第二十一章四边形单元提升卷 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 人教版八年级数学下册第二十一章四边形单元提升卷，覆盖平行四边形、矩形、菱形、正方形等核心知识点，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题/30分|平行四边形判定（1）、正方形性质（2）、多边形内角和（4）|结合生活情境（挂钟正八边形），基础概念辨析| |填空题|6题/18分|矩形判定条件（11）、折叠问题（15）、菱形动点（16）|聚焦性质应用，设置开放条件（添加矩形判定条件）| |解答题|8题/72分|平行四边形证明（17）、矩形折叠计算（22）、坐标系正方形（24）|综合动点、折叠、作图，体现推理与运算能力|

2025-2026学年人教版八年级数学下册第二十一章 四边形 单元提升卷 （考试时间：120分钟试卷满分：120分） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）如图，在四边形中，，添加下列条件后，不能判断四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 2．（本题3分）如图，点是正方形内一点，连接．若是等边三角形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）如图，的周长是，与相交于点，交于点，则的周长是（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）如图，这是小明家的一个挂钟，钟面的外沿是正八边形，则该正八边形的内角和的度数为（  ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，在中，是的中点，为上一点，平分，且于点，连接，若，，则（    ） A．3 B． C．2 D． 6．（本题3分）如图，在中，，，平分线交于，交的延长线于点，则（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）在矩形中，，，将其沿折叠，点，分别落到点与点处，恰好点在上，且，则线段的长度为（    ） A． B．4 C．5 D． 8．（本题3分）如图，在四边形中，．若将沿折叠，点与边的中点恰好重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，四边形和是两个不全等的正方形，连接交于，如果面积为，则面积为（   ）． A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）如图，在中，对角线，相交于点．在不添加辅助线的前提下，增加一个条件，使得是矩形．这个条件可以是_____． 12．（本题3分）如图，公路互相垂直，公路的中点与点被池塘隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为_____． 13．（本题3分）我们都知道，四边形具有不稳定性，老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取教具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，则四边形的面积减少了__________． 14．（本题3分）如图，正方形的边长为，点是的中点，垂直平分且分别交、于点、，则___________． 15．（本题3分）如图，在矩形中，为边上一点，将矩形沿直线折叠，使点落在边上处．若，则的长为_____． 16．（本题3分）如图，在菱形中，，对角线，点为边上一动点（不与点重合），平分交于点，过点作于点，连接，点为的中点，连接，则的最小值为___________． 三、解答题（共72分） 17．（本题6分）如图，在中，分别是的中点，延长到点，使．连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 18．（本题8分）如图，中，对角线，相交于点，点是上一点，连接，．且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 19．（本题8分）如图，在菱形中，对角线，相交于点，是的中点，连接并延长到点，使，连接，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． 20．（本题9分）如图，在平行四边形中，是对角线． (1)作的垂直平分线与，分别交于点，（要求：尺规作图，保留作图痕迹）； (2)与交于点，求证：； (3)连接，，求证：四边形是菱形． 21．（本题9分）如图，将的边延长至点E，使，连接，F是边的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，， ①请判断的形状，并求出的面积． ②直接写出的面积______． 22．（本题10分）在矩形中，对角线相交于点，点分别是上的动点，连接． (1)在图1中，仅用无刻度的直尺在上找一点，使得（不写作法，保留痕迹）； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，若，点是的中点，，求线段的长． 23．（本题10分）如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接、． (1)求，的长； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值：如果不能，说明理由． (3)若为直角三角形，求的值． 24．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，顶点，点为边上一动点，设的长为，以为一边在与点的同侧作正方形，在点运动过程中，探究以下问题： (1)①当点与点重合时，点的坐标为________； ②用含的代数式表示点的坐标为________； (2)的面积是否改变？如果不变，求出此定值；如果改变，请说明理由； (3)当为等腰三角形时，直接写出点的坐标． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C B D A B C C D 1．C 【分析】根据平行四边形的判定定理判定即可． 【详解】解：选项A，两组对边分别平行，四边形是平行四边形，不符合题意； 选项B，一组对边平行且相等，四边形是平行四边形，不符合题意； 选项C,当，时，可以判定四边形是平行四边形，不能判定四边形是平行四边形，符合题意； 选项D，∵ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形，不符合题意． 2．C 【分析】根据正方形的性质得到，，，根据等边三角形的性质得到，，则，，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵正方形， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 3．C 【分析】根据平行四边形的性质得出，，，根据垂直平分线的性质得出，结合的周长是求得，即可求解． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，即是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， 故， ∴的周长． 4．B 【分析】根据正多边形内角和公式求解即可． 【详解】解∶ 该正八边形的内角和的度数为∶． 5．D 【分析】证明，根据全等三角形的性质得到，，进而求出，再根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴． 6．A 【分析】由平行四边形的性质可得，再由平行线的性质并结合角平分线的定义可得，由等角对等边可得，,再由线段和差求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴ ∴． 7．B 【分析】设，证明，推出，求得，推出． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， 由折叠的性质知， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．C 【分析】根据直角三角形的性质可得，从而得到，再由三角形外角的性质可得，再由折叠的性质解答即可． 【详解】解：∵，点E为的中点， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质得：． 9．C 【分析】连接、，由正方形的性质可得，，则，，结合等量代换可得． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 10．D 【分析】先说明是直角三角形，进而得出四边形是矩形，可知当时，最小，然后根据面积相等得出答案． 【详解】解：连接，如图． 在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且． ∵， ∴四边形是矩形， ∴与互相平分， ∵为的中点， ∴点M在上，且， ∴当最小时，最小， 根据直线外一点到直线上任意一点的距离，垂线段最短，即时，最短，同样最短． ， 即， ∴． 11．（答案不唯一） 【详解】解： 四边形 是平行四边形， 若添加条件， 根据对角线相等的平行四边形是矩形， 四边形 是矩形． 故答案为 （答案不唯一）． 12．150 【详解】解：由公路互相垂直， ∴， ∵M为中点， ∴． 13．200 【分析】本题考查了正方形与平行四边形的面积公式．运用直角三角形的角性质，获取平行四边形的高，是解本题的关键． 【详解】解：四边形是正方形，发生形变后，四条边长度不变，依然相等， ， 四边形是菱形，也是平行四边形， 过点C，作的垂线，垂足为E；为平行四边形在边上的高， ，是直角三角形， ， ， ， ． 14． 【分析】设，利用垂直平分线的性质，通过勾股定理列方程求出的长度，再在中用勾股定理计算的长度． 【详解】解：如图，连接． 设，则， 点是的中点， ， ， ，， 垂直平分， ，即， ， 解得，则， ， ， ． 15． 【分析】先根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，求解方程即可得到的长． 【详解】解：四边形为矩形， ，， 矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处， ∴，， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 故答案为：． 16． 【分析】连接交于点O，延长交于点N，连接，根据菱形的性质以及勾股定理可得，证明，可得，从而得到为的中位线，进而得到当最小时，最小，当时，最小，此时点N与点O重合，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O，延长交于点N，连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴当最小时，最小， 当时，最小，此时点N与点O重合， 即的最小值为15， ∴的最小为． 17．(1)见解析 (2)2 【分析】（1）证明是的中位线，得出，，由得，可证明四边形是平行四边形； （2）应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，求得长即可． 【详解】（1）证明：∵点E，F分别为的中点， ． 又， ． 又， ∴四边形是平行四边形． （2）解：在中， 为的中点，， ． 又∵四边形是平行四边形， ． 18．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由四边形是平行四边形，可得，结合，即可证明； （2）由（1）得，推出四边形是菱形，，得到，求出、，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 又， ． （2）解：由（1）得， 四边形是菱形，， 在中，， ， ， ， ∴ ， ，， ． 19．(1)见详解 (2) 【分析】（1）由，得出四边形是平行四边形，再由菱形的性质可知，即可得出四边形是矩形． （2）由菱形的性质得出，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形． （2）解：∵菱形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）以为圆心，为半径作圆，以为圆心，为半径画圆，两圆相交于两点，过两点的直线即为的垂直平分线； （2）先根据平行四边形的性质推出，再根据垂直平分线的定义得，，即可证明； （3）根据全等三角形的对应边相等得，结合，可证明四边形是平行四边形，根据垂直平分线的性质得，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，的垂直平分线与，分别交于点，； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， 在和中， ， ∴； （3）证明：∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴四边形是菱形． 21．(1)见解析 (2)①是等边三角形，的面积为；② 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，再由已知条件证明，据此可证明结论； （2）①过点C作于点H，由平行四边形的性质和平行线的性质得到，证明，即可证明是等边三角形，得到，则，即可得到；②由可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵F是边的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①如图所示，过点C作于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由（2）①得． 22．(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）延长与交点即为点，通过矩形的性质证明即可； （2）先证明，则，，再由线段的垂直平分线的性质得到，最后在中，运用勾股定理求解即可； （3）分两种情况讨论，结合（2）的结论以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求； （2）证明：延长交于点，连接 ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴， ∴，， ∵ ∴， ∵ ∴； （3）解：当点在点右侧时，如图 ∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵在矩形中，， ∴ 由（2）可得，， ∴，解得； 当点在点左侧时，如图： 此时，， 同理可得， 由（2）可得，， ∴，解得， 综上：线段的长为或． 23．(1)， (2)能，当时，四边形是菱形 (3)当或时，为直角三角形 【分析】（1）根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，可知，利用勾股定理可以求出、的长度； （2）根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，可知且，可证四边形是平行四边形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知当时，四边形是菱形，解方程求出值即可； （3）四边形是平行四边形，所以，当为直角三角形时，只有或，分情况求出值即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ，， ， ， ； （2）解：当秒时，四边形是菱形； 理由如下： ， ， 又， ， ， 当运动秒时，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， 可得：， 解得：， 当时，四边形是菱形； （3）解：在中，，， ， 由（2）可知四边形是平行四边形， ； 当，如下图所示， 又， 四边形为矩形， ，， ， ， 则有，， ， ， 解得：； 当秒时，为直角三角形． 当时，如下图所示， ， ， ， ， ， ， 解得：， 当时，为直角三角形； 综上所述，当或时，为直角三角形． 24．(1)①；② (2)不变，定值为，理由见解析 (3)或或 【分析】（1）①过点作轴于点，通过论证即可得出结论； ②过点作轴于，过点作于点，通过论证即可得出结论； （2）过点作轴于，可得，进而利用即可得出结论； （3）过点作轴于，由（2）的结论得，推出，再分3种情况讨论：、、，利用勾股定理列出方程，求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：①当与重合时，如图，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②过点作轴于，过点作于点， ∴， ∵矩形中， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：不变，理由如下： 过点作轴于，则， ∴， ∴， ∴， ∴的面积不变，定值为； （3）解：过点作轴于， 由（2）得，， ∴， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵为等腰三角形， ∴分3种情况讨论： 当时，则， 解得， ∴； 当时，则， 解得， ∴； 当时，则， 解得， ∴； 综上：或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $