15.3 互斥事件和独立事件（第2课时 独立事件）课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

该高中数学课件聚焦相互独立事件，涵盖定义、公式推广及性质，通过自主诊断判断题对比互斥事件，构建从概念辨析到公式应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其特色是结合投篮、垃圾分类答题等现实情境，用定义法与公式法培养数学思维，题后反思提炼解题步骤，助力学生发展逻辑推理与应用意识，教师可借分层题型提升教学效率。

第15章　概率 15.3　互斥事件和独立事件 第2课时　独立事件 苏教版 必修第二册 【课标要求】 1.理解相互独立事件的意义,弄清事件“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念. 2.掌握两个相互独立事件同时发生的概率乘法公式. 3.能够综合运用相互独立事件的概率乘法公式解决一些较简单的相关概率计算问题. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　事件的相互独立性 定义:一般地,对于两个随机事件A,B,如果P(AB)=P(A)P(B),那么称A,B为相互独立事件. 知识点二　公式的推广 独立事件可以推广到n个事件的情形(n∈N,n>2).一般地,如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)…P(An). 知识点三　相互独立事件的性质 如果事件A与B相互独立,那么A与与B,也相互独立. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若事件A和B满足P(AB)=P(A)P(B),则A与B独立.(　　) (2)掷一枚骰子,事件A为“掷出奇数点”,事件B为“掷出点数小于4”,则A和B独立.(　　) (3)甲、乙两人分别投篮,事件A为“甲投中”,事件B为“乙投中”,若两人投篮互不影响,则A和B独立.(　　) √ × √ 题型分析·能力素养提升 【题型一】相互独立事件的判断 例1 [链接教材例1]判断下列各对事件是不是相互独立事件: (1)甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”. (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”. (3)掷一枚骰子一次,“出现偶数点”与“出现3点或6点”. 解 (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所以它们是相互独立事件. (2)“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为,若这一事件发生了,则“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球”的概率为,若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为可见,前一事件是否发生,对后一事件发生的概率有影响,所以两者不是相互独立事件. (3)记事件A为“出现偶数点”,事件B为“出现3点或6点”,则A={2,4,6},B={3,6},AB={6}, 所以P(A)=,P(B)=,P(AB)=,所以P(AB)=P(A)P(B),所以事件A与B相互独立. 题后反思　判断两个事件是否具有独立性的方法 (1)定义法:直接判断两个事件发生是否相互影响. (2)公式法:检验P(AB)=P(A)P(B)是否成立. 跟踪训练1 有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”,则下列结论中正确的是(　　) A.甲与乙相互独立 B.乙与丙相互独立 C.甲与丙相互独立 D.乙与丁相互独立 A 解析 由题意,得P(甲)=,P(乙)=,P(丙)=,P(丁)= 对于A,因为P(甲乙)=,所以P(甲)·P(乙)=P(甲乙),所以甲与乙相互独立,故A正确; 对于B,因为P(乙丙)=,所以P(乙)·P(丙)≠P(乙丙),所以乙与丙不是相互独立,故B不正确; 对于C,因为P(甲丙)=,所以P(甲)·P(丙)≠P(甲丙),所以甲与丙不是相互独立,故C不正确; 对于D,P(乙丁)=,所以P(乙)·P(丁)≠P(乙丁),所以乙与丁不是相互独立,故D不正确.故选A. 【题型二】相互独立事件同时发生的概率 例2 (多选题)甲、乙两人独立地解决同一问题,甲解出此问题的概率是,乙解出此问题的概率是.则下列说法正确的是(　　) A.甲、乙都解出此问题的概率为 B.甲、乙都未解出此问题的概率为 C.甲、乙恰有一人解出此问题的概率为 D.至少有一人解出此问题的概率为 AC 解析 记甲解出此题为事件A,乙解出此题为事件B,A与B为相互独立事件,则P(A)=,P(B)=, 由P(AB)=P(A)·P(B)=,故A正确; 由P()=P()·P()=[1-P(A)]·[1-P(B)]=,故B错误; 记事件C为甲、乙恰有一人解出此问题,则C=AB,所以P(C)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=P(A)·[1-P(B)]+[1-P(A)]·P(B)=,故C正确; 记事件D为至少有一人解出此问题,P(D)=1-P()=1-,故D错误.故选AC. 题后反思　1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤: (1)首先确定各个事件之间是相互独立的; (2)确定这些事件可以同时发生; (3)求出每个事件的概率,再求积. 2.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时,要掌握公式的适用条件,即各个事件是相互独立的,而且它们同时发生. 跟踪训练2 已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5,0.4,0.3,a,如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率,则a的最大值是　　　　.  0.79 解析 因为甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5,0.4,0.3,a,甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率,所以1-(1-0.5)×(1-0.4)×(1-0.3)≥a,解得a≤0.79.所以a的最大值是0.79. 【题型三】相互独立事件概率的综合运用 例3 垃圾分类一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运,从而转变成公共资源的一系列活动的总称.垃圾分类具有社会、经济、生态等多方面的效益.小明和小亮组成“明亮队”参加垃圾分类有奖答题活动,每轮活动由小明和小亮各答一个题,已知小明每轮答对的概率为p,小亮每轮答对的概率为,且在每轮答题中小明和小亮答对与否互不影响,各轮结果也互不影响.已知一轮活动中,“明亮队”至少答对1道题的概率为. (1)求p的值; (2)求“明亮队”在两轮活动中答对3道题的概率. 解 (1)设事件A为“一轮活动中小明答对一题”,事件B为“一轮活动中小亮答对一题”,则P(A)=p,P(B)=设事件C为“一轮活动中‘明亮队’至少答对1道题”,则因为每轮答题中小明和小亮答对与否互不影响,所以事件A与事件B相互独立,所以相互独立, 所以P()=P()=P()P()=(1-p)=1-P(C)=,所以p= (2)设事件Ai为“两轮活动中小明答对了i道题”,事件Bi为“两轮活动中小亮答对了i道题”,i=0,1,2. 由题意得,P(A1)=,P(A2)=, P(B1)=,P(B2)= 设事件E为“‘明亮队’在两轮活动中答对3道题”, 则E=A1B2+A2B1.因为Ai和Bi相互独立,则A1B2与A2B1互斥, 所以P(E)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)= 所以“明亮队”在两轮活动中答对3道题的概率为 题后反思　求较为复杂事件的概率的方法 (1)列出题中涉及的各个事件,并且用适当的符号表示; (2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立,或者是相互独立),列出关系式; (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算; (4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时,可先间接地计算对立事件的概率,再求出符合条件的事件的概率. 跟踪训练3 已知甲运动员的投篮命中率为0.7,乙运动员的投篮命中率为0.8,甲、乙两人投篮是否投中相互独立. (1)若甲、乙各投篮一次,则都命中的概率为多少? (2)若甲投篮两次,则恰好投中一次的概率为多少? (3)若乙投篮两次,则至少投中一次的概率为多少? 解 (1)记“甲投篮一次命中”为事件A,“乙投篮一次命中”为事件B,A与B为相互独立事件,且P(A)=0.7,P(B)=0.8.设事件C表示“甲、乙投篮都命中”,则C=AB.因为A与B相互独立,所以P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.7×0.8=0.56,即甲、乙投篮都命中的概率为0.56. (2)设事件Ai为“甲第i次投篮投中”,事件D表示“甲投篮两次,恰好投中一次”,则D=A1A2.易知A1与与A2均相互独立,A1A2互斥,因此P(D)=P(A1A2)=P(A1)+P(A2)=P(A1)P()+P()P(A2) =P(A1)[1-P(A2)]+[1-P(A1)]P(A2)=0.7×(1-0.7)+(1-0.7)×0.7=0.42. (3)设事件Bi为“乙第i次投篮投中”,事件E表示“乙投篮两次,至少投中一次”,则为“乙投篮两次,都没投中”,即,因此P(E)=1-P()=1-P() =1-P()P()=1-(1-0.8)×(1-0.8)=0.96. $