15.2 随机事件的概率 课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

第十五章 概率 1.1 周期变化 概率的性质 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率. 事件 A 的概率用 P(A) 表示，则 P(A) 满足如下基本性质： 0 ≤ P(A) ≤ 1. 对于必然事件 Ω 和不可能事件 Ø，显然： P(Ω) = 1，P(Ø) = 0. 试验①：投掷一枚质地均匀硬币，观察落地时朝上的情况. 6种 1点 2点 3点 4点 5点 6点 试验②：抛掷一枚枚质地均匀的骰子，观察它落地时朝上面的点数. 问题1：找出下列试验样本点及样本空间的共性. 2种 正面朝上 反面朝上 上面的问题具有以下两个特点： （1）样本空间 Ω 只含有有限个样本点； （2）每个基本事件的发生都是等可能的. 我们将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型. 在古典概型中，如果样本空间 Ω ={ω1，ω2，…，ωn} (其中，n 为样本点的个数)，那么每一个基本事件 {ωk} (k = 1，2，…，n) 发生的概率都是 . 如果事件 A 由其中 m 个等可能基本事件组合而成，即 A 中包含 m 个样本点，那么事件 A 发生的概率为 P(A) = . 一般地，若用 n (M) 表示事件 M 包含的样本点个数，则 P(A) = . 例1：一只不透明的口袋内装有大小相同的 5 个球，其中 3 个白球、2 个黑球，“从中一次摸出 2 个球，结果都是白球”记为事件 A， 求 P(A) . 解：分别记白球为 1，2，3 号，黑球为 4，5 号，样本点 (1，2) 表示“摸到 1，2 号球”（余类推），则样本空间 Ω 为 Ω = {(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)， (2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}， A = {(1，2)，(1，3)，(2，3)}. 因此，P(A) = = . 例2：豌豆的黄绿色性状的遗传由其一对基因决定，其中 决定黄色的基因记为 D，决定绿色的基因记为 d，则杂交 所得第一子代的一对基因为Dd. 若第二子代的 D，d 基因 的遗传是等可能的，求第二子代为黄色的概率 (只要有基因 D 就是黄色，只有两个基因全是 d 时，才显现绿色). 解：由于第二子代的 D，d 基因的遗传是等可能的，故来自父方的配子 D，d 与来自母方的配子 D，d 随机组合，共有 4 种可能，即 Ω = {DD，Dd，dD，dd}. 记“第二子代为黄色”为事件 A，则 A ={DD，Dd，dD}； 因此，P(A) = = = 0.75. 答：第二子代为黄色的概率为 0.75. 例3：同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数. （1）写出样本空间 Ω 所包含的样本点. （2）点数之和是 2 的概率是多少? （3）点数之和是 6 的概率是多少? （4）点数之和是 3 的倍数的概率是多少? 1 2 3 4 5 6 1 2 2 3 4 5 6 1 3 2 3 4 5 6 1 4 2 3 4 5 6 1 5 2 3 4 5 6 1 6 2 3 4 5 6 1 你还有其他方法将样本空间表示出来吗？ 解：（1）该试验的所有样本点用树状图表示如下： （1）第一颗骰子向上的点数有 6 种可能的结果，对每一种结果，第二颗又都有 6 种可能的结果，于是一共有 6×6 = 36 种不同的可能结果；样本点 (2，3)表示“第一颗骰子向上的点数为 2，第二颗骰子向上的点数为 3”（余类推)，则样本空间 （2）点数之和是 2 的概率是多少? （3）点数之和是 6 的概率是多少? （4）点数之和是 3 的倍数的概率是多少? （2）记“同时抛掷两颗骰子，结果向上的点数之和是 2”为事件 A， 则 A = {(1，1)}，由古典概型可知 P(A) = ； （3）记“同时抛掷两颗骰子，结果向上的点数之和是 6”为事件 B， 则B = {(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}，由古典概型可知 P(B) = ； （4）记“同时抛掷两颗骰子，结果向上的点数之和是 3 的倍数”为事件 C， 则C = {(1，2)，(2，1)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(3，6)，(4，5)，(5，4)，(6，3)，(6，6)，由古典概型可知 P(C) = = . 例4：用 3 种不同颜色给图中 2 个矩形随机涂色，每个矩形只涂 1 种颜色. 求：（1）2 个矩形颜色相同的概率；（2）2 个矩形颜色不同的概率. 解：（1）3 种不同颜色分别记为 1，2，3，样本点 (1，3) 表示“第一个矩形涂 1 号色，第二个矩形涂 3 号色” (余类推)，则样本空间为 Ω = {(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)}； 记“2 个矩形颜色相同”为事件A，则 A = {(1，1)，(2，2)，(3，3)}. 根据古典概型可知 P(A) = = ； （2）记“2 个矩形颜色不同”为事件 B，则B = {(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)，(3，2)}；根据古典概型可知 P(B) = = . 求古典概型概率的步骤 ① 先判断是否为古典概型； ② 确定样本点的总数 n； ③ 确定事件 A 包含的样本点个数 m； ④ 计算事件 A 的概率，即 P(A) = . 1.单选题是标准化考试的常用题型，一般是从A、B、C、D四个选项中选择一个正确答案. 若考生掌握了考察的内容，就能选择唯一正确的答案. 假设考生不会做，他随机的选择一个答案，问他答对的概率是多少？ 解：试验有选 A、选 B、选 C、选 D 共 4 种可能结果，试验的样本空间表示为 Ω ={A，B，C，D}，则 n (Ω) = 4；考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，是一个古典概型． 设事件 M =“选中正确答案”，因为单选题的正确答案是唯一的，则 n(M) = 1， 所以，考生随机选择一个答案，答对的概率 . 1. 古典概型：（1）有限性；（2）等可能性. 2. 古典概型概率计算公式：； 其中，n(A) 和 n(Ω) 分别表示事件 A 和样本空间包含的样本点个数. 3. 求解古典概型问题的一般思路： ① 明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号表示试验的可能结果； ② 根据实际问题情境判断样本点的等可能性； ③ 计算样本点总个数及事件 A 包含的样本点个数，求出事件 A 的概率. 回顾：本节课你学到了哪些知识？ 1. 用频率估计概率 （1）《中国青年报》社会调查中心对 2000名 18 ~ 35 岁的青年进行的一项调查显示，在生活节奏加快的今天，70.0 % 的受访青年表示仍要培养古典诗词爱好，15.5 % 的人认为不需要，14.5 % 的人表示不好说. 随机选取一名 18 ~ 35 岁的青年，这名青年认为仍要培养古典诗词爱好的概率为多少？ （2）随机抛一个瓶盖，观察它落地后的状态，怎么确定瓶盖口朝下的概率？ 上述两个问题，如果用古典概型来确定概率，显然是不太合适的，但是我们可以利用有关统计数据得出事件发生的概率的估计值. 例如，可以重复做抛瓶盖试验若干次（设为n次），然后观察盖口朝下的次数（设为m次），最后用盖口朝下的频率 作为盖口朝下的概率的估计值. 尝试与发现：你觉得利用频率来估计概率的办法可靠吗？怎样检验这种方法的可靠性？ 15 为了验证这种确定事件发生的概率的方法的可靠性，历史上很多学者做过了成千上万次抛均匀硬币的试验，得到的结果如下表所示. 试验者 抛掷次数 n 正面向上次数 m 正面向上频率 德·摩根 2048 1061 0.5181 布 丰 4040 2048 0.5069 费 勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 24000 12012 0.5005 罗曼诺夫斯基 80640 40173 0.4982 16 抛均匀硬币观察朝上的面时，利用古典概型可算得正面朝上的概率为 ，不难看出，以上学者们所得到的频率值，都可以较好地作为正面朝上的概率的近似值； 事实上，大数定律能够保证，在大量重复的试验过程中，一个事件发生过的频率会很接近于这个事件发生的概率，而且，试验的次数越多，频率与概率之间差距很小的可能性越大. 17 一般地，对于给定的随机事件 A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率会在随机事件 A 发生的概率 P(A) 的附近摆动并趋于稳定. 我们将频率的这个性质称为频率的稳定性. 因此，若随机事件 A 在 n 次试验中发生了 m 次，则当试验次数 n 很大时，可以用事件 A 发生的频率 来估计事件 A 的概率，即 . 18 例1：某市 1999 — 2002 年新生儿出生数及其中男婴数 (单位： 人) 的数据如下表所示： （1）试计算男婴各年出生的频率（精确到0.001）； （2）该市男婴出生的概率约是多少？ 解：（1）1999 年男婴出生的频率为 ≈ 0.524； 同理可得 2000 年、2001 年和 2002 年男婴出生的频率分别为 0.521，0.512，0.513. （2）该市男婴出生的概率约是多少？ （2）该市各年男婴出生的频率在 0.51 至 0.53 之间，故该市男婴出生的概率约为 0.52. 例2：对某地近 50 年的 8 月 1 日和 9 月 1 日的天气资料进行分析，其中降雨的结果如下表所示： 问：该地 8 月 1 日与 9 月 1 日哪一天降雨的可能性大？ 解：该地 8 月 1 日与 9 月 1 日的降雨的降雨频率如表所示（精确到 0.01）. 从表中可以看到，8 月 1 日该地降雨的频率在 0.8 至 0.85 之间，其降雨的概率大约在 0.8 至 0.85 之间； 而 9 月 1 日该地降雨频率在 0.3 至 0.35 之间，其降雨的概率大约在 0.3 至 0.35 之间； 因此，可以估计该地 8 月 1 日的降雨可能性更大一些. 练一练：为了确定某类种子的发芽率，从一大批这类种子中随机抽取了 2000 粒试种，后来观察到有 1806 粒发了芽，试估计这类种子的发芽率. 解：因为 ，所以估计这类种子的发芽率为 0.903. 方法归纳：在用频率估计概率时，不同的试验结果可能会产生不同的估计值.以发芽率为例，即使在一次试验中估计的结果为 0.903，也不代表下一次种 10000 粒种子时，就有 9030 粒种子发芽，只能说发芽的种子接近 9030 粒. 23 结合本课所学，回答下列问题： 1. 结合“频率的稳定性”，说说为什么大量重复试验的频率可以用来估计对应随机事件的概率？ 2. 在例1中，为何能用 1999 — 2002 年的频率的集中范围估计该市男婴出生的概率？ 3. 结合频率与概率的关系，说说用频率估计概率在生活中有什么作用？ 抛掷硬币试验 Lavf58.29.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 $