精品解析：北京汇文中学教育集团2025-2026学年第二学期期中考试高一年级数学学科

北京汇文中学教育集团2025-2026学年度第二学期期中考试 高一年级数学学科 1.本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共60分；第二部分为非选择题，共90分. 2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答. 第一部分（选择题共60分） 一､选择题共12小题，每小题5分，共60分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 的值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】观察式子的结构符合两角差的余弦公式，先逆用两角差的余弦公式，再用诱导公式化简求值. 【详解】. 故选A. 【点睛】本题考查两角差的余弦公式，关键在于观察式子的结构符合哪个公式，属于基础题. 2. 已知向量，，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的减法法则和坐标运算法则求解即可. 【详解】由向量的减法法则得， 且，，则，故C正确. 故选：C 3. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 【详解】在复平面内，复数= ∴复数所对应的点（1，1）位于第一象限． 故选：A． 【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4. 已知向量，不共线，，，若与同向，则实数t的值为（ ） A. B. C. 3 D. 或3 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理，结合平面向量基本定理求解即得. 【详解】由向量与同向，得， 即，而向量不共线，则，又，解得， 所以实数t的值为. 故选：A 5. 若向量与满足，且，则在上的投影向量的模为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知条件求出；再结合向量的投影公式，及向量模的计算即可求解. 【详解】由，可得： 因为， 所以. 又因为在上的投影向量为， 所以在上的投影向量的模. 故选：C. 6. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数模及除法运算计算得解. 【详解】依题意，. 故选：A 7. 在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形结合向量的线性运算求解. 【详解】因为为的中点，为的中点， 所以. 故选：C. 8. 已知圆锥的母线长为5，侧面展开图扇形的弧长为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据侧面展开图的弧长求出底面半径，再应用圆锥的体积计算即可. 【详解】因为侧面展开图扇形的弧长为,所以, 又因为圆锥的母线长为5，设圆锥的高为h, 所以圆锥的体积为. 故选：A. 9. 在中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用余弦定理得到，再由，得到，即可求出结果. 【详解】因为，，，由余弦定理， 得到，即，解得， 由，得到， 又，所以， 故选：B. 10. 已知是非零向量，则“”是“对于任意的，都有成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义及数量积的运算律判断即可. 【详解】因为是非零向量， 若，则， 所以 ， 所以对于任意的，都有成立，故充分性成立； 若对于任意的，都有成立， 则，即， 所以，所以，所以，故必要性成立； 所以“”是“对于任意的，都有成立”的充要条件. 故选：C 11. 如图，，是两个形状相同的杯子，且杯高度是杯高度的，则杯容积与杯容积之比最接近的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两个杯子形状相同可得底面积之比为高之比的平方，因此容积之比为高之比的立方即可求解. 【详解】因为，是两个形状相同的杯子，且杯高度是杯高度的， 所以底面半径比也是， 所以两个杯子的底面积之比为， 所以杯容积与杯容积之比， 故选：B. 12. 定义域为的函数的图象的两个端点分别为．点是的图象上的任意一点，其中，点N满足向量，点O为坐标原点．若不等式恒成立，则称函数在上为k函数．已知函数在上为k函数，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出两个端点，设的横坐标为，纵坐标为，进一步确定，从而求出，求出，得到答案. 【详解】在上的两个端点分别为， 设的横坐标为，纵坐标为，则， 故， ， 故，， 所以， 当时，等号成立， 故实数k的取值范围为. 故选：B 第二部分（非选择题共90分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分. 13. 已知复数满足，则__________，__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由模长公式与共轭复数定义即可得. 【详解】由，则，故，. 14. 若非零向量与满足，则与夹角的大小为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的定义，向量模的计算方法及数量积的运算法则即可求解. 【详解】设与夹角为，. 令， 则. 由，可得：， 又因为， 所以，解得，， 故答案为： 15. 已知直角三角形的两条直角边长分别为3，4，分别以两条直角边和斜边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，则这三个几何体中，体积的最大值是______；表面积的最小值是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由直角三角形绕其直角边旋转可以得到一个圆锥，直角三角形绕其斜边旋转可以得到两个共用同一底面的圆锥的组合体，分别求出他们的表面积和体积，进行比较可得答案． 【详解】由题意可知，斜边，且斜边上的高 当绕边旋转时，此时得到的是以为底面圆半径，母线分别为的两个共底面的圆锥， 其表面是两个扇形的表面，所以其表面积为； 体积； 当绕边旋转时，， 体积； 当绕边旋转时，， 体积． ∴． 故答案为：， 16. 在中，，，若存在且唯一，则的一个取值为______． 【答案】5（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解即可. 【详解】在中，，，由正弦定理，得， 由存在且唯一，知或且，解得或，而， 所以的一个取值为5. 故答案为：5 17. 如图，已知边长为4的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，作EF⊥AE交∠BCD的外角平分线于F．设，记，则函数的值域是_________；当面积最大时，_________． 【答案】， 【解析】 【详解】试题分析：如图，作,交延长线于，则, 易证得，所以 设，则 所以 所以 由题知，所以 故的值域是 因为，所以当面积最大时，，即 则 在中， 所以 考点：1．向量的数量积；2．二次函数的最值． 三､解答题 18. 已知向量，且． （1）证明：向量； （2）求与夹角的大小； （3）求的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据垂直的坐标运算即可求解， （2）根据模长公式，以及夹角公式即可求解， （3）根据模长公式，结合二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 因为向量， 由，得． 解得，则． 因此． 【小问2详解】 由（1）知，则． 又，则． 设与夹角为，因此． 又，则，所以与夹角为． 【小问3详解】 由（2）知，，则， 因此， 当且仅当时取等号． 所以最小值为． 19. 如图，在四边形中，，，，，. （1）求的长； （2）求的面积. 【答案】（1）7；（2）. 【解析】 【分析】(1)在中，由，得出,根据正弦定理，可求得解得的值； (2)在中，根据余弦定理，可求得,利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】(1)在中，因为，, 所以． 根据正弦定理，有 , 代入 解得． (2)在中，根据余弦定理． 代入，得，所以, 所以 【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形的面积公式，考查学生计算能力，属于基础题． 20. 在中，若． （1）求B； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. 条件①；条件②的周长为；条件③BC边的中线的长度为， 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得答案； （2）若选择条件①，由边长不确定可得答案；若选择条件②，由正弦定理求出，再由可得答案；若选择条件③：设为边上的中线，由余弦定理、正弦定理、面积公式可得答案. 【小问1详解】 因为，由正弦定理， 所以． 因为，所以． 所以，即． 因为，所以； 【小问2详解】 若选择条件①， 由（1）可得，则．三角形存在但不唯一确定； 若选择条件②， 由（1）可得， 所以． 由正弦定理，所以． 所以的周长为，． 所以． 所以的面积为； 若选择条件③， 由（1）可得， 所以． 设为边上的中线，， 在中，由余弦定理， 所以， 解得，则由正弦定理得， 所以的面积. 21. 已知函数的最小值为． （1）求m的值； （2）求的单调递增区间； （3）若锐角满足，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简函数为，然后根据最值计算即可； （2）根据（1）的结果，利用正弦函数的单调性求解； （3）依题意得到，然后利用正弦定理化简得到，根据角度范围计算即可. 【小问1详解】 因为，， 所以， 又的最小值为， 所以， 所以． 【小问2详解】 由（1）知，， 令， 即， 所以的单调递增区间为． 【小问3详解】 因为锐角满足，且， 所以，即． 又，所以，所以，即． 由正弦定理，得， 由为锐角三角形，得， 所以，即， 所以的取值范围为． 22. 已知n维向量，给定，定义变换；选取，再选取一个实数x，对的坐标进行如下改变：若此时，则将同时加上x．其余坐标不变；若此时，则将及同时加上x，其余坐标不变．若a经过有限次变换（每次变换所取的i，x的值可能不同）后，最终得到的向量满足，则称a为k阶可等向量．例如，向量经过两次变换可得：，所以是2阶可等向量． （1）判断是否是2阶可等向量？说明理由； （2）若取1，2，3，4的一个排序得到的向量是2阶可等向量，求； （3）若任取的一个排序得到的n维向量均为k阶可等向量．则称为k阶强可等向量．求证：向量是5阶强可等向量． 【答案】（1）是2阶可等向量，理由见解析； （2）5； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据的定义即可求解， （2）根据的定义即可求解，，即可结合是2阶可等向量求解， （3）根据是阶可等向量，等价于是阶可等向量，即可根据变换求证. 【小问1详解】 是2阶可等向量． 例如经过两次变换可得： 【小问2详解】 设进行一次变换后得， 当时， 当时， 当时， 当时， 综上，我们得到 ． 因为是2阶可等向量，即 所以． 所以 【小问3详解】 任取的一个排序，记为． 注意到，是阶可等向量，等价于是阶可等向量． 变换即对连续五个维度的坐标（首尾也看成连续）同时加上， 相当于对剩余两个连续维度的坐标同时加上． 对依次加上，相当于对单独加上； 对依次加上，相当于对单独加上； …… 基于上述分析，相当于可以对分别单独加上． 所以为5阶可等向量，为5阶强可等向量． 【点睛】方法点睛：对于新型定义，首先要了解定义的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京汇文中学教育集团2025-2026学年度第二学期期中考试 高一年级数学学科 1.本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共60分；第二部分为非选择题，共90分. 2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答. 第一部分（选择题共60分） 一､选择题共12小题，每小题5分，共60分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 的值为 A. B. C. D. 2. 已知向量，，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知向量，不共线，，，若与同向，则实数t的值为（ ） A. B. C. 3 D. 或3 5. 若向量与满足，且，则在上的投影向量的模为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 8 6. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆锥的母线长为5，侧面展开图扇形的弧长为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 已知是非零向量，则“”是“对于任意的，都有成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 11. 如图，，是两个形状相同的杯子，且杯高度是杯高度的，则杯容积与杯容积之比最接近的是（ ） A. B. C. D. 12. 定义域为的函数的图象的两个端点分别为．点是的图象上的任意一点，其中，点N满足向量，点O为坐标原点．若不等式恒成立，则称函数在上为k函数．已知函数在上为k函数，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共90分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分. 13. 已知复数满足，则__________，__________. 14. 若非零向量与满足，则与夹角的大小为______. 15. 已知直角三角形的两条直角边长分别为3，4，分别以两条直角边和斜边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，则这三个几何体中，体积的最大值是______；表面积的最小值是______. 16. 在中，，，若存在且唯一，则的一个取值为______． 17. 如图，已知边长为4的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，作EF⊥AE交∠BCD的外角平分线于F．设，记，则函数的值域是_________；当面积最大时，_________． 三､解答题 18. 已知向量，且． （1）证明：向量； （2）求与夹角的大小； （3）求的最小值． 19. 如图，在四边形中，，，，，. （1）求的长； （2）求的面积. 20. 在中，若． （1）求B； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. 条件①；条件②的周长为；条件③BC边的中线的长度为， 21. 已知函数的最小值为． （1）求m的值； （2）求的单调递增区间； （3）若锐角满足，求的取值范围. 22. 已知n维向量，给定，定义变换；选取，再选取一个实数x，对的坐标进行如下改变：若此时，则将同时加上x．其余坐标不变；若此时，则将及同时加上x，其余坐标不变．若a经过有限次变换（每次变换所取的i，x的值可能不同）后，最终得到的向量满足，则称a为k阶可等向量．例如，向量经过两次变换可得：，所以是2阶可等向量． （1）判断是否是2阶可等向量？说明理由； （2）若取1，2，3，4的一个排序得到的向量是2阶可等向量，求； （3）若任取的一个排序得到的n维向量均为k阶可等向量．则称为k阶强可等向量．求证：向量是5阶强可等向量． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $