23.3 第2课时 一次函数与二元一次方程(组)-教学设计--2025-2026学年人教版数学八年级下册

第2课时 一次函数与二元一次方程(组)人教版八年级数学下册 平行四边形的性质的运用 教案 授课年级：八年级 学科：数学 版本：人教版 课时：1课时 授课类型：习题课/应用课 一、教学目标 1. 知识与技能：熟练掌握平行四边形的三大核心性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）及邻角互补的推论；能灵活运用这些性质解决边长计算、角度推理、对角线相关计算、折叠拼接等实际应用问题；规范书写几何解题步骤，明确每一步的推理依据。 2. 3. 过程与方法：通过典例分析、变式训练、小组探究，梳理平行四边形性质的应用思路和解题技巧，培养学生的逻辑推理能力、综合分析能力和数形结合思想，提升运用几何性质解决实际问题的能力。 4. 5. 情感态度与价值观：感受平行四边形性质的实用性，激发学生运用几何知识解决问题的兴趣，培养严谨的解题习惯和合作探究意识，增强学习几何知识的信心，体会数学与生活的密切联系，建立完整的几何应用思维。 6. 二、教学重难点 重点：平行四边形性质的灵活运用；针对不同应用场景（边长、角度、对角线、折叠等）选择合适的性质解题；规范书写几何解题步骤。 难点：灵活运用平行四边形的性质解决含多条件、折叠、拼接、与其他几何知识结合的综合问题；明确几何推理的逻辑顺序，规范标注推理依据。 三、教学准备 教师：多媒体课件（包含性质梳理、典例示意图、变式练习题、易错点解析）、板书模板、直尺、圆规、三角板、平行四边形纸片；学生：复习平行四边形的定义及三大核心性质，整理前期错题，准备直尺、圆规、三角板，预习性质应用相关题型。 四、教学过程 （一）复习回顾（5分钟） 1. 快速回顾：提问学生，平行四边形有哪些核心性质？引导学生完整表述，并规范书写几何语言： ① 对边性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC； ② 对角性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠A=∠C，∠B=∠D（邻角互补：∠A+∠B=180°）； ③ 对角线性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA=OC，OB=OD（O为对角线交点）。 2. 导入课题：强调平行四边形的性质是解决几何计算、推理的核心依据，今天我们重点学习“平行四边形的性质的运用”，通过典例和变式训练，掌握不同场景下的解题思路和技巧，突破应用难点。 （二）核心应用梳理（7分钟） 梳理平行四边形性质的常见应用场景，明确解题核心思路，帮助学生建立应用框架： 1. 场景一：边长计算（核心用“对边相等”） 思路：已知平行四边形的一组对边长度，可直接求另一组对边；结合周长公式（周长=2×（邻边和）），可求未知边长或周长。 2. 场景二：角度推理（核心用“对角相等、邻角互补”） 思路：已知平行四边形的一个角，可求其余三个角；结合角的和差、角平分线等知识，可解决复杂角度推理问题。 3. 场景三：对角线相关计算（核心用“对角线互相平分”） 思路：已知平行四边形一条对角线的长度或其中一段的长度，可求对角线的另一段或整条对角线长度；结合勾股定理，可求边长、面积等。 4. 场景四：综合应用（折叠、拼接、与三角形结合） 思路：先利用平行四边形的性质，转化已知条件，再结合折叠的性质（对应边相等、对应角相等）、三角形全等、勾股定理等知识，逐步求解。 强调：所有应用的前提的是“明确四边形是平行四边形”，解题时先标注已知条件，再选择对应的性质，规范书写推理步骤，注明每一步的依据。 （三）典例精讲（18分钟） 结合不同应用场景，精讲典例，拆解解题步骤，强化解题技巧，规范书写格式。 例1（基础应用：边长与周长计算）：在▱ABCD中，已知AB=8cm，BC=5cm，E、F分别是AB、CD的中点，求EF的长度及▱ABCD的周长。 讲解步骤：① 明确已知条件：四边形ABCD是平行四边形，AB=8cm，BC=5cm，E、F是AB、CD中点；② 选择性质：平行四边形对边平行且相等，故AB=CD=8cm，AB∥CD；③ 推导EF长度：E、F是中点，AE=EB=4cm，CF=FD=4cm，又AB∥CD，故EB∥CF且EB=CF，四边形EBCF是平行四边形，EF=BC=5cm；④ 计算周长：周长=2×（AB+BC）=2×（8+5）=26cm；⑤ 规范书写解题过程，注明每一步依据（平行四边形性质、中点定义等）。 例2（进阶应用：角度与角平分线结合）：在▱ABCD中，∠A=100°，BE平分∠ABC，交AD于点E，求∠AEB、∠BED的度数。 引导学生分析：① 由平行四边形性质，∠A+∠ABC=180°（邻角互补），∠A=∠C=100°，故∠ABC=80°；② BE平分∠ABC，故∠ABE=∠EBC=40°；③ 由AD∥BC（平行四边形对边平行），内错角相等，故∠AEB=∠EBC=40°；④ 由平角定义，∠AEB+∠BED=180°，故∠BED=140°；⑤ 规范书写推理过程，强调“平行四边形对边平行”“邻角互补”的灵活运用。 例3（综合应用：对角线与勾股定理结合）：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AC=12cm，BD=16cm，AB=10cm，求证：▱ABCD是矩形。 引导学生分析：① 由平行四边形性质，对角线互相平分，故OA=OC=6cm，OB=OD=8cm；② 已知AB=10cm，观察OA、OB、AB的长度，6²+8²=10²，由勾股定理逆定理，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°；③ 对角线互相垂直的平行四边形是矩形，故▱ABCD是矩形；④ 规范书写证明过程，体现平行四边形性质与勾股定理逆定理的综合运用，注明每一步推理依据。 例4（拓展应用：折叠与性质结合）：将▱ABCD沿边BC折叠，使点C落在点C'处，连接AC'，已知AB=6cm，AD=4cm，∠ABC=60°，求△ABC'的面积。 引导学生分析：① 由平行四边形性质，AB=CD=6cm，AD=BC=4cm，AB∥CD；② 折叠后，BC=BC'=4cm，∠C=∠C'，∠ABC'=∠ABC=60°；③ 由AB∥CD，∠ABC+∠C=180°，故∠C=120°，∠C'=120°；④ 过点C'作AB的垂线，垂足为H，在Rt△C'BH中，∠C'BH=60°，BC'=4cm，可求C'H=2√3cm；⑤ 计算△ABC'的面积=1/2×AB×C'H=1/2×6×2√3=6√3cm²；⑥ 规范书写解题步骤，梳理折叠性质与平行四边形性质的结合点。 教师板书每道典例的规范解题步骤，重点强调：① 先标注已知条件和图形中的隐含条件；② 选择合适的平行四边形性质，结合其他几何知识（角平分线、勾股定理、折叠性质）；③ 推理过程要严谨，每一步都要注明依据；④ 计算时注意准确性，规范书写单位。 （四）变式训练（10分钟） 布置分层变式练习，贴合典例场景，强化性质运用，及时巩固解题技巧： 1. 基础变式（边长与角度）：在▱ABCD中，AB=7cm，AD=5cm，∠B=70°，E是AD的中点，求CE的长度（提示：过C作AD的垂线）；已知▱ABCD中，∠A比∠B小20°，求四个角的度数。 2. 进阶变式（对角线）：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OA=5cm，OB=12cm，求▱ABCD的边长和面积；若AC⊥BD，AB=13cm，求AC、BD的长度。 3. 综合变式（折叠与全等）：将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A'处，连接A'C，已知AB=5cm，AD=3cm，求A'C的长度（提示：证明△A'CD是等腰三角形）。 学生独立完成，小组内核对答案、交流解题思路，教师巡视指导，针对易错点（如忽略平行四边形对边平行的性质、推理过程不规范、计算失误）集中讲解，强化解题技巧。 （五）易错点总结（3分钟） 梳理学生在性质运用中常见的易错点，重点强调： 1. 忽略前提条件：运用性质前，未明确“四边形是平行四边形”，直接套用性质； 2. 性质混淆：误用“对角互补、邻角相等”，混淆对边、对角的关系； 3. 推理不规范：未注明推理依据，步骤跳跃，逻辑混乱； 4. 综合应用中，无法灵活结合其他几何知识（如勾股定理、折叠性质），难以转化已知条件。 引导学生针对性规避易错点，养成“先找条件、再选性质、规范推理”的解题习惯。 （六）课堂小结（2分钟） 引导学生回顾：本节课重点掌握了平行四边形性质的四大应用场景（边长、角度、对角线、综合应用），梳理了不同场景的解题思路和技巧；明确了运用性质的核心是“先明确平行四边形，再选择对应性质，规范书写推理步骤”；通过典例和变式训练，提升了综合解题能力。师生共同梳理核心解题技巧，加深记忆。 （七）布置作业（2分钟） 基础作业：整理本节课典例及变式题，规范书写解题步骤，注明每一步依据；完成教材对应性质应用习题，巩固基础应用。 拓展作业：收集生活中需要运用平行四边形性质解决的实际问题（如测量边长、角度），尝试写出解题过程；思考：平行四边形的性质在矩形、菱形中的应用有哪些异同。 五、板书设计 平行四边形的性质的运用 一、核心性质（几何语言） 1. 对边：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 2. 对角：∠A=∠C，∠B=∠D（邻角互补） 3. 对角线：OA=OC，OB=OD（O为交点） 二、常见应用场景及思路 1. 边长计算：对边相等+周长公式 2. 角度推理：对角相等+邻角互补 3. 对角线：互相平分+勾股定理 4. 综合应用：性质+折叠/全等/勾股定理 三、解题关键 1. 明确前提：四边形是平行四边形 2. 规范步骤：注明推理依据，逻辑严谨 四、典例精讲（规范书写步骤） 例1：边长与周长 例2：角度与角平分线 例3：对角线与勾股定理 例4：折叠综合 六、教学反思 本节课聚焦平行四边形性质的运用，以典例精讲、变式训练为核心，梳理了不同应用场景的解题思路和技巧，重点强化了几何推理的规范性和性质的灵活运用，衔接前期所学的平行四边形性质、勾股定理、折叠性质等知识，符合八年级学生的认知规律和应用能力培养需求，基本达成教学目标。但部分学生在综合应用场景中，难以快速结合平行四边形性质与其他几何知识，转化已知条件的能力不足；部分学生解题步骤不够规范，推理依据标注不完整；对对角线互相平分的性质应用不够灵活，容易忽略对角线与边长的关联。后续需增加综合变式训练，针对性突破转化难点，强化解题步骤的规范性指导，设计分层习题，兼顾不同层次学生的需求，帮助学生熟练掌握平行四边形性质的运用技巧，提升几何综合解题能力。 教学目标 课题 23.3 第2课时 一次函数与二元一次方程(组) 授课人 素养目标 1.使学生理解二元一次方程与一次函数的关系. 2.能用“形”(一次函数图象)的方法处理“数”[二元一次方程(组)]的问题，培养学生数形结合的意识与能力. 3.会应用一次函数的图象求二元一次方程(组)的解. 教学重点 二元一次方程与一次函数关系的探索及二元一次方程组的图象解法. 教学难点 应用方程与函数的联系观点解决问题. 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：知识回顾，导入新课 【回顾导入】 1.二元一次方程x+y=5和一次函数y=－x+5之间有什么联系? 2.(1)解二元一次方程组 (2)求直线y=－x+5和直线y=2x－1交点的坐标. 对比(1)中方程组的解与(2)中交点的坐标，你有什么发现? 通过上节课，我们发现一次函数与一元一次方程、不等式之间有着密切的联系.这节课我们将从函数的角度来看二元一次方程和解二元一次方程组. 【教学建议】 引导学生注意到二元一次方程与一次函数之间的关联性，可画出草图来辅助理解. 设计意图 通过问题，引入本课时所要探究的内容. 活动二：问题引入，自主探究 探究点1 一次函数与二元一次方程 问题 我们知道，方程2x－y=1可以转化为y=2x－1，它们有相同的解.y=2x－1对应一次函数y=2x－1.类似地，对于二元一次方程2x－y=3，可以将其写成一次函数 y=2x－3 的形式. (1)画出一次函数y=2x－3的图象； (2)找出方程2x－y=3的几组解； (3)将(2)中找出的几组解在平面直角坐标系中描出，你发现了什么? (4)在一次函数y=2x－3的图象上的点的坐标都是二元一次方程2x－y=3的解吗? 解：(1)如图. (2)方程2x－y=3的解如下表： x … －1 0 1 2 3 4 … y … －5 －3 －1 1 3 5 … (3)找出的几组解在平面直角坐标系中描出后，均在直线y=2x－3上. (4)是的. 归纳总结：由于每个含未知数x和y的二元一次方程都可以转化为y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解，以这个二元一次方程的解(x，y)为坐标的点都在这条直线上. 【对应训练】 直线上每个点的坐标都是二元一次方程.x－2y=2的解的是( C ) 【教学建议】 让学生先分组自由探讨，分别从“数”和“形”两个角度分析一次函数与二元一次方程之间的关系，再由教师总结并进行补充. 教师在学生探讨的过程中，可适时提醒学生将方程的未知数与函数中的变量分别对应. 设计意图 通过数形结合，探究二元一次方程与一次函数之间的关系. 设计意图 探究点2 一次函数与二元一次方程组 问题 (1)求一次函数.y=2x－1与的图象的交点坐标，你有哪些方法? 解：从函数值考虑，两条直线相交时，交点处自变量相等，函数值也相等(交点的横、纵坐标均相等)，所以解得x=1，代入y=2x－1，得y=1，所以交点坐标为(1，1)；从函数的图象考虑，可以画出两条直线如图所示，这两条直线的交点坐标为(1，1). (2)解方程组并结合(1)中的交点坐标，谈一谈你的发现. 解：解方程组得 发现：(1)中两条直线交点的坐标(x，y)的值即为方程组的解. (3)对于二元一次方程组你能从函数的角度对解这个方程组进行解释吗? 解：方程组中两个二元一次方程分别对应一次函数y=2x－1与解这个方程组，可以看作求这两个一次函数的图象的交点坐标. 由(1)知这两条直线的交点坐标为(1，1)， 由此得出方程组的解是 归纳总结：一般地，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解这样的方程组相当于求当自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解这样的方程组相当于确定两条直线交点的坐标.因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解. 例1 (教材P129例题)同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面5m高处出发，以1m/s的速度上升；2号气球从距离地面15m高处出发，以0.5m/s的速度上升.两个气球都上升了1min. (1)分别写出表示两个气球所在位置的高度y(单位：m)关于上升时间x(单位：s)的函数解析式； (2)两个气球在某时刻能否位于同一高度?如果能，这时气球上升了多长时间?位于什么高度? 解：(1)气球上升时间x满足0≤x≤60. 对于1号气球，y关于x的函数解析式为y=x+5. 对于2号气球，y关于x的函数解析式为y=0.5x+15. (2)两个气球在某时刻位于同一高度，就是对于x的某个值(0≤x≤60)，函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y. 由此可以列二元一次方程组解这个方程组，得 这就是说，当气球上升20s时，两个气球都距离地面25m. 也可以画一次函数的图象解答此问题.如图，在同一平面直角坐标系中，画出一次函数y=x+5与y=0.5x+15的图象.这两条直线的交点坐标为(20，25)，这说明当气球上升20s时，两个气球都距离地面25m. 【对应训练】 教材P130练习第2，3题. 【教学建议】 告诉学生：可以通过画图象的方法得到方程组的解，同时可针对图象有无交点来确认方程组是否有解.(若两直线平行，则方程组无解；若两直线相交，则方程组有唯一解；若两直线重合，则方程组有无数解) 结合二元一次方程与一次函数之间的关系，通过实例层层设问，引入一次函数与二元一次方程组之间的关系. 活动三：重点突破，提升探究 例2 某销售公司推销一种产品，设每月推销产品的数量为x(单位：件)，付给推销员的月报酬为y(单位：元).公司付给推销员的月报酬的两种方案如图所示，推销员可以任选一种与公司签订合同，看图解答下列问题： (1)求每种付酬方案中y关于x的函数解析式； (2)当推销产品多少件时，选择方案一与选择方案二所得报酬相同?报酬是多少? (3)若推销员某月推销产品35件，则他选择哪种方案所得报酬更高? 解：(1)观察函数图象可得，方案一的图象对应正比例函数，方案二的图象对应一次函数. 由(40，1600)易求得方案一中y关于x的函数解析式为y=40x； 设方案二中y关于x的函数解析式为y=kx+b(k≠0).把(40，1400)和(0，600)代入，得 解得 所以方案二中y关于x的函数解析式为y=20x+600. (2)根据题意列方程组，得解得 答：当推销产品30件时，选择方案一与选择方案二所得报酬相同，报酬是1200元. (3)结合(2)中的答案和函数图象可得，当月推销产品35件时，选择方案一所得报酬更高. 【教学建议】 让学生独立思考作答，体会一次函数与二元一次方程组在日常生活中的实际应用，教师统一答案.教师关注如下： (1)对于部分问题，可直接通过函数图象中的特殊点以及图象间的位置关系得出答案. (2)学生应理解图象中特殊点的实际意义、直线交点的坐标与方程组的解的对应关系，避免多余的计算. 设计意图 通过实际问题，加深对一次函数与二元一次方程组关系的理解. 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 二元一次方程(组)与一次函数有什么关系?如何用函数的方式解二元一次方程组? 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P130习题23.3第3，4，5题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练. 板书设计 23.3 一次函数与方程(组)、不等式 第2课时 一次函数与二元一次方程(组) 1.一次函数与二元一次方程的关系. 2.一次函数与二元一次方程组的关系(用图象法解二元一次方程组). 教学反思 本节课以上节课为基础，探究一次函数与二元一次方程(组)的关系，通过对应训练逐步加深对它们之间关系的认识.在循序渐进的梯度设计中，掌握解题的一般思路与方法，体会数学思想方法的重要意义. 解题大招 一次函数与二元一次方程(组) (1)二元一次方程kx－y+b=0(k≠0)的解与一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上的点的坐标是一一对应的. (2)用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤：①先把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：y=和；②建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象；③写出这两条直线的交点坐标，横坐标x和纵坐标y这两个数值就是二元一次方程组的解. 例1 若直线y=3x+6与y=2x－4交点的坐标为(a，b)，则下列方程组中，解是的是( D ) 例2 利用图象解方程组 解：在平面直角坐标系中画出两条直线，如图所示. 两条直线的交点坐标是(2，－1)，所以方程组的解为 培优点 根据一次函数与二元一次方程的关系求字母的值 例 当k为何值时，直线2k+1=5x+4y与直线k=2x+3y的交点在第四象限? 解：联立解得 因为它们的交点在第四象限， 所以x>0，y<0，即解得 所以当时，两直线的交点在第四象限. 学科网（北京）股份有限公司 $