北京汇文中学教育集团2025-2026学年第二学期期中考试高一年级数学学科

北京汇文中学教育集团2025-2026学年度第二学期期中考试 高一年级数学学科 1.本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共60分；第二部分为非选择题，共90分. 2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答. 第一部分（选择题共60分） 一､选择题共12小题，每小题5分，共60分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 的值为 A. B. C. D. 2. 已知向量，，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知向量，不共线，，，若与同向，则实数t的值为（ ） A. B. C. 3 D. 或3 5. 若向量与满足，且，则在上的投影向量的模为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 8 6. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆锥的母线长为5，侧面展开图扇形的弧长为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 已知是非零向量，则“”是“对于任意的，都有成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 11. 如图，，是两个形状相同的杯子，且杯高度是杯高度的，则杯容积与杯容积之比最接近的是（ ） A. B. C. D. 12. 定义域为的函数的图象的两个端点分别为．点是的图象上的任意一点，其中，点N满足向量，点O为坐标原点．若不等式恒成立，则称函数在上为k函数．已知函数在上为k函数，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共90分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分. 13. 已知复数满足，则__________，__________. 14. 若非零向量与满足，则与夹角的大小为______. 15. 已知直角三角形的两条直角边长分别为3，4，分别以两条直角边和斜边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，则这三个几何体中，体积的最大值是______；表面积的最小值是______. 16. 在中，，，若存在且唯一，则的一个取值为______． 17. 如图，已知边长为4的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，作EF⊥AE交∠BCD的外角平分线于F．设，记，则函数的值域是_________；当面积最大时，_________． 三､解答题 18. 已知向量，且． （1）证明：向量； （2）求与夹角的大小； （3）求的最小值． 19. 如图，在四边形中，，，，，. （1）求的长； （2）求的面积. 20. 在中，若． （1）求B； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. 条件①；条件②的周长为；条件③BC边的中线的长度为， 21. 已知函数的最小值为． （1）求m的值； （2）求的单调递增区间； （3）若锐角满足，求的取值范围. 22. 已知n维向量，给定，定义变换；选取，再选取一个实数x，对的坐标进行如下改变：若此时，则将同时加上x．其余坐标不变；若此时，则将及同时加上x，其余坐标不变．若a经过有限次变换（每次变换所取的i，x的值可能不同）后，最终得到的向量满足，则称a为k阶可等向量．例如，向量经过两次变换可得：，所以是2阶可等向量． （1）判断是否是2阶可等向量？说明理由； （2）若取1，2，3，4的一个排序得到的向量是2阶可等向量，求； （3）若任取的一个排序得到的n维向量均为k阶可等向量．则称为k阶强可等向量．求证：向量是5阶强可等向量． 北京汇文中学教育集团2025-2026学年度第二学期期中考试 高一年级数学学科 1.本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共60分；第二部分为非选择题，共90分. 2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答. 第一部分（选择题共60分） 一､选择题共12小题，每小题5分，共60分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】C 【11题答案】 【答案】B 【12题答案】 【答案】B 第二部分（非选择题共90分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分. 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 【14题答案】 【答案】## 【15题答案】 【答案】 ①. ②. 【16题答案】 【答案】5（答案不唯一） 【17题答案】 【答案】， 三､解答题 【18题答案】 【答案】（1）证明：因为向量， 由，得． 解得，则． 因此． （2） （3）． 【19题答案】 【答案】（1）7；（2）. 【20题答案】 【答案】（1） （2） 若选择条件①， 由（1）可得，则．三角形存在但不唯一确定； 若选择条件②， 由（1）可得， 所以． 由正弦定理，所以． 所以的周长为，． 所以． 所以的面积为； 若选择条件③， 由（1）可得， 所以． 设为边上的中线，， 在中，由余弦定理， 所以， 解得，则由正弦定理得， 所以的面积. 【21题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【22题答案】 【答案】（1）是2阶可等向量，理由：是2阶可等向量． 例如经过两次变换可得： （2）5； （3）证明：任取的一个排序，记为． 注意到，是阶可等向量，等价于是阶可等向量． 变换即对连续五个维度的坐标（首尾也看成连续）同时加上， 相当于对剩余两个连续维度的坐标同时加上． 对依次加上，相当于对单独加上； 对依次加上，相当于对单独加上； …… 基于上述分析，相当于可以对分别单独加上． 所以为5阶可等向量，为5阶强可等向量． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $