(本题3分)如图是扬州市某园林的正八边形窗户示意图，则∠ABC= H G E D 13.(本题3分)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=LADC=60°，∠BAD>90°，AC⊥BC，若 AB=4√2，AD=4,则CD的长为 D 14.(本题3分)如图，菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,菱形ABCD的周长为20，OA=3, 点P是线段BC的中点，则△OPB的周长为 15.(本题3分)如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=3,AC=4,D为直线AC上一个动点， 连接BD,将△ABD沿BD折叠，若点A恰好落在直线BC上的点E处，连接DE,则CD的长为 I6.(本题3分)如图，点E、G、H分别为矩形ABCD的边AB、CD、AD的中点，连接GH、HE、EG ,点M为EG上的动点，过M作MP⊥HG于P,MQ⊥EH于Q,点F为BC边上一动点，连接MF,己 知AB=12,BC=16,则MP+MQ+MF的最小值为 第1页，共3页 H D M C 三、解答题（共72分） 17.(本题6分)计算： (①)48+2x6-V5 (232-252 18.(本题8分)在ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D. D (I)求证：∠ACD=∠B; (2)若AC=√2，BC=√5，求AD的长. 19.(本题8分)如图，四边形ABCD中，AD=BC,CA⊥AB,CA⊥CD,对角线AC与BD交于点O,AC=4 D A 第1页，共3页 (1)求证：四边形ABCD是平行四边形； (②)若△ABO的周长为8，求线段AB的长 2O.(本题9分)如图，己知口ABCD,延长AB到E,使BE=AB,连接BD,ED,EC,若ED=AD, D E (I)求证：四边形BECD是矩形； (2)连接AC,若AD=6,CD=3,求AC的长. 21.(本题9分)某海域有一小岛P,在以P为圆心，半径为20√6海里的圆形海域内有暗礁，一海监船自 西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶40√3-1海里后到达B处，此 时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上. 北 北 小岛 P 160° 45 海监船之 …东 B 第1页，共3页 )若过点P作PC⊥AB于点C,则1C C (2)求AP的距离： (3)若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由. 22.(本题10分)如图1，点C是射线BO上的一个动点，点A在射线BC的上方.现以点A,B,C为顶点构 造平行四边形ABCD(BC>AB).∠ABC、∠BCD的平分线分别交AD于点E、F,直线CF与BE相交于点 G. D B 图1 图2 (I)如图1，求证：BE⊥CF; (②)如图2，点Q为BC中点，连接AG并延长交线段CD于点H,若AB=6,GQ=5,求DH的长； (3)如图1，在点C的运动过程中，探究线段AB,CF,BE之间的数量关系，并说明理由， 23.(本题10分)综合与实践 【项目主题】 八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到√a±m√b这种复杂形式的二次 根式化简问题，如化简√3+2√2，√5+2√6，√2-√等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化 简 第1页，共3页 【项目淮备】 简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法.例如： V3+2W2=2+22+1=2+22+1=√2+°=2+1， V3+2W2=√2+1. 【项目实施】 帮助八年级同学完成如下任务： (1)化简√5+2√6： (2)化简V2-√5. 24.(本题12分)根据题目要求，解答下列各题 B B B D GH C 0 图1 图2 图3 (I)如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，∠EAF=45°，直接写出线段DF,EF, BE的数量关系：； (2)如图2，在正方形ABCD中，QA,QB交CD于点G,H,若∠AQB=45°，CH=2,GH=1,求AG的 长 (3)如图3，在正方形ABCD中，点F在线段DC的延长线上，CF=AB,过点B作BP⊥AF于点P,连接 第1页，共3页 CP,求PFBP的值. PC 第1页，共3页 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C C 0 B 0 B D D 1.B 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需要满足两个条件：1被开方数不含分母；2被开方 数中不含能开得尽方的因数或因式，依次对选项判断即可. 【详解】解：：选项A中，√4=2，被开方数4含有能开得尽方的因数， A不属于最简二次根式： :选项B中，√5的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的两个条件， “B属于最简二次根式： :选项C中，√0.3= 3 被开方数含分母， V10 ∴.C不属于最简二次根式： :选项D中， 的被开方数含分母， V3 D不属于最简二次根式。 2.A 【分析】根据二次根式除法性质拆分计算，即可求解. 【详解】解：（√75-30)÷√5 √75√30 3√5 7530 =33 =√25-√10 =5-10. 3.C 【分析】直接利用勾股定理计算斜边长即可. 【详解】解：由勾股定理得，它的斜边长为：V52+122=13. 4.C 【分析】过点F作FG⊥BE于点G,则FG=3,根据矩形的性质和平行四边形的判定可证四边形BEDF是 答案第1页，共2页 平行四边形，从而可得DE=BF,再由平行线的性质可得∠AEB=∠GBF,证得BAE≌FGB(AAS),可得 BE=FB=DE,设AE=x,则DE=BE=4-x,再利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】解：过点F作FG⊥BE于点G,由题意得FG=3, :四边形ABCD是矩形， AD∥BC,∠A=90 又：BE∥FD, :四边形BEDF是平行四边形， ..DE=BF, :AD∥BC, .∠AEB=∠GBF, 在△BAE和△FGB中， ∠AEB=∠GBF ∠A=∠FGB=90°， AB=FG=3 .∴.BAE≌FGB(AAS), ∴.BE=FB=DE, 设AE=x,则DE=BE=4-x, 在Rt△BAE中，32+x2=(4-x)2, 解得：x= 8 5.D 【分析】先根据矩形的对角线相等且互相平分得0A=0C=0B=OD,AC=20A,再根据∠A0D=120°得 ∠AOB=60°，则aAOB是等边三角形，由此得OA=AB,即可得解. 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， 0A=0C=0B=0D,AC=20A, :∠A0D=120°， 答案第1页，共2页 ∠A0B=180°-∠A0D=60°， △AOB是等边三角形， .0A=AB=4, AC=20A=8. 6.B 【分析】过点O作0'C⊥x轴，由∠0AB=90°，A0=AB可知∠A0B=45°，可得0C=0'C,利用勾股定 理可以求出OC=0'C=3√2，从而可知图形向右平移3√2个单位长度，向上平移3√2个单位长度，根据平 移的方向和距离确定点B的坐标 【详解】解：如下图所示，过点O作O'C⊥x轴， :∠0AB=90°，A0=AB, .∠A0B=45°， 0C=0'C, :00'=6, :0c-0c-2x6-32, ∴△OAB向右平移3√2个单位长度，向上平移3√2个单位长度到达△OAB的位置， :点B向右平移3√2个单位长度，向上平移3√2个单位长度到达点B的位置， :点B的坐标为2,0)， ·点B的坐标为2+3V2,3V2 O B A BC 7.D 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数必须为非负数，等式成立需满足等式中所有二 次根式的被开方数都符合非负要求，列出不等式组求解即可. 【详解】解：：等式√x(x-2=√x-2成立，等式右侧两个二次根式都要有意义， x≥0 :根据二次根式有意义的条件，可得不等式组： x-2≥0’ 答案第1页，共2页 解不等式组得x≥2. 8.B 【分析】根据三个正方形的面积为直角三角形的三边的平方，结合勾股定理，进行求解即可. 【详解】解：由图可知：S,=BC2,S,=AB2,S,=AC2, 由勾股定理，得AB2=AC2+BC2,即S2=BC2+S, .BC2=S2-S3=6, BC>0, .BC=6. 9.D 【分析】根据菱形的性质得到BC=CD,∠ACB=)∠BCD,CD∥AB,证明△BCD是等边三角形，得到 ∠BCD=60°，则∠ACB=∠ACD=30°，再由平行线的性质求出∠ABC的度数，由角平分线的定义求出∠BCE 的度数即可得到答案. 【详解】解：：四边形ABCD是菱形， BC=CD,∠ACB=∠BCD,CD∥AB, 2 :∠0DC=60°， ∴.△BCD是等边三角形， .∠BCD=60°， ∴.∠ACB=∠ACD=30°， :CD∥AB, .∠ABC=180°-∠BCD=120°， :CE平分∠ACB, ∠BCE)∠4CB=15 ∠AEC=∠ABC+∠BCE=13°； 10.D 【分析】证明△ABE是等边三角形，由等边三角形的性质得出AB=BE=AE,∠AEB=60°，可判断①正确； 由三角形中位线定理得出OE=4B=BC=}AD,则可得出②正确：证明∠BAC=90°，由勾股定理求出 41 4 OB的长，则可得出③正确；利用三角形面积公式可得出④错误， 答案第1页，共2页 【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形， .BC∥AD, .∠BCD+∠CDA=180°， :∠ECD=2LCDA, .∠CDA=∠ABC=60°， :AE平分∠BAD, ∴.∠BAE=∠DAE=∠AEB, :AB BE, △ABE是等边三角形， AB=BE=AE,∠AEB=60°， EC=CD=AB, .AE=CE, .LEAC=∠CAD=∠ECA,即AC平分∠EAD,故①正确； BE=CE,BC=2AB,0A=0C, .点O为AC的中点，点E为BC的中点， :OE∥AB,OE=。AB=BC=号AD,故②正确： 2 4 4 .AB=CD =1, .BC=2AB=2, :∠EAC=∠CAD,∠BAD=180°-∠ABC=I20°，AE平分∠BAD, :∠EAC=∠CAD=∠BAD=30°， 4 ∴.∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°， 在Rt△ABC中，AB=1,BC=2,∠ABC=60°， AC=BC2-AB2=3, 12 ∴BD=2OB=√万，故③正确； :0E=号48=，OE∥B, 2 .∠BAC=∠E0C=90°，即E0⊥AC, 答案第1页，共2页 ，故④错误， 22 284 综上所述，正确的结论有①②③. 11.64 【分析】根据二次根式有意义的条件得出x=4,进而求出y=3,即可求出x的值. 【详解】解：：y=√x-4+√4-x+3有意义， x-4≥0 4-x20 解得：x=4, .y=Vx-4+V4-x+3=3, x'=43=64. 12.135 【详解】解：∠ABC=(8-2)×180° =135°. 8 13.2+2V5 【分析】过点A作AE⊥CD于点E,证明△AEC为等腰直角三角形即可推出结果. 【详解】解：如图，过点A作AE⊥CD于点E, .∠ADC=60°， ∠DAE=30°， 又：AD=4, .DE =AD =2, AE=V42-22=2V5, 在R1aABC中，∠ABC=60°， .∠BAC=30°， :BC=AB=22, 2 :AC=VAB2-BC2=42-(2=26, 答案第1页，共2页 :CE=VAC2-AE=V26-2=25, .AE CE,CD=CE+ED=2+23. 14.9 【分析】根据菱形的性质可知菱形的四条边相等且对角线互相垂直，结合周长求出边长，利用勾股定理求 出OB的长，再根据直角三角形斜边上的中线性质求出OP的长，最后计算三角形周长. 【详解】解：：四边形ABCD是菱形，周长为20， .AB=BC=CD=DA=5,AC L BD, 0A=3, 在RtA0B中，OB=VAB2-0A2=4, :P是BC的中点，AC⊥BD, 0 opcpC 55 Γ2 :Cao9=BP+B0+0P=+2+4=9. 22 15.1.5或6 【分析】分两种情况：当点D在AC上时，当点D在AC延长线时，分别画出图形，利用勾股定理和折叠 的性质，进行求解即可. 【详解】解：当点D在AC上时，如图所示： B 在ABC中，∠ACB=90°，BC=3,AC=4, 由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=√42+32=5， 由折叠性质得：AB=BE=5,AD=DE, CE=BE-BC=5-3=2, 设CD=x,则DE=AD=4-x, :∠DCE=180°-∠ACB=90°， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE2=CD+CE2, 答案第1页，共2页 (4-x)2=x2+22, 解得：x=1.5, 即此时CD的长为1.5； 当点D在AC延长线时，如图所示： E B 根据折叠可得：BE=AB=5,DE=AD, CE=BC+BE=3+5=8, 设CD=x,则DE=AD=x+4, :∠ACB=90°， ∠DCE=180°-90°=90°， 在Rt DCE中，根据勾股定理得：DE2=CD2+CE2, (x+42=x2+82, 解得：x=6, 即此时CD的长为6； 综上，CD的长为1.5或6. 1ga56 【分析】利用矩形的性质结合中点的性质得出H=D8C=16=8,AE=DG=4B×12=6,利用 勾股定理求得EH=HG的长度，从而求得△HEG的面积，再利用Saac=SaE+SG求得M0+MP=4 5 从而得出划Q:MP+MF的最小值为袋+MF的最小值，当MF最小时，MP+Me+MF技小，面MP鼓小值 为BE=6,并最终求得结果. 【详解】解：：点E,G,H分别为矩形ABCD的边AB,CD,AD的中点， :AH-HD-1BC-1x16-8,4E=DG=1AB--x12-6, .EH =HG=AH2+AE2=HD2+DG2=10, 答案第1页，共2页 S6-)EG4E=X16x6=48, 如图，连接HM, A H D O p M B F C :Sac=5aam+5mc-E-wg+cHp-10wg+x10Mp=48, ·Mg+Mp=48 :MQ+MP+MF的最小值为48+MF的最小值， 即当MF最小时，MP+MQ+MF最小， :MF最小值为BE=6, M0+MP+MF的最小值为4s+6=78 5 5 17.(1) 5V5 (2) 30-12V6 【分析】(1)根据二次根式的性质化简，再根据合并同类二次根式的法则合并同类二次根式即可； (2)先根据完全平方公式展开，再根据二次根式的性质进行计算. 【详解】(1)解：√48+2xv6-V3 =V16x3+V2x6-√5 =45+12-√5 =45+25-3 =(4+2-1)3 =5V5; (2)解：(32-25 答案第1页，共2页 =32-2×32×25+25) =18-126+12 =30-126. 18.(1)见解析 225 5 【分析】(1)根据同角的余角相等证明即可； (2)先利用勾股定理求出AB的长，运用等面积法得到CD,在Rt△ACD中利用勾股定理求解即可. 【详解】(1)证明：：∠ACB=90°，CD⊥AB于点D, :∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+LB=90°， .∠ACD=∠B: (2)解：在Rt△ABC中，AC=2,BC=√5， AB=VAC+BC=+(=5, :CD⊥AB, .S.Ac =ACBC=ABCD, 1 2 :CD=4CIBC_x3 30 AB 5 5 即AD的长为25 19.(1)见解析 (②)AB=8 3 【分析】(1)先由CA同时垂直于AB、CD,推出AB与CD平行，再通过HL证明RIACAB≌Rt△ACD,得到 AB=CD,结合AB川CD,从而证明四边形ABCD是平行四边形； (2)先利用平行四边形对角线互相平分的性质，由AC=4得到A0=2;再结合△AB0周长为8，得出 )=6;最后在R1aAB0中，通过勾股定理列方程求解，算出AB的长度 【详解】(1)证明：：CA⊥AB,CA⊥CD, 答案第1页，共2页 .LCAB=∠ACD=90°， .ABII CD, AD=BC 在Rt△CAB和RtA ACD中： AC=CA' Rt△CAB≌Rt△ACD(HL), .AB=CD, :AB∥CD, :.四边形ABCD是平行四边形； (2)解：：平行四边形对角线互相平分，AC=4, 40=4C=2, 2 :△AB0的周长为8，即A0+AB+B0=8, .AB+B0=6,即B0=6-AB, 又：∠CAB=90°， .△AB0是直角三角形， .由勾股定理得：AB2+AO2=B02,即：AB2+22=(6-AB)2, 展开化简：AB2+4=36-12AB+AB2, 解：份-子 20.(1)见解析 (2)3V万 【分析】(1)由四边形ABCD是平行四边形，则AB∥CD,AB=CD,又BE=CD得四边形BECD是平行 四边形及AD=BC,结合ED=AD可得BC=ED,由此可得平行四边形BECD是矩形： (2)连接AC,由(1)得，BE=CD,BE=AB,所以AB=BE=3,则AE=6,又四边形BECD是矩形， 故有∠ABD=∠BEC=90°，BD=CE,然后通过勾股定理即可求解. 【详解】(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD,AB=CD,AD=BC, BE AB, .BE CD, 四边形BECD是平行四边形， 答案第1页，共2页 AD =BC,AD=DE, .BC=DE, :.四边形BECD是矩形： (2)解：如图，连接AC, 由(1)得，BE=CD,BE=AB, CD=3, .AB=BE =3, AE=6, :四边形BECD是矩形， .∠ABD=∠BEC=90°，BD=CE, BD=VAD2-AB2=V62-32=3V5, .CE=35, AC=√AE2+CE2=62+35=3V万. 21.(1)5 (2)80海里 (3)海监船由B处继续向东航行有触礁危险 【分析】(1)设PC=x,则AP=2PC=2x,AC=√AP2-PC2=√5x,据此求解即可； (2)设PC=x海里，根据等腰直角三角形的性质用x表示出BC,再用x表示出AC,根据题意列出方程， 解方程求出x,进而求出AP; (3)比较PC与半径的大小，得到答案， 【详解】(1)解：如图，在Rt△PAC中，∠PAC=30°， 答案第1页，共2页 北 北 小岛 7 60° 145 海监船 B C东 设PC=x,则AP=2PC=2x,AC=VAP2-PC2=√5x, :4C=5x=5: PC x (2)解：在Rt△PAC中，∠PAC=30°， 设PC=x海里，则AP=2PC=2x海里，AC=VAP2-PC2=√5x海里， 在Rt△PBC中，∠PBC=45°， .△PBC是等腰直角三角形， BC=PC=x海里， :AB=40V5-1海里， V5x-x=40(5-l, 解得x=40, .AP=2x=80海里， .AP的距离为80海里； (3)解：海监船由B处继续向东航行有触礁危险， 理由如下：：1600<2400， :40<20V6, ∴.海监船由B处继续向东航行有触礁危险 22.(1)见解析 (2)2 (3)BE2+CF2=4AB2 【分析】(1)根据平行四边形的性质得到AD∥BC,AB∥CD,再根据角平分线得到BE平分∠ABC,CF 平分∠BCD,通过∠EBC+∠FCB+∠BGC=180°即可求证. (2)延长QG交EF于P,通过∠BGC=90°，点Q为BC中点，BE平分∠ABC,CF平分∠BCD,求得 答案第1页，共2页 EF=AE+AF-AD=2,AF=ED=4,再根据LPGE=∠PEG,证得PG=PE;同理可证PG=PF,得到 P是EF的中点，最后证明PG为△AHD的中位线即可. (3)过E作EM∥CF交BC于M,先证出四边形EFCM是平行四边形，再结合BE⊥FC,得到 BE2+EM2=BM2,最后证出BM=2AB即可. 【详解】(1)解：：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AB∥CD, ∠ABC+∠BCD=180°， :BE平分∠ABC,CF平分∠BCD, ∠EBC=)LABC,∠FCB=∠BCD, :∠EBC+∠FCB=ABC+BCD)=90°， :∠EBC+∠FCB+∠BGC=180°， .∠BGC=180°-∠EBC+∠FCB)=90°， .BE⊥FC. (2)解：延长QG交EF于P, FPE D G H B 由(1)知∠BGC=90°，点0为BC中点，GQ=5, ∴.GQ=BQ=CQ=5BC, .BC=10,∠QBG=∠BGQ :BE平分∠ABC,CF平分∠BCD, :∠EBC=LABC,∠FCB=∠BCD, 2 :四边形ABCD是平行四边形，AB=6, .AB=CD=6,AD =BC=10,AD /BC, ∴.∠AEB=LEBC,∠DFC=∠FCB, ∴∠ABE=∠AEB,∠DFC=∠DCF, .AB=AE,FC=FD, .EF=AE+DF-AD=2,AF=ED=4, 答案第1页，共2页 又：∠QBG=∠BGQ,∠BGQ=∠PGE,∠AEB=∠EBQ, .∠PGE=∠PEG, .PG=PE; 同理可证PG=PF, P是EF的中点， BE⊥FC, :PG=1EF=1,PD=QC=5, 2 :AD∥BC, .四边形PQCD为平行四边形， .PG∥CD, .PG为aAHD的中位线， G=号D=1 HD=2. (3)解：如图， F E D 过E作EM∥CF交BC于M, :四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC, .四边形EFCM是平行四边形， FCI‖EM,CF=EM,EF=CM, 由(1)知BE⊥FC, .∠BGC=∠BEM=90°， .BE2+EM 2=BM 2, BM =BC+CM, .BM BC EF, 由(1)可知，AE=AB,DF=CD=AB,AD=BC, .EF AE DF-AD=AB +AB-BC 2AB-BC, 答案第1页，共2页 .BM =BC +2AB-BC =2AB, .BE2+CF2=(2AB2, .BE2+CF2=4AB2. 【点晴】本题考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，中点的性质以及 勾股定理，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键. 23.(1)√2+√5 ②6-2 2 【分析】(1)先对根号下数字变形为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可； (2)先对根号下数字变形为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可. 【详解】(1)解：√5+2√6 =°+25+( =2+5列 =√2+5； (2)解：V2-3 -54-2可 -5可-awn -56可 2×- 2 -6-2 2 24.(1)DF+BE =EF, (2)3√5 3)√5 【分析】(I)延长CD至点G,使得DG=BE,容易证明△ADG≌△ABE(SAS),则∠DAG=∠BAE, AG=AE,进而可证明aGAF≌△EAF(SAS),因此EF=FG=DF+BE; 答案第1页，共2页 (2)过点A作BQ的垂线，交BQ于点I,交BC于点M,容易证明△ABM≌△BCH(ASA,BM=CH=2 .此时∠GAM=45°，符合(1)中的模型，因此GM=DG+BM,设DG=x,则GM=x+2,CM=x+1, 在直角△CGM中，利用勾股定理构造方程解出x的值，再利用勾股定理求出AG; (3)过点C作CP的垂线，交AF于点H,利用正方形的性质可得∠BAP=∠F,结合同角的余角相等可得 ∠BAP=∠CBP=∠F,∠HCF=∠PCH,从而证明△CBP≌△CFH(ASA,则FH=BP,PC=CH.利用 勾股定理可得PH=√2PC,结合PH=PF-FH=PF-BP,计算出比值. 【详解】(1)解：如图，延长CD至点G,使得DG=BE, B G :四边形ABCD是正方形， .LADC=LBAD=∠B=90°，AD=AB, ∠ADG=180°-∠ADC=90°=∠B, 在△ADG和△ABE中， AD=AB ∠ADG=∠B, DG=BE .△ADG≌△ABE(SAS, ∠DAG=∠BAE,AG=AE, ∠EAF=45°， .∠DAF+∠BAE=∠BAD-∠EAF=45°， ∴.∠GAF=∠DAG+∠DAF=45°=∠EAF, 在△GAF和△EAF中， AG=AE ∠GAF=∠EAF, AF=AF △GAF≌△EAF(SAS), 答案第1页，共2页 .FG=EF, .DF+BE=DF+DG=FG=EF (2)解：如图，过点A作BQ的垂线，交BQ于点I,交BC于点M, D GH C Q :四边形ABCD是正方形， AB=BC=CD=AD,∠ABC=∠C=∠D=90°， .∠CBH+∠ABI=90°， :AM⊥BQ于点I, .∠AIB=∠AIQ=90°， .∠MAB+∠ABI=90°， .∠MAB=∠CBH, 在△ABM和BCH中， ∠MAB=∠CBH AB=BC ∠ABC=∠C :.△ABM≌△BCH(ASA, ∴.BM=CH=2, :∠AQB=45°， .∠GAM=180°-∠AQB-∠AIQ=45°， 由(1)可知，此时GM=DG+BM, 设DG=x, ..GM DG BM x +2,BC CD DG CH +GH x +3, .CM BC BM x +1, 在直角△CGM中，GM2=CG2+CM2, (x+2)2=32+(x+1)2, 答案第1页，共2页 解得x=3, .DG=X=3,AD=CD=x+3=6, 在直角△ADG中，AG=VAD2+DG=V6+32=3V5: (3)解：如图，过点C作CP的垂线，交AF于点H, D :四边形ABCD是正方形， .AB=CD=BC,∠ABC=∠BCD=90°，AB∥CD, ∠BAP=∠F,∠ABP+∠CBP=90°，∠BCF=180°-∠BCD=90°， BP⊥AF, .∠ABP+∠BAP=90°， .∠BAP=∠CBP=∠F, .CH⊥CP, .∠HCP=90°=∠BCF, .∠HCP-∠BCH=∠BCF-∠BCH,即∠HCF=∠PCH, :CF=AB, .CF=BC, 在△CBP和△CFH中， ∠PCB=∠HCF BC=CF I∠CBP=∠F .△CBP≌△CFH(ASA, .FH=BP,PC=CH, 在直角△CPH中，PH=VPC2+CH2=VPC2+PC2=V2PC, PH PF FH PF BP :PF-B即=V5pC,即F-即=V2. PC 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页