2025-2026学年苏科版数学七年级册期中复习试卷

2025-2026学年第二学期七年级下学期数学期中复习试卷 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列运算正确的是（　　） A．（﹣3a）2＝6a2 B．（a﹣1）2＝a2﹣1 C．（a2）3＝a5 D．2a2•a＝2a3 3．（3分）若代数式（x2+x）（x2﹣2x+m）展开后不含x2项，求m的值是（　　） A．0 B．2 C．1 D．﹣1 4．（3分）如图，阴影部分是在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼形成新的图形，下列四种割拼方法，能够验证平方差公式的有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 5．（3分）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，AE＝2cm，△BDC的周长为7cm，则△ABC的周长是（　　） A．7cm B．9cm C．11cm D．13cm 6．（3分）如图，将△OAB绕着点O按逆时针方向旋转至△OA′B′，使点B恰好落在A′B′上，已知AB＝4，BB′＝1，则A′B的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（3分）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（a+4b）、宽为（2a+b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（　　） A．2，4，9 B．4，2，7 C．2，3，7 D．2，5，7 8．（3分）如图，点C、D在线段AB的同侧，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中点，∠CMD＝120°，则CD长的最大值是（　　） A．16 B．19 C．20 D．21 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9．（3分）“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”．已知一粒米的重量约为0.000021千克，将数据0.000021用科学记数法表示为 　 　 ． 10．（3分）计算　 　 ． 11．（3分）已知a＝233，b＝418，c＝810，则a、b、c的大小关系是 　 　 ． 12．（3分）如图，将△ABC沿直线AB向右平移得到△BDE，连接CE，若△ABC的周长为9，四边形ADEC的周长为15，则平移的距离为 　 　 ． 13．（3分）已知9m×27n＝81，则4m+6n的值为 　 　 ． 14．（3分）若（x2﹣2x+4m）（x﹣3）中不含x的一次项，则m的值为　 　 ． 15．（3分）已知x＝2m+1，y＝3+4m，试用含x的代数式表示y，则y＝　 　 ． 16．（3分）我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m，n为正整数），类似的，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n）．比如h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝h（2）•h（2）＝3×3＝9．若h（2）＝k，则h（2n）•h（2020）的结果是 　 　 ． 三．解答题（共11小题，满分82分） 17．（6分）计算： （1）． （2）101×99﹣972（利用公式计算）． 18．（6分）计算： （1）（2x﹣1）（x+3）； （2）﹣3x2y2•2xy+（xy）3． 19．（6分）先化简，再求值：（﹣2m+1）（﹣2m﹣1）﹣（m﹣1）2+（﹣2m）3÷8m，其中m满足m2+m﹣2＝0． 20．（8分）若am＝an（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m＝n． 你能利用上面的结论解决下面的三个问题吗？ （1）如果9x＝316，求x的值； （2）如果3×9x×27x＝326，求x的值； （3）已知x满足32x+2﹣32x＝648，求x的值． 21．（6分）在下列各图中的适当位置添加最少的小方格，使得到的图形关于虚线成轴对称． 22．（8分）在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图，现将△ABC平移后得△EDF，使点B的对应点为点D，点A对应点为点E． （1）画出△EDF； （2）线段BD与AE有何关系？ （3）连接CD、BD，则四边形ABDC的面积为　 　 ． 23．（6分）已知直线l及其两侧两点A、B，如图． （1）在直线l上求一点P，使PA＝PB； （2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB． （以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法） 24．（8分）在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE的周长为6cm． （1）求BC的长； （2）分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长． 25．（8分）仔细观察下列各式： 第1个等式：12+22+22＝（2+1）2； 第2个等式：22+62+32＝（6+1）2； 第3个等式：32+122+42＝（12+1）2； 请你根据以上规律，解决下列问题： （1）写出第4个等式：　 　 ； （2）写出第n（n为正整数）个等式，并证明等式成立． 26．（10分）【问题情景】 数学活动课上，老师出了一个题目，阅读下列解题过程． 若x满足xy＝4，x﹣y＝5，求x2+y2的值． 解：∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2 ∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy ＝52﹣2×4＝17 【实践探究】 根据以上解题方法，解决下列问题，若x满足（x﹣3）（x﹣8）＝6 （1）请直接写出（x﹣3）﹣（x﹣8）的值为 　 　 ． （2）求（x﹣3）2+（x﹣8）2的值； （3）如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为40平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少？ 27．（10分）如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°． （1）将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置，使得点O与点N重合，CD与MN相交于点E，求∠CEN的度数； （2）将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图3，且OD恰好平分∠MON，CD与MN相交于点E，求∠CEN的度数； （3）将图1中的三角尺OCD绕点O按每秒15°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第　 　 秒时，边CD恰好与边MN平行；在第　 　 秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．（直接写出结果） 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义即可作答． 【解答】解：A、图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； B、图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； C、图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； D、图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意， 故选：D． 2．（3分）下列运算正确的是（　　） A．（﹣3a）2＝6a2 B．（a﹣1）2＝a2﹣1 C．（a2）3＝a5 D．2a2•a＝2a3 【分析】利用单项式乘单项式的法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可． 【解答】解：A、（﹣3a）2＝9a2，故A不符合题意； B、（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故B不符合题意； C、（a2）3＝a6，故C不符合题意； D、2a2•a＝2a3，故D符合题意； 故选：D． 3．（3分）若代数式（x2+x）（x2﹣2x+m）展开后不含x2项，求m的值是（　　） A．0 B．2 C．1 D．﹣1 【分析】先把多项式展开后合并，然后令x2项系数等于0，再解方程即可． 【解答】解：∵多项式（x2+x）（x2﹣2x+m）＝x4﹣x3+（m﹣2）x2+mx不含x2项， ∴m﹣2＝0， 解得m＝2． 故选：B． 4．（3分）如图，阴影部分是在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼形成新的图形，下列四种割拼方法，能够验证平方差公式的有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【分析】分别用代数式表示每一个图形中阴影部分的面积，根据面积之间的关系可得等式，再进行判断即可． 【解答】解；图（1）阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，其面积为（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），因此选项A能够验证平方差公式； 图（2）阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的是底为a+b，高为a﹣b的平行四边形，其面积为（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），因此选项B能够验证平方差公式； 图（3）阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的是上底为2b，下底为2a，高为a﹣b的梯形，其面积为（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），因此选项C能够验证平方差公式； 图（4）阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的是底为a+b，高为a﹣b的平行四边形，其面积为（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），因此选项D能够验证平方差公式； 综上所述，能够验证平方差公式的图形有（1）（2）（3）（4），共4个， 故选：D． 5．（3分）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，AE＝2cm，△BDC的周长为7cm，则△ABC的周长是（　　） A．7cm B．9cm C．11cm D．13cm 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，AB＝2AE＝4cm，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵DE是边AB的垂直平分线， ∴DA＝DB，AB＝2AE＝4cm， ∵△BDC的周长为7cm， ∴BC+CD+BD＝BC+CD+DA＝AC+BC＝7cm， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝4+7＝11（cm）． 故选：C． 6．（3分）如图，将△OAB绕着点O按逆时针方向旋转至△OA′B′，使点B恰好落在A′B′上，已知AB＝4，BB′＝1，则A′B的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据将△OAB绕着点O按逆时针方向旋转至△OA′B′，可得A'B'＝AB＝4，故A'B＝A'B'﹣BB'＝4﹣1＝3． 【解答】解：∵将△OAB绕着点O按逆时针方向旋转至△OA′B′， ∴A'B'＝AB＝4， ∵BB'＝1， ∴A'B＝A'B'﹣BB'＝4﹣1＝3； 故选：A． 7．（3分）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（a+4b）、宽为（2a+b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（　　） A．2，4，9 B．4，2，7 C．2，3，7 D．2，5，7 【分析】根据题意列式为（a+4b）（2a+b），将其计算后求得各项的系数即可． 【解答】解：（a+4b）（2a+b） ＝2a2+ab+8ab+4b2 ＝2a2+9ab+4b2， 各项的系数分别为2，9，4， 则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为2，4，9， 故选：A． 8．（3分）如图，点C、D在线段AB的同侧，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中点，∠CMD＝120°，则CD长的最大值是（　　） A．16 B．19 C．20 D．21 【分析】作点A关于CM的对称点A′，作点B关于DM的对称点B′，证明△A′MB′为等边三角形，即可解决问题． 【解答】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′． ∵∠CMD＝120°， ∴∠AMC+∠DMB＝60°， ∴∠CMA′+∠DMB′＝60°， ∴∠A′MB′＝60°， ∵MA′＝MB′， ∴△A′MB′为等边三角形 ∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝4+6+9＝19， ∴CD的最大值为19， 故选：B． 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9．（3分）“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”．已知一粒米的重量约为0.000021千克，将数据0.000021用科学记数法表示为 　2.1×10﹣5 ． 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.000021＝2.1×10﹣5． 故答案为：2.1×10﹣5． 10．（3分）计算　　 ． 【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，得出答案即可． 【解答】解： ； 故答案为 ． 11．（3分）已知a＝233，b＝418，c＝810，则a、b、c的大小关系是 c＜a＜b ． 【分析】利用幂的乘方运算对各式变形，变成底数相同的形式即可求解． 【解答】解：a＝233，b＝418＝（22）18＝236，c＝810＝（23）10＝230， ∵230＜233＜236， ∴c＜a＜b． 故答案为：c＜a＜b． 12．（3分）如图，将△ABC沿直线AB向右平移得到△BDE，连接CE，若△ABC的周长为9，四边形ADEC的周长为15，则平移的距离为 　3　 ． 【分析】利用平移变换的性质求出BD，可得结论． 【解答】解：由平移变换的性质可知AB＝BD＝EC，BC＝DE， ∵AC+AD+DE+EC＝15，AB+BC+AC＝9， ∴2BD＝15﹣9， ∴BD＝3． ∴平移的距离为3． 故答案为：3． 13．（3分）已知9m×27n＝81，则4m+6n的值为 　8　 ． 【分析】根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则计算即可．幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【解答】解：∵9m×27n＝32m×33n＝32m+3n＝81＝34， ∴2m+3n＝4， ∴4m+6n＝2（2m+3n）＝8． 故答案为：8． 14．（3分）若（x2﹣2x+4m）（x﹣3）中不含x的一次项，则m的值为　﹣1.5　 ． 【分析】把（x2﹣2x+4m）（x﹣3）展开，根据题意不含x的一次项得到关于m的方程，求解即可． 【解答】解：（x2﹣2x+4m）（x﹣3） ＝x3﹣3x2﹣2x2+6x+4mx﹣12m ＝x3﹣5x2+（4m+6）x﹣12m， ∵不含x的一次项， ∴4m+6＝0． ∴m＝﹣1.5． 故答案为：﹣1.5． 15．（3分）已知x＝2m+1，y＝3+4m，试用含x的代数式表示y，则y＝x2﹣2x+4　 ． 【分析】将4m变形，转化为关于2m的形式，然后再代入整理即可． 【解答】解：∵4m＝22m＝（2m）2，x＝2m+1， ∴2m＝x﹣1， ∵y＝3+4m， ∴y＝（x﹣1）2+3， 即y＝x2﹣2x+4． 16．（3分）我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m，n为正整数），类似的，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n）．比如h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝h（2）•h（2）＝3×3＝9．若h（2）＝k，则h（2n）•h（2020）的结果是 kn+1010 ． 【分析】根据同底数幂的乘法运算法则计算即可． 【解答】解：h（2n）kn， h（2020）k1010， 则h（2n）•h（2020）＝kn•k1010＝kn+1010． 故答案为：kn+1010． 三．解答题（共11小题，满分82分） 17．（6分）计算： （1）． （2）101×99﹣972（利用公式计算）． 【分析】（1）根据负整数指数幂和零指数幂运算法则，绝对值意义进行求解即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【解答】解：（1） ＝2×2﹣5﹣1 ＝﹣2； （2）101×99﹣972 ＝（100+1）（100﹣1）﹣（100﹣3）2 ＝1002﹣1﹣（1002﹣600+9） ＝1002﹣1﹣1002+600﹣9 ＝590． 18．（6分）计算： （1）（2x﹣1）（x+3）； （2）﹣3x2y2•2xy+（xy）3． 【分析】（1）根据多项式乘多项式运算法则，进行计算即可； （2）根据单项式乘单项式运算法则，积的乘方，进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝2x（x+3）﹣（x+3） ＝2x2+6x﹣x﹣3 ＝2x2+5x﹣3； （2）原式＝﹣6x3y3+x3y3＝﹣5x3y3． 19．（6分）先化简，再求值：（﹣2m+1）（﹣2m﹣1）﹣（m﹣1）2+（﹣2m）3÷8m，其中m满足m2+m﹣2＝0． 【分析】原式先根据平方差公式、完全平方公式以及单项式除以单项式化简各项后得最简结果，再把m2+m﹣2＝0变形为m2+m＝2，再代入计算即可． 【解答】解：原式＝4m2﹣1﹣（m2﹣2m+1）﹣m2 ＝4m2﹣1﹣m2+2m﹣1﹣m2 ＝2m2+2m﹣2； 由m2+m﹣2＝0可得m2+m＝2， 原式＝2m2+2m﹣2 ＝2（m2+m）﹣2 ＝2． 20．（8分）若am＝an（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m＝n． 你能利用上面的结论解决下面的三个问题吗？ （1）如果9x＝316，求x的值； （2）如果3×9x×27x＝326，求x的值； （3）已知x满足32x+2﹣32x＝648，求x的值． 【分析】（1）根据幂的乘方运算法则将等式9x＝316化为32x＝316，再根据题目给出的定义即可求出答案； （2）根据同底数幂的运算法则与幂的乘方以及题目给出的定义即可求出答案； （3）根据同底数幂的乘法的逆运算法则可将32x+2﹣32x＝648化为8×32x＝648，由此可得32x＝34，再根据题目给出的定义即可求出答案． 【解答】解：（1）∵9x＝316， ∴（32）x＝316， ∴32x＝316， ∴2x＝16， 解得x＝8； （2）∵3×9x×27x＝326， ∴3×（32）x×（33）x＝326， ∴3×32x×33x＝326， ∴31+2x+3x＝326， 即1+2x+3x＝26， 解得x＝5； （3）∵32x+2﹣32x＝648， ∴9×32x﹣32x＝648， ∴8×32x＝648， ∴32x＝81， ∴32x＝34， 即2x＝4， 解得x＝2． 21．（6分）在下列各图中的适当位置添加最少的小方格，使得到的图形关于虚线成轴对称． 【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案． 【解答】解：如图，图形关于虚线成轴对称． 22．（8分）在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图，现将△ABC平移后得△EDF，使点B的对应点为点D，点A对应点为点E． （1）画出△EDF； （2）线段BD与AE有何关系？ （3）连接CD、BD，则四边形ABDC的面积为　6　 ． 【分析】（1）根据网格结构找出点A、C的对应点E、F的位置，再与点D顺次连接即可； （2）根据平移变化的性质，对应点的连线平行且相等解答； （3）利用四边形ABDC面积等于四边形所在的矩形的面积减去四周四个小直角三角形的面积，列式计算即可得解． 【解答】解：（1）△EDF如图所示； （2）BD与AE平行且相等； （3）四边形ABDC面积＝4×32×31×21×31×1 ＝12﹣3﹣1 ＝12﹣6 ＝6． 故答案为：6． 23．（6分）已知直线l及其两侧两点A、B，如图． （1）在直线l上求一点P，使PA＝PB； （2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB． （以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法） 【分析】（1）作线段AB的垂直平分线与l的交点即为所求； （2）作点A关于l的对称点A′，连接BA′并延长交l于点Q，点Q即为所求． 【解答】解：（1）如图，点P即为所求； （2）如图，点Q即为所求． 24．（8分）在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE的周长为6cm． （1）求BC的长； （2）分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长． 【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得出AD＝BD，AE＝CE，再根据AD+DE+AE＝BD+DE+CE即可得出结论； （2）先根据线段垂直平分线的性质得出OA＝OC＝OB，再由△OBC的周长为16cm求出OC的长，进而得出结论． 【解答】解：（1）如图， ∵DF、EG分别是线段AB、AC的垂直平分线， ∴AD＝BD，AE＝CE， ∴AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC， ∵△ADE的周长为6cm，即AD+DE+AE＝6cm， ∴BC＝6cm； （2）∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E， ∴OA＝OC＝OB， ∵△OBC的周长为16cm，即OC+OB+BC＝16， ∴OC+OB＝16﹣6＝10cm， ∴OC＝5cm， ∴OA＝OC＝OB＝5cm． 25．（8分）仔细观察下列各式： 第1个等式：12+22+22＝（2+1）2； 第2个等式：22+62+32＝（6+1）2； 第3个等式：32+122+42＝（12+1）2； 请你根据以上规律，解决下列问题： （1）写出第4个等式：　42+202+52＝（20+1）2 ； （2）写出第n（n为正整数）个等式，并证明等式成立． 【分析】（1）由所给的等式的形式进行求解即可； （2）分析所给的等式的形式，不难求解． 【解答】解：（1）由题意可得，第4个等式为：42+202+52＝（20+1）2； 故答案为：42+202+52＝（20+1）2； （2）第n个等式为：n2+[n（n+1）]2+（n+1）2＝[n（n+1）+1]2， 右边＝[n（n+1）]2+2n（n+1）+1 ＝[n（n+1）]2+2n2+2n+1 ＝[n（n+1）]2+n2+（n2+2n+1） ＝n2+[n（n+1）]2+（n+1）2 ＝左边， 故等式成立． 26．（10分）【问题情景】 数学活动课上，老师出了一个题目，阅读下列解题过程． 若x满足xy＝4，x﹣y＝5，求x2+y2的值． 解：∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2 ∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy ＝52﹣2×4＝17 【实践探究】 根据以上解题方法，解决下列问题，若x满足（x﹣3）（x﹣8）＝6 （1）请直接写出（x﹣3）﹣（x﹣8）的值为 　5　 ． （2）求（x﹣3）2+（x﹣8）2的值； （3）如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为40平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少？ 【分析】（1）根据整式加减运算法则计算即可． （2）根据题目中的完全平方公式变形求解即可； （3）由图及题中条件可知正方形CFGH的边长为10﹣x，正方形CEMN的边长为6﹣x，则由长方形CEPF的面积为40平方单位得到（10﹣x）（x﹣6）＝﹣40，设（10﹣x）＝a，（x﹣6）＝b，则ab＝﹣40，且a+b＝（10﹣x）+（x﹣6）＝4再利用完全平方公式变形得到a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，代入式子计算可得到阴影部分的面积和． 【解答】解：（1）（x﹣3）﹣（x﹣8）＝x﹣3﹣x+8＝5， 故答案为：5； （2）∵（x﹣3）（x﹣8）＝6，（x﹣3）﹣（x﹣8）＝5， ∴原式＝[（x﹣3）﹣（x﹣8）]2+2（x﹣3）（x﹣8） ＝52+2×6 ＝37； （3）由图及题中条件可知正方形CFGH的边长为10﹣x，正方形CEMN的边长为6﹣x，则由长方形CEPF的面积为40平方单位得到（10﹣x）（x﹣6）＝﹣40， ∴阴影部分面积为（10﹣x）2+（6﹣x）2＝（10﹣x）2+（x﹣6）2， 设（10﹣x）＝a，（x﹣6）＝b， 则ab＝﹣40，且a+b＝（10﹣x）+（x﹣6）＝4， ∴（10﹣x）2+（6﹣x）2＝（10﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2， ∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×（﹣40）＝96， ∴阴影部分面积为96． 27．（10分）如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°． （1）将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置，使得点O与点N重合，CD与MN相交于点E，求∠CEN的度数； （2）将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图3，且OD恰好平分∠MON，CD与MN相交于点E，求∠CEN的度数； （3）将图1中的三角尺OCD绕点O按每秒15°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第　5或17　 秒时，边CD恰好与边MN平行；在第　11或23　 秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．（直接写出结果） 【分析】（1）根据三角形的内角和定理可得∠CEN＝180°﹣∠DCN﹣∠MNO，代入数据计算即可得解； （2）根据角平分线的定义求出∠DON＝45°，利用内错角相等两直线平行求出CD∥AB，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可； （3）①分CD在AB上方时，CD∥MN，设OM与CD相交于F，根据两直线平行，同位角相等可得∠OFD＝∠M＝60°，然后根据三角形的内角和定理列式求出∠MOD，即可得解；CD在AB的下方时，CD∥MN，设直线OM与CD相交于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠DFO＝∠M＝60°，然后利用三角形的内角和定理求出∠DOF，再求出旋转角即可；②分CD在OM的右边时，设CD与AB相交于G，根据直角三角形两锐角互余求出∠CGN，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CON，再求出旋转角即可，CD在OM的左边时，设CD与AB相交于G，根据直角三角形两锐角互余求出∠NGD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠AOC，然后求出旋转角，计算即可得解． 【解答】解：（1）在△CEN中， ∠CEN＝180°﹣∠DCN﹣∠MNO ＝180°﹣45°﹣30° ＝105°； （2）∵OD平分∠MON， ∴∠DON∠MPN90°＝45°， ∴∠DON＝∠D＝45°， ∴CD∥AB， ∴∠CEN＝180°﹣∠MNO＝180°﹣30°＝150°； （3）如图1，CD在AB上方时，设OM与CD相交于F， ∵CD∥MN， ∴∠OFD＝∠M＝60°， 在△ODF中，∠MOD＝180°﹣∠D﹣∠OFD， ＝180°﹣45°﹣60°， ＝75°， ∴旋转角为75°， t＝75°÷15°＝5秒； CD在AB的下方时，设直线OM与CD相交于F， ∵CD∥MN， ∴∠DFO＝∠M＝60°， 在△DOF中，∠DOF＝180°﹣∠D﹣∠DFO＝180°﹣45°﹣60°＝75°， ∴旋转角为75°+180°＝255°， t＝255°÷15°＝17秒； 综上所述，第5或17秒时，边CD恰好与边MN平行； 如图2，CD在OM的右边时，设CD与AB相交于G， ∵CD⊥MN， ∴∠NGC＝90°﹣∠MNO＝90°﹣30°＝60°， ∴∠CON＝∠NGC﹣∠OCD＝60°﹣45°＝15°， ∴旋转角为180°﹣∠CON＝180°﹣15°＝165°， t＝165°÷15°＝11秒， CD在OM的左边时，设CD与AB相交于G， ∵CD⊥MN， ∴∠NGD＝90°﹣∠MNO＝90°﹣30°＝60°， ∴∠AOC＝∠NGD﹣∠C＝60°﹣45°＝15°， ∴旋转角为360°﹣∠AOC＝360°﹣15°＝345°， t＝345°÷15°＝23秒， 综上所述，第11或23秒时，直线CD恰好与直线MN垂直． 故答案为：5或17；11或23． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/25 9:56:24；用户：钟军；邮箱：13870756251；学号：41363517 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $