10.5分式方程强化训练2025-2026学年苏科版数学八年级下册

10.5分式方程强化训练 一、单选题 1．解分式方程时，去分母后变形为（    ） A． B． C． D． 2．已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 3．某厂接到加工720台红外体温仪的订单，预计每天可生产48台，正好按时完成，后因客户要求需提前3天交货，设每天应多加工x台，则x应满足的方程为（    ） A．﹣＝3 B．＋3＝ C．﹣＝3 D．﹣＝3 4．已知关于的方程有增根，则的值是（　　） A． B． C． D． 5．若整数a使得关于x的分式方程的解为非负数，且一次函数的图象经过一、二、三象限，则所有符合条件的a的和为（   ） A． B．2 C．4 D．5 6．关于的分式方程的解是非负数，则实数的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 7．设，为实数，定义一种新运算：，若关于的方程无解，则的可能值为（    ）． A． B． C． D． 8．已知分式（，均为常数）满足下列表格中信息，则下列结论中错误的是（   ） x的取值 1 m n 分式的值 无意义 1 0 A． B． C． D． 二、填空题 9．是分式方程的根，则______． 10．若关于x的方程有增根，则a的值____________． 11．如果关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为__________ 12．已知分式方程的解x满足，m的取值范围______． 13．用换元法解方程时，设，则原方程可化为 _________ 14．如图，点A，B在数轴上，它们对应的数分别为，，且点A，B到原点的距离相等．则x的值为______． 15．小张家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费7000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费多60元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为元，可列分式方程为_____ 16．规定在平面直角坐标系中，任意不重合的两点，之间的折线距离为．例如，点与点之间的折线距离为．已知点，若点C的坐标为，且，则m的值为________． 三、解答题 17．解下列方程： (1)． (2)． 18．已知关于x的分式方程的解为负数，试求k的取值范围． 19．以下是小明同学解方程的过程． 解：方程两边都乘以，约去分母，得……第一步 解这个整式方程，得……第二步 检验：把代入，得……第三步 所以，是原方程的解……第四步 (1)小明的解法从第________步开始出现错误；出错的原因是________________； (2)解分式方程的思想是利用________的数学思想，把分式方程化为整式方程． A．数形结合    B．特殊到一般    C．转化    D．类比 (3)写出解方程的正确过程． (4)针对小明解分式方程的步骤和出现的错误，请你提出两条解分式方程的注意事项． 20．阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ， 的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，则=______． (2)解分式方程组：． 21．有甲、乙两个工程队参与建设某段公路，甲工程队平均每天比乙工程队多修建200米．甲工程队修建1500米公路所用天数与乙工程队修建900米公路所用天数相等．甲、乙两个工程队平均每天分别修建多少米公路？ 22．阅读下面材料，解答后面的问题： 解方程： 解：设，则原方程化为，方程两边同乘以y，得，解得． 经检验：都是方程的根． 所以当时，，解得； 当时，，解得． 经检验：或都是原分式方程的根． 所以原分式方程的根为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： (1)若在方程中，设，则原方程可化为__________，原方程的根为______； (2)模仿上述换元法解方程：． 23．对于两个分式，如果，那么我们称分式与分式互为“友好分式”．结合以上信息，完成下列各题． (1)下列互为“友好分式”的是_____；（填序号） ①与；②与． (2)若与互为“友好分式”，求的值； (3)若与互为“友好分式”，且为正整数，求整数的值． 24．形如（a，b不为零，且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”，例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为， ∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于x的方程的两个解是，，若是整数，求满足条件的整数k的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D C C D A C 5．C 【分析】先解分式方程，根据解为非负数且不是增根得到a的取值范围，再根据一次函数图象经过一、二、三象限的性质得到a的另一个范围，找出范围内所有符合条件的整数a，求和得到结果． 【详解】解分式方程， 得． ∵方程的解为非负数，且分母不为0 ∴且， 解得且． ∵一次函数的图象经过一、二、三象限，根据一次函数性质可得 解得， 综上可得且， 又是整数，因此符合条件的为， 计算所有符合条件的的和：． 6．D 【分析】首先解此分式方程，再根据此方程的解是非负数及，据此计算即可求解． 【详解】解：去分母得， 去括号得， 解得， 分式方程的根是非负数，且， ，且， 解得且． 7．A 【分析】先根据新运算的规定，转化为方程，再根据分式方程、一次方程无解的情况得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵无解， ∴或， 当，， 当，即，将代入，解得：， ∴当无解，则的值为或． ∴根据选项，故选：A． 8．C 【分析】根据表格数据，结合分式无意义的条件和分式值为0的条件，代值求解判断即可． 【详解】解：由时分式无意义，得，即，解得，故选项A正确，不符合题意； 由时分式值为1，得，解得，故选项B正确，不符合题意； 由时分式的值为0，得，解得，故选项C错误，符合题意； 由时分式的值为，得，解得，经检验，是方程的解，故选项D正确，不符合题意． 9． 【分析】把代入分式方程得到关于的一元一次方程，然后再解方程即可． 【详解】解：把代入分式方程得：， 整理得： 系数化为1得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的解和解一元一次方程．理解分式方程解的意义和熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． 10． 【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解：去分母，得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程，，可得：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 11． 【分析】先把分式方程转化为整式方程，解出x后，根据题意列不等式求解即可． 【详解】解：， 方程两边同乘以x-4，可得：， 解得：， ∵分式方程的解为正数， ∴，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的解，分式的分母不能为0，此题是一道易错题． 12．且 【分析】求出分式方程的解，利用已知条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：分式方程的解为：， ∵分式方程有可能产生增根1或， ∴且， ∴且， ∵分式方程的解x满足， ∴， 解得：， 综上，m的取值范围为：且． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，考虑分式方程有可能产生增根是解题的关键． 13． 【分析】直接利用已知将原式用y替换得出答案． 【详解】解：∵设， ∴，可转化为：， 即． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了换元法解分式方程，正确得出y与x之间的关系是解题关键． 14． 【分析】由题意，得，解分式方程即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， 经检验是原方程的根． 15． 【分析】设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可得燃油汽车每百公里的耗油费为元，根据“燃油汽车耗费7000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同”列出分式方程即可. 【详解】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，则燃油汽车每百公里的耗油费为元，根据题意得， ． 16．0或4 【分析】根据定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 解得或， 经检验，或均是方程的解． 17．(1)无解 (2) 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤及正确去分母求解是解题的关键，解分式方程不要忽略检验． （1）方程两边同时乘以去分母，求解并检验即可； （2）方程两边同时乘以去分母，求解并检验即可． 【详解】（1）解： ， 检验，当时，， 原方程无解； （2）解： ， 检验，当时，， 原方程的解为． 18． 【分析】先解分式方程得到x关于k的表达式，再根据解为负数得到不等式，结合分式方程分母不为零的隐含条件求解，即可得到k的取值范围． 【详解】解：， ， ， ， ， 关于x的分式方程的解为负数， ， 解得 又， 即， 解得， ． 19．(1)一；没有乘以 (2)C (3)见解析 (4)见解析 【详解】（1）解：小明的解法从第一步开始出现错误；出错的原因是没有乘以； （2）解分式方程的思想是利用转化的数学思想，把分式方程化为整式方程． （3） 方程两边都乘以，得． 解这个整式方程，得． 检验：把代入，得， 所以，是原方程的解． （4）①去分母时，常数项不要漏乘最简公分母； ②求得解后注意检验是否为分式方程的解． 20．(1) (2) 【详解】（1）解：由，知， ， ， ； （2）解：由，知，， ，即， 得：， 得：， 得：，解得， 把代入得，，解得， 经检验，，是原方程组的解， 原分式方程组的解为． 21．甲工程队平均每天修建500米公路，乙工程队平均每天修建300米公路 【详解】解：设乙工程队平均每天修建米公路，则甲工程队平均每天修建米公路． 根据题意可得：，解得． 经检验：是所列方程的解，且符合题目要求，此时． ∴乙工程队平均每天修建米公路，则甲工程队平均每天修建米公路． 22．(1)，或 (2) 【分析】（1）根据换元法，可得答案； （2）根据分式的加减，可得：，根据换元法，可得答案． 【详解】（1）解：设，则原方程化为：， 方程两边同时乘以得：， 解得：或2， 经检验：和2都是方程的解． 当时，，解得； 当时，，解得． 经检验：和是原分式方程的解， （2）解：原方程可化为 ， 即 ， 整理得 ， 设，则原方程化为， 方程两边同乘以y，得， 解得． 经检验：都是方程的根． 所以，当时，，该方程无解， 当时，，解得， 经检验：是原分式方程的根， 所以，原分式方程的根为． 23．(1)① (2)或 (3)或或或 【详解】（1）解：①， ； ①的两个分式互为“友好分式”． ②， ②的两个分式不互为“友好分式”． （2）解：由题意得或， 解得， 经检验，是原方程的解； 解得， 经检验，是原方程的解； 综上，或； （3）解：与互为友好分式， 或， ①由， 解得， 为正整数， 是的正约数， 或， 当时，，； 当时，，； 经检验：或是原方程的解； ②由， 解得， 为正整数， 是的正约数， 或， 当时，，； 当时，，； 经检验：或是原方程的解； 综上所述，或或或． 24．(1)2；5 (2)7 (3)或或或 【分析】（1）根据，结合题意可得答案； （2）原方程变形为，则根据定义可得，再根据计算求解即可； （3）原方程可变形为，可证明方程是“十字分式方程”，则，进而得到，则，根据是整数，得到是整数，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵十字分式方程的两个解分别为，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴方程是“十字分式方程”， ∵关于x的方程的两个解是，， ∴， ∴， ∴， ∵是整数， ∴是的整数，即是整数， 又∵k是整数， ∴或， ∴或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $