精品解析：北京市西城区北京师范大学附属中学2025-2026学年下学期高二期中考试数学试卷

北京师大附中2025-2026学年（下）高二期中考试 数学试卷 考生须知 1.本试卷有三道大题，共6页.考试时长120分钟，满分150分. 2.考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效. 3.考试结束后，考生应将答题纸交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知函数，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，则. 2. 学校组织研学，学生可以从内蒙、上海、杭州、陕西4个研学地点中任选一处前往，3个好朋友每人随机选择一个研学地点，则三人选到同一研学地点的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，三人选到同一研学地点的概率是. 3. 某位飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.9，设X为该运动员连续射击3次的中靶次数，则X的期望和方差分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意可知， 得到，，故B正确. 4. 将两枚骰子各掷一次，记“两次点数都不同”为事件M，“至少出现一次2点”为事件N，则条件概率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，将两枚骰子各掷一次，共有36种情况， 事件N包含种情况，事件包含10种情况， 则，，所以. 5. 已知函数，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对函数求导，然后求出即可 【详解】由，得， 所以， 故选：D 6. 重复进行10次某试验，每次试验的成功率都为p（），则其中前4次都未成功后6次都成功的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意，前4次都未成功后6次都成功的概率为. 7. 已知函数与的图象如图所示，则函数（ ） A. 在区间上是减函数 B. 在区间上是减函数 C. 在区间上是减函数 D. 在区间上是减函数 【答案】B 【解析】 【分析】求导可得；分别判断在各个区间内的正负，由此可得结果. 【详解】由得：， 对于A，当时，，即，在上是增函数，A错误； 对于B，当时，，即，在上是减函数，B正确； 对于C，当时，，即，在上是增函数，C错误； 对于D，当时，，即，在上是增函数，D错误. 故选：B. 8. “”是“函数在区间上单调递增”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合导数将函数单调问题转化为恒成立问题，求出，再结合充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意得，则， 若在区间上单调递增，则在上恒成立， 化简得在上恒成立，令， 由二次函数性质得在上单调递增， 而，则，得到， 可得“”是“”的充分而不必要条件，故A正确. 9. 高二某班生日活动之4月活动，四个小寿星想互相交换礼物.若每个小寿星只能拿一份别人准备的礼物，则共有（ ）种拿法. A. 18 B. 11 C. 9 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】第一步，第一位同学选礼物，有3种方法， 第二步，礼物被拿走的同学选礼物，有3种方法， 第三步，余下两位同学选礼物，只有1种方法， 根据分步计数原理，共有种拿法. 10. 已知函数的定义域为，部分对应值如下表，函数的导函数的示意图如下图，则下列关于函数的命题，错误的个数是（ ） ①函数的极大值点为与4； ②函数在上是减函数； ③如果当时，的最大值是2，那么实数t的最大值为2； ④曲线与直线的交点个数可能为0、1、2、3、4个. x 2 4 5 2 1 2 0 1 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】由图可知，当或时，， 当或时，， 则函数在和上单调递减，在和上单调递增， 结合表格作出函数的大致图象如下： 对于①，函数的极大值点为2，故①错误； 对于②，函数在上是增函数，故②错误； 对于③，由于函数在上单调递增，在上单调递减， 且， 且当时，的最大值是2，则实数t的最大值大于2，故③错误； 对于④，因为，由图可知曲线与直线的交点个数最多为3个， 因此交点个数可能为0、1、2、3个，故④错误. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知的二项展开式的二项式系数和为32，则二项展开式的各项系数和为______. 【答案】243 【解析】 【详解】由题意，得，即， 则二项展开式的各项系数和为. 12. 假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是.在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为______. 【答案】 【解析】 【详解】设事件为“购买一个甲厂灯泡”，事件为“购买一个乙厂灯泡”， 事件为“购买的灯泡是合格品”， 则，， ，， 所以. 13. 能说明“若，则是函数极值点”为假命题的一个函数是______________． 【答案】 或等，答案不唯一 【解析】 【分析】根据极值点的定义求解. 【详解】极值点的导数必需为零，且极值点左右两侧的函数单调性相反. 函数，当时，， 但是在上单调递增， 所以不是函数的极值点. 【点睛】本题考查极值点的定义，考查命题真假的判断，属于基础题 14. 若二项式（x﹣）6（a＞0）的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B=4A，则a的值是___________． 【答案】2 【解析】 【详解】展开式的通项为 令得r=2， 所以A= 令得r=4， 所以B= ∵B=4A，即=4， 解得a=2 15. 已知函数，.给出下列四个结论： ①当时，在其定义域上为增函数； ②若在其定义域上没有极值点，则实数k的取值范围是； ③当时，有2个零点； ④当时，存在过原点的曲线的切线. 其中所有正确结论的序号为______. 【答案】②④ 【解析】 【详解】函数​，定义域为且，求导得：，记，且 结论①，当时， ，故，在和上分别成立，即在两个区间上分别递增；但取， 即，因此整个定义域上不是增函数，①错误； 结论②，没有极值点，等价于方程在定义域上无解，即，整理得， 又，当且仅当，即取等号，故取不到等号，，所以，②正确； 结论③：当时， 时，，，故 时，，，故，故无零点，③错误； 结论④：设切点为，切线为， 因为切线过原点所以，代入得，化简得， 记，， 所以时，， 又，所以时，单调递减又时，，所以时 故时总存在满足等式，故存在过原点的切线，④正确. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数（），且. （1）求函数的解析式； （2）若曲线的切线与x轴平行，求该切线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求导，再结合可得，进而求解即可； （2）设切点为，根据导数的几何意义求解即可. 【小问1详解】 由，得， 则，即， 则. 【小问2详解】 由，得， 设切点为，则，解得或， 则切点为或，切线斜率为0， 所以该切线的方程为或. 17. 防洪工程对防洪减灾起着重要作用，水库是我国广泛采用的防洪工程之一，既有滞洪作用又有蓄洪作用.北京地区2010年至2019年每年汛末（10月1日）水库的蓄水量数据如下： 年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 蓄水量（亿立方米） 11.25 13.25 13.58 17.4 12.4 12.1 18.3 26.5 34.3 34.1 （Ⅰ）从2010年至2019年的样本数据中随机选取连续两年的数据，求这两年蓄水量数据之差的绝对值小于1亿立方米的概率； （Ⅱ）从2014年至2019年的样本数据中随机选取两年的数据，设为蓄水量超过33亿立方米的年份个数，求随机变量的分布列和数学期望； （Ⅲ）由表中数据判断从哪年开始连续三年的水库蓄水量方差最大？（结论不要求证明） 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，；（Ⅲ）2016年. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）设事件A为“连续两年的蓄水量数据之差的绝对值小于亿立方米”， 由图表数据计算出基本事件总数，以及满足条件的基本事件数，再由古典概型的概率公式计算可得； （Ⅱ）随机变量的所有可能取值为0，1，2. 求出所对应的概率，列出分布列求出数学期望即可； （Ⅲ）根据数据波动性越大方差越大即可判断； 【详解】解：（Ⅰ）设事件A为“连续两年的蓄水量数据之差的绝对值小于亿立方米”， 从2010年到2019年的样本数据中随机选取连续两年共有9种可能， 由图表可知，事件A包含“2011年和2012年”，“2014年和2015年”，“2018年和2019年”. 所以. （Ⅱ）由表可知，2014到2019年的样本数据中，蓄水量超过33亿立方米有2年，蓄水量不超过33亿立方米有4年. 随机变量的所有可能取值为0，1，2. ，， . 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 所以. （Ⅲ）从2016年开始连续三年的水库蓄水量方差最大. 【点睛】思路点晴： 求离散型随机变量X的数学期望的一般步骤： （1）先分析X的可取值，根据可取值求解出对应的概率； （2）根据（1）中概率值，得到X的分布列； （3）结合（2）中分布列，根据期望的计算公式求解出X的数学期望. 18. 某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：，，……，加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B级”，发芽率低于0.636的种子定为“C级”. （1）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C级”种子的概率； （2）该花卉企业销售花种，且每份“A级”“B级”“C级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元.某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X元，以频率为概率，求X的分布列和数学期望； （3）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是变大了、变小了还是没有变化?（结论不需要证明） 【答案】（1）0.8 （2） （3）方差变大了 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中矩形面积之和为，求出的值，再结合频率分布直方图可求得所求事件的概率； （2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，由此可列出随机变量的分布列，进而可求得随机变量的数学期望； （3）根据离散型随机变量方差的性质可得出结论. 【小问1详解】 设事件为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“级”种子”， 由图表，得，解得， 由图表，知不是“级”种子的频率为， 故可估计. 【小问2详解】 由题意，任取一颗种子，恰好是“级”康乃馨的概率为， 恰好是“级”康乃馨的概率为， 恰好是“级”的概率为， 而随机变量的可能取值有、、、、， 则，， ，， . 所以的分布列为： 故的数学期望． 【小问3详解】 设原来康乃馨种子有种，其发芽率分别为， 平均数为， 方差为， 发芽率提高到原来的1.1倍后，发芽率分别为， 此时平均数为， 则方差为 ， 因此，技术改进后发芽率数据的方差是变大了. 19. 已知函数 （1）若，求的最值； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1）最小值为0，无最大值 （2）当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增 【解析】 【分析】（1）分析函数的单调性，进而求解最值； （2）根据导数的性质，结合的不同取值分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 当时，，， 所以， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，无最大值. 【小问2详解】 由， 则， 当时，当时，单调递减， 当时，单调递增； 当时，令或， 当时，，函数在上单调递增， 当时，， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增； 当时，， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 20. 已知函数. （1）当时，求的极值点； （2）若不等式对恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1）极小值点为，极大值点为0 （2） 【解析】 【分析】（1）对求导，得到，令，得到或，进而得到函数的单调性，再求解极值点即可； （2）根据条件，将问题转化成，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的最大值，即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 当时，令，得或， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则函数的极小值点为，极大值点为0. 【小问2详解】 由，得到， 因为，所以，则， 令，则， 当时，，即在区间上单调递增， 当时，，即在区间上单调递减，所以， 得到，所以，故的取值范围为． 21. 已知为正整数，数列：，记．对于数列，总有，，则称数列为项0-1数列．若数列A：，：，均为项0-1数列，定义数列：，其中，． （1）已知数列A：1，0，1，：0，1，1，直接写出和的值； （2）若数列A，均为项0-1数列，证明：； （3）对于任意给定的正整数，是否存在项0-1数列A，，，使得，并说明理由 【答案】（1）， （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据数列的定义分别求出，，即可得出答案； （2）记数列：，数列：，分和两种情况讨论，从而可得出结论； （3）分是奇数和偶数两种情况讨论，根据定义分析运算，从而可得出结论. 【小问1详解】 解：因为数列A：1，0，1，：0，1，1， 所以数列：，数列：， 所以，； 【小问2详解】 证明：对于两个0-1数列A：和：， 记数列：，对于， 若，则此时； 若，则此时， 故对于数列：，考虑的值： 若，则； 若，则， 所以与是同一数列， 所以； 【小问3详解】 解：若是奇数，则不存在满足条件的项0-1数列A，，，证明如下： 对于3个项0-1数列A，，， 记， 则， 当时，， 当中有一个不同于其他两个时，， 所以是奇数， 则为奇数个奇数之和，仍为奇数，不可能为； 若为偶数，即， 可构造：，，， 此时数列为，数列，相同，都是， 所以有， 综上所述，当为偶数时，有可能为， 当为奇数时，不可能成立. 【点睛】本题考查了数列的新定义，考查了学生的逻辑思维能力，解题的关键在于对新定义的理解，有一定的难度. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师大附中2025-2026学年（下）高二期中考试 数学试卷 考生须知 1.本试卷有三道大题，共6页.考试时长120分钟，满分150分. 2.考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效. 3.考试结束后，考生应将答题纸交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知函数，那么等于（ ） A. B. C. D. 2. 学校组织研学，学生可以从内蒙、上海、杭州、陕西4个研学地点中任选一处前往，3个好朋友每人随机选择一个研学地点，则三人选到同一研学地点的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 某位飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.9，设X为该运动员连续射击3次的中靶次数，则X的期望和方差分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 将两枚骰子各掷一次，记“两次点数都不同”为事件M，“至少出现一次2点”为事件N，则条件概率（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 重复进行10次某试验，每次试验的成功率都为p（），则其中前4次都未成功后6次都成功的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数与的图象如图所示，则函数（ ） A. 在区间上是减函数 B. 在区间上是减函数 C. 在区间上是减函数 D. 在区间上是减函数 8. “”是“函数在区间上单调递增”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 高二某班生日活动之4月活动，四个小寿星想互相交换礼物.若每个小寿星只能拿一份别人准备的礼物，则共有（ ）种拿法. A. 18 B. 11 C. 9 D. 6 10. 已知函数的定义域为，部分对应值如下表，函数的导函数的示意图如下图，则下列关于函数的命题，错误的个数是（ ） ①函数的极大值点为与4； ②函数在上是减函数； ③如果当时，的最大值是2，那么实数t的最大值为2； ④曲线与直线的交点个数可能为0、1、2、3、4个. x 2 4 5 2 1 2 0 1 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知的二项展开式的二项式系数和为32，则二项展开式的各项系数和为______. 12. 假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是.在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为______. 13. 能说明“若，则是函数极值点”为假命题的一个函数是______________． 14. 若二项式（x﹣）6（a＞0）的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B=4A，则a的值是___________． 15. 已知函数，.给出下列四个结论： ①当时，在其定义域上为增函数； ②若在其定义域上没有极值点，则实数k的取值范围是； ③当时，有2个零点； ④当时，存在过原点的曲线的切线. 其中所有正确结论的序号为______. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数（），且. （1）求函数的解析式； （2）若曲线的切线与x轴平行，求该切线的方程. 17. 防洪工程对防洪减灾起着重要作用，水库是我国广泛采用的防洪工程之一，既有滞洪作用又有蓄洪作用.北京地区2010年至2019年每年汛末（10月1日）水库的蓄水量数据如下： 年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 蓄水量（亿立方米） 11.25 13.25 13.58 17.4 12.4 12.1 18.3 26.5 34.3 34.1 （Ⅰ）从2010年至2019年的样本数据中随机选取连续两年的数据，求这两年蓄水量数据之差的绝对值小于1亿立方米的概率； （Ⅱ）从2014年至2019年的样本数据中随机选取两年的数据，设为蓄水量超过33亿立方米的年份个数，求随机变量的分布列和数学期望； （Ⅲ）由表中数据判断从哪年开始连续三年的水库蓄水量方差最大？（结论不要求证明） 18. 某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：，，……，加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B级”，发芽率低于0.636的种子定为“C级”. （1）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C级”种子的概率； （2）该花卉企业销售花种，且每份“A级”“B级”“C级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元.某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X元，以频率为概率，求X的分布列和数学期望； （3）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是变大了、变小了还是没有变化?（结论不需要证明） 19. 已知函数 （1）若，求的最值； （2）讨论函数的单调性. 20. 已知函数. （1）当时，求的极值点； （2）若不等式对恒成立，求a的取值范围. 21. 已知为正整数，数列：，记．对于数列，总有，，则称数列为项0-1数列．若数列A：，：，均为项0-1数列，定义数列：，其中，． （1）已知数列A：1，0，1，：0，1，1，直接写出和的值； （2）若数列A，均为项0-1数列，证明：； （3）对于任意给定的正整数，是否存在项0-1数列A，，，使得，并说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $