二次函数压轴之其它问题归纳练2026年中考数学三轮复习备考

**基本信息** 聚焦二次函数压轴题，通过13道典例系统整合解析式求解、动态几何、新定义等问题，提炼待定系数法、分类讨论、函数建模等核心方法，培养抽象能力与推理意识，构建“概念-推理-应用”逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础求解|3道|待定系数法、对称轴性质|从抛物线基本概念到解析式确定，夯实代数基础| |动态几何|7道|分类讨论、构造辅助线、几何变换|结合旋转/平移/动点，融合几何直观与空间观念，强化动态问题推理| |新定义与综合|3道|新定义转化、函数建模|以“关联函数”等创新题型，提升数学抽象与模型意识，衔接中考命题趋势|

二次函数压轴之其它问题 归纳练-2026年中考数学三轮复习备考 1．如图，抛物线经过点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当二次函数的自变量满足时，函数的最小值为，求的值； (3)点是轴上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段；若线段与抛物线有一个公共点，结合函数图象，请求出的取值范围； 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作交于点D，F为y轴上一动点，当线段的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在平面内，将抛物线沿射线方向平移，当平移后的新抛物线经过点时停止平移，此时得到新抛物线，在平移后的新抛物线上确定一点M，使得，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，与x轴的另一个交点为点C，其顶点D的横坐标为2． (1)求抛物线的表达式； (2)若直线与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得有最大值，并求出最大值； (3)在（2）的条件下求得的点M，连接，在直线上求点Q（点Q的纵坐标小于0），使得． 4．定义：若两个函数图象有交点，则称这两个函数为“关联函数”，两个函数图象构成的封闭图形（含边界）叫做“关联区域”，如图1，与是关联函数，阴影部分是关联区域，如图2，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于、两点，当线段长度最大时，该距离叫做“最优关联距离”，若此时为整数，则称点为“最优关联点”， (1)证明：函数与是“关联函数”； (2)求“关联函数”与的“最优关联距离”； (3)若“关联函数”与恰有三个“最优关联点”，求的取值范围. 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． (1)求此抛物线的顶点坐标及点A，B的坐标； (2)点M、点N均在这个抛物线上（点M在点N的左侧），点M的横坐标为m，点N的横坐标为．将此抛物线上M、N两点之间的部分（含M、N两点）记为图象G．当点M在x轴上方，图象G的最高与最低点的纵坐标差为6时，求m的值； (3)设点，点，将线段绕点D顺时针旋转后得到线段，以，为边构造正方形，当正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，求n的取值范围． 6．抛物线与x轴分别交于点A和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线，且为抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，点为抛物线上第四象限的一动点，若，求点的坐标； (3)过动点作交线段于点，连接，，记与的面积和为，当取得最大值时，求出此时的最大值． 7．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．如图，过A，B，P三点作，过点P作轴，垂足为D，交于点E． (1)连接，，求证； (2)点P在运动过程中线段 的长是否变化，若有变化，求出的取值范围；若不变，求的长． 8．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，，，是直线上方抛物线上一动点，作交于点，垂足为点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)是否存在点，使是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值________． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)若点 求抛物线的解析式； 如图1，点为抛物线第一象限上一点，，求点的坐标； (2)如图2，若直线与抛物线交于点、点（点在对称轴左侧），直线交轴于点，直线交轴于点．求线段与的数量关系． 10．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交点的纵坐标为2，对称轴为直线，点和点都在该抛物线上，它们的横坐标分别为、． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)当点为该抛物线的顶点时，求的坐标； (3)将此抛物线上、两点之间的部分（包括、两点）记为图象．当图象对应的函数值随的增大而先增大后减小，且图象的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为2时，求的值； (4)当点为该抛物线的顶点时，连接，以为斜边向其右侧作，轴，将绕着点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为点、，直接写出线段的长． 11．如图1，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，经过点的直线交该抛物线于另一点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图2，当点与点重合时，在直线上方的抛物线上任意取一点，连接，交直线于点．是否存在点使？若存在求出点的坐标，若不存在说明理由； (3)如图3，经过点不同于的另一直线交该抛物线于另一点．当均为轴上方抛物线上的两点（点在点的左边）时，直线与轴分别相交于点．若，试探究是否存在定点在直线上，若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点坐标为，点为轴上一动点，连接，过点作的平行线交抛物线于点，作直线交轴于点． (1)求值和点坐标； (2)当点在轴下方时， 如图，当点为抛物线顶点时，求证：； 如图，当点在第四象限时，求的长； (3)当时，直接写出点坐标． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点，交轴于，两点（在的左侧)，连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，连接、，点是抛物线对称轴上的一动点，连接，，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)在（2）中当的面积取得最大值时，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点，且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一个动点，当，请写出所有符合条件的点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1）解：∵抛物线经过点、点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：， ∴对称轴为直线，当时，该函数的最小值为， ∴不在范围内， ①当时，即，该函数在范围内，随着的增大而减小， ∴当时，函数取得最小值， ∴， 解得或（舍）； ②当时，该函数在范围内，随着的增大而增大， ∴当时，函数取得最小值， ∴， 解得或（舍）， 综上：或； （3）解：当时，如图， ∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段， ∴ ∴，， 当点在抛物线上，如图： 则， 解得，（不符合题意，舍去）， 当点在抛物线上，如图： 则， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴当时，线段与抛物线有一个公共点； 当时，同理可求：，， 如图：当点在抛物线上， 则， 解得，（不符合题意，舍去）， 当点在抛物线上， 则， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴当时，线段与抛物线有一个公共点， 综上所述，的取值范围是或 ． 2．(1) (2)； (3)或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）先确定直线的解析式为：．，则， 则， 利用配方法得到，结合根据抛物线性质解答即可． （3）根据题意，确定这是一个向左平移t个单位长度，再向上平移t个单位长度的平移变换，设平移后抛物线的解析式为，，确定解析式，取的中点K，连接，交抛物线于点M，此时； 过点作，交抛物线于点，此时． 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，构造二次函数求线段的最值，直角三角形的性质，两点间距离公式，三角函数的应用，熟练掌握抛物线的最值是解题的关键． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点，， 解得 抛物线的解析式为. （2）解：由抛物线的解析式为， 得， ∴， ∴， 过点P作轴，交于点H，垂足为M，    则， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，则， 则， 故， ∴ ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，最大，且最大值为， ∴； 作点B关于y轴的对称点G，此时， 连接交y轴于点N，此时的值最小， 故当点F与点N重合时，取得最小值， 且最小值为，此时．    （3）解：根据题意，得， 由抛物线沿射线方向平移，且， 故该平移变换是一个向左平移t个单位长度，再向上平移t个单位长度的平移变换， 故平移后抛物线的解析式为，， 由平移后的新抛物线经过点时停止平移， ∴把点代入得：， 整理，得 解得， 故平移后抛物线的解析式为即，    取的中点K，连接，交抛物线于点M， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得， ∴，符合题意， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴直线的解析式为， 根据题意，得， 解得或（舍去）， ∴， 此时； 过点作，交抛物线于点， ∴，符合题意， 设直线的解析式为 ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：． ∵ ∴直线的解析式为：． 根据题意，得， 解得或（舍去）， ∴， 此时； 综上所述，符合题意的点M的坐标为或． 3．(1) (2)8 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的最值问题，全等三角形和相似三角形的判定和性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据顶点横坐标为1可得对称轴为直线，据此利用对称轴计算公式结合待定系数法求解即可； （2）求出的长，进而求出的长，再利用二次函数的性质求解即可； （3）根据题意得出，，过点M作的角平分线交x轴于点G，过点G作，在x轴下方取点Q，使得，根据全等三角形的判定和性质得出，确定，设，则，利用勾股定理确定，再由相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和，且顶点横坐标为2， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：∵，对称轴为， ∴， ∴当时，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． （3）由（2）得，当时，， ∴， ∴， ∴， 过点M作的角平分线交x轴于点G，过点G作，在x轴下方取点Q，使得，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵MG平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵直线上求点Q（点Q的纵坐标小于0）， ∴． 4．(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，涉及二次函数的图象与性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，一元二次方程的根的判别式等知识点． （1）联立两个函数解析式，得到一元二次方程，再由根的判别式判断一元二次方程根的情况，即可判断两个函数图像是否有交点，即可证明； （2）由题意得，则，再利用二次函数的性质求解最值； （3）由题意得，则，则当时，取得最大值，当时，；，则，由题意得有三个整数值，即为，故，再解不等式即可求解． 【详解】（1）证明：由题意得，， 则， 整理得， ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴这两个函数图像有2个交点， ∴函数与是“关联函数”； （2）解：如图， 由题意得， ∴， ∴ ∵， ∴当时，取得最大值为， ∴“关联函数”与的“最优关联距离” 为； （3）解：如图： 由题意得， ∴， ∴ ∵， ∴当时，取得最大值， 当时，；， ∴ ∵“关联函数”与恰有三个“最优关联点”， ∴有三个整数值，即为，如图： ∴， 解得 ∴“关联函数”与恰有三个“最优关联点”，求的取值范围． 5．(1)顶点坐标为，A点，B点 (2)的值为 (3)n<或n=或n= 【分析】（1）利用配方法求得顶点坐标，令，解一元二方程即可求得A、B的坐标； （2）由题意设，，分当和时两种情况讨论，再结合题意确定符合条件的m值即可； （3）分情况讨论，结合图象求解即可． 【详解】（1）解：抛物线解析式为， 令，得：， 解得：或， ∴顶点坐标为，A点坐标为，B点坐标为； （2）解：由题意得：抛物线对称轴为直线， ∵当时，， 当时，， ∴，， ∵， ∴， 又∵点M在x轴上方， ∴， 当时，如图1， 此时，点离对称轴最远，其纵坐标是最小值，顶点处取最大值， ， 解得：或（不合题意，舍去）； 当时，如图2， 点离对称轴最远，其纵坐标是最小值，点离对称轴最近，其纵坐标是最大值， ， 解得：（不合题意，舍去）， 综上所述：图象的最高点与最低点的纵坐标差为6时，的值为； （3）解：如图3，当点D在E点上方时， ， ∴， 只有F在抛物线上满足要求， ∴， ， 把F点代入抛物线解析式得： ， 得，（舍）， 当点E在点D上方时， ， ∴， 如图4，当点G在抛物线上时，满足要求， 此点G的纵坐标与上一情况的纵坐标相等， ∴， 如图5，当B在上时，有两个交点， ∴， ∴当时，正方形与抛物线只有一个交点， 综上：当或或时，与抛物线有且只有一个交点． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． 6．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线与轴的交点求出点，运用二次函数的对称性求出点，，再利用待定系数法求解即可； （2）设直线与轴交于点，则，利用正切值相等求出的长度，得到点的坐标，可求出直线的解析式，联立直线与抛物线的解析式即可求出点的坐标； （3）利用待定系数法求出直线的解析式，连接，过点作轴交于点，设点，，可得；由得，从而，是关于的一元二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：令，， 则点， ∵， ∴点， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 则点， 将点，代入得， 解得， 则抛物线的解析式为； （2）在中，， 设直线与轴交于点， ∵， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点为抛物线上第四象限的一动点， ∴， 解得或（舍去）， ∴， （3）设直线的解析式为， 将点代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 连接，过点作轴交于点， 设点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 7．(1)证明见解析 (2)点P在运动过程中线段 的长不变，是定值2． 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，二次函数与几何图形，两点之间的距离公式． （1）由圆周角相等可证； （2）由，可得，设，则，可得，，，故，可知为定值2． 【详解】（1）证明：如图， ， ，． ． （2）解：， ，． ． ． ． 设，则． 当时，， 解得，． 当时，． ，，． ，，． ． 是定值2． 点P在运动过程中线段 的长不变，是定值2． 8．(1) (2)存在； (3) 【分析】本题是二次函数的综合题．考查了待定系数法求二次函数的表达式，求一次函数的表达式，等腰三角形的性质，图形旋转的性质，全等三角形的判定和性质，以及由此推出动点的轨迹和定点到动点的最短距离问题． （1）根据待定系数法求二次函数的表达式即可． （2）根据待定系数法求一次函数的表达式，设点，则点，根据是以为底边的等腰三角形，得到，继而得到，进而得到． （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，根据旋转的性质证明，，继而得到点的运动轨迹，以及时，最小，根据等面积法计算的面积，得到． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，，， ， ，解得：， 抛物线的表达式为； （2）解：存在，由（1）可知，抛物线的表达式为：， 当， ， 设直线的表达式为：， 则代入点，点，可得：，解得：， 直线的表达式为：， ， 设点，则点，且， 是以为底边的等腰三角形， ，， ，整理得：，解得：或， ， ，， ； （3）解：如图，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∴，， ∵当时，， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值为． 9．(1)抛物线的解析式为； 点的坐标为； (2)线段与的数量关系为． 【分析】（1）把点的坐标代入，可得的值，从而可得抛物线的解析式；由抛物线的解析式，结合已知，可得点和点的坐标，从而可得，，作，交于点，作轴于点，证明，可得点的坐标，从而可得直线的解析式，与抛物线的解析式联立，解方程组，即可得点的坐标； （2）由抛物线与坐标轴相交，可得点和点的坐标，将直线和抛物线的解析式联立，解方程组，可得点和点的坐标，可得直线和直线的解析式，由直线与轴相交，可得点和点的坐标，从而可得，，即可得线段与的数量关系． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， 解得， ∴， ∴抛物线的解析式为． 在中， 令，得， 令，得，， ∵抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点， ∴，， ∴，， 作，交于点，作轴于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由得或， ∵点在第一象限， ∴， ∴点的坐标为． （2）解：在中， 令，得， 令，得或， ∵抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点， ∴，， 由， 解得或， ∵点在对称轴左侧， ∴，， 设直线的解析式为，则 ， 解得， ∴直线的解析式为， 令，得， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则 ， 解得， ∴直线的解析式为， 令，得， ∴， ∴， ∴， ∴线段与的数量关系为． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，三角形全等的判定和性质，求一次函数的解析式，一次函数与二次函数的综合，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与几何综合． 10．(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）由待定系数法确定函数解析式即可得到答案； （2）由（1）中函数解析式可得顶点坐标，再根据点和点都在该抛物线上，它们的横坐标分别为、，即可求出的坐标； （3）根据图象对应的函数值随的增大而先增大后减小，可知图象的最高点为函数的顶点，因为图象的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为2，分两种情况讨论，点最低时或点最低，分别求解即可； （4）根据题意可知，，，因此可求出，由旋转的性质可得，，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）解：抛物线与轴交点的纵坐标为2，对称轴为直线， ，， ， 抛物线的函数解析式为； （2）解：， 点为该抛物线的顶点， 点P的横坐标为， 点的横坐标为， 点在该抛物线上， ； （3）解：图象对应的函数值随的增大而先增大后减小， 图象的最高点为函数的顶点， 点和点的横坐标分别为、， 点和点的坐标为，， 图象的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为2， 若点最低时，，即， ， 解得或（舍）， 若点最低时，，即， ， 解得或（舍）， 综上所述，或； （4）解：点为该抛物线的顶点，点和点的横坐标分别为、， ，， 如图，，， 绕着点逆时针旋转得到，的对应点为， ，， ． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象与性质、解一元二次方程、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握二次函数图象与性质，数形结合是解题的关键． 11．(1) (2)不存在点使，理由见解析 (3)存在定点在直线上，点Q的坐标为． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的表达式为，设点D的坐标为，过点D作轴交于点H，可得点H的坐标为，求解，则可求出的最大值，证明，可得，据此可得结论； （3）如图，设点E的坐标为，点F的坐标为，设直线的表达式为，直线的表达式为，求解直线的表达式为，直线的表达式为，可得，设直线的表达式为，求解直线的表达式为，进一步求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：不存在点使，理由如下： 设直线的表达式为， 将代入中得， 解得， ∴直线的表达式为； 设点D的坐标为，过点D作轴交于点H， ∴点H的坐标为， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴不存在点使； （3）解：如图，设点E的坐标为，点F的坐标为， 设直线的表达式为，直线的表达式为， 将代入中得， 解得， ∴直线的表达式为， 将代入中，得， 解得，， ∴直线的表达式为， 在中，当时，， ∴, ∴， 同理可得， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 将代入中，得， 解得， ∴直线的表达式为， ∵， ∴， ∴ ， ∵当时，为， ∴直线过定点， ∴存在定点在直线上，点Q的坐标为． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数与一次函数的综合，本题的难度大，细心的计算，选择合适的方法解题是关键． 12．(1)，点坐标为 (2)见解析； (3)点的坐标为或 【分析】（1）将点代入抛物线解析式中，利用待定系数法求解即可求得的值，再令，即可求得点的坐标； （2）分别利用待定系数法求得直线、、的解析式，进而求得与的长，即可证明；设点坐标为，分别利用待定系数法求得直线、、的解析式，进而可表示出点、的坐标，从而得解； （3）作的外接圆，连接、，易证明为等腰直角三角形，且点在抛物线的对称轴上， 过点作轴于点，从而可求得点的坐标，设点的坐标为，则可表示出，进而利用的值列方程即可求得的值，过点作轴于点，则，进而可表示出，的长，结合，易证，从而可表示出的长，进而得解． 【详解】（1）解：将点代入抛物线中得， ，即， 解得， ， 当时，即， 解得或， 点坐标为； （2）解：证明：， 点为抛物线顶点， ， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ，解得， ， ， 设直线的解析式为， 将点代入得，，解得， ， ， ， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ，解得， ， 令，得， ， ， ， ， ； 设点坐标为； 设直线的解析式为， 将点，代入得， ，解得， ， 设直线的解析式为， 将点代入得，，解得， ， ， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ， 解得， ， 令，得， ， ； （3）解：如图，作的外接圆，连接、， ， ， ， 为等腰直角三角形，且点在抛物线的对称轴上， 过点作轴于点，则， ，， ， 连接， 设点的坐标为，则， 整理得， 令，即， 整理得，解得或， 当时，即，此时点的纵坐标为，点在轴上，不符合题意，故舍去； 当时，即，即，解得或， 过点作轴于点，则， ，，， ， ， ， ，即， ， 当时，，则点的坐标为； 当时，如图， ，则点的坐标为； 综上所述，当时，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查的是二次函数的图象与性质，一次函数的性质，圆的基本性质，圆的外心，相似三角形的判定与性质等，掌握相关性质定理并灵活构造辅助线是解题的关键． 13．(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出的长，进而将点和代入函数解析式，进一步得出结果； （2）作于，交于，先推出当最大时，最大，即的面积最大，求得的函数解析式，进而设点和点坐标，进而表示出的关系式，进一步得出点坐标；连接，交对称轴于点，则最小，最小值是的长，进一步得出结果； （3）先求出平移后的抛物线解析式，可得出，进而推出，当时满足条件，从而得出坐标；作，交于，交轴于点，设，根据列出方程，从而求得坐标，进而求得的解析式，求出其与的交点，从而得出结果． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， ， ， ； （2）解：如图1，过点作于，交于，过点作于， 轴， ∴， ， ， ， ， 当最大时，最大，的面积最大， ， 直线的解析式为：， 设， ， 当时，最大， ， ， 连接，交对称轴于点，则最小，最小值是的长， 由得， 或， ， ， 的最小值为：； （3）解：如图2， 抛物线向右平移4个单位，向下平移2个单位后为：， 即：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时， ， 由题意得， 当平移到点，点平移到， ， ，即， 作，交于，交轴于点， 设， ， ， ， ， ， ， 的解析式为：， 由得， 或， ， ， 综上所述：或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，图象的平移，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识，解决问题的关键是较强计算能力． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $