浙江杭州第二中学2025-2026学年第二学期高一年级期中考试数学试卷

**基本信息** 融入十字测天仪文化情境与正六边形八面体空间探究，梯度覆盖复数、向量、立体几何、解三角形等高一核心内容，凸显数学眼光与应用思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|复数虚部、向量夹角、几何体识别|基础概念辨析，如第3题五面体判断| |多选题|3/18|正方体线线关系、新定义向量运算|第9题结合空间观念考查异面直线| |填空题|3/15|投影向量、复数模、欧拉公式应用|第14题凸多面体面数计算，体现数学思维| |解答题|5/77|十字测天仪测量、八面体表面积与体积|16题文化情境应用，19题空间几何综合探究，培养数学应用与创新意识|

杭州二中2025学年第二学期高一年级期中考 数学参考答案 BDAB ADCC BD AC ACD 12． 13． 14．32 15．解：（1）； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 16．解：（1）由题意得，，，且E是的中点，，， 所以在中，； （2）由题意，，由于E是的中点，且， 所以，且， 由余弦定理得 从而 即太阳高度角的正弦值为. 17．解：（1）以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、、， 因为，，， 所以，所以，所以点， 设，则，， 因为，所以，解得， 所以，，则． （2）由（1）知，，设，其中， 则， 所以， 因为，故当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 故的取值范围为． 18．解：（1）由正弦定理得：， 代入已知等式，得． 因为，所以， 两边同时除以得． 即，故． （2）由（1）得 根据基本不等式，，当且仅当即时取等号． 又因为，所以，此时． 在中，，故由勾股定理，得． （3）由得，设等边的边长为a，， 则，， ∵，且在△ADE中，， ∴，∴， 在中，由正弦定理可得，， 即， 化简得，（其中为锐角，且）， ∴． 19．解：（1）八面体的表面积． （2）如图所示，作出△STU在底面ABCDEF上的投影△KLM． 设底面的中心为O，易得K,L,M分别为△OAB,△OCD,△OEF的中心， 故S到O的距离等于S到A的距离等于1， 同理可得O到点A,B,C,D,E,F,S,T,U的距离均等于1， 故O即为该八面体的外接球的球心，外接球半径为1． （3）作如图分割，则八面体由中心正三棱柱KLM-STU和周围三个全等的三棱锥S-KAB，T-LCD，U-MEF，三个全等的三棱柱SKB-TLC，TLD-UME，UMF-SKA组成， 正三棱柱KLM-STU的体积， 周围每个三棱锥的体积， 周围每个三棱柱的体积， 故八面体的体积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州二中2025学年第二学期高一年级期中考 数学试卷 命题：卞勇 校对：吴越 审核：顾予恒 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知为虚数单位，若复数满足：，则的虚部为（ ） A．1 B． C． D． 2．若向量，则两向量的夹角余弦值为（ ） A． B． C． D． 3．下列几何体不是五面体的是（ ） A．正四棱柱 B．三棱柱 C．三棱台 D．正四棱锥 4．在中，角所对的边分别为，若，则的面积为（ ） A． B． C． D． 5．如果复数满足，那么的最小值是（ ） A．1 B． C．2 D． 6．在锐角中，角所对的边分别为，若，则（ ） A． B． C．1 D．2 7．如图，圆台的上、下底面半径分别为，且，半径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（ ） A． B． C． D． 8．已知平面内有单位圆，点是不与点重合的一点，若圆上存在不重合的两点使得，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，在正方体中，点，是分别为棱，的中点，则以下四个结论中，正确的有（ ） A．直线与是相交直线 B．直线与是异面直线 C．与平行 D．直线与共面 10．设非零向量的夹角为，定义运算，则下列说法正确的有（ ） A．若，则 B． C．若，则 D． 11．已知两个面积均为1的和满足：，，则（ ） A．为锐角三角形 B． C． D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若，则在上的投影向量的坐标为 ． 13．设复数满足，则 ． 14．由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．对于凸多面体，有著名的欧拉公式：，其中为顶点数，为棱数，为面数．已知一个凸多面体的每个面或是三角形或是五边形，每个顶点处均有2个三角形面和2个五边形面相交，则该凸多面体有 个面． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分） 已知复数． （1）求复数； （2）若，求实数的值． 16．（本题满分15分） 十字测天仪是广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域的仪器，用于测量太阳等星体的方位，如图1所示，由杆和横档构成，并且是的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动．十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从点观察．滑动横档使得在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点的影子恰好是，然后通过测量的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置． （1）若在某次测量中，横档的长度为20，测得太阳高度角，求影子的长； （2）若在另一次测量中，，横档的长度为20，求此时太阳高度角的正弦值． 17．（本题满分15分） 在直角梯形中，已知，对角线交对角线于点，点在上，且． （1）求的值； （2）若为线段上任意一点，求的取值范围． 18．（本题满分17分） 已知的外接圆半径为，角所对的边分别，． （1）用表示； （2）求证：； （3）若，分别为线段上的点，且构成等边，求面积的最小值． 19．（本题满分17分） 如图1，以边长为1的正六边形的互不相邻的三条边为边分别向外作正方形，并将点重合为，重合为，重合为，得到如图2的八面体． （1）求该八面体的表面积； （2）求该八面体的外接球半径； （3）求该八面体的体积． 学科网（北京）股份有限公司 $