23.2 第3课时 用待定系数法求一次函数解析式-教学设计--2025-2026学年人教版数学八年级下册

第3课时 用待定系数法求一次函数的解析式人教版八年级数学下册 平行四边形的性质的运用 教案 授课年级：八年级 学科：数学 版本：人教版 课时：1课时 授课类型：习题课/应用课 一、教学目标 1. 知识与技能：熟练掌握平行四边形的三大核心性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）及邻角互补的推论；能灵活运用这些性质解决边长计算、角度推理、对角线相关计算、折叠拼接等实际应用问题；规范书写几何解题步骤，明确每一步的推理依据。 2. 3. 过程与方法：通过典例分析、变式训练、小组探究，梳理平行四边形性质的应用思路和解题技巧，培养学生的逻辑推理能力、综合分析能力和数形结合思想，提升运用几何性质解决实际问题的能力。 4. 5. 情感态度与价值观：感受平行四边形性质的实用性，激发学生运用几何知识解决问题的兴趣，培养严谨的解题习惯和合作探究意识，增强学习几何知识的信心，体会数学与生活的密切联系，建立完整的几何应用思维。 6. 二、教学重难点 重点：平行四边形性质的灵活运用；针对不同应用场景（边长、角度、对角线、折叠等）选择合适的性质解题；规范书写几何解题步骤。 难点：灵活运用平行四边形的性质解决含多条件、折叠、拼接、与其他几何知识结合的综合问题；明确几何推理的逻辑顺序，规范标注推理依据。 三、教学准备 教师：多媒体课件（包含性质梳理、典例示意图、变式练习题、易错点解析）、板书模板、直尺、圆规、三角板、平行四边形纸片；学生：复习平行四边形的定义及三大核心性质，整理前期错题，准备直尺、圆规、三角板，预习性质应用相关题型。 四、教学过程 （一）复习回顾（5分钟） 1. 快速回顾：提问学生，平行四边形有哪些核心性质？引导学生完整表述，并规范书写几何语言： ① 对边性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC； ② 对角性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠A=∠C，∠B=∠D（邻角互补：∠A+∠B=180°）； ③ 对角线性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA=OC，OB=OD（O为对角线交点）。 2. 导入课题：强调平行四边形的性质是解决几何计算、推理的核心依据，今天我们重点学习“平行四边形的性质的运用”，通过典例和变式训练，掌握不同场景下的解题思路和技巧，突破应用难点。 （二）核心应用梳理（7分钟） 梳理平行四边形性质的常见应用场景，明确解题核心思路，帮助学生建立应用框架： 1. 场景一：边长计算（核心用“对边相等”） 思路：已知平行四边形的一组对边长度，可直接求另一组对边；结合周长公式（周长=2×（邻边和）），可求未知边长或周长。 2. 场景二：角度推理（核心用“对角相等、邻角互补”） 思路：已知平行四边形的一个角，可求其余三个角；结合角的和差、角平分线等知识，可解决复杂角度推理问题。 3. 场景三：对角线相关计算（核心用“对角线互相平分”） 思路：已知平行四边形一条对角线的长度或其中一段的长度，可求对角线的另一段或整条对角线长度；结合勾股定理，可求边长、面积等。 4. 场景四：综合应用（折叠、拼接、与三角形结合） 思路：先利用平行四边形的性质，转化已知条件，再结合折叠的性质（对应边相等、对应角相等）、三角形全等、勾股定理等知识，逐步求解。 强调：所有应用的前提的是“明确四边形是平行四边形”，解题时先标注已知条件，再选择对应的性质，规范书写推理步骤，注明每一步的依据。 （三）典例精讲（18分钟） 结合不同应用场景，精讲典例，拆解解题步骤，强化解题技巧，规范书写格式。 例1（基础应用：边长与周长计算）：在▱ABCD中，已知AB=8cm，BC=5cm，E、F分别是AB、CD的中点，求EF的长度及▱ABCD的周长。 讲解步骤：① 明确已知条件：四边形ABCD是平行四边形，AB=8cm，BC=5cm，E、F是AB、CD中点；② 选择性质：平行四边形对边平行且相等，故AB=CD=8cm，AB∥CD；③ 推导EF长度：E、F是中点，AE=EB=4cm，CF=FD=4cm，又AB∥CD，故EB∥CF且EB=CF，四边形EBCF是平行四边形，EF=BC=5cm；④ 计算周长：周长=2×（AB+BC）=2×（8+5）=26cm；⑤ 规范书写解题过程，注明每一步依据（平行四边形性质、中点定义等）。 例2（进阶应用：角度与角平分线结合）：在▱ABCD中，∠A=100°，BE平分∠ABC，交AD于点E，求∠AEB、∠BED的度数。 引导学生分析：① 由平行四边形性质，∠A+∠ABC=180°（邻角互补），∠A=∠C=100°，故∠ABC=80°；② BE平分∠ABC，故∠ABE=∠EBC=40°；③ 由AD∥BC（平行四边形对边平行），内错角相等，故∠AEB=∠EBC=40°；④ 由平角定义，∠AEB+∠BED=180°，故∠BED=140°；⑤ 规范书写推理过程，强调“平行四边形对边平行”“邻角互补”的灵活运用。 例3（综合应用：对角线与勾股定理结合）：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AC=12cm，BD=16cm，AB=10cm，求证：▱ABCD是矩形。 引导学生分析：① 由平行四边形性质，对角线互相平分，故OA=OC=6cm，OB=OD=8cm；② 已知AB=10cm，观察OA、OB、AB的长度，6²+8²=10²，由勾股定理逆定理，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°；③ 对角线互相垂直的平行四边形是矩形，故▱ABCD是矩形；④ 规范书写证明过程，体现平行四边形性质与勾股定理逆定理的综合运用，注明每一步推理依据。 例4（拓展应用：折叠与性质结合）：将▱ABCD沿边BC折叠，使点C落在点C'处，连接AC'，已知AB=6cm，AD=4cm，∠ABC=60°，求△ABC'的面积。 引导学生分析：① 由平行四边形性质，AB=CD=6cm，AD=BC=4cm，AB∥CD；② 折叠后，BC=BC'=4cm，∠C=∠C'，∠ABC'=∠ABC=60°；③ 由AB∥CD，∠ABC+∠C=180°，故∠C=120°，∠C'=120°；④ 过点C'作AB的垂线，垂足为H，在Rt△C'BH中，∠C'BH=60°，BC'=4cm，可求C'H=2√3cm；⑤ 计算△ABC'的面积=1/2×AB×C'H=1/2×6×2√3=6√3cm²；⑥ 规范书写解题步骤，梳理折叠性质与平行四边形性质的结合点。 教师板书每道典例的规范解题步骤，重点强调：① 先标注已知条件和图形中的隐含条件；② 选择合适的平行四边形性质，结合其他几何知识（角平分线、勾股定理、折叠性质）；③ 推理过程要严谨，每一步都要注明依据；④ 计算时注意准确性，规范书写单位。 （四）变式训练（10分钟） 布置分层变式练习，贴合典例场景，强化性质运用，及时巩固解题技巧： 1. 基础变式（边长与角度）：在▱ABCD中，AB=7cm，AD=5cm，∠B=70°，E是AD的中点，求CE的长度（提示：过C作AD的垂线）；已知▱ABCD中，∠A比∠B小20°，求四个角的度数。 2. 进阶变式（对角线）：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OA=5cm，OB=12cm，求▱ABCD的边长和面积；若AC⊥BD，AB=13cm，求AC、BD的长度。 3. 综合变式（折叠与全等）：将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A'处，连接A'C，已知AB=5cm，AD=3cm，求A'C的长度（提示：证明△A'CD是等腰三角形）。 学生独立完成，小组内核对答案、交流解题思路，教师巡视指导，针对易错点（如忽略平行四边形对边平行的性质、推理过程不规范、计算失误）集中讲解，强化解题技巧。 （五）易错点总结（3分钟） 梳理学生在性质运用中常见的易错点，重点强调： 1. 忽略前提条件：运用性质前，未明确“四边形是平行四边形”，直接套用性质； 2. 性质混淆：误用“对角互补、邻角相等”，混淆对边、对角的关系； 3. 推理不规范：未注明推理依据，步骤跳跃，逻辑混乱； 4. 综合应用中，无法灵活结合其他几何知识（如勾股定理、折叠性质），难以转化已知条件。 引导学生针对性规避易错点，养成“先找条件、再选性质、规范推理”的解题习惯。 （六）课堂小结（2分钟） 引导学生回顾：本节课重点掌握了平行四边形性质的四大应用场景（边长、角度、对角线、综合应用），梳理了不同场景的解题思路和技巧；明确了运用性质的核心是“先明确平行四边形，再选择对应性质，规范书写推理步骤”；通过典例和变式训练，提升了综合解题能力。师生共同梳理核心解题技巧，加深记忆。 （七）布置作业（2分钟） 基础作业：整理本节课典例及变式题，规范书写解题步骤，注明每一步依据；完成教材对应性质应用习题，巩固基础应用。 拓展作业：收集生活中需要运用平行四边形性质解决的实际问题（如测量边长、角度），尝试写出解题过程；思考：平行四边形的性质在矩形、菱形中的应用有哪些异同。 五、板书设计 平行四边形的性质的运用 一、核心性质（几何语言） 1. 对边：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 2. 对角：∠A=∠C，∠B=∠D（邻角互补） 3. 对角线：OA=OC，OB=OD（O为交点） 二、常见应用场景及思路 1. 边长计算：对边相等+周长公式 2. 角度推理：对角相等+邻角互补 3. 对角线：互相平分+勾股定理 4. 综合应用：性质+折叠/全等/勾股定理 三、解题关键 1. 明确前提：四边形是平行四边形 2. 规范步骤：注明推理依据，逻辑严谨 四、典例精讲（规范书写步骤） 例1：边长与周长 例2：角度与角平分线 例3：对角线与勾股定理 例4：折叠综合 六、教学反思 本节课聚焦平行四边形性质的运用，以典例精讲、变式训练为核心，梳理了不同应用场景的解题思路和技巧，重点强化了几何推理的规范性和性质的灵活运用，衔接前期所学的平行四边形性质、勾股定理、折叠性质等知识，符合八年级学生的认知规律和应用能力培养需求，基本达成教学目标。但部分学生在综合应用场景中，难以快速结合平行四边形性质与其他几何知识，转化已知条件的能力不足；部分学生解题步骤不够规范，推理依据标注不完整；对对角线互相平分的性质应用不够灵活，容易忽略对角线与边长的关联。后续需增加综合变式训练，针对性突破转化难点，强化解题步骤的规范性指导，设计分层习题，兼顾不同层次学生的需求，帮助学生熟练掌握平行四边形性质的运用技巧，提升几何综合解题能力。 教学目标 课题 23.2 第3课时 用待定系数法求一次函数的解析式 授课人 素养目标 1.学会用待定系数法确定一次函数的解析式. 2.利用一次函数的解析式、图象和性质综合解决实际问题，体会数学建模的一般思想. 教学重点 运用待定系数法求一次函数的解析式. 教学难点 灵活运用一次函数的知识解决实际问题. 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：知识回顾，导入新课 【问题引入】 问题1 我们之前在画一次函数图象的时候，用“两点法”这种简易的方法就可以快速确定图象，请说说这样做的数学道理. 答：因为一次函数的图象是一条直线，而“两点确定一条直线”，所以可用“两点法”作图. 问题2 在平面直角坐标系中有如图所示的用“两点法”画出的两条直线，尝试求它们对应的函数解析式. 答：图①是正比例函数图象，它经过原点和点(1，2).根据之前所学的“两点法”作图原理，若设函数解析式为y=kx，则此图是过(0，0)和(1，k)两点的直线，所以k=2，于是函数解析式为y=2x. 图②是一次函数图象，它经过点(0，－3)和点(1，－2).根据之前所学的“两点法”作图原理，若设函数解析式为y=kx+b，则此图是过(0，b)和(1，k+b)两点的直线，所以b=－3，k+b=－2，所以k=1，于是函数解析式为y=x－3. 问题3 结合上面的问题，求一次函数解析式需要几个条件?你得到了什么启示? 答：需要两个条件.启示：可以通过两个点的坐标来求得一次函数的解析式. 通过上面的问题，对于求一次函数解析式的方法你应该有大致轮廓了.但如果给定的点的坐标不是(0，m)，(1，n)这样的形式，又该如何求解呢?快让我们进入今天的学习吧. 【教学建议】 教师带领学生回顾“两点法”作一次函数图象，并以此为依托进行设问，求简单的一次函数的解析式，进而顺其自然地引入对待定系数法的探究.学生在回答问题3时，可能会说求正比例函数解析式只需一个条件即可，这样的回答也是符合要求的，但需补充说明这一个条件必须是除原点外的其他点. 设计意图 以“两点法”画一次函数图象的过程提出问题，引入本课重难点. 活动二：问题引入，自主探究 探究点1 用待定系数法求一次函数的解析式 例1 (教材P121例4)已知一次函数的图象过点(2，－4)与(－3，11)，求这个一次函数的解析式. 分析：因为一次函数的图象过(2，－4)与(－3，11)两点，所以这两点的坐标必满足解析式.设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)，求这个解析式，关键是求出k，b的值.从已知条件可以列出关于k，b的二元一次方程组，进而求出k，b. 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0). ①设 因为y=kx+b的图象过点(2，－4)与(－3，11)，所以 ②列 解这个方程组，得 ③解 因此，这个一次函数的解析式为y=－3x+2. ④代 概念引入：像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法. 由于一次函数y=kx+b中有k和b两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组(以k和b为未知数).解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 用待定系数法确定一次函数解析式一般要经过设、列、解、代这四个步骤. 实际上函数解析式与函数图象是可以相互转化的，实现这种转化的工具就是点的坐标，它是连接数与形两种对象的纽带，我们可以形象地用下面的图表示： 【对应训练】 教材P123练习第1题. 【教学建议】 教师带领学生共同探讨作答.通过活动一和活动二的探究，教师注意引导学生发现以下两点： (1)以点的坐标作为转化工具，可以实现函数解析式与函数图象间的相互转化，它是连接数与形两种对象的纽带. (2)用待定系数法求一次函数的解析式的关键就是找出函数图象上两个点的坐标或两组自变量与函数的对应值. 设计意图 让学生了解待定系数法，体会数与形的转化. 设计意图 探究点2 用待定系数法求一次函数解析式的实际应用 例2 (教材P122例5)一位记者乘坐汽车赴360 km外的乡村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路.汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y(单位：km)与时间x(单位：h)之间的关系如图所示. (1)求汽车行驶的路程y关于时间x的函数解析式； (2)记者出发后多长时间到达采访地? 分析：问题中汽车行驶的速度不是固定不变的，它与行驶的时间范围有关.当0≤x≤2时，汽车行驶的速度较快；当x>2时，汽车行驶的速度较慢.因此，求函数解析式时应对0≤x≤2和x>2两个时段分别讨论. 解：(1)当0≤x≤2时，函数图象是经过原点和点A的直线的一部分，设函数的解析式为y=k₁x.因为它的图象过点A(2，180)，所以180=2k₁，解得k₁=90. 因此，当0≤x≤2时，函数的解析式为y=90x. 当x>2时，函数图象是经过A，B两点的直线的一部分.我们求出直线AB所对应的一次函数的解析式.设这个一次函数的解析式为把点A，B的坐标分别代入得 解这个方程组，得 因此，当x>2时，函数的解析式为y=60x+60. 综上，当0≤x≤2时，y=90x；当x>2时，y=60x+60. (2)由图象可知，当y=360时，x>2. 由360=60x+60，解得x=5. 因此，记者在出发5h后到达采访地. 追问：由(2)的解答，你能进一步确定(1)中函数的自变量的取值范围吗? 答：由(2)的解答，能进一步确定(1)中函数的自变量的取值范围是0≤x≤5. 【对应训练】 教材P123练习第3题. 【教学建议】 学生分组讨论作答，教师注意提醒学生注意审题，分段求解.这里可联系实际，由汽车在高速公路和普通公路上的速度不同，或结合图象发现直线倾斜程度不一得到题中隐含的需分段讨论的关键信息.分段时需注意确定自变量的取值范围，每段图象确定首尾两点即可确定解析式.解题难度不大，重点在于强化学生的理解能力和从题目中挖掘关键信息的能力，使学生感受从实际问题中建立一次函数模型这一过程，为后面的学习筑牢根基. 设置应用背景，在实践中用待定系数法求一次函数解析式，巩固所学，并结合解析式解决实际问题. 活动三：重点突破，巩固练习 例3 如图，直线AB经过点A(1，1)和点B(－1，－3). (1)求直线AB对应的函数解析式； (2)连接OA，OB，求△AOB的面积. 解：(1)设直线AB对应的函数解析式为y=kx+b. 把A(1，1)和B(－1，－3)代入，得 解方程组得 所以直线AB对应的函数解析式为y=2x－1. (2)如图，设直线y=2x－1与y轴相交于点C. 当x=0时，y=－1，所以点C的坐标为(0，－1). 所以 【对应训练】 1.将直线y=x－1平移，使得平移后的直线经过点(－2，0)，则平移后直线的解析式为 y=x+2 . 2.如图，点A位于x轴负半轴上，点P(2，m)在第一象限内，直线AP交y轴于点C(0，2)，S△AOP=12. (1)求点A的坐标及m的值； (2)求直线AP对应的函数解析式. 解：(1)因为所以所以所以OA=10. 因为所以所以m=2.4. 故点A的坐标为(－10，0)，m的值为2.4. (2)设直线AP对应的函数解析式为y=kx+b.因为直线经过点A(－10，0)与点C(0，2)，所以解方程组得 故直线AP对应的函数解析式为y=0.2x+2. 【教学建议】 学生独立思考完成，教师统一答案.教师可提示学生： (1)可以画出函数图象的草图来辅助理解. (2)一次函数图象平移前后(或两个一次函数图象平行)，解析式中的比例系数k不变；两个一次函数图象经过y轴上同一点，解析式中的常数项b不变. (3)可借助面积的不同表示方法来求点的坐标. 设计意图 加深对所学知识的理解和运用，通过各种条件来求一次函数的解析式. 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤是什么? 2.你能用待定系数法求出实际问题中的一次函数解析式，进而解决简单的实际问题吗? 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P124~125习题23.2第4，5，9，10题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练. 板书设计 23.2 一次函数的图象和性质 第3课时 用待定系数法求一次函数的解析式 1.用待定系数法求一次函数的解析式. 2.用待定系数法求一次函数的解析式的实际应用. 教学反思 本节课藉由“两点法”引入，递进逐层设问引出由两点的坐标确定一次函数解析式的方法，让学生由此进一步感悟数形结合的思想.同时在引入待定系数法的过程中，向学生渗透转化思想及数学建模思想，联系实际，培养学生分析问题、解决问题的能力. 解题大招一 用待定系数法确定一次函数解析式 (1)待定系数法是确定函数解析式的基本方法. 确定一个正比例函数，需要确定正比例函数解析式y=kx(k≠0)中的常数k； 确定一个一次函数，需要确定一次函数解析式y=kx+b(k≠0)中的常数k和b. (2)运用待定系数法确定正比例函数解析式，只要知道除(0，0)外的一对对应值即可； 确定一次函数解析式，则通常需要两对对应值. (3)用待定系数法确定一次函数解析式的步骤：①设函数解析式的一般形式为y=kx+b(k≠0)；②把x与y的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组；③求出待定系数；④写出函数解析式. 例1 若点M(x₁，y₁)在函数y=kx+b(k≠0)的图象上，当－1≤x₁≤2时，，则该函数的解析式为 y=x－1或y=－x . 解析：因为点M(x₁，y₁)在函数y=kx+b(k≠0)的图象上，当时，，所以分两种情况讨论： ①当k>0时，点(－1，－2)，(2，1)在函数图象上，则有 解这个方程组，得此时y=x－1； ②当k<0时，点(－1，1)，(2，－2)在函数图象上，则有 解这个方程组，得此时.y=－x. 综上，该函数的解析式为y=x－1或y=－x. 例2 已知一次函数的图象经过点A(2，1)，B(－1，－3). (1)求此一次函数的解析式； (2)求此一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标； (3)求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积. 解：(1)设此一次函数的解析式为y=kx+b.把A(2，1)，B(－1，－3)代入，得解这个方程组，得 所以此一次函数的解析式为 (2)在中，令x=0，得令y=0，得 所以此一次函数与x轴的交点坐标为与y轴的交点坐标为 (3)由(2)可知，此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积是 解题大招二 用待定系数法求一次函数解析式的简单应用 例3 在“测定水的沸点”实验中，水的温度会随着加热时间的变化而变化.在加热过程中，元元每隔2min会对水温进行一次测量并将相关数据记录在如下表格中. 加热时间t/min 2 4 6 8 10 12 … 水温T/℃ 26.5 37 47.5 58 68.5 79 … 根据数据可知，在加热至沸腾前，水温T与加热时间t之间是一次函数关系.(已知标准大气压下水的沸点是100℃) (1)求T关于t的函数解析式，并画出它的图象； (2)加热前，水的温度是多少?加热5min时，水的温度是多少? (3)将水加热至沸腾需要多久? 分析：此类日常生活中的简单应用可培养学生的数学建模思想.本题首先可通过表格中的数据找两组自变量与函数的对应值(理论上任意找两组即可，但实际最优找能使计算过程简单的数据)，再用待定系数法求出函数解析式，然后根据题意代入相应的t值或T值，解决剩下的问题. 解：(1)设T关于t的函数解析式为T=kt+b. 将(4，37)与(8，58)代入，得 解方程组得 则T关于t的函数解析式为T=5.25t+16. 函数图象如图所示. (2)在T=5.25t+16中，当t=0时，T=16；当t=5时，T=42.25. 故加热前，水的温度是16℃；加热5min时，水的温度是42.25℃. (3)当T=100时，5.25t+16=100，解得t=16. 故将水加热至沸腾需要16min. 培优点 一次函数的综合题 例 如图，在平面直角坐标系中，点A(2，m)在直线上，过点A的直线交y轴于点B(0，3). (1)求m的值和直线AB对应的函数解析式； (2)若点P(t，y₁)在线段AB上，点Q(t－1，y₂)在直线上，求的最大值. 分析：(1)把点A的坐标代入解析式可求解m，然后设直线AB对应的函数解析式为y=kx+b，进而根据待定系数法可进行求解； (2)将P(t，y₁)代入(1)中求得的解析式，将Q(t－1，y₂)代入用含t的式子表示出.然后根据一次函数的性质和t的取值范围进行求解. 解：(1)把A(2，m)代入得 设直线AB对应的函数解析式为y=kx+b. 把A，B(0，3)代入，得解方程组得 所以直线AB对应的函数解析式为 (2)因为点P(t，y₁)在线段AB上，点Q(t－1，y₂)在直线上， 所以即 所以即 因为所以y1－y2随t的增大而减小.又0≤t≤2，所以当t=0时，取得最大值，为. 学科网（北京）股份有限公司 $