23.3 第1课时 一次函数与方程、不等式教学设计2025-2026学年人教版数学八年级下册（新教材）

23.3 一次函数与方程(组)、不等式人教版八年级数学下册 平行四边形的性质的运用 教案 授课年级：八年级 学科：数学 版本：人教版 课时：1课时 授课类型：习题课/应用课 一、教学目标 1. 知识与技能：熟练掌握平行四边形的三大核心性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）及邻角互补的推论；能灵活运用这些性质解决边长计算、角度推理、对角线相关计算、折叠拼接等实际应用问题；规范书写几何解题步骤，明确每一步的推理依据。 2. 3. 过程与方法：通过典例分析、变式训练、小组探究，梳理平行四边形性质的应用思路和解题技巧，培养学生的逻辑推理能力、综合分析能力和数形结合思想，提升运用几何性质解决实际问题的能力。 4. 5. 情感态度与价值观：感受平行四边形性质的实用性，激发学生运用几何知识解决问题的兴趣，培养严谨的解题习惯和合作探究意识，增强学习几何知识的信心，体会数学与生活的密切联系，建立完整的几何应用思维。 6. 二、教学重难点 重点：平行四边形性质的灵活运用；针对不同应用场景（边长、角度、对角线、折叠等）选择合适的性质解题；规范书写几何解题步骤。 难点：灵活运用平行四边形的性质解决含多条件、折叠、拼接、与其他几何知识结合的综合问题；明确几何推理的逻辑顺序，规范标注推理依据。 三、教学准备 教师：多媒体课件（包含性质梳理、典例示意图、变式练习题、易错点解析）、板书模板、直尺、圆规、三角板、平行四边形纸片；学生：复习平行四边形的定义及三大核心性质，整理前期错题，准备直尺、圆规、三角板，预习性质应用相关题型。 四、教学过程 （一）复习回顾（5分钟） 1. 快速回顾：提问学生，平行四边形有哪些核心性质？引导学生完整表述，并规范书写几何语言： ① 对边性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC； ② 对角性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠A=∠C，∠B=∠D（邻角互补：∠A+∠B=180°）； ③ 对角线性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA=OC，OB=OD（O为对角线交点）。 2. 导入课题：强调平行四边形的性质是解决几何计算、推理的核心依据，今天我们重点学习“平行四边形的性质的运用”，通过典例和变式训练，掌握不同场景下的解题思路和技巧，突破应用难点。 （二）核心应用梳理（7分钟） 梳理平行四边形性质的常见应用场景，明确解题核心思路，帮助学生建立应用框架： 1. 场景一：边长计算（核心用“对边相等”） 思路：已知平行四边形的一组对边长度，可直接求另一组对边；结合周长公式（周长=2×（邻边和）），可求未知边长或周长。 2. 场景二：角度推理（核心用“对角相等、邻角互补”） 思路：已知平行四边形的一个角，可求其余三个角；结合角的和差、角平分线等知识，可解决复杂角度推理问题。 3. 场景三：对角线相关计算（核心用“对角线互相平分”） 思路：已知平行四边形一条对角线的长度或其中一段的长度，可求对角线的另一段或整条对角线长度；结合勾股定理，可求边长、面积等。 4. 场景四：综合应用（折叠、拼接、与三角形结合） 思路：先利用平行四边形的性质，转化已知条件，再结合折叠的性质（对应边相等、对应角相等）、三角形全等、勾股定理等知识，逐步求解。 强调：所有应用的前提的是“明确四边形是平行四边形”，解题时先标注已知条件，再选择对应的性质，规范书写推理步骤，注明每一步的依据。 （三）典例精讲（18分钟） 结合不同应用场景，精讲典例，拆解解题步骤，强化解题技巧，规范书写格式。 例1（基础应用：边长与周长计算）：在▱ABCD中，已知AB=8cm，BC=5cm，E、F分别是AB、CD的中点，求EF的长度及▱ABCD的周长。 讲解步骤：① 明确已知条件：四边形ABCD是平行四边形，AB=8cm，BC=5cm，E、F是AB、CD中点；② 选择性质：平行四边形对边平行且相等，故AB=CD=8cm，AB∥CD；③ 推导EF长度：E、F是中点，AE=EB=4cm，CF=FD=4cm，又AB∥CD，故EB∥CF且EB=CF，四边形EBCF是平行四边形，EF=BC=5cm；④ 计算周长：周长=2×（AB+BC）=2×（8+5）=26cm；⑤ 规范书写解题过程，注明每一步依据（平行四边形性质、中点定义等）。 例2（进阶应用：角度与角平分线结合）：在▱ABCD中，∠A=100°，BE平分∠ABC，交AD于点E，求∠AEB、∠BED的度数。 引导学生分析：① 由平行四边形性质，∠A+∠ABC=180°（邻角互补），∠A=∠C=100°，故∠ABC=80°；② BE平分∠ABC，故∠ABE=∠EBC=40°；③ 由AD∥BC（平行四边形对边平行），内错角相等，故∠AEB=∠EBC=40°；④ 由平角定义，∠AEB+∠BED=180°，故∠BED=140°；⑤ 规范书写推理过程，强调“平行四边形对边平行”“邻角互补”的灵活运用。 例3（综合应用：对角线与勾股定理结合）：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AC=12cm，BD=16cm，AB=10cm，求证：▱ABCD是矩形。 引导学生分析：① 由平行四边形性质，对角线互相平分，故OA=OC=6cm，OB=OD=8cm；② 已知AB=10cm，观察OA、OB、AB的长度，6²+8²=10²，由勾股定理逆定理，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°；③ 对角线互相垂直的平行四边形是矩形，故▱ABCD是矩形；④ 规范书写证明过程，体现平行四边形性质与勾股定理逆定理的综合运用，注明每一步推理依据。 例4（拓展应用：折叠与性质结合）：将▱ABCD沿边BC折叠，使点C落在点C'处，连接AC'，已知AB=6cm，AD=4cm，∠ABC=60°，求△ABC'的面积。 引导学生分析：① 由平行四边形性质，AB=CD=6cm，AD=BC=4cm，AB∥CD；② 折叠后，BC=BC'=4cm，∠C=∠C'，∠ABC'=∠ABC=60°；③ 由AB∥CD，∠ABC+∠C=180°，故∠C=120°，∠C'=120°；④ 过点C'作AB的垂线，垂足为H，在Rt△C'BH中，∠C'BH=60°，BC'=4cm，可求C'H=2√3cm；⑤ 计算△ABC'的面积=1/2×AB×C'H=1/2×6×2√3=6√3cm²；⑥ 规范书写解题步骤，梳理折叠性质与平行四边形性质的结合点。 教师板书每道典例的规范解题步骤，重点强调：① 先标注已知条件和图形中的隐含条件；② 选择合适的平行四边形性质，结合其他几何知识（角平分线、勾股定理、折叠性质）；③ 推理过程要严谨，每一步都要注明依据；④ 计算时注意准确性，规范书写单位。 （四）变式训练（10分钟） 布置分层变式练习，贴合典例场景，强化性质运用，及时巩固解题技巧： 1. 基础变式（边长与角度）：在▱ABCD中，AB=7cm，AD=5cm，∠B=70°，E是AD的中点，求CE的长度（提示：过C作AD的垂线）；已知▱ABCD中，∠A比∠B小20°，求四个角的度数。 2. 进阶变式（对角线）：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OA=5cm，OB=12cm，求▱ABCD的边长和面积；若AC⊥BD，AB=13cm，求AC、BD的长度。 3. 综合变式（折叠与全等）：将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A'处，连接A'C，已知AB=5cm，AD=3cm，求A'C的长度（提示：证明△A'CD是等腰三角形）。 学生独立完成，小组内核对答案、交流解题思路，教师巡视指导，针对易错点（如忽略平行四边形对边平行的性质、推理过程不规范、计算失误）集中讲解，强化解题技巧。 （五）易错点总结（3分钟） 梳理学生在性质运用中常见的易错点，重点强调： 1. 忽略前提条件：运用性质前，未明确“四边形是平行四边形”，直接套用性质； 2. 性质混淆：误用“对角互补、邻角相等”，混淆对边、对角的关系； 3. 推理不规范：未注明推理依据，步骤跳跃，逻辑混乱； 4. 综合应用中，无法灵活结合其他几何知识（如勾股定理、折叠性质），难以转化已知条件。 引导学生针对性规避易错点，养成“先找条件、再选性质、规范推理”的解题习惯。 （六）课堂小结（2分钟） 引导学生回顾：本节课重点掌握了平行四边形性质的四大应用场景（边长、角度、对角线、综合应用），梳理了不同场景的解题思路和技巧；明确了运用性质的核心是“先明确平行四边形，再选择对应性质，规范书写推理步骤”；通过典例和变式训练，提升了综合解题能力。师生共同梳理核心解题技巧，加深记忆。 （七）布置作业（2分钟） 基础作业：整理本节课典例及变式题，规范书写解题步骤，注明每一步依据；完成教材对应性质应用习题，巩固基础应用。 拓展作业：收集生活中需要运用平行四边形性质解决的实际问题（如测量边长、角度），尝试写出解题过程；思考：平行四边形的性质在矩形、菱形中的应用有哪些异同。 五、板书设计 平行四边形的性质的运用 一、核心性质（几何语言） 1. 对边：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 2. 对角：∠A=∠C，∠B=∠D（邻角互补） 3. 对角线：OA=OC，OB=OD（O为交点） 二、常见应用场景及思路 1. 边长计算：对边相等+周长公式 2. 角度推理：对角相等+邻角互补 3. 对角线：互相平分+勾股定理 4. 综合应用：性质+折叠/全等/勾股定理 三、解题关键 1. 明确前提：四边形是平行四边形 2. 规范步骤：注明推理依据，逻辑严谨 四、典例精讲（规范书写步骤） 例1：边长与周长 例2：角度与角平分线 例3：对角线与勾股定理 例4：折叠综合 六、教学反思 本节课聚焦平行四边形性质的运用，以典例精讲、变式训练为核心，梳理了不同应用场景的解题思路和技巧，重点强化了几何推理的规范性和性质的灵活运用，衔接前期所学的平行四边形性质、勾股定理、折叠性质等知识，符合八年级学生的认知规律和应用能力培养需求，基本达成教学目标。但部分学生在综合应用场景中，难以快速结合平行四边形性质与其他几何知识，转化已知条件的能力不足；部分学生解题步骤不够规范，推理依据标注不完整；对对角线互相平分的性质应用不够灵活，容易忽略对角线与边长的关联。后续需增加综合变式训练，针对性突破转化难点，强化解题步骤的规范性指导，设计分层习题，兼顾不同层次学生的需求，帮助学生熟练掌握平行四边形性质的运用技巧，提升几何综合解题能力。 人教版八年级数学下册 平行四边形的性质的运用 教案 授课年级：八年级 学科：数学 版本：人教版 课时：1课时 授课类型：习题课/应用课 一、教学目标 7. 知识与技能：熟练掌握平行四边形的三大核心性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）及邻角互补的推论；能灵活运用这些性质解决边长计算、角度推理、对角线相关计算、折叠拼接等实际应用问题；规范书写几何解题步骤，明确每一步的推理依据。 8. 9. 过程与方法：通过典例分析、变式训练、小组探究，梳理平行四边形性质的应用思路和解题技巧，培养学生的逻辑推理能力、综合分析能力和数形结合思想，提升运用几何性质解决实际问题的能力。 10. 11. 情感态度与价值观：感受平行四边形性质的实用性，激发学生运用几何知识解决问题的兴趣，培养严谨的解题习惯和合作探究意识，增强学习几何知识的信心，体会数学与生活的密切联系，建立完整的几何应用思维。 12. 二、教学重难点 重点：平行四边形性质的灵活运用；针对不同应用场景（边长、角度、对角线、折叠等）选择合适的性质解题；规范书写几何解题步骤。 难点：灵活运用平行四边形的性质解决含多条件、折叠、拼接、与其他几何知识结合的综合问题；明确几何推理的逻辑顺序，规范标注推理依据。 三、教学准备 教师：多媒体课件（包含性质梳理、典例示意图、变式练习题、易错点解析）、板书模板、直尺、圆规、三角板、平行四边形纸片；学生：复习平行四边形的定义及三大核心性质，整理前期错题，准备直尺、圆规、三角板，预习性质应用相关题型。 四、教学过程 （一）复习回顾（5分钟） 1. 快速回顾：提问学生，平行四边形有哪些核心性质？引导学生完整表述，并规范书写几何语言： ① 对边性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC； ② 对角性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠A=∠C，∠B=∠D（邻角互补：∠A+∠B=180°）； ③ 对角线性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA=OC，OB=OD（O为对角线交点）。 2. 导入课题：强调平行四边形的性质是解决几何计算、推理的核心依据，今天我们重点学习“平行四边形的性质的运用”，通过典例和变式训练，掌握不同场景下的解题思路和技巧，突破应用难点。 （二）核心应用梳理（7分钟） 梳理平行四边形性质的常见应用场景，明确解题核心思路，帮助学生建立应用框架： 1. 场景一：边长计算（核心用“对边相等”） 思路：已知平行四边形的一组对边长度，可直接求另一组对边；结合周长公式（周长=2×（邻边和）），可求未知边长或周长。 2. 场景二：角度推理（核心用“对角相等、邻角互补”） 思路：已知平行四边形的一个角，可求其余三个角；结合角的和差、角平分线等知识，可解决复杂角度推理问题。 3. 场景三：对角线相关计算（核心用“对角线互相平分”） 思路：已知平行四边形一条对角线的长度或其中一段的长度，可求对角线的另一段或整条对角线长度；结合勾股定理，可求边长、面积等。 4. 场景四：综合应用（折叠、拼接、与三角形结合） 思路：先利用平行四边形的性质，转化已知条件，再结合折叠的性质（对应边相等、对应角相等）、三角形全等、勾股定理等知识，逐步求解。 强调：所有应用的前提的是“明确四边形是平行四边形”，解题时先标注已知条件，再选择对应的性质，规范书写推理步骤，注明每一步的依据。 （三）典例精讲（18分钟） 结合不同应用场景，精讲典例，拆解解题步骤，强化解题技巧，规范书写格式。 例1（基础应用：边长与周长计算）：在▱ABCD中，已知AB=8cm，BC=5cm，E、F分别是AB、CD的中点，求EF的长度及▱ABCD的周长。 讲解步骤：① 明确已知条件：四边形ABCD是平行四边形，AB=8cm，BC=5cm，E、F是AB、CD中点；② 选择性质：平行四边形对边平行且相等，故AB=CD=8cm，AB∥CD；③ 推导EF长度：E、F是中点，AE=EB=4cm，CF=FD=4cm，又AB∥CD，故EB∥CF且EB=CF，四边形EBCF是平行四边形，EF=BC=5cm；④ 计算周长：周长=2×（AB+BC）=2×（8+5）=26cm；⑤ 规范书写解题过程，注明每一步依据（平行四边形性质、中点定义等）。 例2（进阶应用：角度与角平分线结合）：在▱ABCD中，∠A=100°，BE平分∠ABC，交AD于点E，求∠AEB、∠BED的度数。 引导学生分析：① 由平行四边形性质，∠A+∠ABC=180°（邻角互补），∠A=∠C=100°，故∠ABC=80°；② BE平分∠ABC，故∠ABE=∠EBC=40°；③ 由AD∥BC（平行四边形对边平行），内错角相等，故∠AEB=∠EBC=40°；④ 由平角定义，∠AEB+∠BED=180°，故∠BED=140°；⑤ 规范书写推理过程，强调“平行四边形对边平行”“邻角互补”的灵活运用。 例3（综合应用：对角线与勾股定理结合）：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AC=12cm，BD=16cm，AB=10cm，求证：▱ABCD是矩形。 引导学生分析：① 由平行四边形性质，对角线互相平分，故OA=OC=6cm，OB=OD=8cm；② 已知AB=10cm，观察OA、OB、AB的长度，6²+8²=10²，由勾股定理逆定理，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°；③ 对角线互相垂直的平行四边形是矩形，故▱ABCD是矩形；④ 规范书写证明过程，体现平行四边形性质与勾股定理逆定理的综合运用，注明每一步推理依据。 例4（拓展应用：折叠与性质结合）：将▱ABCD沿边BC折叠，使点C落在点C'处，连接AC'，已知AB=6cm，AD=4cm，∠ABC=60°，求△ABC'的面积。 引导学生分析：① 由平行四边形性质，AB=CD=6cm，AD=BC=4cm，AB∥CD；② 折叠后，BC=BC'=4cm，∠C=∠C'，∠ABC'=∠ABC=60°；③ 由AB∥CD，∠ABC+∠C=180°，故∠C=120°，∠C'=120°；④ 过点C'作AB的垂线，垂足为H，在Rt△C'BH中，∠C'BH=60°，BC'=4cm，可求C'H=2√3cm；⑤ 计算△ABC'的面积=1/2×AB×C'H=1/2×6×2√3=6√3cm²；⑥ 规范书写解题步骤，梳理折叠性质与平行四边形性质的结合点。 教师板书每道典例的规范解题步骤，重点强调：① 先标注已知条件和图形中的隐含条件；② 选择合适的平行四边形性质，结合其他几何知识（角平分线、勾股定理、折叠性质）；③ 推理过程要严谨，每一步都要注明依据；④ 计算时注意准确性，规范书写单位。 （四）变式训练（10分钟） 布置分层变式练习，贴合典例场景，强化性质运用，及时巩固解题技巧： 1. 基础变式（边长与角度）：在▱ABCD中，AB=7cm，AD=5cm，∠B=70°，E是AD的中点，求CE的长度（提示：过C作AD的垂线）；已知▱ABCD中，∠A比∠B小20°，求四个角的度数。 2. 进阶变式（对角线）：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OA=5cm，OB=12cm，求▱ABCD的边长和面积；若AC⊥BD，AB=13cm，求AC、BD的长度。 3. 综合变式（折叠与全等）：将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A'处，连接A'C，已知AB=5cm，AD=3cm，求A'C的长度（提示：证明△A'CD是等腰三角形）。 学生独立完成，小组内核对答案、交流解题思路，教师巡视指导，针对易错点（如忽略平行四边形对边平行的性质、推理过程不规范、计算失误）集中讲解，强化解题技巧。 （五）易错点总结（3分钟） 梳理学生在性质运用中常见的易错点，重点强调： 1. 忽略前提条件：运用性质前，未明确“四边形是平行四边形”，直接套用性质； 2. 性质混淆：误用“对角互补、邻角相等”，混淆对边、对角的关系； 3. 推理不规范：未注明推理依据，步骤跳跃，逻辑混乱； 4. 综合应用中，无法灵活结合其他几何知识（如勾股定理、折叠性质），难以转化已知条件。 引导学生针对性规避易错点，养成“先找条件、再选性质、规范推理”的解题习惯。 （六）课堂小结（2分钟） 引导学生回顾：本节课重点掌握了平行四边形性质的四大应用场景（边长、角度、对角线、综合应用），梳理了不同场景的解题思路和技巧；明确了运用性质的核心是“先明确平行四边形，再选择对应性质，规范书写推理步骤”；通过典例和变式训练，提升了综合解题能力。师生共同梳理核心解题技巧，加深记忆。 （七）布置作业（2分钟） 基础作业：整理本节课典例及变式题，规范书写解题步骤，注明每一步依据；完成教材对应性质应用习题，巩固基础应用。 拓展作业：收集生活中需要运用平行四边形性质解决的实际问题（如测量边长、角度），尝试写出解题过程；思考：平行四边形的性质在矩形、菱形中的应用有哪些异同。 五、板书设计 平行四边形的性质的运用 一、核心性质（几何语言） 1. 对边：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 2. 对角：∠A=∠C，∠B=∠D（邻角互补） 3. 对角线：OA=OC，OB=OD（O为交点） 二、常见应用场景及思路 1. 边长计算：对边相等+周长公式 2. 角度推理：对角相等+邻角互补 3. 对角线：互相平分+勾股定理 4. 综合应用：性质+折叠/全等/勾股定理 三、解题关键 1. 明确前提：四边形是平行四边形 2. 规范步骤：注明推理依据，逻辑严谨 四、典例精讲（规范书写步骤） 例1：边长与周长 例2：角度与角平分线 例3：对角线与勾股定理 例4：折叠综合 六、教学反思 本节课聚焦平行四边形性质的运用，以典例精讲、变式训练为核心，梳理了不同应用场景的解题思路和技巧，重点强化了几何推理的规范性和性质的灵活运用，衔接前期所学的平行四边形性质、勾股定理、折叠性质等知识，符合八年级学生的认知规律和应用能力培养需求，基本达成教学目标。但部分学生在综合应用场景中，难以快速结合平行四边形性质与其他几何知识，转化已知条件的能力不足；部分学生解题步骤不够规范，推理依据标注不完整；对对角线互相平分的性质应用不够灵活，容易忽略对角线与边长的关联。后续需增加综合变式训练，针对性突破转化难点，强化解题步骤的规范性指导，设计分层习题，兼顾不同层次学生的需求，帮助学生熟练掌握平行四边形性质的运用技巧，提升几何综合解题能力。 第1课时 一次函数与一元一次方程、不等式 教学目标 课题 23.3 第1课时 一次函数与一元一次方程、不等式 授课人 素养目标 1.使学生理解并掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的转化关系及其本质联系. 2.使学生能初步运用函数的图象解释一元一次方程的解、一元一次不等式的解集，并能通过函数图象求一元一次方程的解、一元一次不等式的解集. 3.掌握用图象求解方程、不等式的方法，进一步体会数形结合思想的应用. 教学重点 用函数观点解决一元一次方程和一元一次不等式的问题. 教学难点 “一次”关系的理解及相互转化. 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：设置疑问，导入新课 【问题导入】 (1)观察下面的一元一次方程与一元一次不等式，它们有什么共同之处? 2x－2>0，2x－2=0，2x－2<0. (2)上面的一元一次方程的解与一元一次不等式的解集，和一次函数y=2x－2的图象有关系吗? 上述一元一次方程或不等式左边的式子与一次函数右边的式子相同，很明显，一元一次方程、不等式与一次函数之间存在着某种联系，但这种联系还需要我们进一步去探寻. 今天，我们将以函数的角度来观察和解读一元一次方程及不等式的解(集). 【教学建议】 让学生自由发言即可，教师适时引导学生关注式子结构方面的共同点，为导入新课做准备. 设计意图 提出问题，引发学生对函数与方程、不等式之间联系的思考. 活动二：问题引入，自主探究 探究点1 一次函数与一元一次方程 阅读教材P127上方的思考，将下面的表格补充完整. 1.从“数”的角度看： 一元一次方程问题 一次函数问题 2x－1=0 解方程2x－1=0 当一次函数y=2x－1的函数值为 0 时，x取何值 2.从“形”的角度看： 一次函数问题 图象 2x－1=0 在直线y=2x－1上取纵坐标为 0 的点，求其横坐标 一次函数y=2x－1的图象与x轴交点的横坐标是 0.5 ，纵坐标为0，所以当自变量x的值为 0.5 时，函数值为0.由此可以得出一元一次方程2x－1=0的解是 x=0.5 . 问题：我们知道，任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式，那么在函数观点下，应如何看待解方程ax+b=0呢? 答：解一元一次方程ax+b=0(a≠0)，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时，求自变量x的值；从函数图象考虑，相当于已知直线y=ax+b，求它与x轴的交点的横坐标. 归纳总结： 拓展：解一元一次方程ax+b=c(a≠0)，相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为c时，求自变量x的值；或相当于已知直线y=ax+b，求它与直线y=c的交点的横坐标. 【对应训练】 已知一次函数y=－2x+2的图象如图所示.根据图象回答： (1)求方程－2x+2=0的解； (2)求方程－2x+2=2的解. 解：(1)一次函数y=－2x+2的图象与x轴的交点为(1，0)，所以方程－2x+2=0的解为x=1. (2)一次函数y=－2x+2的图象过点(0，2)，所以方程－2x+2=2的解为x=0. 【教学建议】 让学生结合函数图象分组讨论，从函数的角度解释给出的方程，再由教师引导学生得出一般性结论. 教学中注意引导学生对方程进行变形，总结出函数观点下解一元一次方程ax+b=0的意义. 设计意图 用数形结合的方法，建立一次函数与一元一次方程的联系. 设计意图 探究点2 一次函数与一元一次不等式 阅读教材P127下方的思考，将下面的表格补充完整. 1.从“数”的角度看： 一元一次不等式问题 一次函数问题 2x－1>0 解不等式2x－1>0 当一次函数y=2x－1的函数值 大于0 时，x应在什么范围内 2x－1<0 解不等式2x－1<0 当一次函数y=2x－1的函数值 小于0 时，x应在什么范围内 2.从“形”的角度看： 一次函数问题 图象 2x－1>0 在直线y=2x－1上取纵坐标 大于0 的范围，求其横坐标的范围 2x－1<0 在直线y=2x－1上取纵坐标 小于0 的范围，求其横坐标的范围 当图象上点的纵坐标大于0时，点在x轴 上方 ，其横坐标 大于0.5 ，即函数值大于0时x的取值范围是 x>0.5 ；当图象上点的纵坐标小于0时，点在x轴 下方 ，其横坐标 小于0.5 ，即函数值小于0时x的取值范围是 x<0.5 .由此得出不等式2x－1>0的解集是 x>0.5 ，2x－1<0的解集是 x<0.5 . 问题：对于可化为ax+b>0或ax+b<0(a≠0)的一元一次不等式，在函数观点下，应如何看待解不等式ax+b>0或ax+b<0? 答：解一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0(a≠0)，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围；从函数的图象考虑，相当于已知直线y=ax+b，确定这条直线上的点的纵坐标大于0或小于0时横坐标的取值范围. 归纳总结： 拓展：解一元一次不等式ax+b>c或ax+b<c(a≠0)，相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于c或小于c时，求自变量x的取值范围；或相当于已知直线y=ax+b与y=c，确定它们的交点上方部分或下方部分点的横坐标的取值范围.(该方法可推广至结合图象比较两个函数之间的大小关系) 【对应训练】 教材P130练习第1题. 【教学建议】 学生类比探究点1的探究过程，从函数的角度对一元一次不等式进行探究.教师应引导学生从“数”与“形”两个方面进行分析，增强学生的直观感受度. 应提醒学生，在平面直角坐标系中，自变量由小到大对应横轴从左到右，函数值由小到大对应纵轴从下到上. 类比研究一次函数和一元一次方程的联系的方法，建立一次函数与一元一次不等式的联系. 活动三：重点突破，提升探究 例 函数y=2x+6的图象如图所示. (1)求方程2x+6=0的解； (2)求不等式2x+6>0的解集； (3)求不等式组－1≤2x+6≤3的解集. 解：(1)因为图象过点(－3，0)， 所以方程2x+6=0的解为x=－3. (2)因为当函数y=2x+6的图象在x轴上方时，x>－3，所以不等式2x+6>0的解集为x>－3. (3)因为函数图象过F(－1.5，3)，G(－3.5，－1)两点，当函数y=2x+6的函数值满足－1≤y≤3时，－3.5≤x≤－1.5，所以不等式组的解集是－3.5≤x≤－1.5. 【对应训练】 已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，其与x轴的交点坐标是(－0.5，0)，利用函数图象回答： (1)当x取何值时，kx+b=0? (2)当x取何值时，kx+b>1.5? (3)当x取何值时，0.5<kx+b<2.5? 解：(1)因为一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标是(－0.5，0)，所以当x=－0.5时，kx+b=0. (2)当x>1时，kx+b>1.5. (3)因为0.5<kx+b<2.5，所以0.5<y<2.5. 由函数图象，得当0<x<2时，0.5<kx+b<2.5. 【教学建议】 让学生独立思考完成.解决此类问题，通常是找出直线与坐标轴的交点或者根据题目给出的函数值求得对应自变量的值，然后结合图象的增减性来判断对应的自变量的取值范围. 设计意图 让学生进一步体会用函数图象可以直观地求方程、不等式的解或解集. 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.如何利用函数解一元一次方程? 2.如何利用函数解一元一次不等式? 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P130习题23.3第1，2题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练. 板书设计 23.3 一次函数与方程(组)、不等式 第1课时 一次函数与一元一次方程、不等式 1.一次函数与一元一次方程的关系. 2.一次函数与一元一次不等式的关系. 教学反思 本节课是在一次函数的基础上进行的一次综合与扩展教学.从简单的一元一次方程和一次函数的函数值为0的例子入手，让学生初步感知两者之间的联系，再从更多的例子中寻找一元一次方程和一次函数的联系，最后得出一般规律.以此作为基础，继而类比探究出一元一次不等式与一次函数的关系. 解题大招 一次函数与一元一次方程、不等式 (1)由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴交点的横坐标的值. 可令y=0，得到方程(ax+b=0，解方程得就是直线y=ax+b与x轴的交点的横坐标，即直线y=ax+b与x轴的交点为 (2)由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以转化为：当一次函数值大于0或小于0时，求自变量相应的取值范围. (3)用图象法解一元一次方程的步骤： ①把一元一次方程变形为ax+b=0的形式； ②画出一次函数y=ax+b的图象； ③找到一次函数y=ax+b的图象与x轴的交点，交点的横坐标即为所求. (4)直线与直线的交点的横坐标即为方程的解；不等式(或的解集就是直线.在直线上(或下)方部分对应的自变量x的取值范围. 例：如图，直线与交于点P(a，b)，则有以下结论： ①方程的解为x=a； ②不等式的解集为x>a； ③不等式的解集为x<a. 例1 一次函数y=kx+b(k≠0)中，x与y的部分对应值如下表，那么一元一次方程kx+b=0的解为 x=1 . x -2 -1 0 1 2 y 9 6 3 0 -3 例2 如图，直线与直线相交于点P(－3，2)，那么不等式的解集为 x<－3 例3 在平面直角坐标系中，一次函数y=kx和y=mx+n的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式(k－m)x－n>0的解集是 x>1 . 解析：由(k－m)x－n>0，得kx>mx+n. 由图可知当x>1时，直线y=kx在直线y=mx+n的上方， 所以关于x的一元一次不等式kx>mx+n的解集是x>1， 即关于x的一元一次不等式(k－m)x－n>0的解集是x>1. 例4 如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于x的不等式ax+b>0的解集是 x<4 ； (2)关于x的不等式mx+n<1的解集是 x<0 ； (3)当x为何值时， (4)当x<0时，比较y₂与y₁的大小关系. 解：(3)由图可知，两条直线的交点坐标是(2，1.8). 当函数y₁的图象在y₂的下方时，x<2， 所以当x≤2时，y₁≤y₂. (4)由图可知，当x<0时，y₂>y₁. 培优点 一次函数与方程、不等式的综合题 例 如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，与直线y=kx交于点M(1，2). (1)求k，b的值及关于x的不等式组的解集； (2)在x轴上有一点P，过点P作x轴的垂线，分别交直线和直线y=kx于点C，D，若2CD=OB，求点P的坐标. 解：(1)把M(1，2)代入y=kx，得k=2. 把M(1，2)代入得解得 在中，当y=0时， 解得x=5，则A(5，0). 由图可知，关于x的不等式组的解集为1≤x≤5. (2)在中，当x=01时则B|(0，)， 所以 设P(m，0)，则D(m，2m). 所以 因为2CD=OB， 所以 当m>1时，解得 当m<1时，解得 所以点P的坐标为或 学科网（北京）股份有限公司 $