期中复习试卷2025～2026学年第二学期七年级下册数学

**基本信息** 七年级下册数学期中复习卷，以国产AI软件图标、零件模型等真实情境为载体，融合轴对称、幂运算、图形变换等知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度，考查运算能力、空间观念与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|轴对称图形（第1题）、幂的运算（第2题）、旋转性质（第6题）|结合Deepseek等AI软件图标创设情境，考查几何直观| |填空题|8/24|同底数幂乘法（第10题）、垂直平分线（第13题）、三角板旋转（第16题）|设计动态旋转问题（第16题），培养空间观念| |解答题|11/82|整式应用（第20题）、新定义运算（第24题）、几何与代数综合（第26题）|以零件面积计算（第20题）考查模型意识，新定义运算（第24题）发展推理能力|

2025~2026学年第二学期七年级下册数学期中复习试卷 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）下列国产AI软件图标属于轴对称图形的是（　　） A．Deepseek B．Kimi C．米可智能 D．通义千问 2．（3分）下列计算正确的是（　　） A．x2•（﹣x）＝﹣x3 B．x3÷x2＝1 C．（2x3）3＝6x6 D．2x+x＝3x2 3．（3分）计算等于（　　） A．1 B．2 C． D． 4．（3分）若关于x的多项式（x2+2x+4）（x+k）展开后不含有一次项，则实数k的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．3 D．﹣2 5．（3分）若M＝（x﹣2）（x﹣3），N＝（x﹣1）（x﹣4），则M与N的大小关系是（　　） A．由x的取值而定 B．M＝N C．M＜N D．M＞N 6．（3分）如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在斜边AB上，则∠AB′C′的度数为（　　） A．40° B．50° C．70° D．20° 7．（3分）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E，已知△ADE的周长为13cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为28cm，则OA的长为（　　）cm． A．6.5 B．7.5 C．13 D．43 8．（3分）如图a，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图b，若∠DEF＝72°，则∠GMN＝（　　） A．68° B．70° C．78° D．72° 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9．（3分）　 　 ． 10．（3分）若x+3y﹣2＝0，则3x•27y＝　 　 ． 11．（3分）已知：x3，则x2　 　 ． 12．（3分）如图，在7×5的方格纸中，格点四边形甲经过旋转后得到格点四边形乙，则其旋转中心是点 　 　 ． 13．（3分）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，若AB＝12，AC＝15，则△ABD的周长为　 　 ． 14．（3分）已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，现给出3个数a，b，c之间的四个关系式： ①a+c＝2b； ②c＝a+2； ③b+c＝2a+3； ④a+b＝2c﹣4． 其中，正确的关系式是　 　 （填序号）． 15．（3分）小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，A，M，B在同一直线上．若AB＝10，且两个正方形面积之和为56，则阴影部分的面积是　 　 ． 16．（3分）如图，一副三角板的三个内角分别是90°，45°，45°和90°，60°，30°，按如图所示叠放在一起（点A，D，B在同一直线上），若固定△ABC，将△BDE绕着公共顶点B顺时针旋转α度（0＜α＜180），当边DE与△ABC的某一边平行时，相应的旋转角α的值为　 　 ． 三．解答题（共11小题，满分82分） 17．（6分）（1）计算：； （2）化简：（a﹣2）（a+3）﹣（a﹣2）2． 18．（6分）已知3a＝4，3b＝10，3c＝8． （1）求3a+c的值； （2）求32b﹣a的值． 19．（6分）已知x+y＝1，xy＝﹣12，求下列代数式的值： （1）x2+y2； （2）x﹣y． 20．（7分）某工厂设计了一个新的零件模型，该模型平面图为一个大长方形内部挖去一个小长方形（如图）．其中大长方形的长为（3a﹣5b）cm，宽为（a﹣b）cm，小长方形的长为acm，宽为（a﹣2b）cm． （1）求零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）；（结果需要化简） （2）零件模型平面图的面积比挖去的小长方形的面积大多少平方厘米？ 21．（8分）在图中网格上按要求画出图形，并回答问题： （1）如果将三角形ABC平移，使得点A平移到图中点D位置，点B、点C的对应点分别为点E、点F，请画出三角形DEF； （2）画出三角形ABC关于点D成中心对称的三角形A1B1C1； （3）三角形DEF与三角形A1B1C1　 　 （填“是”或“否”）关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心，并记作点O． 22．（7分）将三角形ABC沿BC边向右平移得到三角形DEF，如图． （1）若∠B＝70°，则∠DEF＝　 　 度； （2）若三角形ABC的周长为10，AD＝2，求四边形ABFD的周长． 23．（6分）如图，P是∠AOB外一点，M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝2.5cm．PN＝3cm，MN＝4cm，求线段QR的长． 24．（8分）如果xn＝y，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定填空： （﹣2，4）＝　 　 （5，1）＝　 　 　 　 ． （2）已知，（9，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，求证：2a+b＝c． 25．（8分）我们在解题时，经常会遇到“数的平方”，那么你有简便方法吗？这里，我们以“两位数的平方”为例，请观察下列各式的规律，回答问题： 272＝（27+7）×20+72＝729 322＝（32+2）×30+22＝1024 562＝（56+6）×50+62＝3136 … （1）请根据上述规律填空：382＝　 　 ＝　 　 ； （2）我们知道，任何一个两位数（个位上数字为n十位上数字为m）都可以表示为10m+n，根据上述规律写出：（10m+n）2＝　 　 ，并用所学知识说明你的结论的正确性． 26．（10分）我们知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些等式．例如图1，可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题： （1）①若a（3﹣a）＝2，则a2+（3﹣a）2＝　 　 ； ②若（a﹣2）（a﹣3）＝3，则（a﹣2）2+（a﹣3）2＝　 　 ； （2）两块完全相同的三角板ABD、CBE按如图2放置，∠ABD＝∠CBE＝90°，点C，B，D在同一直线上，连接AC、ED．若AE＝6，S△ABD＝7，求阴影部分的面积． 27．（10分）在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放． （1）如图1，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，把△OAB以O为中心顺时针旋转，至少旋转　 　 度，才能使OB落在OC上； （2）如图2，如果把图1所示的△OAB以O为中心顺时针旋转得到△OA′B′，当∠COA'时，∠AOA'为多少度？ （3）如图3，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，另一条直角边OB、OC也在同一条直线上，如果把△OAB以O为中心顺时针旋转一周，当旋转　 　 度时，AB所在直线与CD所在直线垂直？ 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）下列国产AI软件图标属于轴对称图形的是（　　） A．Deepseek B．Kimi C．米可智能 D．通义千问 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【解答】解：A，B，D不是轴对称图形，C是轴对称图形， 故选：C． 2．（3分）下列计算正确的是（　　） A．x2•（﹣x）＝﹣x3 B．x3÷x2＝1 C．（2x3）3＝6x6 D．2x+x＝3x2 【分析】根据对应法则逐一验证选项即可得到结果． 【解答】解：A、x2•（﹣x）＝﹣x2+1＝﹣x3，选项计算正确，符合题意； B、x3÷x2＝x3﹣2＝x，选项计算错误，不符合题意； C、（2x3）3＝23•（x3）3＝8x9，选项计算错误，不符合题意； D、2x+x＝（2+1）x＝3x，选项计算错误，不符合题意． 故选：A． 3．（3分）计算等于（　　） A．1 B．2 C． D． 【分析】根据积的乘方法则的逆用即可计算． 【解答】解：原式22025×2 2 ＝1×2 ＝2． 故选：B． 4．（3分）若关于x的多项式（x2+2x+4）（x+k）展开后不含有一次项，则实数k的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．3 D．﹣2 【分析】将原式展开后，令一次项的系数为零即可求出k的值． 【解答】解：原式＝x3+kx2+2x2+2kx+4x+4k ＝x3+kx2+2x2+（2k+4）x+4k， 令2k+4＝0， ∴k＝﹣2， 故选：D． 5．（3分）若M＝（x﹣2）（x﹣3），N＝（x﹣1）（x﹣4），则M与N的大小关系是（　　） A．由x的取值而定 B．M＝N C．M＜N D．M＞N 【分析】先将M和N别去括号计算，再根据M﹣N＝2即可得到答案． 【解答】解：∵M＝（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6， N＝（x﹣1）（x﹣4）＝x2﹣5x+4， ∴M﹣N＝2， ∴M＞N， 故选：D． 6．（3分）如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在斜边AB上，则∠AB′C′的度数为（　　） A．40° B．50° C．70° D．20° 【分析】利用旋转的性质得出∠BAB′＝40°，AB＝AB′，进而利用直角三角形的两锐角互余得出∠AB′C′的度数． 【解答】解：∵把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上， ∴∠BAB′＝40°，∠ACB'＝90°， ∴∠AB′C′＝90°﹣∠BAB′＝90°﹣40°＝50°， 故选：B． 7．（3分）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E，已知△ADE的周长为13cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为28cm，则OA的长为（　　）cm． A．6.5 B．7.5 C．13 D．43 【分析】先根据线段垂直平分线性质得DA＝DB，EA＝EC，OA＝OB＝OC，再根据△ADE的周长为13cm得BC＝13cm，再根据△OBC的周长为28cm得2OA+15＝28cm，由此可得OA的长． 【解答】解：∵OM是AB的垂直平分线，ON是AC的垂直平分线， ∴DA＝DB，EA＝EC，OA＝OB，OA＝OC， ∴OB＝OC＝OA， ∵△ADE的周长为13cm， ∴DA+DE+EA＝13cm， ∴BC＝DB+DE+EC＝13cm， ∵△OBC的周长为28cm， ∴OB+OC+BC＝28cm， ∴2OA+13＝28cm， ∴OA＝7.5cm． 故选：B． 8．（3分）如图a，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图b，若∠DEF＝72°，则∠GMN＝（　　） A．68° B．70° C．78° D．72° 【分析】先根据平行线的性质得到∠CFE＝108°，∠EFB＝72°，再由折叠的性质得到∠EFH＝∠CFE＝108°，则∠BFH＝∠EFH﹣∠EFB＝36°，根据三角形内角和定理得到∠FMH＝54°，则∠GMN＝180°﹣2∠FMH＝72°． 【解答】解：∵长方形ABCD， ∴AD∥BC， ∴∠CFE＝180°﹣∠DEF＝108°，∠EFB＝∠DEF＝72°， ∵纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置， ∴∠EFH＝∠CFE＝108°，∠H＝∠C＝90°，∠BFH＝∠EFH﹣∠EFB＝36°， ∴∠FMH＝90°﹣∠BFH＝54°， 由折叠的性质可得∠NMF＝∠HMF， ∴∠GMN＝180°﹣2∠FMH＝72°， 故选：D． 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9．（3分）　﹣2　 ． 【分析】先逆用同底数幂乘法可得，再运用乘法运算律以及逆用积的乘方运算法则计算即可． 【解答】解：原式 ＝2×（﹣1）2025 ＝2×（﹣1） ＝﹣2． 故答案为：﹣2． 10．（3分）若x+3y﹣2＝0，则3x•27y＝　9　 ． 【分析】将x+3y看作一个整体并求出其值，然后逆运用同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算即可得解． 【解答】解：∵x+3y﹣2＝0， ∴x+3y＝2， ∴3x•27y＝3x•33y＝3x+3y＝32＝9． 故答案为：9． 11．（3分）已知：x3，则x2　7　 ． 【分析】根据完全平方公式解答即可． 【解答】解：∵x3， ∴（x）2＝x2+29， ∴x27， 故答案为：7． 12．（3分）如图，在7×5的方格纸中，格点四边形甲经过旋转后得到格点四边形乙，则其旋转中心是点 M ． 【分析】连接两组对应顶点，作对应顶点所连线段的垂直平分线，交于点M即可． 【解答】解：作对应顶点所连线段的垂直平分线，交于点M， 故答案为：M． 13．（3分）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，若AB＝12，AC＝15，则△ABD的周长为　27　 ． 【分析】根据线段垂直平分线的性质进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为DE垂直平分BC， 所以DB＝DC． 因为AC＝15， 所以AD+CD＝15， 所以AD+BD＝15， 所以AB+AD+BD＝12+15＝27， 即△ABD的周长为27． 故答案为：27． 14．（3分）已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，现给出3个数a，b，c之间的四个关系式： ①a+c＝2b； ②c＝a+2； ③b+c＝2a+3； ④a+b＝2c﹣4． 其中，正确的关系式是　①②③　 （填序号）． 【分析】根据同底数幂的乘法法则即可求出a、b、c的关系，代入各式验证即可． 【解答】解：∵2a＝3，2b＝6，2c＝12， ∴2a×22＝3×4＝12，2b×2＝6×2＝12，2c＝12， ∴a+2＝b+1＝c， 即b＝a+1，c＝b+1，c＝a+2， ①a+c＝a+a+2＝2a+2，2b＝2a+2， 则a+c＝2b，故①正确，符合题意； ②c＝a+2，故②正确，符合题意； ③b+c＝a+1+a+2＝2a+3，故③正确，符合题意； ④a+b＝a+a+1＝2a+1，2c﹣3＝2a+4﹣3＝2a+1， 则a+b＝2c﹣3，故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的有①②③， 故答案为：①②③． 15．（3分）小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，A，M，B在同一直线上．若AB＝10，且两个正方形面积之和为56，则阴影部分的面积是　22　 ． 【分析】令两个正方形的边长分别为a，b（a＜b），再结合AB＝10、两个正方形面积之和为56及整体思想进行计算即可． 【解答】解：如图所示， 令两个正方形的边长分别为a，b（a＜b）， 因为AB＝10且两个正方形面积之和为56， 所以a+b＝10，a2+b2＝56． 因为阴影部分的面积可表示为：， 则2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝100﹣56＝44， 所以ab＝22， 即阴影部分的面积是22． 故答案为：22． 16．（3分）如图，一副三角板的三个内角分别是90°，45°，45°和90°，60°，30°，按如图所示叠放在一起（点A，D，B在同一直线上），若固定△ABC，将△BDE绕着公共顶点B顺时针旋转α度（0＜α＜180），当边DE与△ABC的某一边平行时，相应的旋转角α的值为　45°或75°或165°　 ． 【分析】分三种情形分别画出图形，利用平行线的性质一一求解即可． 【解答】解：①如图1中，当DE∥AB时， 易证∠ABD＝∠D＝45°，可得旋转角α＝45° ②如图2中，当DE∥BC时， 易证∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝∠ABC+∠D＝75°，可得旋转角α＝75° ③如图3中，当DE∥AC时，作BM∥AC， 则AC∥BM∥DE， ∴∠CBM＝∠C＝90°，∠DBM＝∠D＝45°， ∴∠ABD＝30°+90°+45°＝165°，可得旋转角α＝165°， 综上所述，满足条件的旋转角α为45°或75°或165° 故答案为45°或75°或165°． 三．解答题（共11小题，满分82分） 17．（6分）（1）计算：； （2）化简：（a﹣2）（a+3）﹣（a﹣2）2． 【分析】（1）根据负整数指数幂，零指数幂以及有理数的乘方的计算方法进行计算即可； （2）根据多项式乘多项式的计算方法以及完全平方公式的结构特征进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣1+1﹣9＝﹣9； （2）原式＝a2+a﹣6﹣（a2﹣4a+4） ＝a2+a﹣6﹣a2+4a﹣4 ＝5a﹣10． 18．（6分）已知3a＝4，3b＝10，3c＝8． （1）求3a+c的值； （2）求32b﹣a的值． 【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆用计算即可； （2）根据同底数幂除法的逆用和幂的乘方的逆用计算即可． 【解答】解：（1）∵3a＝4，3c＝8， ∴3a+c＝3a•3c＝4×8＝32； （2）∵3a＝4，3b＝10， ∴32b﹣a＝32b÷3a＝（3b）2÷3a＝102÷4＝25． 19．（6分）已知x+y＝1，xy＝﹣12，求下列代数式的值： （1）x2+y2； （2）x﹣y． 【分析】（1）根据（x+y）2＝x2+y2+2xy进行计算x2+y2的值即可； （2）根据（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy结合（1），进行计算x﹣y的值即可． 【解答】解：（1）∵x+y＝1，xy＝﹣12， ∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝1﹣2×（﹣12）＝1+24＝25， 则x2+y2＝25； （2）由（1）知，x2+y2＝25， ∵（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy， ∴（x﹣y）2＝25﹣2×（﹣12）＝49， ∴x﹣y＝±7． 20．（7分）某工厂设计了一个新的零件模型，该模型平面图为一个大长方形内部挖去一个小长方形（如图）．其中大长方形的长为（3a﹣5b）cm，宽为（a﹣b）cm，小长方形的长为acm，宽为（a﹣2b）cm． （1）求零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）；（结果需要化简） （2）零件模型平面图的面积比挖去的小长方形的面积大多少平方厘米？ 【分析】（1）用大长方形的面积减去小长方形的面积即可得到零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）； （2）用零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）减去小长方形的面积即可得到答案． 【解答】解：（1）根据题意可知，零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）为： （3a﹣5b）（a﹣b）﹣a（a﹣2b） ＝3a2﹣5ab﹣3ab+5b2﹣a2+2ab ＝（2a2﹣6ab+5b2）cm2， 答：零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）为（2a2﹣6ab+5b2）cm2； （2）（2a2﹣6ab+5b2）﹣a（a﹣2b） ＝2a2﹣6ab+5b2﹣a2+2ab ＝（a2﹣4ab+5b2）cm2， 答：零件模型平面图的面积比挖去的小长方形的面积大（a2﹣4ab+5b2）cm2． 21．（8分）在图中网格上按要求画出图形，并回答问题： （1）如果将三角形ABC平移，使得点A平移到图中点D位置，点B、点C的对应点分别为点E、点F，请画出三角形DEF； （2）画出三角形ABC关于点D成中心对称的三角形A1B1C1； （3）三角形DEF与三角形A1B1C1　是　 （填“是”或“否”）关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心，并记作点O． 【分析】（1）由题意得出，需将点B与点C先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，据此可得； （2）分别作出三顶点分别关于点D的对称点，再首尾顺次连接可得； （3）连接两组对应点即可得． 【解答】解：（1）如图所示，△DEF即为所求． （2）如图所示，△A1B1C1即为所求； （3）如图所示，△DEF与△A1B1C1是关于点O成中心对称， 故答案为：是． 22．（7分）将三角形ABC沿BC边向右平移得到三角形DEF，如图． （1）若∠B＝70°，则∠DEF＝　70　 度； （2）若三角形ABC的周长为10，AD＝2，求四边形ABFD的周长． 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）由平移的性质可得DF＝AC，CF＝AD＝2，再由三角形周长计算公式可推出AB+BC+DF＝14，据此求解即可． 【解答】解：（1）∵△ABC沿BC方向平移得到△DEF，∠B＝70°， ∴∠DEF＝∠B＝70°， 故答案为：70； （2）∵△ABC沿BC方向平移得到△DEF，AD＝2， ∴DF＝AC，CF＝AD＝2， ∵△ABC的周长为10， ∴AB+BC+AC＝10，即AB+BC+DF＝10， ∴四边形ABFD的周长 ＝AB+BF+DF+AD＝AB+BC+DF+CF+AD＝10+2+2＝14． 23．（6分）如图，P是∠AOB外一点，M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝2.5cm．PN＝3cm，MN＝4cm，求线段QR的长． 【分析】由轴对称的性质可知：PM＝MQ，PN＝RN，先求得QN的长度，然后根据QR＝QN+NR即可求得QR的长度． 【解答】解：由轴对称的性质可知：PM＝MQ＝2.5cm，PN＝RN＝3cm， QN＝MN﹣QM＝4﹣2.5＝1.5cm，QR＝QN+NR＝1.5+3＝4.5cm． 24．（8分）如果xn＝y，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定填空： （﹣2，4）＝　2　 （5，1）＝　0　 　﹣2　 ． （2）已知，（9，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，求证：2a+b＝c． 【分析】（1）根据题意的计算方法求解即可； （2）根据题意得到9a＝5，3b＝6，3c＝30，结合题意，运用幂的乘方，同底数幂的计算求解即可． 【解答】解：（1）根据题意可知，（﹣2，4）＝2， （5，1）＝0， ． 故答案为：2；0；﹣2； （2）证明：∵（9，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c， ∴9a＝5，3b＝6，3c＝30， ∵9a＝（32）a＝32a， ∴32a＝5， ∴32a×3b＝32a+b＝5×6＝30， 又∵3c＝30， ∴32a+b＝3c， ∴2a+b＝c． 25．（8分）我们在解题时，经常会遇到“数的平方”，那么你有简便方法吗？这里，我们以“两位数的平方”为例，请观察下列各式的规律，回答问题： 272＝（27+7）×20+72＝729 322＝（32+2）×30+22＝1024 562＝（56+6）×50+62＝3136 … （1）请根据上述规律填空：382＝　（38+8）×30+82 ＝　1444　 ； （2）我们知道，任何一个两位数（个位上数字为n十位上数字为m）都可以表示为10m+n，根据上述规律写出：（10m+n）2＝　（10m+n+n）×10m+n2 ，并用所学知识说明你的结论的正确性． 【分析】（1）根据已知算式得出规律，再得出即可； （2）根据已知算式得出规律，再求出即可． 【解答】解：（1）382＝（38+8）×30+82＝1444， 故答案为：（38+8）×30+82，1444； （2）（10m+n）2＝（10m+n+n）×10m+n2， 证明：∵（10m+n）2＝（10m）2+2×10m×n+n2＝100m2+20mn+n2， （10m+n+n）×10m+n2 ＝100m2+20mn+n2， ∴（10m+n）2＝（10m+n+n）×10m+n2， 故答案为：（10m+n+n）×10m+n2． 26．（10分）我们知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些等式．例如图1，可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题： （1）①若a（3﹣a）＝2，则a2+（3﹣a）2＝　5　 ； ②若（a﹣2）（a﹣3）＝3，则（a﹣2）2+（a﹣3）2＝　7　 ； （2）两块完全相同的三角板ABD、CBE按如图2放置，∠ABD＝∠CBE＝90°，点C，B，D在同一直线上，连接AC、ED．若AE＝6，S△ABD＝7，求阴影部分的面积． 【分析】（1）①设x＝a，y＝3﹣a，根据题意得到x+y＝3，xy＝2，由a2+（3﹣a）2＝x2+y2＝（x+y）2﹣2xy代入计算即可； ②设m＝a﹣2，n＝a﹣3，由题意得到m﹣n＝1，mn＝3，由（a﹣2）2+（a﹣3）2＝m2+n2＝（m﹣n）2+2mn代入计算即可； （2）设AB＝p，BD＝q，根据题意得到p﹣q＝6，pq＝14，根据S阴影部分＝S△ABC+S△BDE＝p2+q2＝[（p﹣q）2+2pq]代入计算即可． 【解答】解：（1）①设x＝a，y＝3﹣a，则x+y＝3，xy＝a（3﹣a）＝2，∴a2+（3﹣a）2＝x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝9﹣4＝5， 故答案为：5； ②设m＝a﹣2，n＝a﹣3，则m﹣n＝1，mn＝（a﹣2）（a﹣3）＝3， ∴（a﹣2）2+（a﹣3）2＝m2+n2＝（m﹣n）2+2mn＝1+6＝7， 故答案为：7； （2）设AB＝p，BD＝q，则BC＝p，BE＝q，AE＝p﹣q＝6， ∵S△ABD＝7＝AB•BD＝pq， ∴pq＝14， ∴S阴影部分＝S△ABC+S△BDE ＝p2+q2 ＝（p2+q2） ＝[（p﹣q）2+2pq] ＝（36+28） ＝32． 27．（10分）在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放． （1）如图1，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，把△OAB以O为中心顺时针旋转，至少旋转　75　 度，才能使OB落在OC上； （2）如图2，如果把图1所示的△OAB以O为中心顺时针旋转得到△OA′B′，当∠COA'时，∠AOA'为多少度？ （3）如图3，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，另一条直角边OB、OC也在同一条直线上，如果把△OAB以O为中心顺时针旋转一周，当旋转　15或195　 度时，AB所在直线与CD所在直线垂直？ 【分析】（1）根据旋转角的定义计算即可； （2）设∠AOA′＝∠BOB′＝α，分别表示出∠COA'和∠DOB，进而求解； （3）分类讨论当△A′OB′在点O的上方和下方时，根据垂直的定义计算即可． 【解答】解：（1）∵∠BOA＝45°，∠COD＝60°， ∴∠BOC＝180°﹣45°﹣60°＝75°； 故答案为：75； （2）∵△OAB以O为中心顺时针旋转得到△OA′B′， ∴∠AOA′＝∠BOB′， 设∠AOA′＝∠BOB′＝α， 则∠COA′＝180°﹣60°﹣α＝120°﹣α， ∠DOB′＝180°﹣45°﹣α＝135°﹣α， ∵， ∴， ∴α＝112.5°， ∴∠AOA′＝α＝112.5°； （3）当△A′OB′在点O的上方时，延长A′B′交CD于点E，如图， ∵A′B′⊥CD， ∴∠CEF＝90°， ∴∠CFE＝90°﹣∠C＝60°， ∴∠BOB′＝∠CFE﹣∠A′B′O＝15°； 当△A′OB′在点O的下方时，延长B′A′，CD，相交于点E，如图， ∵A′B′⊥CD， ∴∠DEA′＝90°， ∵∠CDO＝60°，∠OA′B′＝45°， ∴∠EDO＝120°，∠OA′E＝135°， ∴∠DOA′＝360°﹣90°﹣120°﹣135°＝15°， ∴∠BOB′＝∠COD+∠DOA′+∠A′OB′＝195°； 综上所述：旋转的角度为15°或195°时，AB所在直线与CD所在直线垂直． 故答案为：15或195． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/25 9:54:28；用户：钟军；邮箱：13870756251；学号：41363517 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $