湖南长沙市2026届高三冲刺仿真训练数学试卷（二）

湖南省长沙市2026届高三冲刺仿真训练数学试卷（二） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．在某市2020年3月份的高三线上质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N(98，100)．已知参加本次考试的全市学生有9 455人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（    ） A．1 500名 B．1 700名 C．4 500名 D．8 000名 3．已知为虚数单位，是关于的方程的一个根，则实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．在等差数列中，公差，若，则（    ） A．8 B．12 C．16 D．18 5．已知是直线上的任意一点，若过点作圆的两条切线，切点分别记为A,B，则弦长AB的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 6．已知，有，且点为角的终边上一点，则角（   ） A． B． C． D． 7．“”是“”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知函数，其中e是自然对数的底数，若直线与曲线相切于不同的两点A，B，且A，B的横坐标分别为，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设数列，的前项和分别为，，则下列命题正确的是（     ） A．若，则数列为等差数列 B．若，则数列为等比数列 C．若数列是等差数列，则，，成等差数列 D．若数列是等比数列，则，，成等比数列 10．如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，为的中点，则（    ） A． B．直线与所成角的最大值为 C．过点作该正方体的截面，则截面的面积为 D．三棱锥外接球半径的取值范围为 11．已知，分别为双曲线：的左､右焦点，为双曲线的渐近线在第一象限部分上的一点，线段与双曲线交点为，且，为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A． B．双曲线的离心率 C． D．若的内心的横坐标为3，则双曲线的方程为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．一组数据为3，5，1，6，8，2，记这组数据的上四分位数为，则二项式展开式的常数项为__________． 13．在中，角、、的对边分别为、、．向量，，且．若边，，的平分线交于点，则的长为___________． 14．已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．若存在对称中心，则___________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知椭圆，焦距为2，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆的左焦点为，椭圆上A点横坐标为，求椭圆的长轴长、短轴长及的面积. 16．(15分)在中，角所对的边分别为，且,,． (1)求； (2)求的面积． 17．(15分)如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为. (1)求证：平面； (2)若点为棱的中点，求直线DF与平面所成角的正弦值； (3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 18．(17分)已知函数 . (1)求函数的极值； (2)若存在两个不相等的正实数，，使得 （i）求证：； （ii）设，为正实数，证明：和中至少有一个小于. 19．(17分)已知无障碍时红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为，红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功的概率分别为，，现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗.经过数轮对抗后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，训练结束.假定各轮结果相互独立.记在1轮对抗中，红方击中蓝方目标为事件，蓝方击中红方目标为事件. (1)求概率、； (2)设随机变量表示经过1轮对抗后红方与蓝方击中对方目标次数之差，求的分布列和数学期望； (3)求恰好经过3轮对抗后训练结束的条件下，红方多击中蓝方目标两次的概率. 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《湖南省长沙市2026届高三冲刺仿真训练数学试卷（二）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C C C D C D AC ACD 题号 11 答案 ACD 1．A 【分析】结合定义域和对数函数性质求解集合中不等式，再根据元素特点求交集. 【详解】当，即，得； 当，即，得， 所以集合. 已知，在中只有属于集合， 所以. 2．A 【分析】根据给定条件求出数学成绩大于108分的概率，再计算分数超过108分的人数即可作答. 【详解】因为学生的数学成绩X服从正态分布N(98，100)， 则P(X>108)=[1-P(88≤X≤108)]=[1-P(μ-σ≤X≤μ+σ)]≈×(1-0.6827)=0.15865， 而0.15865×9455≈1500， 所以该学生的数学成绩大约排在全市第1500名. 故选：A 3．C 【分析】由题意将代入方程，整理并根据复数为0的条件即可得解. 【详解】由题意，整理得，所以，解得. 故选：C. 4．C 【分析】由等差数列求和公式和数列中项的关系得到等式，解出. 【详解】由题中条件可得，即， ，， ∴，所以． 故选：C． 5．C 【分析】根据圆心到直线的距离可得，由于，所以与互补，从而得弦长AB最小得情况，即可得所求. 【详解】圆心到直线的距离为， 在直角三角形OAP中，， 所以，由于， 所以可得，则， 因为，所以与互补， 所以当时，弦长AB最小，此时，弦长. 故选：C. 6．D 【分析】根据给定条件，利用诱导公式差角的正弦公式化简，再利用三角函数定义及同角公式、差角的正弦公式求解. 【详解】由，得， 则，由，得，则， 由点为角终边上一点，得， 因此，锐角. 故选：D 7．C 【分析】分别求解两个不等式，再通过判断两个解集之间的包含关系，确定条件类型. 【详解】由，得， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：C. 8．D 【分析】由导数的几何意义与切点的性质得到同时满足方程和方程，从而推得方程与，两式相加即可求得，由此得解. 【详解】由题意可知，同时满足方程和方程， 因为，则，所以， 因为，所以满足方， 又满足方程，所以，则， 又由得，则，即， 上述两式相加得，整理得， 所以实数a的值为. 故选：D. 9．AC 【分析】对于A，C，利用等差数列的定义判断即可，对于B，D，通过举反例判断 【详解】解：对于A，由等差数列的定义可知当时，数列为等差数列，所以A正确； 对于B，当时，满足，但数列不是等比数列，所以B错误； 对于C，数列是等差数列，数列的前项和为， 则， ， 所以，所以，，成等差数列，所以C正确； 对于D，当等比数列的公比，为偶数时，，，均为零，所以，，不成等比数列，所以D错误， 故选：AC 10．ACD 【分析】以为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，求出，求出利用向量法即可判断A；求出利用向量法即可判断B；找到截面，即等腰梯形，求其面积即可判断C；设球心，利用两点间距离公式求出，建立等式求出的范围进而求出半径的范围，即可判断D. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，所以， 设，其中，即， 所以点， 又，，， 所以，， 所以， 所以，故A正确； ， 因为，所以， 所以， 函数在上单调递减， 所以当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值， 所以， 所以， 当时，直线与所成角最大， 因为，故直线与所成角的最大值不为，故B错误； 取中点，连接， 因为为的中点，所以， 截面即为四边形， 又，所以， 又因为，故四边形为等腰梯形， 如图，作，垂足为， 所以， 所以， 所以等腰梯形的面积， 即截面的面积为，故C正确； 取的中点，因为为直角三角形，所以为外接圆的圆心， 设外接球的球心为，根据外接球的性质，则平面， 设球心， 则， ， 因为，所以， 即， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值， 所以，所以， 即三棱锥外接球半径的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 11．ACD 【分析】求点到渐近线的距离，由条件结合等腰三角形的性质可得，判断A，设，求点的坐标，根据，可得的关系，由此可求离心率，判断B，由双曲线定义和余弦定理求，判断C，由双曲线定义和内切圆的性质可求，由此可求双曲线方程. 【详解】过点作， 设双曲线的半焦距为， 则双曲线的右焦点的坐标为，渐近线方程为， 点到渐近线的距离，故， 在中，，，， 所以， 由已知，，，又， 所以为的中点，故，A正确； 设，则， 所以，，又， 所以点的坐标为，又， 所以， 两边平方化简可得， 所以，所以，B错误； 对于C，设，由双曲线定义可得， 因为，所以， 由余弦定理可得， 所以， 所以，又， 所以，C正确； 设的内心为，且内切圆与切与点， 根据双曲线的定义及内切圆的性质，可得 ，又， 所以， 所以切点为右顶点，又的内心的横坐标为， 所以，由，可得， 所以， 所以双曲线的标准方程为，D正确. 故选：ACD.    【点睛】知识点点睛：本题考查的知识点有双曲线的基本性质，余弦定理，双曲线的定义，内切圆的性质，属于综合题，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，考查数形结合能力. 12． 【分析】根据百分位数的计算方法，求得，求得二项展开式的通项为，即可求解. 【详解】将这组数据从小到大排成一列为：， 由，所以这组数据的四分位数为，所以二项式为， 则二项展开式的通项为， 令，解得，所以展开式的常数项为. 故答案为：. 13．/ 【分析】由题意得出，结合余弦定理可求得角的值，利用平面向量数量积的定义可求得的值，结合余弦定理可得出的值，再利用并结合三角形的面积公式可求得的长. 【详解】因为，则， 所以， 由余弦定理可得， 又因为，故， 由平面向量数量积的定义可得，故， 所以，可得， 故，故， 因为的平分线交于点，则， 由三角形的面积公式可得， 即，故. 故答案为：. 14． 【分析】由奇函数的性质结合题意计算即可求解. 【详解】设， 则为奇函数， 可得， 由奇函数的定义域关于原点对称可得，解得， 所以， 由可得， 解得，所以. 故答案为：. 15．(1) (2)长轴长为，短轴长为， 【分析】（1）根据焦距和离心率得到，进而求出，得到椭圆方程； （2）由（1）得到长轴和短轴长，并求出A点坐标，得到面积. 【详解】（1）由题意得，解得， 故， 故椭圆方程为； （2）由题意得， 椭圆的长轴长为，短轴长为，    将代入中得，， 不妨设， 显然⊥轴，故. 16．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边角互化可求得，结合条件求出的正弦值，利用正弦定理即可求出的值； （2）利用和角的正弦公式求出的值，再由三角形的面积公式计算即得. 【详解】（1）由， 得， 因为，所以， 所以，则， 因为，所以， 由正弦定理，，因为， 则； （2）因为， 所以 ， 则. 17．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由面面垂直性质证得平面，得到；再由菱形性质与中位线平行证得，由线面垂直判定定理可证； （2）先根据线面垂直与面面垂直关系建立空间直角坐标系，求出各点坐标与平面的法向量，再利用线面角的向量公式计算所求； （3）先利用向量参数化点并求出，再分别求得平面与平面的法向量，由二面角的向量余弦公式，结合变量代换与函数值域分析，得到取值范围. 【详解】（1）连接，因为为等边三角形，为中点，则， 已知在平面内的射影为，所以平面， 又平面，则平面平面， 平面平面，平面， 所以平面，又平面，则， 由题设知四边形为菱形，则， 因为，分别为，中点，则， 则，又，，平面， 所以平面. （2）已知在平面内的射影为，所以平面， 由题设知四边形为菱形，是线段的中点，所以为正三角形， 由平面，平面，则，， 又因为为等边三角形，为中点，所以， 以为坐标原点，，，所在直线为，，轴， 可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，，， 可得，，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，可得， 记所求角为， 则DF与平面所成角的正弦值为. （3）由（2）知，，， 设，，则， 得，，，即， 则， 由（2）知：平面的一个法向量 设平面的法向量， 则， 令，则，，可得； 则， 令，则， 则， 因为，则，可得， 所以锐二面角的余弦值的取值范围为. 18．(1)极大值为，无极小值 (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据导数与极值的关系求解即可. （2）（i）根据题意设，结合单调性将证明转化为证明，构造函数，根据导数与单调性、最值的关系证明即可. （ii）由（1）可知，当时，单调递增；当时，单调递减. ①当时，，故，符合题意； ②当时，若，则，符合题意；若，则.当时，，构造函数，结合导数证明即可. 【详解】（1）由题意知，的定义域为，. 令，即，解得. 故当时，，单调递增；当时，，单调递减； 故有极大值，为，无极小值. 故函数的极大值为，无极小值. （2）（i）因为，，不妨设， 要证，即证， 因为在上单调递减，故只需证. 又，只需证. 令，. ， 当时，，，故，所以在上单调递增， 因此，即. 又，所以，因此. （ii）由（1）知，当时，单调递增；当时，单调递减. ①当时，，故，符合题意； ②当时，若，则，符合题意； 若，则，即. 当时，. 令， 则， 令，则，在上单调递减， 所以，所以，在上单调递增， 则，即，. 令，则， 故若，则，符合题意. 综上，和中至少有一个小于. 19．(1)， (2)期望为，的概率分布为： 0 1 (3). 【分析】（1）根据独立事件的概率公式和对立事件的概率关系可求、； （2）的可能取值为，根据独立事件和对立事件的概率关系可求取相应值时对应概率，从而可求分布列和期望. （3）记3轮对抗后训练结束为事件C，记红方比蓝方多击中对方目标两次为事件D，根据独立事件的概率公式可求，再根据条件概率的概率公式可求题设中的条件概率. 【详解】（1）记无障碍时红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中分别为事件，，， 红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功分别为事件，，，. ， . （2）经过1轮对抗，红方与蓝方击中对方目标数之差X的可能取值为. ， ， . X的概率分布为： 0 1 所以的数学期望. （3）记3轮对抗后训练结束为事件C，记红方比蓝方多击中对方目标两次为事件D. 记3轮对抗后红方与蓝方击中对方目标次数之差为Y， ， ， 所以， 所以. 所以在3轮对抗后训练结束的条件下，红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $