精品解析：宁夏青铜峡市宁朔中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

宁朔中学2024-2025（二）高二数学期中考试测试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列的前4项为，，，，则它的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的前项进行猜想，由此求得正确答案. 【详解】将，，，可以写成成，，， 所以的通项公式为. 故选：C 2. 已知数列满足，且，则（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的定义可判断数列为等差数列，从而可得，利用数列的通项公式即可求解. 【详解】根据题意，因此数列是等差数列，公差， 已知， ， 即，解得， 利用等差数列的通项公式得. 因此，. 故选：B. 3. 已知等比数列的公比为2，，则（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列通项公式求得首项即可求解； 【详解】由， 可得：，所以， 所以， 则， 故选：C 4. 下列函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数逐项分析判断. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：D． 5. 如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据图像算出函数在点处的切线，即可求出其在处的函数值与导数取值。 【详解】由图象可得，切线过点和，切线斜率为，所以， 又因为切线方程为，则切点坐标为，有， 所以. 故选：C 6. 从0，1，2，3，4这5个数中任选3个数，组成没有重复数字的三位数的个数为（ ） A. 24 B. 36 C. 42 D. 48 【答案】D 【解析】 【分析】分别考虑百位十位和个位的情况，根据分步乘法原理计算即可. 【详解】由题意，百位可从1，2，3，4共4个数字中选择，共4种选择； 十位可从百位外剩下的4个数字中选择，共4种选择； 个位可从百、十位外剩下的3个数字中选择，共3种选择. 故共有种情况. 故选：D 7. 已知各项均为正数的等比数列是单调递增数列，，则（ ） A. B. C. 10 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列的性质可求得公比，再利用即可. 【详解】因，即，， 解得或（舍）， 设公比为，则，故 故选：D 8. 若，，，则以下不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将变形为，构造函数，利用导数研究其单调性，再结合作差法比较即可. 【详解】因为， 令，定义域为，则， 当时，，当 时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以， 又，所以， 所以，即. 故选：D. 二、多选题：本题共4小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求． 9. 设等差数列的前项和为，公差为，已知，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. 时，的最小值为15 D. 最小时， 【答案】AC 【解析】 【分析】由等差数列和的公式和等差数列的性质，得到，再结合已知，得到，进而分析可以判定各选项. 【详解】由，则， 又，则，所以，故A正确，B错误； 对于C，由上分析，当时，，当时，， 又，又，所以时，的最小值为15，故C正确； 对于D，当最小时，，故D错误. 故选：AC. 10. 已知函数，1为的极小值点，则（ ） A. B. 的极大值为3 C. 恰有3个零点 D. 的图象关于点对称 【答案】BC 【解析】 【分析】求导，根据函数极值点的情况确定的值，通过三次函数的性质的分析，可判断各选项的正确性. 【详解】因为，所以， 因为1为的极小值点，由，所以. 此时由或； 由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 所以的极大值点为，极大值为；的极小值. 所以，故A错误； 因为的极大值点为，极大值为，故B正确； 因为的极大值为，的极小值，所以恰有3个零点，故C正确； 因为，所以，故函数的图象关于点对称，故D错误. 故选：BC 11. 已知函数是单调递增函数，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由函数是单调递增函数，可得在上恒成立，再利用分离参数法求解即可. 【详解】， 因为函数是单调递增函数， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 所以. 故选 ：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共20分． 12. 已知函数，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调性，易知函数的极小值即为函数的最小值，代入数值即可得解. 【详解】由题意， 令得，得， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是， 所以函数的最小值为. 故答案为：. 13. 的二项展开式中的常数项为___________. 【答案】135 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】由题，二项展开式的通项为. 令，得. 所以常数项为. 故答案为：135. 14. 在上的最小值为，最大值为，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】应用导数求出函数在区间上的最值，即可得. 【详解】由题设， 当，，则在上单调递增， 当，，则在上单调递减， 且，，， 而，即， 所以，，则. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 求值（用数字表示） （1） （2） （3）已知，求 【答案】（1）64； （2）15； （3）7. 【解析】 【分析】（1）根据排列数公式计算可得； （2）根据组合数公式计算可得； （3）根据排列数公式化简方程，解方程求. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 由，得，即， 所以，整理得， 所以. 16. 已知正项数列前项和为，，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用求出首项，根据等差数列的通项公式即可写出；（2）利用裂项求和即可. 【小问1详解】 ∵，∴数列是以公差为3的等差数列. 又，∴ ，，∴. 【小问2详解】 由（1）知，于 17. 已知数列的前项和为，满足． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）令可求得的值，令，由可得出，两式作差推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得. 【详解】（1）当时，，解得， 当时，由可得出， 上述两式作差可得，所以，， 所以是以为首项，公比的等比数列，所以； （2），， ， 上式下式可得， 因此，. 18. （1），求函数在区间上的最大值和最小值． （2）已知，求的极值 【答案】（1）最小值，最大值为；（2）极大值；极小值. 【解析】 【分析】（1）先求导研究函数在上的单调性，结合其端点值和极值即可得解. （2）先求导，在根据导函数在其零点附近的符号可确定极大值或是极小值； 【详解】（1）由题意可知， 所以， 令，解得，， 列表有 x 1 0 0 递增 极大值 递减 极小值 递增 由上可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以最小值为，最大值为. （2）函数的定义域为， ，令，得或， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以在处取得极大值，所以在处取得极小值. 19. 已知函数，其中为常数，为自然对数的底数． （1）当时，求单调区间； （2）若在区间上的最大值为2，求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）把时代入函数，求导，令求出函数的增区间，令求出函数的减区间；（2）对方程有无实根，和有根，根是否在区间内进行讨论，求得函数的极值，确定函数的最大值． 【详解】函数的定义域为， 当时，， ， 令得，，令得， ∴函数增区间为，减区间为； （2）， ①当时，，∴， ∴函数在上是增函数， ∴， ∴，∴符号题意； ②当时，令得， 1°若，即时， ∴，∴， ∴不合题意，舍去； 2°若，即时，在上． ∴在上是增函数，故， ∴. 【点睛】本题主要考查利用导数的方法研究函数的单调性、极值、最值和分类讨论的思想方法，注意函数的定义域，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宁朔中学2024-2025（二）高二数学期中考试测试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列的前4项为，，，，则它的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列满足，且，则（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 3. 已知等比数列的公比为2，，则（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 4. 下列函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 从0，1，2，3，4这5个数中任选3个数，组成没有重复数字的三位数的个数为（ ） A. 24 B. 36 C. 42 D. 48 7. 已知各项均为正数等比数列是单调递增数列，，则（ ） A B. C. 10 D. 20 8. 若，，，则以下不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求． 9. 设等差数列的前项和为，公差为，已知，则下列选项正确的有（ ） A B. C. 时，的最小值为15 D. 最小时， 10. 已知函数，1为的极小值点，则（ ） A. B. 的极大值为3 C. 恰有3个零点 D. 的图象关于点对称 11. 已知函数是单调递增函数，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共20分． 12. 已知函数，则最小值为_________． 13. 的二项展开式中的常数项为___________. 14. 在上的最小值为，最大值为，则_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 求值（用数字表示） （1） （2） （3）已知，求 16. 已知正项数列的前项和为，，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 17. 已知数列的前项和为，满足． （1）求数列通项公式； （2）记，求数列的前项和． 18. （1），求函数在区间上的最大值和最小值． （2）已知，求的极值 19. 已知函数，其中为常数，为自然对数的底数． （1）当时，求的单调区间； （2）若在区间上的最大值为2，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$