9.1.2.2 非线性回归模型 课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

9.1.2.2 非线性回归模型 问题：人们常将男子短跑100m的高水平运动员称为“百米飞人”.下表给出了1968年之前男子短跑100m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据.试依据这些成对数据，建立男子短跑100m世界纪录关于纪录产生年份的经验回归方程. 以成对数据中的世界纪录产生年份为横坐标，世界纪录为纵坐标作散点图. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 年份 1896 1912 1921 1930 1936 1956 1960 1968 记录/s 11.80 10.60 10.40 10.30 10.20 10.10 10.00 9.95 以成对数据中的世界纪录产生年份为横坐标，世界纪录为纵坐标作散点图. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 年份 1896 1912 1921 1930 1936 1956 1960 1968 记录/s 11.80 10.60 10.40 10.30 10.20 10.10 10.00 9.95 在左图中，散点看上去大致分布在一条直线附近，似乎可用一元线性回归模型建立经验回归方程. 用Y表示男子短跑100m的世界纪录，t表示纪录产生的年份，利用一元线性回归模型来刻画世界纪录和世界纪录产生年份之间的关系.根据最小二乘法，由表中的数据得到经验回归方程为： 将经验回归直线叠加到散点图，得到下图： ① 追问1：从图中可以看到，经验回归方程①较好地刻画了散点的变化趋势.请再仔细观察图形，你能看出其中存在的问题吗？ 追问1：从图中可以看到，经验回归方程①较好地刻画了散点的变化趋势.请再仔细观察图形，你能看出其中存在的问题吗？ 以经验回归直线为参照，可以发现经验回归方程的不足之处，以及散点的更为精细的分布特征，例如，第一个世界纪录所对应的散点远离经验回归直线，并且前后两时间段中的散点都在经验回归直线的上方，中间时间段的散点都在经验回归直线的下方.这说明散点并不是随机分布在经验回归直线的周围，而是围绕着经验回归直线有一定的变化规律，即成对样本数据呈现出明显的非线性相关的特征. 仔细观察上图，可以发现散点更趋向于落在中间下凸且递减的某条曲线附近。 追问2：你能对模型进行修改，以使其更好地反映散点的分布特征吗？ 回顾已有的函数知识，可以发现函数y=-lnx的图象具有类似的形状特征. 注意到100m短跑的第一个世界纪录产生于1896年，因此可以认为散点是集中在曲线y=f(t)=c1+c2ln(t-1895)的周围，其中c1、c2为未知参数，且c2<0. y=f(t)=c1+c2ln(t-1895) 这是一个非线性经验回归函数，如何利用成对数据估计参数c1、c2 令x=ln(t-1895),则Y=c2x+c1 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 年份/t 1896 1912 1921 1930 1936 1956 1960 1968 x 0.00 2.83 3.26 3.56 3.71 4.11 4.17 4.29 记录/s 11.80 10.60 10.40 10.30 10.20 10.10 10.00 9.95 对数据进行变化可得下表： 得到散点图如下： * 由表中的数据得到经验回归方程为： 经验回归方程(*)对于成对数据具有非常好的拟合精度. 将x=ln(t-1895)代入： 上述y与x的关系，因为不再是线性相关关系，所以称为非线性相关关系，所得到的方程称为非线性回归方程(也简称为回归方程). 常见非线性模型及其线性化的方法 (1)指数函数y=αeβx(α>0) β>0 β<0 处理方法： 两边取自然对数，得lny=lnα+βx，令y´=lny，x´=lnx，则y´=lnα+βx´ 归纳总结 (2)幂函数y=αxβ(α>0) β>0 β<0 (3)对数函数y=α+βlogax 0<β<1 β>1 -1<β<0 β<-1 处理方法： 两边取自然对数，得lny=lnα+βlnx，令y´=lny，x´=lnx，则y´=lnα+βx´. 处理方法： 令x´=logax，则y´=α+βx´. 例1 某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x(单位：千万元)对年销售量y(单位：千万件)的影响，统计了近10年投入的年研发费用xi与年销售量yi(i＝1，2，…，10)的数据，得到散点图如图所示. 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归直线 ＝ ＋ u的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ＝ ， ＝ － . (1)利用散点图判断y＝a＋bx和y＝c·xd(其中c，d均为大于0的常数)哪一个更适合作为年销售量y和年研发费用x的回归方程类型(只要给出判断即可，不必说明理由)； y＝c·xd (2)对数据作出如下处理，令ui＝ln xi，vi＝ln yi，得到相关统计量的值如下表： 15 15 28.25 56.5 根据(1)的判断结果及表中数据， 求y关于x的回归方程. 解：对y＝c·xd两边取对数，得ln y＝ln c＋dln x，即v＝ln c＋du. 由表中数据求得 ＝ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ＝ . 令ln c＝m，则 ＝ － ＝ － × ＝ ，即c＝ ， 所以年销售量y与年研发费用x的回归方程为 ＝ . 根据本节课所学，回答下列问题： 1.线性相关系数r的公式是什么？r有哪些性质？ 2.非线性模型如何转化为线性模型？ 1.用模型y＝aebx＋1（a＞0）拟合一组数据时，令z＝ln y，将其变换后得到经验回归方程z＝2x＋a，则＝( ) A. e B. C. D. 2 D D 非线性关系解题关键： 画出已知数据的散点图→选择合适的曲线类型（幂函数、对数函数、指数函数等）→采用适当的变量变换，将非线性关系转化为线性关系→用最小二乘法求回归系数→转换为对应的回归方程 2.下列数据符合函数模型(　　) x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 2 2.69 3 3.38 3.6 3.8 4 4.08 4.2 4.3 A．y＝2＋eq \f(1,3)x B．y＝2ex C．y＝e eq \s\up6(\f(1,x)) D．y＝2＋ln x $