9.1.2 一元线性回归模型-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

9.1　线性回归分析 9.1.2　一元线性回归模型 第9章　统计 [学习目标]　1.了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义．　2.掌握最小二乘估计，会求回归直线的方程，能根据经验回归方程进行预测．　3.理解残差、线性回归模型的概念，会进行线性回归分析． [素养目标]　水平一：掌握一元线性回归模型与函数模型的区别以及一元线性回归模型拟合好坏的刻画．(数据分析) 水平二：会用一元线性回归模型进行预测．(数学运算) 学习引语 某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表： 如果某天的气温是－5 ℃，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？ 气温/℃ 26 18 13 10 4 －1 杯数 20 24 34 38 50 64 探究活动1　一元线性回归模型 内容索引 探究活动2　利用经验回归方程对总体进行估计 课时作业 巩固提升 探究活动3　残差 课堂达标·素养提升 4 探究活动1　一元线性回归模型 问题　如果散点图中的样本点大体分布在一条直线附近，怎样选择恰当的直线反映两个变量之间的线性相关关系？ 提示　可以用y＝a＋bx＋ε来反映两个变量之间的线性相关关系． 1．随机误差 具有线性相关关系的两个变量x，y，其中y的值不能由x完全确定，可将x，y之间的关系表示为y＝a＋bx＋ε，其中________是确定性函数，____称为随机误差． 知识生成 a+bx ε 2．随机误差产生的主要原因 (1)所用的确定性函数不恰当引起的误差； (2)忽略了某些因素的影响； (3)存在观测误差． 3．y＝__________称为一元线性回归模型． a+bx+ε 回归截距 回归系数 回归值 [例1]　某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如表所示： (1)画出销售额和利润额的散点图； (2)若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额y对销售额x的经验回归方程． 知识应用 商店名称 A B C D E 销售额(x)/千万元 3 5 6 7 9 利润额(y)/百万元 2 3 3 4 5 [解]　(1)散点图如图： (2)数据如表所示： i xi yi x xiyi A 3 2 9 6 B 5 3 25 15 C 6 3 36 18 D 7 4 49 28 E 9 5 81 45 合计 30 17 200 112 求经验回归方程的一般步骤 1.收集样本数据，设为(xi，yi)(i＝1，2，…，n)(数据一般由题目给出). 2.作出散点图，确定x，y具有线性相关关系． 反思感悟 1．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据： (1)请画出上表数据的散点图； 跟踪训练 x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 解：(1)如图， 样本点分布在一条直线附近，y与x具有线性相关关系． 探究活动2　利用经验回归方程对总体进行估计 [例2]　一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少随机器运转速度的变化而变化，下表为抽样试验的结果： 知识应用 转速x/(转/秒) 16 14 12 8 每小时生产有缺点的零件数y/件 11 9 8 5 [解]　(1)散点图如图1所示： (2)近似直线如图2所示： 若已知y与x是线性相关关系，则可利用经验回归方程进行估计和预测．否则，若两个变量不具备相关关系或它们之间的相关关系不显著，即使求出经验回归方程也毫无意义． 反思感悟 2．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次实验，得到的数据如下： (1)已知零件个数与加工时间线性相关，求出y关于x的经验回归方程； (2)试预测加工10个零件需要多少时间？ 跟踪训练 零件的个数x/个 2 3 4 5 加工的时间y/h 2.5 3 4 4.5 解：(1)由表中数据， 探究活动3　残差 提示　不一定，因为还有其他影响他儿子身高的因素，父亲的身高不能完全决定儿子身高． 残差 一般地，我们将__________与对应的__________之差称为残差，残差是随机误差ε的估计效果． 知识生成 观测值 估计值 [例3]　某运动员训练次数x与成绩y的数据如表： (1)作出散点图； (2)建立成绩y关于次数x的经验回归方程(结果精确到0.001)； (3)用残差分析的方法判断用一元线性回归模型是否合理； (4)计算R2，并用R2说明拟合效果的好坏． 知识应用 次数x 30 33 35 37 39 44 46 50 成绩y 30 34 37 39 42 46 48 51 [解]　(1)该运动员成绩y与训练次数x之间的散点图如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系． (3)某运动员训练次数与成绩之间的数据及相应的残差数据为 残差图如图所示． 由图可知，残差比较均匀地分布在横轴的两边，说明该一元线性回归模型比较合理． 刻画回归效果的三种方法 1.残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适． 反思感悟 3．对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是(　　) 跟踪训练 A 解析：用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高． 课堂小结 1.知识清单 (1)线性回归模型． (2)利用经验回归方程对总体进行估计． (3)残差． 2．方法归纳 最小二乘估计、转化化归、公式法．　 〈课堂达标·素养提升〉 1．(多选)以下四个散点图中，两个变量的关系适合用线性回归模型刻画的是(　　) 解析：A，C中的点分布在一条直线附近，适合用线性回归模型刻画． AC C 3．已知x与y之间的一组数据： x 0 1 2 3 y m 3 5.5 7 D 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4．有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品的销售额y的有关数据如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 平均气温/℃ －2 －3 －5 －6 销售额/万元 20 23 27 30 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x 1 2 3 4 5 y 2 4 4 7 8 答案：A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案：ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 4.5 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8．某人身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm， 170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，此人用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为__________cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 185 解析：设父亲身高为x cm，儿子的身高为y cm，由题意可列表格： 由表格中数据得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x 173 170 176 y 170 176 182 9．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一银行连续五年的储蓄存款(年底余额)： 为了研究计算方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t＝x－2 016，z＝y－5得到下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 年份x 2017 2018 2019 2020 2021 储蓄存款y/ 千亿元 5 6 7 8 10 时间代号t 1 2 3 4 5 z 0 1 2 3 5 (1)求z关于t的经验回归方程； (2)通过(1)中的方程，求出y关于x的经验回归方程； (3)用所求回归方程预测到2024年年底，该地储蓄存款额可达多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 10．(多选)相关变量x，y的散点图如图，若剔除点13后，剩下数据得到的统计中，较剔除之前值变小的是(　 　) A ．样本的相关系数 B．残差的平方和 C．样本数据y的平均值 D．回归直线中的回归系数 ABC 解析：由散点图可知，去掉点13后，y与x的线性相关加强，且为负相关，所以样本的相关系数变小，残差的平方和变小，样本数据y的平均值变小，故A，B，C正确；回归直线中的回归系数变大，故D错误． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 答案：BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系： 小李这5天的平均投篮命中率为__________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为__________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 时间x 1 2 3 4 5 命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 0.5 0.53 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了5月1日至5月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料： 13 日期 5月1日 5月2日 5月3日 5月4日 5月5日 温差x/℃ 10 11 13 12 8 发芽数y/颗 23 25 30 26 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)从5月1日至5月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均小于25”的概率； (3)若由经验回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的经验回归方程是可靠的，试问(2)中所得的经验回归方程是否可靠？ 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)当x＝10时，y＝22；当x＝8时，y＝17， 与检验数据的误差是1，满足题意，故认为得到的经验回归方程是可靠的． 13 4．经验回归直线和经验回归方程 把a，b的估计值记为，，则 由此得到的直线＝＋x称为这n对数据的经验回归直线，此直线方程称为经验回归方程，称为 ，称为 ，称为 ． 上述求经验回归方程的方法称为“最小二乘估计”． 温馨提醒　1.回归直线过样本点的中心(，). 2．用最小二乘估计求经验回归方程的前提是先判断所给数据具有线性相关关系(可利用散点图来判断)，否则求出的经验回归方程无意义． 可以求得＝6，＝，＝0.5，＝0.4， 经验回归方程为＝0.5x＋0.4. 3.把数据制成表格xi，yi，x，xiyi. (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘估计求出y关于x的经验回归方程＝x＋； (3)试根据求出的经验回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力． ＝＝＝0.7， ＝－＝4－0.7×9＝－2.3， 故经验回归方程为＝0.7x－2.3. (3)由(2)中经验回归方程可知， 当x＝9时，＝0.7×9－2.3＝4， 故预测记忆力为9的同学的判断力约为4. (1)画出散点图； (2)如果y与x有线性相关关系，请画出一条直线近似地表示这种线性关系； (3)在实际生产中，若y关于x的经验回归方程为＝x－，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10件，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？ (3)由y≤10得x－≤10， 解得x≤14， 所以机器的运转速度应控制在14转/秒内． ＝＝3.5， ＝＝3.5， ∴＝＝0.7， ∴＝－＝3.5－0.7×3.5＝1.05， ∴y关于x的经验回归方程为＝0.7x＋1.05. (2)加工10个零件时，大约需要 0．7×10＋1.05＝8.05(h). 问题　课本例题中我们知道儿子身高y关于父亲身高x的经验回归方程为＝0.469 1x＋90.577，那么当x＝166时，＝0.469 1×166＋90.577≈168(cm)，如果一位父亲的身高为166 cm，他儿子长大成人后的身高一定是168 cm吗？为什么？ (2)∵＝39.25，＝40.875， ＝－≈0.016. ∴经验回归方程为＝1.041x＋0.016. x 30 33 35 37 39 44 46 50 y 30 34 37 39 42 46 48 51 ＝y－ －1.246 －0.369 0.549 0.467 1.385 0.18 0.098 －1.066 (4)计算得R2＝1－≈0.985.说明拟合效果较好． 2．设一个经验回归方程为＝2－2.5x，若变量x增加1个单位，则变量y(　　) A．平均增加2.5个单位 B．平均增加2个单位 C.平均减少2.5个单位 D．平均减少2个单位 解析：由经验回归方程的意义知，当x增加1个单位时，平均减少2.5个单位． 已求得关于y与x的经验回归方程＝2.2x＋0.7，则m的值为(　　) A．1　　　　　　　　　 B．0.85 C．0.7 D．0.5 解析：经验回归直线必过点(1.5，)，故＝4，m＋3＋5.5＋7＝16，得m＝0.5. 4．对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(xi，yi)(i＝1，2，3，…，8)，其经验回归方程是＝x＋，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝24，y1＋y2＋y3＋…＋y8＝12，则实数的值是________． 解析：根据题意知，x1＋x2＋…＋x8＝24，y1＋y2＋…＋y8＝12，∴＝×24＝3，＝×12＝，∴线性回归直线＝x＋过点，∴＝－×3＝，即实数＝. [A组　必备知识练] 1．已知变量x，y的取值如表所示，若y与x线性相关，且＝0.95x＋，则实数＝(　　) A．3.25　　　　　　　　　 B．2.6 C．2.2 D．0 解析：＝＝2，＝ ＝4.5.∴4.5＝0.95×2＋，解得＝2.6. 2．已知经验回归方程为＝x＋，其中＝3且样本点的中心为(1，2)，则经验回归方程为(　　) A．＝x＋3 B. ＝－2x＋3 C．＝－x＋3 D．＝x－3 解析：由回归直线一定过样本点的中心及 ＝3，可得×1＋3＝2， ∴＝－1，∴经验回归方程为＝－x＋3. 3．一位母亲记录了自己儿子3～9岁的身高数据(略)，由此建立的身高与年龄的回归模型为＝7.19x＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是(　　) A．身高一定是145.83 cm B．身高在145.83 cm以上 C．身高在145.83 cm左右 D．身高在145.83 cm以下 解析：由回归模型可得＝7.19×10＋73.93＝145.83，所以预测这个孩子10岁时的身高在145.83 cm左右． 根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y与平均气温x之间的经验回归方程＝x＋的系数＝－2.4.则预测平均气温为－8 ℃时，该商品的销售额为(　　) A．34.6万元 B．35.6万元 C．36.6万元 D．37.6万元 解析：由已知，得＝＝－4， ＝＝25， 所以＝－＝25＋2.4×(－4)＝15.4， 即经验回归方程为＝－2.4x＋15.4， 当x＝－8时，＝34.6. 5．给定两个随机变量x和y的5组数据如下表所示，利用最小二乘估计得到y关于x的经验回归方程为＝1.5x＋，则(　　) A.＝0.5，x＝3时的残差为－1 B．＝0.5，x＝3时的残差为1 C．＝0.4，x＝3时的残差为－0.9 D．＝0.4，x＝3时的残差为0.9 解析：由已知＝＝3，＝＝5， 因为点在回归直线＝1.5x＋上， 所以＝0.5， 所以x＝3时＝1.5×3＋0.5＝5，所以残差为4－5＝－1. 6．(多选)为了探讨学生的物理成绩y与数学成绩x之间的关系，从某批学生中随机抽取10名学生的成绩，并已计算出＝80，物理成绩y关于数学成绩x的经验回归方程为＝0.8x＋12.5，下列说法正确的有(　　) A．＝76.5 B．相关系数r>0 C．样本数据的残差为－3.5 D．当某学生数学成绩为100时，物理成绩一定为92.5 解析：对于选项A：因为经验回归方程必过样本中心点， 由题意可得：＝0.8×80＋12.5＝76.5，故A正确； 对于选项B：因为0.8>0，即经验回归方程为＝0.8x＋12.5的图象是上升的， 可知y与x满足正相关，所以相关系数r>0，故B正确； 对于选项C：令x＝70，可得＝0.8×70＋12.5＝68.5， 所以样本数据的残差为65－68.5＝－3.5，故C正确； 对于选项D：令x＝100，可得＝0.8×100＋12.5＝92.5， 但回归方程只能用于预测结果，并不一定与实际结果完全相等， 所以预测物理成绩为92.5，故D错误． 根据上表提供的数据，求出y关于x的经验回归方程＝0.7x＋0.35，那么表中t的值为________． 解析：由回归直线过点(，)，即＝0.7＋0.35， 得＝0.7×＋0.35， 即＝3.5，解得t＝3. 则＝＝1，＝－ ＝176－1×173＝3， ∴＝x＋3，当x＝182时，＝185. 解：(1)＝3，＝2.2， ＝＝1.2，＝－ ＝2.2－3×1.2＝－1.4， 所以＝1.2t－1.4. (2)将t＝x－2 016，z＝y－5，代入＝1.2t－1.4， 得－5＝1.2(x－2 016)－1.4，即＝1.2x－2 415.6. (3)因为＝1.2×2 024－2 415.6＝13.2， 所以预测到2024年年底，该地储蓄存款额可达13.2千亿元． 11．(多选)已知在最小二乘估计原理下，具有相关关系的变量x，y之间的经验回归方程为＝－0.7x＋10.3，且变量x，y之间的相关数据如表所示，则下列说法正确的是(　　) A.变量x，y之间呈正相关关系 B．可以预测，当x＝20时，＝－3.7 C．可求得表中m＝4.7 D．由表格数据知，该回归直线必过点(9，4) 解析：由x与y的经验回归方程可知， 回归系数为－0.7，且－0.7<0， ∴变量x，y之间呈负相关关系，故A错误； 当x＝20时，＝－0.7×20＋10.3＝－3.7， 故B正确； 由表中数据可知＝9， ＝＝， 由点(，)必在回归直线上， 得＝－0.7×9＋10.3， 解得m＝5，故C错误； ∵m＝5，∴＝＝4， ∴回归直线必过点(9，4)，故D正确． 解析：小李这5天的平均投篮命中率＝×(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4)＝0.5，＝3， ＝＝0.01，＝－＝0.5－0.03＝0.47. ∴经验回归方程为＝0.01x＋0.47， 则当x＝6时，＝0.53. ∴预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53. (2)根据5月2日至5月4日的数据，求出y关于x的经验回归方程＝x＋； 解：(1)由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验的样本空间Ω包含10个等可能的样本点，即n(Ω)＝C＝10， 设A＝“m，n均小于25”，则满足条件的样本点只有1个，即n(A)＝1，所以所求概率为P(A)＝＝. (2)∵＝12，＝27， ∴＝＝， ∴＝27－×12＝－3， ∴所求的经验回归方程是＝x－3. $$