精品解析：宁夏青铜峡市第一中学2025-2026学年第二学期期中考试试卷高二数学（A卷）

青铜峡市第一中学2025-2026学年第二学期期中考试试卷 高 二 数 学（A卷） 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的把答案填涂在答题卡上） 1. 已知函数在处的导数为2，则（ ） A. －2 B. 2 C. －1 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的定义即得. 【详解】∵函数在处的导数为2， ∴. 故选：B. 2. 邮递员把两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则不同的投入方法共有（　　） A. 6种 B. 8种 C. 9种 D. 10种 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】第一步先投一封信有3种不同的投法，第二步投剩余的一封信也有3种不同的投法，根据分步乘法计数原理可知，共有种不同的投法. 故选：C 3. 展开式中的第项是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据展开式通项公式写出第项即可. 【详解】由题意可得二项式展开式的通项为：， 将代入上式，可得：， 所以展开式中的第项是：. 故选：A. 4. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. -2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，即可求解. 【详解】，由题意可知，切线的斜率，则 ，解得：，， 所以. 故选：A 5. 如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ） A. 当时，取得极大值 B. 在上是增函数 C. 当时，取得极大值 D. 在上是增函数，在上是减函数 【答案】D 【解析】 【分析】由导函数的图象，确定导函数的正负，由此得到函数的单调性，由极值的定义判断函数的极值，由此判断四个选项即可. 【详解】根据导函数的图象可知， 当时，，当时，， 可知在内单调递减，在单调递增， 所以当时，取得极小值，当时，取得极大值，当时，取得极小值， 故ABC错误，D正确. 故选：D. 6. 若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，可得对恒成立，可得对恒成立，求得的最大值即可. 【详解】由，可得， 因为函数在区间上单调递增， 所以对恒成立，即对恒成立， 即对恒成立， 令，则，因为，所以， 所以在上单调递减， 所以，所以， 所以实数k的取值范围是. 故选：D. 7. 某班上午有5节课，分别安排语文､数学､英语､物理､化学各1节课，要求语文与化学相邻，且数学不排在第一节课，则不同的排课法的种数是（ ） A. 36 B. 24 C. 18 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】先将语文和化学捆绑、与英语，物理全排列，再将数学插空，由分步乘法计数原理计算即可. 【详解】将语文和化学捆绑、与英语，物理全排列有种排法， 数学不排在第一节课，将数学插空有种， 由分步乘法计数原理可得不同的排课法的种数是种， 故选：A. 8. 已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】问题转化为：在上的最大值不大于在上的最大值，然后根据导数及二次函数的性质求最值即得. 【详解】由题意，在上的最大值不大于在上的最大值. 对：因为，所以， 由， 所以函数在上单调递增， 又，所以在上单调递增，所以在上的最大值为. 对：当时，，因为，故满足题意； 当时，因为的对称轴为，所以在上单调递增，所以在上的最大值为， 由.所以； 当时，在上单调递减，所以在上的最大值为， 由，结合得. 综上可知，实数的取值范围为. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法求二项展开式的系数即可. 【详解】对于A，令，，故A正确； 对于B，令，，故B错误； 对于C，令，， 结合，所以，故C正确； 对于D，令，，故D正确； 故选：ACD. 10. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、通用技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法错误的是（ ） A. 若任意选择三门课程，则选法总数为 B. 若物理和化学至少选一门，则选法总数为 C. 若物理和历史不能同时选，则选法总数为 D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，则选法总数为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据组合数判断A，分物理和化学选一门、两门判断B，利用间接法判断C，对三个科目分类讨论，即可判断D. 【详解】A选项，若任意选择三门课程，则选法总数为，所以A正确. B选项，若物理和化学至少选一门，则选法总数为，所以B错误. C选项，若物理和历史不能同时选，则选法总数为，所以C正确. D选项，只选物理、不选化学和历史，选法为； 只选化学、不选物理，选法为； 物理化学同时选、不选历史，选法为. 所以选法总数是，所以D错误. 故选：BD 11. 已知函数，则（ ） A. 是函数的极小值点 B. 对，方程恒有两个不同的实数解 C. D. 存在，使得直线与曲线相切 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A选项，利用导数即可求出极小值；对于B选项，将问题转化为与有两个交点即可；对于C，根据在上单调递增，可得，代入化简即可判断；对于D，设切点为，则切线方程为：，将点，代入化简得：，令，利用导数研究函数的取值范围即可判断D选项. 【详解】函数​的定义域为，且， 令，解得 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增； 则是函数的极小值点，故A 正确； 对于B，的极小值为， 当时，，，当时，， 结合图像可知对，方程恒有两个不同解成立，故B正确； 对于C，由于当时，单调递增，所以，则， 即,所以，故C不正确； 对于D，设切点为，切线斜率为， 切线方程为：， 因为切线过，代入得： 化简得：， 整理得：，即， 令，， 则，所以在和上单调递增， 所以当时，，当时，， 则当时，无解， 即不存在，使得直线与曲线相切，故D不正确； 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题3题，每小题5分，共15分，把正确答案填在题中横线上） 12. 在如图所示的四个区域中，有5种不同的花卉可选，每个区域只能种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法共有_________种（用数字作答） 【答案】240 【解析】 【分析】直接利用分步乘法计数原理即可求出结果. 【详解】由分步乘法计数原理得种, 故答案为：240. 13. 在二项式的展开式中，常数项为______. 【答案】 【解析】 【分析】对二项式变形，然后利用的通项公式，赋值求解即可. 【详解】. 因为的通项公式为， 所以在中，当时不满足； 在中，当时，，则常数项为. 故答案为： 14. 定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为.若在区间上恒成立，则称函数在区间上为"凸函数.已知在区间上为“凸函数”，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意对函数求二阶导函数，令在区间恒成立，分离参数，解得实数的取值范围即可. 【详解】 ， 在区间上为“凸函数” 在上恒成立 在上恒成立 设，， 则 当且仅当，即时取得最大值， 只需. 故答案为：. 四、解答题（本大题共6小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数，当时，取得极值． （1）求的解析式； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1） （2）的最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）利用极值定义可求得，可得解析式； （2）利用导函数判断出函数在区间上的单调性，比较端点处的值可得结论. 【小问1详解】 依题意可得， 又当时，取得极值，所以，即； 解得； 所以； 【小问2详解】 由（1）可知， 令，可得或， 当变化时，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 因此，在区间上，的最小值为，最大值为. 16. 在以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；条件②：只有第5项的二项式系数最大；条件③：所有项的二项式系数的和为256.问题：在的展开式中，_________. （1）求的值； （2）若展开式中的常数项为112，求展开式中的系数. 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）分别选择这三个条件，利用二项式系数的性质，求的值； （2）根据的值和展开式中的常数项为112，利用二项式求得的值，再求展开式中的系数. 【小问1详解】 选①，， ； 选②，∵只有第5项的二项式系数最大，则展开式共9项，； 选③，∵所有项的二项式系数的和为256，， . 【小问2详解】 二项式的展开式的通项公式为 ，令得， ∴展开式中的常数项为， 得，又， 的展开式的通项公式为， 令得， ， ∴展开式中的系数为. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直性质可知，再由线面垂直判定定理可证明平面，即可得平面平面； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法计算可得结果. 【小问1详解】 底面为矩形， 所以， 又因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 可知平面平面； 【小问2详解】 由（1）可知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知， 则， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 可得， 所以； 因此直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． （3）若，数列的前n项和为，求证： 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差数列前n项和公式及等比中项性质，求出的值，代入公式，即可得答案 （2）由（1）得，根据分组求和法，结合等差、等比数列的前n项和公式，即可得答案. （3）由（1）得，根据裂项相消求和法，可得表达式，分析即可得证. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则①， 又成等比数列，所以，则， 整理得②， 联立①②，解得，所以. 【小问2详解】 由（1）得， 所以 . 【小问3详解】 由（1）得， 则 19. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性； （3）当时，，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，单调递减，当时，单调递增．. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）利用导数与函数单调性的关系求解即可； （3）当时，不等式为：，显然成立，当时，分离参数得，令，利用导数研究的单调性，求出的最大值即可. 【小问1详解】 由， 得， 所以切线方程为； 【小问2详解】 当时，， 令 由于，故单调递增， 注意到，故当时，单调递减， 当时，单调递增． 【小问3详解】 由得，，其中， 法一：①当时，不等式为：，显然成立，符合题意； ②当时，分离参数得，， 记， 令，则，令， 故单调递增，， 故函数单调递增，， 由可得：恒成立， 故当时，单调递增，当时，单调递减． 另解：， 令，则， 设， 所以， 又，所以，使得， 则函数在上单调递减，在上单调递增，且． 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 因此，． 综上可得，实数a的取值范围是． 法二：等价于． （另） 设函数，则 ， ①若，即， 则当时，，所以在上单调递增， 而，故当时，，不合题意． ②若，即， 则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 由于，所以当且仅当， 即． 所以当时，． ③若，即，则， 由于，故由②可得， 故当时，． 综上可得，实数a的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青铜峡市第一中学2025-2026学年第二学期期中考试试卷 高 二 数 学（A卷） 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的把答案填涂在答题卡上） 1. 已知函数在处的导数为2，则（ ） A. －2 B. 2 C. －1 D. 1 2. 邮递员把两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则不同的投入方法共有（　　） A. 6种 B. 8种 C. 9种 D. 10种 3. 展开式中的第项是（ ） A. B. C. D. 4. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. -2 D. 5. 如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ） A. 当时，取得极大值 B. 在上是增函数 C. 当时，取得极大值 D. 在上是增函数，在上是减函数 6. 若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 某班上午有5节课，分别安排语文､数学､英语､物理､化学各1节课，要求语文与化学相邻，且数学不排在第一节课，则不同的排课法的种数是（ ） A. 36 B. 24 C. 18 D. 12 8. 已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、通用技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法错误的是（ ） A. 若任意选择三门课程，则选法总数为 B. 若物理和化学至少选一门，则选法总数为 C. 若物理和历史不能同时选，则选法总数为 D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，则选法总数为 11. 已知函数，则（ ） A. 是函数的极小值点 B. 对，方程恒有两个不同的实数解 C. D. 存在，使得直线与曲线相切 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题3题，每小题5分，共15分，把正确答案填在题中横线上） 12. 在如图所示的四个区域中，有5种不同的花卉可选，每个区域只能种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法共有_________种（用数字作答） 13. 在二项式的展开式中，常数项为______. 14. 定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为.若在区间上恒成立，则称函数在区间上为"凸函数.已知在区间上为“凸函数”，则实数的取值范围为________. 四、解答题（本大题共6小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数，当时，取得极值． （1）求的解析式； （2）求在区间上的最值． 16. 在以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；条件②：只有第5项的二项式系数最大；条件③：所有项的二项式系数的和为256.问题：在的展开式中，_________. （1）求的值； （2）若展开式中的常数项为112，求展开式中的系数. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． （3）若，数列的前n项和为，求证： 19. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性； （3）当时，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $