20.2勾股定理的逆定理及其应用 课件 2025～2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学课件围绕勾股定理的逆定理展开，涵盖互逆命题、互逆定理、勾股数及应用。课堂导入从“小狗吃香肠”情境引出线段最短，过渡到立体图形最短路径，再通过命题对比引出互逆命题，搭建从生活到数学、旧知到新知的学习支架。 其亮点是以圆柱蚂蚁爬行、将军饮马等实际问题为载体，培养数学眼光（空间观念），通过逆定理证明、勾股数规律探究发展推理能力（数学思维），用表格和规范解题步骤强化数学语言表达。实例如圆柱侧面展开转化为直角三角形求最短路径，提升学生应用意识，为教师提供清晰教学思路和丰富素材。

20.2勾股定理的逆定理及其应用 在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A→B路线，而不选择A→C→B路线，为什么？ 在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？ C A B AC+CB >AB（两点之间线段最短） B A d A B A' A B B A O 想一想：蚂蚁走哪一条路线最近？ A' 蚂蚁A→B的路线 例1: 在一个圆柱石凳上, 若小明在吃东西时留下了一点食物在B处, 恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息, 于是它想从A处爬向B处, 蚂蚁怎么走最近？ B A 典例分析 若已知圆柱体高为12cm, 底面半径为3cm, π取3. B A 3 O 12 侧面展开图 12 3π A B A' A' 解: 将圆柱侧面展开得矩形, 连接AB, 则AB为最近路线. 在Rt△ABA′中, (cm) 1.理解互逆命题、互逆定理的概念和关系. 2.能准确表述出一个命题的逆命题并判断真假. 学习目标 1.两直线平行，同位角相等. 2.同位角相等，两直线平行. 说出下列命题的题设和结论. 题设 结论 题设 请说出你的发现！ 结论 课堂导入     仔细观察命题1、命题2的题设和结论，你能发现什么？ 知识点：互逆命题和互逆定理 新知探究 2.5 6 ① 2.5，6，6.5； ② 6，8，10． 以下面各组数为边长的三角形，是直角三角形吗？(单位：cm) 6.5 8 6 10 90° 90° 2.52626.52 6282102 猜想：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形. 8 这个猜想是真命题吗？ 分析：在△ABC中，由边的关系a2+b2=c2，推导出为直角很难做到，若作一个与△ABC全等的直角三角形，则可借助全等三角形的性质来说明∠C是直角. A B C a b c 已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a2+b2=c2. 求证：△ABC是直角三角形. 9 A B C a b c A′ B′ C′ a b c ① 如图①，已知：在△ABC 中，AB = c，BC = a，CA = b，并且 a2 + b2 = c2，怎么证明△ABC 是直角三角形呢？ 如图②，画一个 Rt△A′B′C′ 中，使B′C′ = a，A′C′ = b，∠C′ = 90°. △ABC 与△ A′B′C′ 全等吗？可以说明△ABC是直角三角形吗？ ② 互逆定理 新知探究 勾股数 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形. 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数. 常见勾股数： 3，4，5； 5，12，13； 6，8，10； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41； 10，24，26等等. 新知探究 思考： 像（3，4，5）、（6，8，10）、（5，12，13）等满足a2＋b2＝c2的一组正整数，通常称为勾股数，请你填表并探索规律． a 3 6 9 12 … 3n b 4 8 12 16 … 4n c 5 10 15 20 … 5n 一组勾股数中各数的相同整数倍组成一组新的勾股数，如3,4,5各数的n倍（n为正整数）组成的数组3n，4n，5n也是勾股数. ①从表中你能发现什么规律？ ②你能根据发现的规律写出更多的勾股数吗？试试看 ． 典例精析 我们知道3,4,5是一组勾股数，那么3k,4k,5k（k是正整数）也是一组勾股数吗？ 一般地，如果a,b,c是一组勾股数，那么ak,bk,ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？ 解：（1）3k,4k,5k也是一组勾股数. 因为（3k）2+（4k）2=9k2+16k2=25k2,（5k）2=25k2, 所以（3k）2+（4k）2=（5k）2. 勾股数拓展性质的证明： （2）如果a,b,c是一组勾股数，那么ak,bk,ck也是一组勾股数. 因为a,b,c是勾股数，则a2+b2=c2 （ak）2+（bk）2=a2k2+b2k2=（a2+b2）k2=c2k2,（ck）2=c2k2 故（ak）2+（bk）2=（ck）2,所以ak,bk,ck也是一组勾股数. 新知探究 思考： 前面我们学习了两个命题，分别为： 命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2． 命题2：如果三角形的三边长a ，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 两个命题的题设和结论有何联系？ 知识梳理 能够成为直角三角形三条边长的三个 ，称为勾股数. 如：3，4，5；7，24，25. 正整数 返回 1．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于A，B处，且相距20海里，已知甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船的航行方向是(　　) A．北偏东50° B．北偏东45° C．南偏东50° D．南偏东60° A 17 2．[2025淄博期中]如图，学校在校园围墙边缘开垦了一块四边形菜地ABCD，测得AB＝9 m，BC＝12 m，CD＝8 m，AD＝17 m，且∠ABC＝90°，则这块菜地的面积是(　　) A．48 m2 B．114 m2 C．122 m2 D．158 m2 18 求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法：先找到其中一点关于这条直线的对称点, 连接对称点与另一点的线段就是最短路径长, 以连接对称点与另一个点的线段为斜边, 构造出直角三角形, 再运用勾股定理求最短路径. 归纳 例5. 如图, 圆柱形玻璃杯高为12cm, 底面周长为18cm, 在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜, 此时一只蚂蚁正好在杯外壁, 离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处, 则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 。 将军饮马问题 3．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是(　　) A．AB2＝20 B．∠BAC＝90° C．△ABC的面积为10 D．点A到直线BC的距离是2 21 返回 【答案】C 22 【点拨】A. AB2＝22＋42＝20，正确，故不符合题意；B. ∵AC2＝12＋22＝5，AB2＝20，BC2＝32＋42＝25，∴AC2＋AB2＝BC2.∴∠BAC＝90°，正确，故不符合题意；C. S△ABC＝4× 4－×3×4－×2×1－×2×4＝5，错误，故符合题意；D.设点A到直线BC的距离为h.∵BC2＝25，∴BC＝5(负值已舍去)．∴×5×h＝5，解得h＝2，即点A到直线BC的距离是2，正确，故不符合题意． $