20.1.1《勾股定理》课件2025-2026学年人教版八年级数学下册

跨越千年的对话——“矩”的衍生图形 西周数学家 商高 1 第二十章 勾股定理 人教版八年级（初中）数学下册 20.1 勾股定理及其应用 20.1.1 勾股定理 2 3 3 4 5 4 新知探究 从边的角度看，这个直角三角形的三边满足：两条直角边长的平方和等于斜边长的平方. 其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系? 3 4 5 16 9 25 5 新知探究 如图，每个小方格面积为1，图中正方形A1，B1，C1的面积之间有什么关系？A2，B2，C2呢？ A3，B3，C3呢？ 探究 A1 B1 C1 A2 B2 C2 A3 B3 C3 6 新知探究 A1 B1 C1 A2 B2 C2 A3 B3 C3 SA1= ，SB1= ，SC1= ， 面积之间的关系： . 1 4 C的面积如何计算？ 7 新知探究 方法一： 分割为四个直角三角形和一个小正方形. 方法二： 补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积. C 8 新知探究 A1 B1 C1 A2 B2 C2 A3 B3 C3 SA1= ，SB1= ，SC1= ， 面积之间的关系： . 1 4 5 SA1+ SB1 = SC1 9 新知探究 A1 B1 C1 A2 B2 C2 A3 B3 C3 SA2= ，SB2= ，SC2= ， 面积之间的关系： . 4 9 13 SA2+ SB2 = SC2 10 新知探究 A1 B1 C1 A2 B2 C2 A3 B3 C3 SA3= ，SB3= ，SC3= ， 面积之间的关系： . 9 25 34 SA3+ SB3 = SC3 11 新知探究 可以发现，以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积.由此我们猜想：(如图) 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. B C A a b c 证明这个猜想的方法有很多，下面介绍我国古代数学家赵爽(约3世纪)的证法. 12 新知探究 赵爽弦图 黄实 朱实 朱实 朱实 朱实 B A c a b C 如图，这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形(红色)可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形(黄色). 尝试验证：a2+b2=c2. 13 新知探究 如图，边长为a和b的两个正方形拼接在一起 它的面积为两个正方形面积之和 将两个正方形剪切成四个全等三角形和一个小正方形 三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c 将底下两个三角形旋转到上面去 可得到一个大正方形，边长为c 大正方形的面积为边长的平方 前后面积相等，所以可得：a2+b2=c2 即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 a2+b2 a b a2+b2 a b a2+b2 a b a b c c2 a2+b2 = c2 即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 14 新知探究 证法2：美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”。如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2+b2=c2 a a b b c c 证明：∵S梯形=（a+b）(a+b), S梯形=ab+ab+, ∴a2+b2=c2 15 新知探究 这样就证明了前面的猜想.它表明了直角三角形三边之间的关系，我国把它称为勾股定理. 赵爽通过对图形的分割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，这种方法是我国古代数学家常用的“出入相补法”.“赵爽弦图”体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲. 在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理. 16 新知探究 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方. a b c 勾 股 弦 公式变形：a2+b2 = c2 a2 = c2 － b2 b2 = c2 － a2 c = a = b = 17 典例解析 例1 如图，根据所给条件求直角三角形中未知边的长. F E D 17 15 解：在Rt△DEF中，根据勾股定理， DE2+EF2 = DF 2，从而DE2 = DF2-EF2 =172-152 =64，所以DE = 8. 18 课堂练习 1. 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c. (1)已知a=6，c=10，求b； (2) 已知a=5，b=12， 求c； (3) 已知b=15，c=25，求a. 解：(1)由勾股定理，得b= = = = =8. (2)由勾股定理，得c= = = = =13. (3)由勾股定理，得a= = = = =20. 19 典例解析 例2 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长. 解：本题斜边不确定，需分类讨论： 当AB为斜边时，如图，BC= = ； 当BC为斜边时，如图， BC= = 5. 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解. B C A 4 3 ① B A C 4 3 ② 20 典例解析 例3 已知∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=3，BC=4.求CD的长. 解：由勾股定理可得 AB2=AC2+BC2=25， 即 AB=5. 根据三角形面积公式， ∴AC×BC = AB×CD. ∴CD = . 由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用． A C B D 4 3 21 课程小结 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（a²+b²=c²）. 符号语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，那么a2+b2=c2. 勾股定理的证明方法：赵爽弦图（出入相补法）. 应用勾股定理的步骤：找直角→定边→代入公式计算. B C A a b c 22 随堂演练 1.如图，点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°，AE=6,BE=8，则阴影部分的面积是( ) A.48 B.60 C.76 D.80 2.如图，网格的边长为1，在△ABC中，边长为无理数的边数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 C D A B C D E A C B 23 随堂演练 3.如图(1)，三个正方形中的两个的面积S1=20，S2=60，则另一个的面积S3为_____. 4.如图(2)，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，两个正方形的面积如图所示，则△ABC的周长是_____. 80 24 S3 S1 S2 (1) 100 64 B A C (2) 24 随堂演练 5.如图(3)，点E在正方形ABCD的边AB上.若EB=1， EC=2，则正方形ABCD的面积为_____. 6.点P(a，3)在第二象限，且到原点的距离是5，则a=____. 3 -4 D C A B 2 E 1 (3) 25 第二十章 勾股定理 人教版八年级（初中）数学下册 20.1 勾股定理及其应用 20.1.1 勾股定理 26 $