23.4 第2课时 方案选择问题(1)-教学设计--2025-2026学年人教版数学八年级下册

第2课时 选择方案人教版八年级数学下册 平行四边形的性质的运用 教案 授课年级：八年级 学科：数学 版本：人教版 课时：1课时 授课类型：习题课/应用课 一、教学目标 1. 知识与技能：熟练掌握平行四边形的三大核心性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）及邻角互补的推论；能灵活运用这些性质解决边长计算、角度推理、对角线相关计算、折叠拼接等实际应用问题；规范书写几何解题步骤，明确每一步的推理依据。 2. 3. 过程与方法：通过典例分析、变式训练、小组探究，梳理平行四边形性质的应用思路和解题技巧，培养学生的逻辑推理能力、综合分析能力和数形结合思想，提升运用几何性质解决实际问题的能力。 4. 5. 情感态度与价值观：感受平行四边形性质的实用性，激发学生运用几何知识解决问题的兴趣，培养严谨的解题习惯和合作探究意识，增强学习几何知识的信心，体会数学与生活的密切联系，建立完整的几何应用思维。 6. 二、教学重难点 重点：平行四边形性质的灵活运用；针对不同应用场景（边长、角度、对角线、折叠等）选择合适的性质解题；规范书写几何解题步骤。 难点：灵活运用平行四边形的性质解决含多条件、折叠、拼接、与其他几何知识结合的综合问题；明确几何推理的逻辑顺序，规范标注推理依据。 三、教学准备 教师：多媒体课件（包含性质梳理、典例示意图、变式练习题、易错点解析）、板书模板、直尺、圆规、三角板、平行四边形纸片；学生：复习平行四边形的定义及三大核心性质，整理前期错题，准备直尺、圆规、三角板，预习性质应用相关题型。 四、教学过程 （一）复习回顾（5分钟） 1. 快速回顾：提问学生，平行四边形有哪些核心性质？引导学生完整表述，并规范书写几何语言： ① 对边性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC； ② 对角性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠A=∠C，∠B=∠D（邻角互补：∠A+∠B=180°）； ③ 对角线性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA=OC，OB=OD（O为对角线交点）。 2. 导入课题：强调平行四边形的性质是解决几何计算、推理的核心依据，今天我们重点学习“平行四边形的性质的运用”，通过典例和变式训练，掌握不同场景下的解题思路和技巧，突破应用难点。 （二）核心应用梳理（7分钟） 梳理平行四边形性质的常见应用场景，明确解题核心思路，帮助学生建立应用框架： 1. 场景一：边长计算（核心用“对边相等”） 思路：已知平行四边形的一组对边长度，可直接求另一组对边；结合周长公式（周长=2×（邻边和）），可求未知边长或周长。 2. 场景二：角度推理（核心用“对角相等、邻角互补”） 思路：已知平行四边形的一个角，可求其余三个角；结合角的和差、角平分线等知识，可解决复杂角度推理问题。 3. 场景三：对角线相关计算（核心用“对角线互相平分”） 思路：已知平行四边形一条对角线的长度或其中一段的长度，可求对角线的另一段或整条对角线长度；结合勾股定理，可求边长、面积等。 4. 场景四：综合应用（折叠、拼接、与三角形结合） 思路：先利用平行四边形的性质，转化已知条件，再结合折叠的性质（对应边相等、对应角相等）、三角形全等、勾股定理等知识，逐步求解。 强调：所有应用的前提的是“明确四边形是平行四边形”，解题时先标注已知条件，再选择对应的性质，规范书写推理步骤，注明每一步的依据。 （三）典例精讲（18分钟） 结合不同应用场景，精讲典例，拆解解题步骤，强化解题技巧，规范书写格式。 例1（基础应用：边长与周长计算）：在▱ABCD中，已知AB=8cm，BC=5cm，E、F分别是AB、CD的中点，求EF的长度及▱ABCD的周长。 讲解步骤：① 明确已知条件：四边形ABCD是平行四边形，AB=8cm，BC=5cm，E、F是AB、CD中点；② 选择性质：平行四边形对边平行且相等，故AB=CD=8cm，AB∥CD；③ 推导EF长度：E、F是中点，AE=EB=4cm，CF=FD=4cm，又AB∥CD，故EB∥CF且EB=CF，四边形EBCF是平行四边形，EF=BC=5cm；④ 计算周长：周长=2×（AB+BC）=2×（8+5）=26cm；⑤ 规范书写解题过程，注明每一步依据（平行四边形性质、中点定义等）。 例2（进阶应用：角度与角平分线结合）：在▱ABCD中，∠A=100°，BE平分∠ABC，交AD于点E，求∠AEB、∠BED的度数。 引导学生分析：① 由平行四边形性质，∠A+∠ABC=180°（邻角互补），∠A=∠C=100°，故∠ABC=80°；② BE平分∠ABC，故∠ABE=∠EBC=40°；③ 由AD∥BC（平行四边形对边平行），内错角相等，故∠AEB=∠EBC=40°；④ 由平角定义，∠AEB+∠BED=180°，故∠BED=140°；⑤ 规范书写推理过程，强调“平行四边形对边平行”“邻角互补”的灵活运用。 例3（综合应用：对角线与勾股定理结合）：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AC=12cm，BD=16cm，AB=10cm，求证：▱ABCD是矩形。 引导学生分析：① 由平行四边形性质，对角线互相平分，故OA=OC=6cm，OB=OD=8cm；② 已知AB=10cm，观察OA、OB、AB的长度，6²+8²=10²，由勾股定理逆定理，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°；③ 对角线互相垂直的平行四边形是矩形，故▱ABCD是矩形；④ 规范书写证明过程，体现平行四边形性质与勾股定理逆定理的综合运用，注明每一步推理依据。 例4（拓展应用：折叠与性质结合）：将▱ABCD沿边BC折叠，使点C落在点C'处，连接AC'，已知AB=6cm，AD=4cm，∠ABC=60°，求△ABC'的面积。 引导学生分析：① 由平行四边形性质，AB=CD=6cm，AD=BC=4cm，AB∥CD；② 折叠后，BC=BC'=4cm，∠C=∠C'，∠ABC'=∠ABC=60°；③ 由AB∥CD，∠ABC+∠C=180°，故∠C=120°，∠C'=120°；④ 过点C'作AB的垂线，垂足为H，在Rt△C'BH中，∠C'BH=60°，BC'=4cm，可求C'H=2√3cm；⑤ 计算△ABC'的面积=1/2×AB×C'H=1/2×6×2√3=6√3cm²；⑥ 规范书写解题步骤，梳理折叠性质与平行四边形性质的结合点。 教师板书每道典例的规范解题步骤，重点强调：① 先标注已知条件和图形中的隐含条件；② 选择合适的平行四边形性质，结合其他几何知识（角平分线、勾股定理、折叠性质）；③ 推理过程要严谨，每一步都要注明依据；④ 计算时注意准确性，规范书写单位。 （四）变式训练（10分钟） 布置分层变式练习，贴合典例场景，强化性质运用，及时巩固解题技巧： 1. 基础变式（边长与角度）：在▱ABCD中，AB=7cm，AD=5cm，∠B=70°，E是AD的中点，求CE的长度（提示：过C作AD的垂线）；已知▱ABCD中，∠A比∠B小20°，求四个角的度数。 2. 进阶变式（对角线）：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OA=5cm，OB=12cm，求▱ABCD的边长和面积；若AC⊥BD，AB=13cm，求AC、BD的长度。 3. 综合变式（折叠与全等）：将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A'处，连接A'C，已知AB=5cm，AD=3cm，求A'C的长度（提示：证明△A'CD是等腰三角形）。 学生独立完成，小组内核对答案、交流解题思路，教师巡视指导，针对易错点（如忽略平行四边形对边平行的性质、推理过程不规范、计算失误）集中讲解，强化解题技巧。 （五）易错点总结（3分钟） 梳理学生在性质运用中常见的易错点，重点强调： 1. 忽略前提条件：运用性质前，未明确“四边形是平行四边形”，直接套用性质； 2. 性质混淆：误用“对角互补、邻角相等”，混淆对边、对角的关系； 3. 推理不规范：未注明推理依据，步骤跳跃，逻辑混乱； 4. 综合应用中，无法灵活结合其他几何知识（如勾股定理、折叠性质），难以转化已知条件。 引导学生针对性规避易错点，养成“先找条件、再选性质、规范推理”的解题习惯。 （六）课堂小结（2分钟） 引导学生回顾：本节课重点掌握了平行四边形性质的四大应用场景（边长、角度、对角线、综合应用），梳理了不同场景的解题思路和技巧；明确了运用性质的核心是“先明确平行四边形，再选择对应性质，规范书写推理步骤”；通过典例和变式训练，提升了综合解题能力。师生共同梳理核心解题技巧，加深记忆。 （七）布置作业（2分钟） 基础作业：整理本节课典例及变式题，规范书写解题步骤，注明每一步依据；完成教材对应性质应用习题，巩固基础应用。 拓展作业：收集生活中需要运用平行四边形性质解决的实际问题（如测量边长、角度），尝试写出解题过程；思考：平行四边形的性质在矩形、菱形中的应用有哪些异同。 五、板书设计 平行四边形的性质的运用 一、核心性质（几何语言） 1. 对边：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 2. 对角：∠A=∠C，∠B=∠D（邻角互补） 3. 对角线：OA=OC，OB=OD（O为交点） 二、常见应用场景及思路 1. 边长计算：对边相等+周长公式 2. 角度推理：对角相等+邻角互补 3. 对角线：互相平分+勾股定理 4. 综合应用：性质+折叠/全等/勾股定理 三、解题关键 1. 明确前提：四边形是平行四边形 2. 规范步骤：注明推理依据，逻辑严谨 四、典例精讲（规范书写步骤） 例1：边长与周长 例2：角度与角平分线 例3：对角线与勾股定理 例4：折叠综合 六、教学反思 本节课聚焦平行四边形性质的运用，以典例精讲、变式训练为核心，梳理了不同应用场景的解题思路和技巧，重点强化了几何推理的规范性和性质的灵活运用，衔接前期所学的平行四边形性质、勾股定理、折叠性质等知识，符合八年级学生的认知规律和应用能力培养需求，基本达成教学目标。但部分学生在综合应用场景中，难以快速结合平行四边形性质与其他几何知识，转化已知条件的能力不足；部分学生解题步骤不够规范，推理依据标注不完整；对对角线互相平分的性质应用不够灵活，容易忽略对角线与边长的关联。后续需增加综合变式训练，针对性突破转化难点，强化解题步骤的规范性指导，设计分层习题，兼顾不同层次学生的需求，帮助学生熟练掌握平行四边形性质的运用技巧，提升几何综合解题能力。 教学目标 课题 23.4 第2课时 选择方案 授课人 素养目标 1.根据实际问题背景建立分段函数模型，体会分类讨论思想在解决实际问题中的应用. 2.灵活运用变量关系建立一次函数模型并选择最佳方案解决相关实际问题. 3.体会“问题情境——建立模型—解释应用—回顾拓展”这一数学建模的基本思想，感受函数知识的应用价值. 教学重点 建立一次函数模型解决方案选择问题. 教学难点 建立一次函数模型解决方案选择问题. 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：创设情境，导入新课 【情境导入】 做一件事情，有时有不同的实施方案，从中选择最佳方案是十分必要的.在选择方案时，往往需要从数学角度进行分析，涉及变量的问题常用到函数. 问题 如表给出了A，B，C三种上宽带网的收费方式. 收费方式 月使用费用/元 包时上网时间/h 超时费用/(元/min) A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 C 120 不限时 选取哪种方式能节省上网费? 当我们面对不同的方案，怎样运用函数知识进行比较并作出合理的选择?这就是我们今天将要学习的内容. 【教学建议】 引导学生讨论，这里不用得出明确的结论，学生能察觉需分段讨论即可，后面会进一步探讨. 设计意图 通过实际问题引出方案决策的主题. 活动二：问题引入，自主探究 探究点 方案选择问题 问题 (教材P132探究1)如表给出了某游泳馆A，B，C三种年卡套餐的收费标准. 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 A 600 20 40 B 1200 50 40 C 1800 不限次 选取哪种年卡套餐能节省游泳费用? 分析：(1)在A，B，C三种年卡套餐中，游泳费用与年游泳次数有关的是套餐 A，B ，无关的是套餐 C . (2)对于A，B两种套餐，游泳费用由哪些部分组成? 游泳费用=年卡费用+套餐外游泳收费 . (3)影响套餐外游泳收费的变量是什么? 游泳次数 . (4)设年游泳x次，则套餐A，B，C的游泳费用y₁，y₂，y₃都是x的函数.在套餐C中，无论年游泳次数是多少，游泳费用都是1800元，因此，若能得到y₁，y₂关于x的函数解析式，则利用函数解析式，通过方程、不等式或函数图象就能比较y₁，y₂，y₃的大小，从而对年卡套餐作出选择. 解：设年游泳x次.在套餐A中，考虑游泳费用y₁时，要把年游泳次数分为不超过20次和超过20次两种情况，得到刻画套餐A的游泳费用的函数解析式 化简，得 这个函数的图象如图所示. 类似地，可以得到刻画套餐B的游泳费用y₂关于年游泳次数x的函数解析式 画出y₂，y₃的图象如图所示，结合函数图象与解析式，可知： 当年游泳次数不足35时，选择套餐A能节省游泳费用； 当年游泳次数超过35但不足65时，选择套餐B能节省游泳费用； 当年游泳次数超过65时，选择套餐C能节省游泳费用. 追问：这三种年卡套餐中有一定最节省游泳费用的套餐吗?说说你的理由. 答：没有一定最节省游泳费用的套餐.理由：游泳费用是与游泳次数相关联的，根据游泳次数的不同，对于某个区间段而言有较节省游泳费用的套餐，但没有一定最节省游泳费用的套餐. 【对应训练】 教材P133练习. 【教学建议】 教师引导学生发现三种年卡套餐的游泳费用都是关于游泳次数的函数(套餐A，B是包括一次函数的分段函数，套餐C对应常值函数).教师进一步引导学生比较这三个函数，又可以发现对于游泳次数有不同需求的人可以选择不同的套餐，以达到省钱的目的. 【教学建议】 教师让学生体会通过分析变量间的关系，列出函数解析式，然后比较三个函数解析式或相应的图象，找出不同的年游泳次数范围内游泳费用最低的方案，这本身是利用一次函数模型分析和解决实际问题的过程. 设计意图 借助函数图象引导学生解决方案选择问题. 活动三：灵活运用，训练巩固 例 请解答活动一中的问题. 解：设月上网时间为xh，A，B，C三种收费方式的月上网费用分别为y₁元、y₂元、y₃元，则y₁，y₂，y₃关于x的函数解析式如下： 化简，得 方式B： 化简，得 方式C：y₃=120，x≥0. 画出函数图象如图所示. 结合解析式及函数图象可知： 当月上网时间不足h时，选择方式A最省钱； 当月上网时间超过而不足时，选择方式B最省钱； 当月上网时间超过时，选择方式C最省钱. 【教学建议】 学生独立思考作答，教师统一答案，应关注： (1)对于部分问题，可直接通过函数图象中的特殊点以及图象间的位置关系得出答案. (2)也可根据图象，列方程求出交点的横坐标，进而得出结果或直接列不等式求出解集. (3)学生应理解图象中特殊点的实际意义及直线与直线交点的实际意义，避免多余的计算. 设计意图 设置方案选择问题锻炼学生解题能力，让学生在练习中巩固本课所学. 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 选择最佳方案，往往可以用函数有关知识解决问题，你能说说建立相关函数模型的步骤和方法吗? 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P135~136习题23.4第6，7题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练. 板书设计 23.4 实际问题与一次函数 第2课时 选择方案 多个(分段)函数类方案选择问题. 教学反思 本节课以生活中的实际问题为载体，以一次函数的知识作为解题工具，把复杂问题通过分解转化为简单问题，思路清晰而简练，突出重点，训练到位，体现了学生自主、合作、探究、交流的学习方式，激发学生学习数学的兴趣，培养了学生运用数学知识解决实际问题的能力. 解题大招 方案选择问题 方案选择型问题的解题策略： 1.若给定自变量的取值，则将自变量的值代入解析式，得到因变量的值，再进行选取； 2.若给定因变量的取值，则将因变量的值代入解析式，得到自变量的值，再进行选取； 3.若自变量、因变量均未给定取值： (1)方法一：可分别求出的解或解集，再根据结果进行选取； (2)方法二：画出函数图象，求出交点坐标，再利用图象的上、下位置关系进行判断. 例 茶文化是中华文化教育的重要组成部分，其历史悠久，内涵丰富.某茶具加工厂需要一批茶具包装盒，经了解，有下列两种获得这种包装盒的方案可供选择： 方案一：从包装盒加工厂直接购买，每个包装盒6元，无需其他费用； 方案二：购买机器自己加工包装盒，购买机器的费用为9000元，每个包装盒还需额外的加工成本1.5元. 设该茶具加工厂需要的包装盒数量为x个，按照方案一获得包装盒所需的总费用为y₁元，按照方案二获得包装盒所需的总费用为y₂元. (1)分别求出y₁，y₂关于x的函数解析式. (2)假如你是该茶具加工厂的负责人，该如何选择才能更省钱? 解： (2)当y₁<y₂时，6x<1.5x+9000， 解得x<2000； 当时，6x=1.5x+9000， 解得x=2000； 当时，6x>1.5x+9000， 解得x>2000. 所以当0≤x<2000时，选择方案一更省钱；当x=2000时，两种方案所需的费用相同，任选一种即可；当x>2000时，选择方案二更省钱. 学科网（北京）股份有限公司 $