精品解析：甘肃西北师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

西北师大附中 2025——2026学年第二学期期中考试试题 高一数学 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（为虚数单位）的虚部是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用复数的除法可得后，从而可得其虚部. 【详解】，所以复数的虚部是.故选A. 【点睛】本题考查复数的除法及其复数的概念，注意复数的虚部是，不是，这是复数概念中的易错题. 2. 在中，点D为的中点，点O为的重心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合重心性质与向量运算化简可得. 【详解】 如图，连接，因为点O为的重心， 则为的三等分点，且， 所以， 故选：A. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦二倍角公式和同角的三角函数关系计算即可. 【详解】. 故选：A 4. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角C的大小是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理求得，然后根据角的范围求解即可. 【详解】由题设及，则， 又，故C为锐角，且，所以. 故选：B． 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论. 【详解】，得， 即，解得或（舍去）， 又. 故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 6. 已知在中，，则的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据，可得，再根据结合余弦定理即可得出结论. 【详解】解：因为， 所以，所以， 则， 即，所以， 所以， 所以为等腰三角形， 又，所以为等边三角形. 故选：D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用辅助角公式求出，再利用二倍角公式求解即可 【详解】解：因为，所以， 所以， 所以 ， 故选：B 8. 在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 故选：D 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 向量与的夹角为 C. 若，则 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用向量共线、夹角、垂直、模长公式的知识依次判断选项即可. 【详解】对于A，因为，则，故A不正确； 对于B，由题可得，， 因为向量夹角范围为，所以向量与的夹角为，故B正确； 对于C，由于，，则，解得，故C正确； 对于D，由于，所以，故D错误； 故选：BC 10. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用二倍角公式和平方和关系可得到，，即可判断每个选项. 【详解】， 因为，所以，， 所以，，， 故选：AC 11. 如图，点是所在平面内的一点，，，，、分别为边、的中点，与交于点，则（ ） A. B. 在上的投影向量等于 C. D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据余弦定理直接计算判断A，根据投影向量的法则求解判断B，根据的特点，建立平面直角坐标系，运用平面向量的坐标运算求得判断C，结合平面向量的线性运算、数量积的运算及二次函数的性质判断D. 【详解】对于A，在中，，，，所以由余弦定理得 ，故A错误； 对于B，在上的投影向量等于，故B正确； 对于CD，如图，以为原点，以为轴，过点A与垂直的直线为轴， 建立平面直角坐标系， 则，，，，， ，， 所以， 又，所以，故C正确； 设，则，， 所以 ，当且仅当时等号成立， 即的最小值为，故D正确. 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设O是原点，向量、对应的复数分别为2﹣3i，﹣3+2i，那么，向量对应的复数是_____． 【答案】5﹣5i 【解析】 【详解】试题分析：根据向量、对应的复数分别为2﹣3i，﹣3+2i，得到向量=，代入所给的数据作出向量对应的结果． 解：∵向量、对应的复数分别为2﹣3i，﹣3+2i， ∴向量==2﹣3i+3﹣2i=5﹣5i 故答案为5﹣5i 考点：复数的代数表示法及其几何意义． 13. 已知，且与夹角为钝角，则的取值范围___________. 【答案】且 【解析】 【分析】根据与夹角为钝角列不等式组，由此求得的取值范围. 【详解】由于与夹角为钝角，所以， 解得且. 所以的取值范围是且. 故答案为：且 14. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为，且，若D是的角平分线与BC的交点，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用余弦定理可得，在中，利用正弦定理结合三角恒等变换可得，结合角的取值范围分析求解. 【详解】在中，由得， 由余弦定理得， 且，所以. 又因为AD是的平分线，则， 在中，由正弦定理得， 可得， 且是锐角三角形，所以，解得， 则，可得，所以， 故的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，. （1）求和的值； （2）求与的夹角的余弦值. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）由向量模长坐标运算得，再利用向量数量积定义及向量数量积运算律求解即可； （2）由向量夹角余弦值计算公式计算求解即可. 【小问1详解】 由，得， 所以， ； 【小问2详解】 由， 所以与的夹角的余弦值为. 16. 已知且. （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由代入正切函数的二倍角公式即可求解； （2）求出，利用两角和的正切函数公式可得答案. 【详解】（1）因为，所以． （2）因为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以． 17. （ 已知函数. （I）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值； （II）若,求的值. 【答案】（1）周期为，最大值为2，最小值为-1 （2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）将函数利用倍角公式和辅助角公式化简为,再利用周期可得最小正周期,由找出对应范围,利用正弦函数图像可得值域;（2） 先利用求出,再由角的关系展开后代入可得值. 试题解析:（1） 所以 又 所以 由函数图像知. （2）解：由题意 而 所以 所以 所以 =. 考点：三角函数性质;同角间基本关系式;两角和的余弦公式 18. 记的内角的对边分别为，已知为的外心. （1）求； （2）求的面积； （3）求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助余弦定理计算即可得； （2）借助正弦定理可求出外接圆半径，再利用圆周角定理与面积公式计算即可得解； （3）法一：借助正弦定理将边化为角后，利用三角恒等变换公式计算即可得解.法二：借助余弦定理及基本不等式可得周长最大值，结合三角形三边关系即可得周长范围. 【小问1详解】 由余弦定理得， 又，所以； 【小问2详解】 为的外心，则由正弦定理得， 所以，又， 所以； 【小问3详解】 由（1）及正弦定理得， 则， 记的周长为，则， 又，则， 则， 因为，所以， 所以，所以. 方法二： 由，得， 因为，所以， 即，所以，当且仅当时，等号成立， 因为，所以，所以， 即周长的取值范围为. 19. 在中，角的对边分别为，向量，且，点为边上一点． （1）求角的大小； （2）若是的角平分线，的周长为19，求的长度； （3）若是边上靠近点A的一个三等分点，，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量运算可得，然后由正弦定理边角互化可得答案； （2）由题及余弦定理可得，然后由（1）结合可得答案； （3）解法一：设，，然后在，中利用正弦定理可得 ，然后由三角函数性质可得答案；解法二：由题，又可得，然后由正弦定理边角互化可得，据此可得答案. 【小问1详解】 且 ，即. . 又，则，结合，； 【小问2详解】 而 为角的角平分线 . 即，； 【小问3详解】 设，则； 设，则. 在中即 在中 即， 则. 又，，而， ， 由和差化积公式可得. 则. ，； 解法二：， ， . ． . ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西北师大附中 2025——2026学年第二学期期中考试试题 高一数学 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（为虚数单位）的虚部是 A. B. C. D. 2. 在中，点D为的中点，点O为的重心，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角C的大小是（ ） A. B. C. D. 或 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知在中，，则的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 向量与的夹角为 C. 若，则 D. 10. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，点是所在平面内的一点，，，，、分别为边、的中点，与交于点，则（ ） A. B. 在上的投影向量等于 C. D. 的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设O是原点，向量、对应的复数分别为2﹣3i，﹣3+2i，那么，向量对应的复数是_____． 13. 已知，且与夹角为钝角，则的取值范围___________. 14. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为，且，若D是的角平分线与BC的交点，则的取值范围是________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，. （1）求和的值； （2）求与的夹角的余弦值. 16. 已知且. （1）求的值； （2）求的值． 17. （ 已知函数. （I）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值； （II）若,求的值. 18. 记的内角的对边分别为，已知为的外心. （1）求； （2）求的面积； （3）求周长的取值范围. 19. 在中，角的对边分别为，向量，且，点为边上一点． （1）求角的大小； （2）若是的角平分线，的周长为19，求的长度； （3）若是边上靠近点A的一个三等分点，，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $