精品解析：甘肃陇南市2025-2026下学年春季学期学情评价(一) 九年级数学

2026年春季学期学情评价（一） 九年级数学 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 如图，这是天气预报显示的甘肃某地的最低气温，则表示（ ） 今日某地的最低气温： A. 比兰州的最低气温低 B. 比兰州的最低气温高 C. 比低 D. 比最高气温低 2. 6G目前仍处于全球标准预研和关键技术验证阶段，商用时间大致指向2030年．据IMT-2030（6G）推进组发布的白皮书，实验室在太赫兹频段、超大规模等理想条件下，测得的峰值速率可达每秒以上．数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，墙角线，相交于点，若，则角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点，，在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，、分别是、的中点，如果，那么菱形的周长是(　　) A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 8. 根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，下列判断错误的是（ ） A. 本次调查的总人数为 B. 调查的学生中骑车上学的有人 C. 若该校九年级学生有人，则乘车上学的约有人 D. 扇形统计图中步行的学生人数所在扇形的圆心角的度数是 9. 汽车刹车后行驶的距离（单位：米）与行驶的时间（单位：秒）的函数关系式是，则汽车从开始刹车到停下来所用的时间是（ ） A. 2秒 B. 1.5秒 C. 1秒 D. 秒 10. 如图1，在菱形中，，M是的中点，N是对角线上一动点，设长为x，线段与长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为，则图象最低点E的坐标为（　　） A. （2，3） B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 分解因式：___． 12. 若一次函数满足①随的增大而减小；②经过原点，则这个一次函数的表达式可能是__________． 13. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为__________． 14. 如图，矩形的对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为__________． 15. 小智利用空的薯片筒、塑料膜等器材，自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，如图，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为_____． 16. 在公园内，牡丹按正方形形状种植，在它的周围种植芍药，下图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当时，芍药的数量为______株． 三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 计算：． 20. 足球不仅是全球最受欢迎的运动，更是一种文化纽带．它超越国界，连接人心，激发团队精神与拼搏意志，带来激情与欢乐，成为人们情感交流的桥梁．图1是一次足球比赛的奖杯，图2是从奖杯抽象出来的平面示意图，图中，是圆的切线，，为切点．我们可以用无刻度的直尺和圆规作出平面示意图中圆的圆心．作法如下： ①连接，作的垂直平分线； ②在圆上任意再取一点，连接，作的垂直平分线，的垂直平分线与的垂直平分线的交点，即圆心． （1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将圆的圆心作出（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若该圆的半径是，，求的长． 21. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，将四张卡片置于暗箱中摇匀． （1）小聪从四张卡片中随机抽取一张，抽中B卡片的概率是__________； （2）小明从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小明抽取的两张卡片的图片内容均为化学变化的概率． 22. 某中学九年级数学兴趣小组在学习过三角函数之后，想测量某塔的高度，并制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如下表： 测量某塔的高度 测量工具 测角仪、皮尺 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果 如图，步骤如下：①在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角；②沿着方向走到处，用皮尺测得米；③在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角． … 已知测角仪的高度为1.2米，点，，在同一水平直线上．根据以上信息，求该塔的高度．（参考数据：，，，结果保留整数） 四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 为了深入学习贯彻党的二十届四中全会精神，某校举行了以“学四中全会精神，做新时代好少年”为主题的知识竞赛，对收集到的数据进行了整理、描述和分析． 【收集数据】从八、九两个年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩组成样本，其中九年级10名学生的竞赛成绩分别为81，85，99，95，90，99，100，83，89，99． [整理数据]将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四个等级进行整理，如下表．（满分100分，所有竞赛成绩均超过80分） 等级 A B C D 竞赛成绩/分 八年级10名学生的竞赛成绩在C等级的数据（单位：分）分别为93，94，95． 【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图表． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 年级 九年级 八年级 平均数 92 92 中位数 92.5 b 众数 c 100 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：的值为__________，的值为__________，的值为__________． （2）若该校八、九年级共600名学生，且两个年级的学生都参加了本次竞赛，请估计竞赛成绩为D等级的人数． （3）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级抽取的学生对四中全会知识的掌握程度更好？请判断并说明理由．（写出一条即可） 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； （2）连接，请直接写出四边形的面积． 25. 如图，在中，点在上，边交于点，于点．是的平分线． （1）求证：为的切线； （2）若的半径为2，，求的长． 26. 【模型建立】 （1）如图1，已知是正方形的一边，点在的延长线上，以为一边向右构造正方形，连接，．判断和的数量与位置关系，并说明理由． 【模型探究】 （2）如图2，若正方形的边长为4，点是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，连接，，判断和的数量与位置关系，并说明理由． 【模型拓展】 （3）如图3，在（2）的条件下，连接，当点在上运动时，写出的最小值，并说明理由． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在抛物线的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期学情评价（一） 九年级数学 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 如图，这是天气预报显示的甘肃某地的最低气温，则表示（ ） 今日某地的最低气温： A. 比兰州的最低气温低 B. 比兰州的最低气温高 C. 比低 D. 比最高气温低 【答案】C 【解析】 【分析】在气温的计量中，通常用负数表示低于的温度． 【详解】解：表示比低． 2. 6G目前仍处于全球标准预研和关键技术验证阶段，商用时间大致指向2030年．据IMT-2030（6G）推进组发布的白皮书，实验室在太赫兹频段、超大规模等理想条件下，测得的峰值速率可达每秒以上．数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定和的值． 【详解】解：． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法，幂的乘方，同底数幂除法，合并同类项法则，逐项进行判断即可． 【详解】解：选项A：，该选项运算正确，符合题意； 选项B：，该选项运算错误，不符合题意； 选项C：，该选项运算错误，不符合题意； 选项D：，该选项运算错误，不符合题意． 4. 如图，墙角线，相交于点，若，则角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对顶角相等和已知条件求出的度数，再由邻补角互补可得的度数． 【详解】解；由题意得，，， ∴， ∴． 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以，根据不等式即可求出的值，再根据取值范围确定的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 即， 当时，，故A选项不符合题意； 当时，，故B选项不符合题意； 当时，，不满足，故C选项不符合题意； 当时，，满足条件，故D选项符合题意． 6. 如图，点，，在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 7. 如图，在菱形中，、分别是、的中点，如果，那么菱形的周长是(　　) A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理，即可求得CD的长，进而求得菱形的周长． 【详解】解：∵P、Q分别是AD、AC的中点， ∴CD=2PQ=4， ∴菱形ABCD的周长是4×4=16． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及三角形的中位线定理，正确求得CD的长是解题的关键． 8. 根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，下列判断错误的是（ ） A. 本次调查的总人数为 B. 调查的学生中骑车上学的有人 C. 若该校九年级学生有人，则乘车上学的约有人 D. 扇形统计图中步行的学生人数所在扇形的圆心角的度数是 【答案】D 【解析】 【分析】由条形统计图可知，选择乘车出行的人数为人，由扇形统计图可知，选择乘车出行的人数占总人数的，本次调查的总人数为人；用调查的总人数减去乘车的人数和步行的人数即可得到骑车上学的人数；利用样本百分数估计总体百分数，求出九年级名学生中乘车上学的人数；用步行学生的人数占调查总人数的百分比乘以即可求出步行上学的人数所在扇形的圆心角的度数． 【详解】解：由条形统计图可知，选择乘车出行的人数为人， 由扇形统计图可知，选择乘车出行的人数占总人数的， 本次调查的总人数为人， 故A选项正确； 调查的学生中骑车上学的有人， 故B选项正确； 该校九年级学生有人，则乘车上学的约有人， 故C选项正确； 由条形统计图可知，选择步行上学的人数为， 扇形统计图中步行的学生人数所在扇形的圆心角的度数是， 故D选项错误． 9. 汽车刹车后行驶的距离（单位：米）与行驶的时间（单位：秒）的函数关系式是，则汽车从开始刹车到停下来所用的时间是（ ） A. 2秒 B. 1.5秒 C. 1秒 D. 秒 【答案】B 【解析】 【分析】汽车刹车后停下来时，行驶距离s达到最大值，本题利用二次函数的性质，将解析式配方为顶点式，顶点的横坐标即为刹车到停车的时间. 【详解】解：∵ 对解析式配方得： ∵二次项系数 ∴当时，取得最大值，即汽车停下来. 因此汽车从开始刹车到停下来所用时间是秒． 10. 如图1，在菱形中，，M是的中点，N是对角线上一动点，设长为x，线段与长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为，则图象最低点E的坐标为（　　） A. （2，3） B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形， 根据点F的坐标可得，连接，连接交于点，连接，由两点之间线段最短可知，当点N在点时，取得最小值为，根据菱形的性质易得为等边三角形，再利用等边三角形的性质即可求出，由平行线和菱形的性质易得，进而求出，以此即可求解． 【详解】解：∵图象右端点F的坐标为，M是的中点， ∴， ∴， 如图，连接，连接，交于点N′，连接， ∴当点N在点时，取得最小值为， ∵四边形为菱形，， ∴为等边三角形，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴点E的坐标为． 故选：C． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 分解因式：___． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式即可 【详解】解：． 故答案为: . 12. 若一次函数满足①随的增大而减小；②经过原点，则这个一次函数的表达式可能是__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一次函数的定义和性质，结合题目给出的两个条件，确定一次函数系数和常数项的取值范围，即可写出符合要求的函数表达式． 【详解】解：设该一次函数的表达式为． 根据一次函数的性质，由随的增大而减小，可得． 因为一次函数经过原点，将原点坐标代入表达式得 ，解得． 取，可得符合条件的一次函数表达式为． 13. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查关于轴对称的点的坐标规律. 解题的关键是掌握对称点的坐标规律：关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数. 根据该规律即可解答本题. 【详解】解：根据关于轴对称的点的坐标规律，可得对称点的纵坐标不变，横坐标为原横坐标的相反数.， 原来点坐标为，原横坐标为，其相反数为，纵坐标保持不变， 因此点关于轴对称的点的坐标为. 14. 如图，矩形的对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据矩形的性质及全等三角形的判定证明，得到，所以可得，即可得到答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ，， ， ， ． 15. 小智利用空的薯片筒、塑料膜等器材，自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，如图，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查位似，相似的性质，连接，过点O作于点E，于点F，先判定，即可得对应高之比等于相似比，即可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点E，于点F， 由像与蜡烛火焰位似，其位似中心为， ∴， ∵相似比为：， ∴对应高的比为：， ∴， ∴蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为， 故答案为：． 16. 在公园内，牡丹按正方形形状种植，在它的周围种植芍药，下图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当时，芍药的数量为______株． 【答案】80 【解析】 【分析】根据题目中的图形，可以发现其中的规律，从而可以求得当时的芍药的数量． 【详解】解：由图可得， 当时，芍药的数量为：， 当时，芍药的数量为：， 当时，芍药的数量为：， 当时，芍药的数量为：， …， 故芍药的数量为：， ∴当时，芍药的数量为：， 故答案为：80． 【点睛】本题考查规律型：图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中图形的变化规律． 三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式，同时计算乘法，再计算加减法． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解： 由①得， 由②得， ∴原不等式组的解集为． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题先通分计算括号内的分式加法，再对分子分母因式分解，最后约分得到化简结果． 【详解】解：原式       ． 20. 足球不仅是全球最受欢迎的运动，更是一种文化纽带．它超越国界，连接人心，激发团队精神与拼搏意志，带来激情与欢乐，成为人们情感交流的桥梁．图1是一次足球比赛的奖杯，图2是从奖杯抽象出来的平面示意图，图中，是圆的切线，，为切点．我们可以用无刻度的直尺和圆规作出平面示意图中圆的圆心．作法如下： ①连接，作的垂直平分线； ②在圆上任意再取一点，连接，作的垂直平分线，的垂直平分线与的垂直平分线的交点，即圆心． （1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将圆的圆心作出（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若该圆的半径是，，求的长． 【答案】（1） 点O如图所示： （2） 【解析】 【分析】（1）按照作图步骤作图即可； （2）先根据圆的切线的性质可得，然后求出圆心角，再由弧长公式求解即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：∵图中，是圆的切线， ∴， ∵ ∴， ∴所对的圆心角为 ∵该圆的半径是 ∴的长． 21. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，将四张卡片置于暗箱中摇匀． （1）小聪从四张卡片中随机抽取一张，抽中B卡片的概率是__________； （2）小明从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小明抽取的两张卡片的图片内容均为化学变化的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，将四张卡片置于暗箱中摇匀 ∴小聪从四张卡片中随机抽取一张，抽中B卡片的概率是； 【小问2详解】 解：四张卡片中是化学变化的是B、D， 画树状图如图： 由树状图可得，共有种等可能出现的结果，其中小明抽取两张卡片内容均为化学变化的情况有种， ∴小明抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为． 22. 某中学九年级数学兴趣小组在学习过三角函数之后，想测量某塔的高度，并制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如下表： 测量某塔的高度 测量工具 测角仪、皮尺 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果 如图，步骤如下：①在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角；②沿着方向走到处，用皮尺测得米；③在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角． … 已知测角仪的高度为1.2米，点，，在同一水平直线上．根据以上信息，求该塔的高度．（参考数据：，，，结果保留整数） 【答案】米 【解析】 【分析】据题意得到米，米，再分别解即可． 【详解】解：由题意得，米，米， 在中，， ， 在中，， ， 米， ， 解得， （米， 答：塔的高度为米． 四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 为了深入学习贯彻党的二十届四中全会精神，某校举行了以“学四中全会精神，做新时代好少年”为主题的知识竞赛，对收集到的数据进行了整理、描述和分析． 【收集数据】从八、九两个年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩组成样本，其中九年级10名学生的竞赛成绩分别为81，85，99，95，90，99，100，83，89，99． [整理数据]将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四个等级进行整理，如下表．（满分100分，所有竞赛成绩均超过80分） 等级 A B C D 竞赛成绩/分 八年级10名学生的竞赛成绩在C等级的数据（单位：分）分别为93，94，95． 【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图表． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 年级 九年级 八年级 平均数 92 92 中位数 92.5 b 众数 c 100 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：的值为__________，的值为__________，的值为__________． （2）若该校八、九年级共600名学生，且两个年级的学生都参加了本次竞赛，请估计竞赛成绩为D等级的人数． （3）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级抽取的学生对四中全会知识的掌握程度更好？请判断并说明理由．（写出一条即可） 【答案】（1）40；；99 （2）人 （3） 解：八年级的学生对四中全会知识的掌握程度更好，理由如下： 八年级的中位数高于九年级，说明中间水平的学生成绩更优，八年级的众数高于九年级，说明，八年级的高分更多． 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图以及中位数和众数的定义求解即可； （2）用样本估计总体的方法求解即可； （3）从中位数和众数的角度分析即可． 【小问1详解】 解：C等级占比为 则， ∴； 则A等级有（人），B等级有（人），D等级有（人）， ∵八年级有10人，则中位数为第5，6个数据的平均数，而A、B等级共有3人， ∴中位数为C等级中94，95的平均数， 故 九年级数据中的99出现的次数最多，故众数； 【小问2详解】 解：九年级D等级的有4人，八年级D等级的有4人， ∴竞赛成绩为D等级的人数为（人） 答：竞赛成绩为D等级的人数为人； 【小问3详解】 略 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； （2）连接，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）， （2）10 【解析】 【分析】（1）把点C的坐标代入反比例函数解析式中，求得k的值，即可求得反比例函数解析式；由A、C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，令，求出y的值，即可得点B的坐标； （2）点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2，则可求得点D的横坐标，利用四边形的面积等于面积的和即可求解． 【小问1详解】 解：∵点C的坐标为，且在反比例函数的图像上， ∴，即， ∴反比例函数的解析式为； 设直线的解析式为，把A、C两点坐标分别代入得： ，解得：， 即直线的解析式为； 上式中，令，， ∴点B的坐标为； 【小问2详解】 解：∵点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2， ∴， 解得：； 由题意知，， ∴ ． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，反比例函数的图像与性质，割补法求四边形面积等知识，掌握反比例函数的图像与性质是关键． 25. 如图，在中，点在上，边交于点，于点．是的平分线． （1）求证：为的切线； （2）若的半径为2，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即且为半径， ∴为的切线； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等． （1）利用等边对等角求得，由角平分线的定义求得，可证明，即可证明为的切线； （2）先证明等腰三角形，求得，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，又， ∴等腰直角三角形， ∵的半径为2， ∴， ∴， ∴． 26. 【模型建立】 （1）如图1，已知是正方形的一边，点在的延长线上，以为一边向右构造正方形，连接，．判断和的数量与位置关系，并说明理由． 【模型探究】 （2）如图2，若正方形的边长为4，点是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，连接，，判断和的数量与位置关系，并说明理由． 【模型拓展】 （3）如图3，在（2）的条件下，连接，当点在上运动时，写出的最小值，并说明理由． 【答案】（1） 解：，．理由如下， 如图1中，延长交于， 四边形是正方形，四边形是正方形， ，，， ， ，， ， ，即， ． （2） 解：，．理由如下， 如图，延长、交于， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，． ∴在四边形中，， ∴， 即； （3），理由如下： 如图4中，过点G作交延长线于点H， ∵， ∴， 又∵， ∴， ， 点的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4，作点关于直线的对称点，连接，． 在中，，，， ， ，， ， ， ， 的最小值为． 【解析】 【分析】（1）由“”可证，可得结论． （2）延长、交于，证明，得出，．在四边形中求出，由此得； （3）过点G作交延长线于点H，证明，得到，说明点的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4，作点关于直线的对称点，连接，．在中，可得．根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 27. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在抛物线的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 【答案】（1） （2）面积的最大值为， （3）存在，点E的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）利用对称轴公式可得，再结合点C的坐标利用待定系数法求解即可； （2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）分情况讨论，当为矩形一边时，且点在轴的下方；当为矩形一边时，且点在轴的上方；当为矩形对角线时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为，把，点的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为 点P为直线下方抛物线上的点， 设， ， ， 当时，， ∴，即面积的最大值为， ； 【小问3详解】 解：由题意可得：， 抛物线的对称轴为直线． ∵，， ∴，， 如图：当为矩形一边时，且点在轴的下方，过作轴于点， ∵D在的对称轴上， ， ∵，， ∴， ，，即点， ∴点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点，则点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点； 如图：当为矩形一边时，且点在轴的上方，的对称轴为与轴交于点， ∵D在的对称轴上， ∴， ， ，即， ，即点， ∴点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点，则点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点； 如图：当为矩形对角线时，设，，的中点F的坐标为， 依题意得：，解得， 又， ， 解得：， 联立， 解得：， ∴点E的坐标为或． 综上，存在点，其坐标为或或或，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，矩形的性质，两点间的距离公式，求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $