北京市西城区北京师范大学附属中学2025-2026学年下学期高二期中考试数学试卷

北京师大附中2025-2026学年（下）高二期中考试 数学试卷 考生须知 1.本试卷有三道大题，共6页.考试时长120分钟，满分150分. 2.考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效. 3.考试结束后，考生应将答题纸交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知函数，那么等于（ ） A. B. C. D. 2. 学校组织研学，学生可以从内蒙、上海、杭州、陕西4个研学地点中任选一处前往，3个好朋友每人随机选择一个研学地点，则三人选到同一研学地点的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 某位飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.9，设X为该运动员连续射击3次的中靶次数，则X的期望和方差分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 将两枚骰子各掷一次，记“两次点数都不同”为事件M，“至少出现一次2点”为事件N，则条件概率（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 重复进行10次某试验，每次试验的成功率都为p（），则其中前4次都未成功后6次都成功的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数与的图象如图所示，则函数（ ） A. 在区间上是减函数 B. 在区间上是减函数 C. 在区间上是减函数 D. 在区间上是减函数 8. “”是“函数在区间上单调递增”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 高二某班生日活动之4月活动，四个小寿星想互相交换礼物.若每个小寿星只能拿一份别人准备的礼物，则共有（ ）种拿法. A. 18 B. 11 C. 9 D. 6 10. 已知函数的定义域为，部分对应值如下表，函数的导函数的示意图如下图，则下列关于函数的命题，错误的个数是（ ） ①函数的极大值点为与4； ②函数在上是减函数； ③如果当时，的最大值是2，那么实数t的最大值为2； ④曲线与直线的交点个数可能为0、1、2、3、4个. x 2 4 5 2 1 2 0 1 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知的二项展开式的二项式系数和为32，则二项展开式的各项系数和为______. 12. 假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是.在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为______. 13. 能说明“若，则是函数极值点”为假命题的一个函数是______________． 14. 若二项式（x﹣）6（a＞0）的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B=4A，则a的值是___________． 15. 已知函数，.给出下列四个结论： ①当时，在其定义域上为增函数； ②若在其定义域上没有极值点，则实数k的取值范围是； ③当时，有2个零点； ④当时，存在过原点的曲线的切线. 其中所有正确结论的序号为______. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数（），且. （1）求函数的解析式； （2）若曲线的切线与x轴平行，求该切线的方程. 17. 防洪工程对防洪减灾起着重要作用，水库是我国广泛采用的防洪工程之一，既有滞洪作用又有蓄洪作用.北京地区2010年至2019年每年汛末（10月1日）水库的蓄水量数据如下： 年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 蓄水量（亿立方米） 11.25 13.25 13.58 17.4 12.4 12.1 18.3 26.5 34.3 34.1 （Ⅰ）从2010年至2019年的样本数据中随机选取连续两年的数据，求这两年蓄水量数据之差的绝对值小于1亿立方米的概率； （Ⅱ）从2014年至2019年的样本数据中随机选取两年的数据，设为蓄水量超过33亿立方米的年份个数，求随机变量的分布列和数学期望； （Ⅲ）由表中数据判断从哪年开始连续三年的水库蓄水量方差最大？（结论不要求证明） 18. 某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：，，……，加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B级”，发芽率低于0.636的种子定为“C级”. （1）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C级”种子的概率； （2）该花卉企业销售花种，且每份“A级”“B级”“C级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元.某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X元，以频率为概率，求X的分布列和数学期望； （3）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是变大了、变小了还是没有变化?（结论不需要证明） 19. 已知函数 （1）若，求的最值； （2）讨论函数的单调性. 20. 已知函数. （1）当时，求的极值点； （2）若不等式对恒成立，求a的取值范围. 21. 已知为正整数，数列：，记．对于数列，总有，，则称数列为项0-1数列．若数列A：，：，均为项0-1数列，定义数列：，其中，． （1）已知数列A：1，0，1，：0，1，1，直接写出和的值； （2）若数列A，均为项0-1数列，证明：； （3）对于任意给定的正整数，是否存在项0-1数列A，，，使得，并说明理由 北京师大附中2025-2026学年（下）高二期中考试 数学试卷 考生须知 1.本试卷有三道大题，共6页.考试时长120分钟，满分150分. 2.考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效. 3.考试结束后，考生应将答题纸交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】D 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 【11题答案】 【答案】243 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 或等，答案不唯一 【14题答案】 【答案】2 【15题答案】 【答案】②④ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【16题答案】 【答案】（1） （2）或 【17题答案】 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）分的分布列为： 0 1 2 ； （Ⅲ）2016年. 【18题答案】 【答案】（1）0.8 （2） （3）方差变大了 【19题答案】 【答案】（1）最小值为0，无最大值 （2）当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增 【20题答案】 【答案】（1）极小值点为，极大值点为0 （2） 【21题答案】 【答案】（1）， （2）证明：对于两个0-1数列A：和：， 记数列：，对于， 若，则此时； 若，则此时， 故对于数列：，考虑的值： 若，则； 若，则， 所以与是同一数列， 所以； （3）若是奇数，则不存在满足条件的项0-1数列A，，，证明如下： 对于3个项0-1数列A，，， 记， 则， 当时，， 当中有一个不同于其他两个时，， 所以是奇数， 则为奇数个奇数之和，仍为奇数，不可能为； 若为偶数，即， 可构造：，，， 此时数列为，数列，相同，都是， 所以有， 综上所述，当为偶数时，有可能为， 当为奇数时，不可能成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $