精品解析：浙江杭州市S9联盟2025-2026学年第二学期期中联考高一年级数学学科试题

绝密★考试结束前 2025学年第二学期S9联盟期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字； 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题纸. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一项是符合要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】集合，，则. 2. 已知点与点，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，所以， 所以. 3. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则（ ） A. 1∶4∶9 B. 1∶2∶3 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，，， 所以 4. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理，即可判断出零点所在的区间. 【详解】因为函数与在上均是单调增函数， 所以函数是上的单调增函数， 因为，， 又函数的图象连续不间断， 所以函数的零点所在的区间为. 故选：A 【点睛】本题主要考查函数零点存在性定理的应用，属于基础题. 5. 已知一个正方体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设正方体的棱长为，外接球的半径为，因为正方体的体对角线等于外接球的直径， 即，得，球的体积公式为，代入可得：， 解得，所以. 6. 如图，是水平放置的的直观图，其中，，则的周长是（ ） A. 12 B. 24 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直观图得到原图的形状和边长求和即可. 【详解】由直观图得到原图是一个直角三角形，且，，， 所以， 所以的周长为. 7. 已知定义域为的偶函数满足，且当时，，则（ ） A. 2 B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【详解】由题意知周期，所以 又因为为偶函数，所以. 8. 在△ABC所在平面内有一点P，满足，则△PAB与△ABC的面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵， ∴， ∴， 设AC中点为D，如图所示， 所以，， 因为、、、四点不共线，连接， ∴四边形为平行四边形， 所以 ∴. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 关于复数z与其共轭复数，模，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则的最大值是3 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义及复数运算判断AB，根据复数的乘法运算判断C，根据复数的几何意义结合圆上的点到定点的距离判断D. 【详解】设，，则. 对于A：，A正确. 对于B：，B正确. 对于C：， ， 所以不一定成立，C错误. 对于D：表示复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆. 表示圆上的点到原点的距离，圆心到原点的距离为1，所以的最大值为，D正确. 10. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，以下判断正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，，，则符合条件的△ABC有两个 D. 若△ABC为锐角三角形，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，由诱导公式知，错误； 对于B，由和正弦定理可得，由大边对大角可知，正确； 对于C，若，，，则， 即，所以符合条件的△ABC有两个，正确； 对于D，∵，∴，∴，正确. 11. 如图，AC为圆锥SO的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥SO的侧面积为 B. 圆锥SO截面△SAB面积取值范围为 C. 三棱锥S-ABC体积的最大值为1 D. 若，E为线段AB上的动点，则的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用条件求出圆锥的母线长和底面半径，对于A，根据圆锥侧面积公式求结论即可判断，对于B，先求，确定范围，再求△SAB面积的范围，对于C，先求的面积最大值，结合体积公式求体积最大值即可，对于D，将以为轴旋转到与共面的位置，结合平面几何知识求结论即可判断. 【详解】在中，，则圆锥的母线长，半径， 对于A，圆锥SO的侧面积为：，A正确； 对于B，因为轴截面的顶角为，故时，所以面积最大为2，B错误 对于C，当时，△ABC的面积最大，此时， 则三棱锥S-ABC体积的最大值为：，C正确； 对于D，由，，得，， 有△SAB为等腰三角形，将△SAB以AB为轴旋转到与△ABC共面的位置， 得到为等腰三角形，，， ， 于是， ， 所以最小为，D错误． 三、填空题：本题3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则复数的虚部为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的乘法化简复数，结合复数的概念可得结果. 【详解】由题意可得， 故复数的虚部为. 13. 已知，，向量，，且，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】∵ ∴ ∴， 当且仅当，即时取等号，又因为，所以，时， 有最小值，为. 14. 若函数在上恰好存在个不同的满足，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由可求得的取值范围，根据题意得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，当时，所以， 由可得， 函数在区间上从大到小第二个最小值点为，第三个最小值点为， 因为函数在上恰好存在个不同的满足， 所以，解得，即正实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，在长方体中，，. （1）求此长方体的表面积与体积； （2）求图中棱锥的体积与长方体的体积之比. 【答案】（1）表面积，体积 （2） 【解析】 【小问1详解】 表面积 体积 【小问2详解】 ∴. 16. 已知向量，，． （1）当时，求k的值； （2）当时，求k的值； （3）若向量且，求实数x，k的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由，可得，解得． 【小问2详解】 因为，所以，解得． 【小问3详解】 因为， 所以，解得． 17. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. （1）若，试判断三角形形状，并说明理由； （2）若，，，求△ABC的面积； （3）若，，，求. 【答案】（1）等腰三角形，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将已知等式利用正弦定理进行边化角，利用两角差的正弦公式求角. （2）利用余弦定理和三角形面积求角. （3）利用二倍角的余弦公式、余弦函数的图像和性质、正弦定理、两角和的正弦公式求解. 【小问1详解】 由得， ∴， ∴， ∴， △ABC为等腰三角形. 【小问2详解】 因为，，， 由余弦定理可得， 因为，所以， 故△ABC的面积为. 【小问3详解】 因为，所以， 由可知A为锐角，即， 又因为且余弦函数在上单调递减， 由正弦定理得， 即， 所以， 故， 所以 ， 由正弦定理得 . 18. 已知函数. （1）求的最小正周期及的单调递增区间； （2）求在区间上的最大值和最小值，以及取最值时x的值； （3）已知，，求的值. 【答案】（1）；单调递增区间为， （2）时有最大值2；时有最小值 （3）1 【解析】 【分析】（1）利用最小正周期公式求解，利用正弦函数的图像和单调性的性质求解. （2）利用正弦函数的图像和性质求解. （3）将转化为，利用两角差的余弦公式求解. 【小问1详解】 ； 令，， 得，， 故的单调递增区间为，； 【小问2详解】 ，，，， ，， 的最大值为2，此时，解得， 有最小值为，此时，解得， 综上可知，时的最大值为2；时有最小值. 【小问3详解】 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 19. 在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求角C； （2）若，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，且，求边长a的值； （3）若，求△ABC的周长取值范围. 【答案】（1） （2）4 （3） 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理，三角函数恒等变换进行化简即可求解 (2)利用三角形面积公式，结合等面积法列方程求解 (3)利用正弦定理化简，构造新的函数，求函数的值域 【小问1详解】 已知，由正弦定理得， 又， 所以， 即， 因为，所以，故，即， 又，所以； 【小问2详解】 由（1）知，， 又为的平分线，故， 其中， 由三角形面积公式得， ， 又， 显然，即，解得. 【小问3详解】 ∵ ∴ ∴ ∴ 由是锐角三角形得，， ， ∴ ∴ ∴周长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★考试结束前 2025学年第二学期S9联盟期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字； 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题纸. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一项是符合要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知点与点，则（ ） A. B. C. D. 5 3. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则（ ） A. 1∶4∶9 B. 1∶2∶3 C. D. 4. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一个正方体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为（ ） A. B. 2 C. D. 6. 如图，是水平放置的的直观图，其中，，则的周长是（ ） A. 12 B. 24 C. D. 7. 已知定义域为的偶函数满足，且当时，，则（ ） A. 2 B. C. D. 0 8. 在△ABC所在平面内有一点P，满足，则△PAB与△ABC的面积之比是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 关于复数z与其共轭复数，模，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则的最大值是3 10. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，以下判断正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，，，则符合条件的△ABC有两个 D. 若△ABC为锐角三角形，则 11. 如图，AC为圆锥SO的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥SO的侧面积为 B. 圆锥SO截面△SAB面积取值范围为 C. 三棱锥S-ABC体积的最大值为1 D. 若，E为线段AB上的动点，则的最小值为 三、填空题：本题3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则复数的虚部为__________. 13. 已知，，向量，，且，则的最小值为__________. 14. 若函数在上恰好存在个不同的满足，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，在长方体中，，. （1）求此长方体的表面积与体积； （2）求图中棱锥的体积与长方体的体积之比. 16. 已知向量，，． （1）当时，求k的值； （2）当时，求k的值； （3）若向量且，求实数x，k的值． 17. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. （1）若，试判断三角形形状，并说明理由； （2）若，，，求△ABC的面积； （3）若，，，求. 18. 已知函数. （1）求的最小正周期及的单调递增区间； （2）求在区间上的最大值和最小值，以及取最值时x的值； （3）已知，，求的值. 19. 在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求角C； （2）若，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，且，求边长a的值； （3）若，求△ABC的周长取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $