精品解析：陕西西安中学2025-2026学年度第二学期期中考试高二数学试题

西安中学2025－2026学年度第二学期期中考试 高二数学试题 （时间：120分钟 满分：100分） 命题人：刘婵 一、单选题：本题共8小题，每小题3.5分，共28分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，利用交集概念求出答案. 【详解】由题意得，，则． 故选：A． 2. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】命题，的否定是：，. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用分式不等式以及充分不必要条件的集合表示，可得答案. 【详解】由，可得或， 又集合是集合或的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 4. 如图，要给①、②、③、④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方案种数为（ ）． A. 180 B. 160 C. 96 D. 60 【答案】A 【解析】 【分析】按照①②③④的顺序，结合乘法计数原理即可得到结果. 【详解】首先对①进行涂色，有5种方法， 然后对②进行涂色，有4种方法， 然后对③进行涂色，有3种方法， 然后对④进行涂色，有3种方法， 由乘法计数原理可得涂色方法种数为 种 故选:A 5. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据诱导公式进行化简，然后对原式进行齐次化，转化为只含有的代数式，代入计算可知结果为选项B. 【详解】利用诱导公式化简： 已知角的终边经过点，可得，且. 分子分母同时除以： . 故选：B 6. 函数的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择. 详解：令， 因为，所以为奇函数，排除选项A,B; 因为时，，所以排除选项C，选D. 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 7. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 8. 某影院近期只播A、B、C、D四部热门电影，小帅和他的同学一行四人决定每人选择一部观看.若小帅要看D，其他同学任选一部，则恰有两人看同一部影片的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出总事件数，再对观看电影D的人数分类讨论，第一种：2人同看电影D，第二种2人同看的电影不是D.最后结合古典概型的概率公式求解. 【详解】总事件数：小帅看电影D，其余3名同学可以从4部电影中任选1部，所以总事件数为 “恰有两人看同一部电影”，分两种情况讨论： 1）2人同看电影D： 2）2人同看的电影不是D： 所以恰有两人看同一部电影的概率为：. 二、多选题：本题共4小题，共14分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列函数中在区间上单调递减的函数有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项根据幂函数的性质判断；B选项根据对数函数图像的平移变换判断； C选项根据函数整体绝对值是将下方的图像翻折到上方判断；D选项根据指数函数图像的平移变换判断； 【详解】A选项:根据幂函数中时在上单调递增，故此选项不符合题意； B选项:将 图像向左平移一个单位，所以在上单调递减，所以符合题意； C选项:保留图像在轴上方的部分，轴下方图像翻折到轴的上方，根据图像可知在上单调递减， 上单调递增，符合题意； D选项：的图像由指数函数 图像向左平移一个单位得到，且底数大于1，所以在R上单调递增，所以不符合题意。 故选：BC 10. [多选题]下列说法正确的是（ ） A. 可表示为 B. 若把英文“hero”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有23种 C. 10个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手45次 D. 老师手里有3张参观游园的门票分给7人中的3人，每人一张，则分法有种 【答案】ABC 【解析】 【分析】由排列数公式可判断A；由排列定义可判断B；由组合定义可判断C D． 【详解】A项，，正确； B项，h，e，r，o的全排列为（种），正确的有1种，故可能出现的错误共有（种），正确； C项，10个朋友，两个人握手一次，共握手（次），正确； D项，3张门票属于相同元素，故应有种分法，D不正确． 故选：ABC. 11. 对于随机事件，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据条件概率公式，概率的基本性质及事件和的概率公式即可求解． 【详解】对于A，因为， 所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，所以， 所以，故C错误； 对于D，，故D正确． 12. 关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|的叙述正确的是（ ） A. f(x)是偶函数` B. f(x)在区间单调递增 C. f(x)在[－π，π]有4个零点 D. f(x)的最大值为2 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、单调性、零点、最值对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】A.∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)是偶函数，故A正确； B.当时，f(x)＝sin|x|＋|sin x|＝2sin x，f(x)在单调递减，故B错误； C.当x∈[0，π]时，令f(x)＝sin|x|＋|sin x|＝2sin x＝0，得x＝0或x＝π，又f(x)在[－π，π]上为偶函数， ∴f(x)＝0在[－π，π]上的根为－π，0，π，有3个零点，故C错误； D.∵sin|x|≤1，|sin x|≤1，当或时两等号同时成立， ∴f(x)的最大值为2，故D正确． 故选：AD 三、填空题：本题共4小题，每小题3.5分，共14分. 13. 已知函数是幂函数，且是奇函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数由求参数值，再由幂函数为奇函数确定参数m即可. 【详解】由题设，可得，则或， 当，则为奇函数，满足题设； 当，则为偶函数，不满足题设. 所以. 故答案为： 14. 展开式第4项的系数为________. 【答案】 【解析】 【详解】展开式第4项的系数为. 15. 5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，则在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率是______． 【答案】##0.5 【解析】 【详解】设第一次取到新球为事件，第二次取到新球为事件， 则. 故答案为：. 16. 安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是_____________.（用数字作答） 【答案】78 【解析】 【分析】先排有约束条件的元素，因为要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，所以需要针对于不最后一个出场的歌手第一个出场，不最后一个出场的歌手不第一个出场，根据分类计数原理得到结果. 【详解】分两种情况： 当不最后一个出场的歌手第一个出场时，有种排法； 当不最后一个出场的歌手不第一个出场时，有种排法； 则共有种不同的排放. 故答案为：78. 四、解答题：本题共5小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知，且展开式中有且仅有第6项的二项式系数最大. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为展开式中有且仅有第6项的二项式系数最大，可知为偶数， 有，所以. 【小问2详解】 由（1）知 令，得， 令，得， 所以. 18. 已知函数. （1）若，求的值域； （2）将函数图象上各点的横坐标缩小为原来的，再向右平移个单位，得到函数的图象.求函数的解析式，并求在上的单调递增区间. 【答案】（1）； （2），. 【解析】 【分析】（1）先利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数，再利用正弦函数的性质求其值域； （2）先求函数的解析式，再利用正弦函数的性质求其单调增区间. 【小问1详解】 ， 因，则，，， 故在上的值域为. 【小问2详解】 将函数图象上各点的横坐标缩小到原来的，得到函数， 再向右平移个单位，得到函数， 由，，可得，， 即，，又， 故在上的单调递增区间为. 19. 已知，. （1）解关于x的不等式； （2）若是方程的两个实数根，且，求的最小值. 【答案】（1）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为. （2）0 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，分类讨论解含有参数的一元二次不等式即可. （2）整理方程，利用韦达定理及基本不等式求解即得. 【小问1详解】 依题意，， 当时，解得或；当时，解得或；当时，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【小问2详解】 依题意，方程，， ，则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为0. 20. 已知函数是R上的奇函数． （1）求a的值； （2）判断并证明的单调性； （3）若对任意实数x，不等式恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1) ； (2)由(1)知，∴在上单调递增. 证明：设，则 ∵，∴ 又∵， ∴ ∴即 ∴在上单调递增. (3) . 【解析】 【分析】(1)由可直接求出结果； (2)设，再通过作差判断的符号即可判断单调性； (3)首先根据奇函数转变为，再根据单调性转化为，最后参变分离即可求解.. 【详解】(1)∵是R上的奇函数 ∴，即：，∴. (2)略 (3) ∵ ∴ ∵是R上的奇函数，∴ 即 由(2)知在上单调递增 ∴ 故对任意实数恒成立 由得，∴ ∴，则 ∴ 【点睛】定义法判断函数单调性的一般步骤： 1.取值，设，且； 2.作差，求； 3.变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）； 4.判断的正负符号； 5.根据函数单调性定义下结论. 21. 某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算： （1）求甲第2天选择羽毛球的概率； （2）求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率； （3）记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式计算求解即可. （2）利用贝叶斯公式计算求解即可. （3）根据给定条件，利用全概率公式列式并化简即得. 【小问1详解】 设事件分别表示第一天选择羽毛球、乒乓球、篮球，第二天选择羽毛球的事件为， 则且两两互斥， 依题意，，， 且， 由全概率公式得. 【小问2详解】 由贝叶斯公式，得所求概率为. 【小问3详解】 设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为， 由无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为，得对所有均成立， 从而选择篮球的概率为， 当时，由全概率公式，得的递推关系为， 而，，化简得，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安中学2025－2026学年度第二学期期中考试 高二数学试题 （时间：120分钟 满分：100分） 命题人：刘婵 一、单选题：本题共8小题，每小题3.5分，共28分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，要给①、②、③、④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方案种数为（ ）． A. 180 B. 160 C. 96 D. 60 5. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象可能是 A. B. C. D. 7. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 某影院近期只播A、B、C、D四部热门电影，小帅和他的同学一行四人决定每人选择一部观看.若小帅要看D，其他同学任选一部，则恰有两人看同一部影片的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，共14分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列函数中在区间上单调递减的函数有（ ） A. B. C. D. 10. [多选题]下列说法正确的是（ ） A. 可表示为 B. 若把英文“hero”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有23种 C. 10个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手45次 D. 老师手里有3张参观游园的门票分给7人中的3人，每人一张，则分法有种 11. 对于随机事件，若，则（ ） A. B. C. D. 12. 关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|的叙述正确的是（ ） A. f(x)是偶函数` B. f(x)在区间单调递增 C. f(x)在[－π，π]有4个零点 D. f(x)的最大值为2 三、填空题：本题共4小题，每小题3.5分，共14分. 13. 已知函数是幂函数，且是奇函数，则______． 14. 展开式第4项的系数为________. 15. 5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，则在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率是______． 16. 安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是_____________.（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知，且展开式中有且仅有第6项的二项式系数最大. （1）求的值； （2）求的值. 18. 已知函数. （1）若，求的值域； （2）将函数图象上各点的横坐标缩小为原来的，再向右平移个单位，得到函数的图象.求函数的解析式，并求在上的单调递增区间. 19. 已知，. （1）解关于x的不等式； （2）若是方程的两个实数根，且，求的最小值. 20. 已知函数是R上的奇函数． （1）求a的值； （2）判断并证明的单调性； （3）若对任意实数x，不等式恒成立，求m的取值范围． 21. 某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算： （1）求甲第2天选择羽毛球的概率； （2）求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率； （3）记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $