2026年中考数学压轴题专题-二次函数与线段周长问题

2026年中考数学压轴题专题-二次函数与线段周长问题 1．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线（，是常数）经过，两点，且与轴交于点． (1)求抛物线的解析式，并直接写出点的坐标； (2)是第一象限内抛物线上一点，过点作轴交线段于点，当时，求点的坐标． 2．如图a，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点p是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值为 ； (3)如图b，设点Q是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点D，求的最大值，并直接写出此时的面积． 3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点A在原点左边，点B在原点右边，与y轴交于点，且．点P为抛物线上一动点，且P点横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)如果，垂足为C，求P点坐标； (3)过点P作轴于点M，当点P与点M都不与点C重合时，以，为边作矩形，设矩形的周长为l． ①求l与m的函数解析式； ②若对于l的每一个取值，都有两个m的值与它对应，直接写出l的取值范围． 4．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在一点，使得的面积等于，若存在求出点坐标，若不存在说明理由； (3)点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段，为邻边作矩形，当矩形的周长为时，求线段的长． 5．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点是直线上一动点，是抛物线上一点，过点作线段（点在直线下方），已知，请直接写出点的坐标． 6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于两点，且点坐标为点坐标为， (1)求抛物线的解析式； (2)若点为直线上方抛物线上的任意一点，连接交直线于点，当最大时，求点的坐标； (3)将抛物线向左平移2个单位长度，新抛物线的对称轴与轴交于点，点为新抛物线上的一个动点，连接，当，直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求点其中一个横坐标的过程． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点为抛物线上一点． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，点为直线上方抛物线上一点，过点作轴于点，作轴交于点，若，求点的坐标： (3)将原抛物线向右平移得到新抛物线，使之经过点，新抛物线与轴左侧交点为，点是新抛物线对称轴上一点，点是第一象限内一点，当，，，为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 8．直线与轴相交于点，与轴相交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，于点，轴于点．当时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，直线与相交于点，点在抛物线上，过作轴，交直线于点．是平面内一点，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线经过B、C两点，并与x轴交于另一点A． (1)求该抛物线的函数关系式； (2)设是抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点M，交直线于点N． ①当时，直接写出n的取值范围； ②若点P在第一象限内，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； ③若是直角三角形，求m的值． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，B两点，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交于点D，过点P作的平行线交x轴于点E，点M，N是y轴上的动点（点M在点N的上方），且，当取得最大值时，求P点的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线与x轴交于点F，G（点F在点G的左侧），与y轴交于点H，连接．在直线上存在点T，使得点P关于直线的对称点恰好落在直线上，请直接写出所有符合条件的点坐标． 11．已知抛物线交轴于点，点，交轴于点．点向右平移4个单位长度，得到点D，点D在抛物线上，点E为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点是线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，点M的坐标为 ； ②点N是射线上一动点，且满足．在第四象限内过点C作射线，在射线上取一点G，使．连接．求的最小值；（请在备用图中画出草图再求解） (3)点P在抛物线的对称轴上，若，请直接写出点P的坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，连接交轴于点，平移后的抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出符合条件的点坐标，若不存在，请说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，过点O作直线，点M，N分别为射线和直线l上的动点，且，连接．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移，使平移后的新抛物线经过点C，点D为抛物线对称轴上的一点，连接，过点D作交抛物线于点E，且点E位于抛物线对称轴的左侧，连接、．若，请直接写出所有符合条件的点E的横坐标． 14．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线表达式； (2)点为直线上方抛物线上一动点，过点作于点，过点作轴交直线于点，求的周长最大值及此时点的坐标； (3)设，（）为抛物线上两点，在中的最大值为，最小值为．若存在某个，使得，请求出的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)， (2)或 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合、二次函数的几何应用等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）先根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得；当时，解方程即可求得点的坐标； （2）根据的坐标得出，根据题意得出，设，则，表示出，列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：将代入直线得：，解得， ∴， 将代入直线得：， ∴， 将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为． 当时， 解得： ∴ （2）∵，， ∴ ∵ ∴， 设，则， ∴ 解得：， ∴或 ∴或 2．(1) (2) (3)的最大值为；的面积为 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出点B坐标，进而求出线段的长；，连接，由抛物线的对称性可得，则可推出当P、A、C三点共线时有最小值，且最小值为线段，即此时的周长有最小值，最小值为的值，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）求出直线解析式为；设，则，则，据此求出的最大值，再根据求出对应的面积即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，， 解得或， ∴， ∴； 如图所示，连接， 由抛物线的对称性可得， ∴的周长， ∴当P、A、C三点共线时有最小值，且最小值为线段，即此时的周长有最小值，最小值为的值， ∵， ∴的周长的最小值为：， 故答案为：； （3）解：设直线解析式为， 则， ∴， ∴直线解析式为； 设，则， ∴ ， ∵，， ∴当，即时，有最大值，最大值为， ∴此时 ． 3．(1) (2)P点坐标为 (3)①；②或 【分析】（1）先根据C点坐标为，求得，再结合，求得，．设抛物线解析式为，将代入求得：，从而求得抛物线的解析式； （2）先求出的解析式为，再求得的解析式为，然后联立方程组得：，求得P点坐标为； （3）①分、、三段，分别求得与的函数解析式； ②根据l的函数图象,得出当或时，对于l的每一个取值，都有两个m的值与它对应． 【详解】（1）解：∵C点坐标为， ∴． ∵， ∴，． ∵点A在原点左边，点B在原点右边， ∴，． 设抛物线解析式为， 将代入得：． ∴． （2）∵，， ∴的解析式为． ∵， ∴的解析式为． 联立方程组得：， 解得或． 所以P点坐标为； （3）①，轴， ∴． 如图，当点P在y轴左侧， 当时， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴； 如图，当点P在直线上方，即时， 同理得：，， ∴； 如图，当点P在y轴右侧下方，时， 同理得：，， ∴． 综上，； ②l的函数图象如图所示，由图象可知： 当或时，对于l的每一个取值，都有两个m的值与它对应． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，利用不等式求自变量或函数值的范围，线段周长问题(二次函数综合)，其他问题(二次函数综合)等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 4．(1) (2)存在，坐标为、、、； (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求的长度，再结合三角形面积公式得点的纵坐标，代入抛物线解析式求横坐标； （3）先求得直线的解析式为，设，则，利用对称性质求得，推出，，利用矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于,与轴交于点， ∴． 解得． ∴抛物线的解析式为． （2）解：当时，即， 解得或 则点的坐标为， ， 设，则 即，解得 当时，即 解得或 的坐标为或； 当时，即 解得或 的坐标为或； 所以存在点使得的面积等于，坐标为、、、； （3）解：∵已知点与， ∴设直线的解析式为， 则． 解得． ∴直线的解析式为． 设，且， 则． ∴． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴． ∴． 依题意得， 解得或． ∵ ∴（舍去） ∴． 【点睛】本题考查的是二次函数综合．熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，再通过面积公式列方程找抛物线上的点和一次函数图象上点的坐标特征，两点之间的距离公式和矩形的性质，二次函数的对称性，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式以及分情况讨论． 5．(1) (2)存在，最大值是， (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交于点，设，利用勾股定理求得，得到当最大时，的值最大，转化为二次函数求最值即可； （3）设，得到，求出点恰好在抛物线上且时的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴，解得， ∴； （2）解：存在； ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴，交于点，设，则：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当时，的最大值为，此时最大，为， ∴； （3）解：由（2）得直线的解析式为， ∵点是直线上一动点， ∴设， ∵过点作线段（点在直线下方）， 则：， ∵点在抛物线上 ∴， ∴， 当时，则：， 解得：或， ∵， 则或， ∴点的坐标为或． 6．(1) (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数与相似三角形、二次函数与角度的综合、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为，设，如图：过P作轴交于E，过A作轴交于F，则，，则，，，易证，可得，根据二次函数的性质可得当时，有最大值，即有最大值，再确定点P的坐标即可； （3）如图：过K作新抛物线的对称轴，再求出平移后的函数解析式为，则对称轴为直线、；再说明；然后分点Q在对称轴的左边和右边分别构造等腰三角形确定点Q的位置，然后求出一次函数解析式，再与抛物线的解析式联立即可解答． 【详解】（1）解：将，代入可得： ，解得：， ∴． （2）解：∵与轴交于点， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，如图：过P作轴交于E，过A作轴交于F，则，， ∴，，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，即有最大值，此时． （3）解：如图：过K作新抛物线的对称轴，交轴于点， ∵， ∴抛物线向左平移两个单位后的解析式为， ∴对称轴为直线，即为对称轴，， ∴和重合， ∴， ∴， ∵， ∴， ①当点Q在对称轴的左侧时，如图，在y的负半轴取，连接并延长交新抛物线于，即， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 由题意可得：，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：（不合题意舍去）或； ∴点Q的横坐标为． ②当点Q在对称轴的右侧时， ∵，， ∴,， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图：在上取一点D使得，连接交新抛物线于，设， ∴，， ∴，解得：， ∴， 设直线的解析式为， 由题意可得：，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或（不合题意舍弃）； ∴点Q的横坐标为． 综上，点Q的横坐标为或． 7．(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数的解析式，菱形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式，设，用表示出的长，进而根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）先求得新抛物线的对称轴为，设，进而求得，再分三种情况讨论，利用菱形的性质结合中点坐标公式求得即可． 【详解】（1）解：把，代入得 ， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：令，则， ∴，令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∵轴， ∴， 代入， 得， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得：或 当时，，则 当时，，则 综上所述，或 （3）解：∵，， ∴点向右平移3个单位得到点， ∴向右平移3个单位得到新抛物线， ∵， ∴， ∴新抛物线的对称轴为， 设， 当时，解得： ∴新抛物线与轴左侧交点为，则 ∵， ①当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 此方程无解， ②当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 整理得， 解得， 当时，， ∴，即， 解得， ∴； 当时，， ∴，即， 解得， ∴； ③当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 解得， ∴， ∴，即， 解得， ∴（不在第一象限，舍去）； 综上，点N的坐标为或 ． 8．(1) (2) (3)点坐标为或或 【分析】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质、一次函数的图象及性质、正方形的性质是解题的关键． （1）令，求点，令，求点，将点、点代入抛物线，即可求解； （2）设，由轴交于点，则，再由，可知，则有，连接，延长交轴于点，可证四边形是平行四边形，为等腰直角三角形，可求， ，，求出，，得到，即可求； （3）先求出，直线的解析式为，联立，求出，分四种情况讨论：①当时，点在上，点在上，可确定或，当时，，；②当时，此时轴，或，当时，；当时，． 【详解】（1）解：令，则， ． 令，则， ． 抛物线经过点，， ，解得， 抛物线解析式为． （2）设， 轴交于点， ． ， ． ． ， ． 如图，连接，延长交轴于点， 四边形是平行四边形， ， ． 为等腰直角三角形． ． ． ． 点横坐标为， ∴，即， ． ． ，解得或（舍）． ． （3）令，则，解得或， ． 设直线的解析式为， 将，代入， ，解得， ∴直线的解析式为， ， ． 联立，解得 ． 以点，，，为顶点的四边形是正方形， ①如图2，图3，当时，点在上，点在上， 点在抛物线上， 或． 当时，， ． ． 的中点为，则中点也为， ． 当时，， ． ． 的中点为，则中点也为， ． 此时与轴重合， 不符合题意． ②如图4，图5，当时，此时轴， 或． 当时，， ． 当时，， ． 综上所述，当以点，，，为顶点的四边形是正方形，点坐标为或或． 9．(1) (2)①；②存在，；③m的值为或1或 【分析】（1）根据直线解析式求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式列式求解即可； （2）①开口方向向下，离对称轴越远y值越小，据此即可求解； ②根据抛物线解析式与直线解析式表示出点P、N的坐标，然后用含有m的式子表示出，整理并根据二次函数的最值问题解答； ③分类讨论，每个顶点为直角时，再构造三垂直相似，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，，解得， ∴点B、C的坐标分别为，， ∴，解得， ∴所求函数关系式为． （2）解：①∵对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，为最小值； 当时，为最大值， ∴当时，； ②∵点在抛物线上，且轴， ∴设点，则点， ∴， ∴当时，线段的长度的最大值为，此时点； ③当是直角时，如图，过P作轴交y轴于点G，过B作于点H， 则，，，， 由辅助线可知， ∴， ∴， ∴，即， 解得； 当时，如图， 同理可得， ∵， ∴，即， 解得（舍去）或； 当时，如图， 同理可得， ∵， ∴，即， 解得（舍去）或； 综上，m的值为或1或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数点的坐标特征及最值问题、直角三角形的存在性问题等内容，构造三垂直相似是解决最后一问的关键． 10．(1) (2)当取得最大值时，点P的坐标为，的最小值为 (3)或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为，设，则，可得；求出直线的解析式为，则，可得，进而得到，则当时，有最大值，可求出此时，点P的坐标为，点D的坐标为；可证明四边形是平行四边形，得到；作点D关于y轴的对称点T，连接，则，由轴对称的性质可得，则可证明当N、T、A三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的值，据此求解即可； （3）求出平移后的抛物线解析式，进而求出点F，点G，点H的坐标，求出直线的解析式，设出点的坐标，根据轴对称的性质得到，据此利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴； ∵， ∴可设直线的解析式为， 由题意得， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时， ∴， ∴， ∴ ， ∵，且， ∴当时，即时，有最大值， ∴此时，， ∴点P的坐标为，点D的坐标为； 如图所示，连接， ∵线段在y轴上，且，轴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； 如图所示，作点D关于y轴的对称点T，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∵， ∴当N、T、A三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的值， ∵， ∴， ∴的最小值为； （3）解：∵平移前的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线解析式为， 在中，当时，， 解得或， ∴， 在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴可设， 由（2）可得， ∵点和点关于直线对称， ∴， ∴， ∴， 解得或， 当时，，当时，， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质与判定，两点距离计算公式，轴对称的性质等等，确定点P的坐标是解题的关键． 11．(1)； (2)①；② (3)或 【分析】（1）令，则，得到，根据平移得到，进而根据抛物线过点，，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式为．将解析式化为顶点式，即可得到顶点E的坐标； （2）①当点O，M，F三点共线时，为最小值．对于抛物线，令，求出，进而可得直线的解析式为．由点F在射线上，，得到，从而可得直线的解析式为．解方程组即可解答； ②由，，得到是等腰直角三角形，从而，证得，得到，进而有，根据勾股定理求出，即可解答； （3）分两种情况：①当点P在x轴上方时，取点，连接，得到是等腰直角三角形，，即可推出．过点A作于点K，设对称轴与x轴的交点为Q，则，从而，得到．根据的面积求得，进而在中，，把相关数据代入，即可求得，从而．②当点P在x轴下方时，由对称性可得．即可解答． 【详解】（1）解：对于抛物线，令，则， ∴， ∵点C向右平移4个单位长度，得到点D， ∴， ∵抛物线过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的顶点E的坐标为． （2）解：①如图，当点O，M，F三点共线时，为最小值． 对于抛物线，令，则， 解得：，， ∴， 设过点，的直线解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵点F在射线上，，， ∴， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 解方程组得， ∴当的值最小时，点M的坐标为； ②连接， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 根据平移可得：轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当、N、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为， ∵ ∴， ∵， ∴在中，， 即的最小值为． （3）解：①当点P在x轴上方时， 取点，连接， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∵， ∴， 过点A作于点K，设对称轴与x轴的交点为Q， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴，，， ∵， 即， ∴， ∴在中，， ∵对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②当点P在x轴下方时，由对称性可得． 综上所述，点P的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，两点间的距离公式，两点之间线段最短等，综合运用相关知识是解题的关键． 12．(1) (2)的最大值为9， (3)存在；或 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）如图：过P作轴交直线于H，由二次函数的性质可得点，对称轴为直线；再通过证明是等腰直角三角形，即，进而得到；再运用待定系数法求得直线的解析式为，设点，则，进而得到，然后运用配方法求最值即可解答； （3）先直线的解析式为，再求得，然后确定平移后的抛物线解析式为；设，再用两点间距离公式表示出，然后再运用勾股定理列方程求得n即可解答． 【详解】（1）解：将两点代入可得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图：过点P作轴交直线于H， ∵抛物线的表达式为， ∴点，对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，即， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则， ∴，， ∴ ， ∴当时，即时，的最大值为9． ∴的最大值为9，． （3）解：存在； 如图：设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， ∵连接交y轴于点M， ∴， ∵，抛物线沿射线方向平移个单位， ∴将抛物线向左平移两个单位，向上平移两个单位得到平移后的函数解析式为：， 设， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 解得：或， 把代入得： ， 把代入得： ， ∴点N的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与线段的综合、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识成为解题的关键． 13．(1) (2)， (3)x的横坐标为或 【分析】（1）根据已知条件求出点C，点B的坐标，再将点A，点B坐标利用待定系数法分别代入抛物线中即可求得其解析式； （2）作轴交于点D，作轴交于点E，得出，先利用待定系数法求出直线的解析式，随即求得点D的坐标进而得出，的值，证明得到最大值时，最大，设，则，列出的二次函数关系式求得点P的坐标；作于点F，利用三角形面积公式得出的值，通过平移得出点的坐标并得出，再作轴于点G，通过正弦的定义得出，进而求得当，M，G三点共线且轴时，的最小值； （3）先求出平移后的新抛物线解析式及其对称轴，设，则，利用正切的定义得出线段比例关系，此时分情况讨论：①当点E在点D下方时，②当点E在点D上方时，分别作对应的辅助线后利用求出的值，进而推出点的坐标， 从而得出结论当点D在直线移动的过程中，点E的轨迹为直线，与的夹角为，进而求出和的值，利用待定系数法分别求出直线和的解析式，最终联立新抛物线解析式即可求出点E的横坐标． 【详解】（1）解：由题意知，当时，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 将点A，B分别代入抛物线得 ，解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：如图，作轴交于点D，作轴交于点E， ∴， ∵，， 设直线的解析式为， 代入得，解得， ∴直线的解析式为， ∴点D坐标为，则，， ∵，， ∴， ∴，则最大值时，最大， 设，则， ， ∵， ∴当时，最大，此时， 作于点F， ∴，得， 将点P沿方向平移得点，则，且， ∴， 作轴于点G，， ∴， ∴， 当，M，G三点共线且轴时取等号，故. （3）解：∵抛物线沿射线平移，且过点C， ∴新抛物线解析式为，对称轴为，记对称轴为直线， 设，则， ∴，即， ①当点E在点D下方时： 如图，过点C作，在直线上取点且位于点下方，使得， 设， ∴，即， 延长至点F，与直线交点F， ∴， ∴，解得， 设，则， 在中，， ∴，解得， ∴，点坐标为， ∴，， 当点D在直线移动的过程中，点E的轨迹为直线，与的夹角为， 则， 设直线的解析式为，将点代入得 ，解得， ∴直线的解析式为， 联立新抛物线解析式得，， 解得（舍去），； ②当点E在点D上方时： 如图，过点C作，在直线上取点且位于点上方，使得， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点D在直线移动的过程中，点E的轨迹为直线，与的夹角为， 则， 设直线的解析式为，将点代入得 ，解得， ∴直线的解析式为， 联立新抛物线解析式得：， 解得（舍去），， 综上所述，x的横坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，锐角三角函数的应用及函数与几何的综合应用． 14．(1) (2)的周长最大值为， (3) 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求解函数解析式，二次函数的图象与性质，线段最值问题等知识点． （1）由待定系数法求解即可； （2）先求出直线，然后证明出为等腰直角三角形，，则，那么的周长，设，则，则，那么当时，有最大值，故当取到最大值时，的周长最大值； （3）可得抛物线对称轴为直线，开口向下，顶点为，然后分三种情况：①当点在对称轴左侧时，，即；②当点在对称轴右侧时，；③当点在对称轴左侧，点N在对称轴右侧时，利用二次函数的图象与性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． ∴将点，代入， 则， 解得， ∴抛物线表达式为； （2）解：设直线， ∴将点，代入得，， 解得， ∴直线， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∵轴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴的周长， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， ∴当取到最大值时，的周长最大值； （3）解：， ∴抛物线对称轴为直线，开口向下，顶点为， ①当点在对称轴左侧时，，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 要使，则，结合， ∴的取值范围是； ②当点在对称轴右侧时，， ∴， ∵，， ∴ ∴， 要使，则，结合， ∴的取值范围是； ③当点在对称轴左侧，点N在对称轴右侧时， 当时，取得最大值为4，故， ∵， ∴， 令，解得或 ∴抛物线与轴交点为，，即时，， ∴在范围内，则， 结合，故的取值范围是， 综上所述：的取值范围是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $