22.1 第2课时 函数-教学设计--2025-2026学年人教版数学八年级下册

第2课时 函数一、学习目标 1. 理解函数的定义，结合常量和变量的知识，明确函数中两个变量的依存关系； 2. 3. 能识别简单实际问题中的函数关系，判断两个变量是否构成函数关系； 4. 5. 掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图像法），能根据实际情境选择合适的表示方法； 6. 7. 体会函数与生活的联系，感受函数在描述变化规律中的作用，提升抽象概括和应用能力，巩固常量与变量的知识。 8. 二、情境引入（衔接旧知，铺垫概念） 我们上节课学习了常量和变量，知道在一个变化过程中，存在数值不变的常量和数值变化的变量。在实际生活中，很多变化过程中，两个变量之间并不是孤立的，而是存在着“一个量随另一个量的变化而变化”的依存关系，例如： 1. 汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶时间$$t$$（小时）和行驶路程$$s$$（千米）都是变量，且路程$$s$$随时间$$t$$的变化而变化，具体关系为$$s=60t$$； 2. 3. 购买单价为3元的笔记本，购买数量$$n$$（本）和总花费$$y$$（元）都是变量，总花费$$y$$随购买数量$$n$$的变化而变化，具体关系为$$y=3n$$； 4. 5. 正方形的边长$$a$$（cm）和面积$$S$$（$$cm^2$$）都是变量，面积$$S$$随边长$$a$$的变化而变化，具体关系为$$S=a^2$$。 6. 思考：上述情境中，两个变量之间的变化有什么共同特点？当其中一个变量取一个确定的值时，另一个变量的值是否也随之确定？ 三、核心概念（重点掌握） 1. 函数的定义 文字语言：在一个变化过程中，有两个变量$$x$$和$$y$$，如果对于$$x$$的每一个确定的值，$$y$$都有唯一确定的值与之对应，那么就说$$y$$是$$x$$的函数，$$x$$叫做自变量，$$y$$叫做因变量。 关键解读： ① 前提：必须是“一个变化过程中”，且存在两个变量（自变量和因变量）； ② 核心：“唯一对应”—— 自变量$$x$$每取一个确定的值，因变量$$y$$只能有一个值与之对应，不能有两个或多个值； ③ 关系：因变量$$y$$随自变量$$x$$的变化而变化，自变量是主动变化的量，因变量是被动变化的量。 举例：上述情境中， - 行驶路程$$s$$是行驶时间$$t$$的函数，$$t$$是自变量，$$s$$是因变量； - 总花费$$y$$是购买数量$$n$$的函数，$$n$$是自变量，$$y$$是因变量； - 正方形面积$$S$$是边长$$a$$的函数，$$a$$是自变量，$$S$$是因变量。 2. 常量与函数的关系 在函数关系中，除了自变量和因变量这两个变量，往往还存在常量。常量是变化过程中数值不变的量，它是连接自变量和因变量的“桥梁”。 举例：在$$s=60t$$中，60（速度）是常量，$$t$$（自变量）和$$s$$（因变量）是变量，且$$s$$是$$t$$的函数；在$$y=3n$$中，3（单价）是常量，$$n$$（自变量）和$$y$$（因变量）是变量，且$$y$$是$$n$$的函数。 关键提醒：① 函数关系中，必须有两个变量，且满足“唯一对应”；② 自变量可以取的所有数值，叫做自变量的取值范围（需结合实际情境，保证有意义）；③ 常量可以是具体数字，也可以是固定字母（如$$\pi$$）。 四、函数的表示方法（三种，重点掌握） 函数有三种常用表示方法，可根据实际需求选择，三种方法可以相互转化。 1. 解析法 定义：用数学式子（等式）表示两个变量之间的函数关系，这种方法叫做解析法。 特点：简洁明了，能准确反映两个变量之间的内在规律，便于计算和推理。 举例：$$s=60t$$、$$y=3n$$、$$S=a^2$$、$$y=3x+5$$。 2. 列表法 定义：将自变量的取值和对应的因变量的值列成表格，这种方法叫做列表法。 特点：直观明了，能直接看出自变量和因变量的对应值，无需计算。 举例：购买单价3元的笔记本，列表表示数量与总花费的函数关系： 购买数量$$n$$（本） 1 2 3 4 总花费$$y$$（元） 3 6 9 12 3. 图像法 定义：在平面直角坐标系中，用点的坐标表示自变量和因变量的对应关系，所有这样的点组成的图形叫做函数的图像，这种方法叫做图像法。 特点：直观形象，能清晰看出变量的变化趋势（递增、递减等）。 举例：汽车行驶路程与时间的函数图像（为一条过原点的射线），横坐标表示时间$$t$$，纵坐标表示路程$$s$$，每一个点的坐标$$(t,s)$$都对应一组自变量和因变量的值。 五、概念辨析（突破难点，避免混淆） 1. 判断两个变量是否为函数关系的关键 核心是“唯一对应”：对于自变量$$x$$的每一个确定的值，因变量$$y$$必须有且只有一个值与之对应，缺一不可。 正确举例：$$y=2x$$，对于$$x$$的每一个值，$$y$$都有唯一确定的值（如$$x=1$$时，$$y=2$$；$$x=2$$时，$$y=4$$），是函数关系。 错误举例：汽车行驶的路程$$s$$与速度$$v$$，若时间不固定，对于同一个$$v$$，$$s$$可以有多个值（如$$v=60$$，时间1小时，$$s=60$$；时间2小时，$$s=120$$），不满足“唯一对应”，不是函数关系。 2. 易错辨析（重点关注） 1. 误区1：认为“只要有两个变量，就一定是函数关系”—— 错误。必须满足“唯一对应”，否则不是函数关系（如上述路程与速度的例子）。 2. 3. 误区2：混淆“自变量”和“因变量”—— 错误。自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化而变化的量（如“路程随时间变化”，时间是自变量，路程是因变量）。 4. 5. 误区3：忽略自变量的取值范围—— 错误。自变量的取值必须结合实际情境有意义，如购买数量$$n$$只能取正整数，边长$$a$$只能取正数。 6. 7. 误区4：认为“解析法才是函数的唯一表示方法”—— 错误。列表法、图像法也是函数的常用表示方法，三种方法可相互转化。 8. 六、典型例题（巩固应用，深化理解） 例1（基础应用：判断是否为函数关系） 判断下列两个变量之间是否为函数关系，说明理由： （1）长方形的长为5cm，宽$$w$$（cm）和面积$$S$$（$$cm^2$$）； （2）人的身高$$h$$和体重$$m$$； （3）在$$y=\pm\sqrt{x}$$中，$$x$$和$$y$$。 解： （1）是函数关系；理由：长方形的长固定为5cm，面积$$S=5w$$，对于宽$$w$$的每一个确定的值（正数），面积$$S$$都有唯一确定的值与之对应，满足函数定义。 （2）不是函数关系；理由：对于同一个身高$$h$$，可能有多个不同的体重$$m$$（如身高170cm的人，体重可能是60kg，也可能是65kg），不满足“唯一对应”。 （3）不是函数关系；理由：对于$$x$$的每一个正数的值，$$y$$都有两个值与之对应（如$$x=4$$时，$$y=2$$或$$y=-2$$），不满足“唯一对应”。 例2（进阶应用：函数的表示方法） 已知汽车以50千米/小时的速度匀速行驶，行驶时间为$$t$$（小时），行驶路程为$$s$$（千米）。 （1）用解析法表示$$s$$与$$t$$的函数关系； （2）用列表法表示当$$t=1,2,3,4,5$$时，$$s$$与$$t$$的对应关系； 教学设计 教学目标 课题 22.1 第2课时 函数 授课人 素养目标 1.理解函数、自变量、函数值的概念. 2.能从文字描述或图表信息中找出函数关系，发展学生的逻辑思维能力与几何直观感知能力. 教学重点 函数的相关概念，函数关系的识别. 教学难点 识别图表问题中的函数关系. 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：知识回顾，导入新课 【回顾导入】 上一节课，从教材P90“思考”的4个问题中，我们发现都存在数值始终不变的量和数值发生变化的量，于是归纳出常量和变量的概念.现在我们对这几个问题作进一步探究，不难发现每个问题中的变量都是两个，那么这两个变量之间是否存在什么关系呢?又该如何表示这种关系呢?这就是我们今天将要学习的内容. 【教学建议】 教师带领学生回顾上一课时所学内容，紧扣“从具体到抽象”的认识路程，并通过设问铺垫新课. 设计意图 回顾上一课时的内容，为引入新概念做准备. 活动二：问题引入，自主探究 探究点 1 函数的概念 阅读教材P90“思考”中的4个问题. (1)在问题(1)中,两个变量是t 和s, s 随 t 的变化而变化.每当 t 取定一个值时， s 就有唯一确定的值与其对应.其中，当t=1时，s= 60 ；当t=2时,s= 120 ;当t=5时,s= 300 ……它们之间的关系可以用 s=60t 表示. (2)在问题(2)中，两个变量是x和y，y 随 x 的变化而变化.每当 x 取定一个值时， y 就有唯一确定的值与其对应.其中，当x=80时，y= 3200 ；当x=105时,y= 4200 ;当x=180时,y= 7200 .它们之间的关系可以用 y=40x 表示. (3)类似地，请你分别指出问题(3)(4)中两个变量之间的关系，并写出关系式. 答：在问题(3)中，两个变量是r和S，S随r的变化而变化.每当r取定一个值时，S就有唯一确定的值与其对应.它们之间的关系可以用： 表示. 在问题(4)中，两个变量是 S 和h，h随S 的变化而变化.每当 S 取定一个值时，h就有唯一确定的值与其对应.它们之间的关系可以用 表示. 归纳：上面问题中的两个变量，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应. 概念引入：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y是x 的函数.如果当x=a时y=b，那么b叫作当自变量的值为a 时的函数值. 教师进一步提问：(1)给出自变量x 的一个值，函数y可以有两个或两个以上的值吗?会不会存在自变量x 的多个值对应的函数y 的值都相等呢? 答：y对x是单值对应，故给出自变量x的一个值，函数y不可能有两个或两个以上的值；x对y不一定是单值对应，故可能会存在自变量x的多个值对应的函数 y 的值相等. 【教学建议】 在教学中，可进一步解释自变量和函数：在一个变化过程中，居于主动地位的变量叫作自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量叫作自变量的函数. 此外，学生对于函数和函数值可能混淆，教师可提问让学生回答，并进行点评纠正. 设计意图 通过对教材相关内容的探索思考引 出函 数 的概念，并设问让学生回答，突出函数的本质属性，加深理解. 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 (2)你认为函数与函数值有何区别?举例说一说. 答：函数是变量，函数值是某个具体的数值，一个函数可能有许多不同的函数值.以教材 P90“思考”中的问题(2)为例，y是x 的函数，是一个变量.3200是 y 的一个函数值. 【对应训练】 1.教材P90“思考”的四个问题中，哪些量是自变量?哪些量是自变量的函数? 解:(1)t 是自变量,s 是t的函数;(2)x 是自变量,y是x的函数; (3)r 是自变量,S 是r的函数;(4)S是自变量,h 是S 的函数. 2.已知矩形的周长为16，设它的一条边的长为x，面积为y，判断y与x之间是不是函数关系.若是，请写出关系式；若不是，请说明理由. 解：这个问题中的两个变量是x和y，且y随x的变化而变化.每当x取定一个值时，y就有唯一确定的值与其对应，所以y 与x 之间是函数关系.它们之间的关系可以用y=x(8-x)来表示. 设计意图 探究点 2 图表问题中的函数关系 一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量之间存在函数关系. 思考： (1)潮汐是指海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象.我国某港口潮水的高度(简称潮高)在某时段的变化如图所示，时间与潮高分别记作变量t与h.这两个变量之间有什么关系? 答：由图可知，潮高h随时间t 的变化而变化，每当t 取定一个值时，h就有唯一确定的值与其对应，比如当t=6时，h=200，所以h与t之间是函数关系，其中，t 是自变量，h是t 的函数. (2)某年某银行整存整取的存款期限与对应的年利率如表所示，存款期限与年利率分别记作变量x 和y.这两个变量之间有什么关系? 答：由表可知，年利率y 随存款期限x的变化而变化，每当x 取定一个值时，y就有唯一确定的值与其对应，比如当x=12时，y=1.45%，所以y与x之间是函数关系，其中，x是自变量，y是x 的函数. 教师总结：从这节课探究的内容可知，函数是刻画变量之间对应关系的数学模型，许多问题中变量之间的关系都可以用函数来表示. 【对应训练】 教材 P93~94练习. 【教学建议】 教师引导学生进行探索，对比上一探究点学习的用关系式呈现函数关系，让学生说说图和表格中呈现的函数关系有何不同，答案不限，比如图形反映趋势，表格数据更直接等等.注意和学生强调，不是所有图表中的变量之间的关系都满足函数关系，依然需要用之前学到的函数的概念去进行判断.有些学习能力强的学生可能发现某些图表数据可以转换成关系式来表示，初学时不需要深入挖掘，对他们进行认可并告知不是所有图表信息都能用关系式来表达即可，后面还会进一步学习. 列出图表问题的相关实例，通过对其中函数关系的探索，使学生明确函数关系的呈现形式是多样的. 活动三：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.什么是函数?并用语言描述函数中的自变量与函数值. 2.你能从某段文字叙述或图表信息中找出函数关系吗?举例说明. 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P95~96习题22.1第2,5,6,8题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练. 板书设计 22.1 函数的概念 第2课时 函数 1.函数及相关概念. 2.函数关系的呈现方式：关系式、图形、表格. 教学反思 本节课的重点是让学生理解函数的概念.教学中先让学生体会实际问题中不同变量间的联系，再通过这些联系的共同点指出具有这种特点的关系叫作函数，突出函数的本质属性，并由此对函数概念进行辨析，达到深刻理解概念的目的. 备课素材 解题大招 解题大招一 判断函数关系 解决此类题目先要明确函数关系是针对两个变量而言的，满足这个前提条件之后，再来分辨出哪个变量是自变量，而另一个变量与自变量是单值对应关系，即当自变量取定一个值时，另一个变量都有唯一确定的值与之对应.需要注意的是，取定一个函数值时，有可能有多个自变量的值与之对应，这个时候单值对应的逻辑就不适用了. 例1 下列关系式中，y不是x 的函数的是(B) A. y+x=0 B.|y|=2x C. y=|2x| 例2 下列变量之间的关系中，不是函数关系的是(B) A.圆的面积与直径 B.等腰三角形的底边长与面积 C.正方形的周长与边长 D.长方形的宽一定，其长与面积 解题大招二 识别函数关系中的自变量，以及列出关系式 判断自变量时，要看清“先动”与“后动”，即先发生变化(先动)的量是自变量，随自变量的变化而变化(后动)的另一个量(具有唯一确定性)叫作自变量的函数.列关系式即是找寻两个变量之间的相等关系，往往可以依据公式，如面积公式、路程与速度之间的公式等来列式. 例3 回顾多边形的相关知识，设多边形的边数为n(n≥3)，内角和为α，外角和为β，那么n与α，n与β之间存在函数关系吗?若存在，找出自变量，并据此列出函数关系式. 解:n 与α存在函数关系,当n是自变量时,α=(n-2)·180°;当α是自变量时, n与β存在函数关系，但只能n为自变量，因为无论n取何值，β都有唯一确定的值与其对应，即360°，所以函数关系式为β=360°，但对于β=360°，n的取值不唯一，所以β不能为自变量. 学科网（北京）股份有限公司 $