北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高二下学期期中数学试题

北师大实验中学2024-2025学年度第二学期期中测验试卷 高二数学 本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题，共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设等差数列的前n项和为，若，，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 2. 函数的导函数为（ ） A. B. C. D. 3. 有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则（ ） A. B. C. D. 4. 如果，a，b，c，成等比数列，那么（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，在已知甲骰子的点数为偶数的条件下，乙骰子的点数小于甲骰子的点数的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 下列函数中，图象存在与x轴平行的切线的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象如图所示，不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 设为等比数列，则“存在，使得”是“为递减数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 某厂2025年投资额和利润都逐月增加，投资额逐月增长的百分率相同，利润逐月增加值相同．已知1月份的投资额与利润值相等，12月份投资额与利润值相等，则全年的总投资额N与总利润值W的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 10. 已知是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数，下列说法正确的是（ ） A. 若在上单调递增，则存在实数，使得在上单调递增 B. 对于任意实数，若在上单调递增，则在上单调递增 C. 对于任意实数，若存在实数，使得，则存在实数，使得 D. 若函数满足：当时，，当时，，则为的最小值 第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知函数，则_____ 12. 已知，，随机变量的分布列如下： p q P q p 若，则______． 13. 已知数列满足，，则______．当______时，取得最小值． 14. 已知曲线及点．过作x轴的垂线交C于点，过作C的切线且交x轴于点，过作x轴的垂线交C于点，过作C的切线且交x轴于点，…，依次类推，则的坐标为______，______． 15. 已知函数，数列满足，. 给出下列四个结论： ①若，则有3个不同的可能取值； ②若，则； ③对于任意，存在正整数，使得； ④对于任意大于2的正整数，存在，使得； 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明，验算步骤． 16. 已知函数． （1）求函数在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 17. 某学校在寒假期间安排了垃圾分类知识普及实践活动．为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分以6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图： （1）求t的值； （2）在样本中，从成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用X表示成绩在中的人数，求X的分布列及数学期望； （3）在（2）抽取的3人中，用Y表示其成绩在的人数，试判断方差与的大小．（直接写出结果即可） 18. 若数列的前项和为，且，等差数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 19. 根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）： 立定跳远单项等级 高三男生 高三女生 优秀 260及以上 194及以上 良好 245~259 180~193 及格 205~244 150~179 不及格 204及以下 149及以下 从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）： 男生：180 205 213 220 235 245 250 258 261 270 275 280 女生：148 160 162 169 172 184 195 196 196 197 208 220 假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立． （1）分别估计该校离三男生和女生立定跳远单项的优秀率 （2）从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取1人，设X为这3人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计X的数学期望； （3）从该校全体高三女生中随机抽取3人，设“这3人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件A，“这3人的立定跳远单项至多有1个是优秀”为事件B．判断A与B是否相互独立，并说明理由． 20. 已知函数，，其中实数． （1）讨论函数的单调性； （2）若在上单调递增，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，证明：若且，都有． 21. 已知无穷数列满足，其中表示x，y中最大的数，表示x，y中最小的数. （1）当，时，写出的所有可能值； （2）若数列中的项存在最大值，证明：0为数列中的项； （3）若，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有？如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由. 北师大实验中学2024-2025学年度第二学期期中测验试卷 高二数学 本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题，共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】D 第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 8 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 【15题答案】 【答案】①②④ 三、解答题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明，验算步骤． 【16题答案】 【答案】（1） （2）单调递减区间为，单调递增区间为． 【17题答案】 【答案】（1） （2）分布列： 0 1 2 3 P ； （3） 【18题答案】 【答案】（1）， （2） 【19题答案】 【答案】（1）男生优秀率：；女生优秀率：. （2） （3）相互独立，理由见解析. 【20题答案】 【答案】（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2） （3）证明：不妨设，则，要对，都有， 只需恒成立，即恒成立， 因此不等式恒成立，即函数在上为增函数，由（2）知， 而，则函数在上为增函数成立， 所以当时，对且，都有. 【21题答案】 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）不存在，理由见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $