精品解析：山东济宁市第一中学等校2025-2026学年度第二学期质量检测高二数学试题

2025-2026学年度第二学期质量检测高二数学试题 2026.04 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列求导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量，，则（ ） A. 0.2 B. 0.7 C. 0.6 D. 0.8 3. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 4. 函数y=x2﹣2lnx的单调增区间为（　　） A. （﹣∞，﹣1）∪（0，1） B. （1，+∞） C. （﹣1，0）∪（1，+∞） D. （0，1） 5. 的展开式中的系数为（ ） A. 84 B. C. 56 D. 28 6. 从包含甲、乙两人的6人中选出3人分别担任班长、纪律委员、体育委员，则甲、乙两人都入选的不同选法共有（ ）种 A. B. C. D. 7. 已知随机事件A，B，若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若过点可以作函数的三条不同的切线，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 若随机变量，则 B. 若随机变量Y的方差，则 C. 若随机变量，当不变时，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越“矮胖” D. 若事件，满足，且，则与独立 10. 已知，若展开式中所有项的系数和比所有二项式系数和大211，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，，为的导函数，则下列结论中正确的有（ ） A. 若，在R上单调递增，则 B. 存在实数a，b，使得有3个极值点 C. 若，，则当时，恒成立 D. 若 ，且不等式  对任意  恒成立，则  第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 5人去孔府、孔庙、孔林三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人游览，则不同的游览方法的种数为______．（用数字回答） 13. 除以8所得的余数为______． 14. 2026年春节，甲，乙等5个人在一个微信群里发红包（每次发的红包只有1个人能抢到）．甲先发了一个红包，规定抢到红包的人必须立即再发一个新红包，且自己不能领，群里另外4个人等可能地领到．记第n次发出红包的人是乙的概率为．则______，______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，其中n为正整数．若的展开式中，第三项与第五项的二项式系数之比为． （1）求n的值； （2）求展开式中的有理项（系数用数字回答）． 16. 已知函数，其中． （1）若函数在处取到极值，求函数在区间的最大值与最小值； （2）若，和在区间上具有相同的单调性，求实数a的取值范围． 17. 某学校为了了解学生的数学学习情况，从学生中随机抽取了名学生进行数学能力测试，将学生的得分记为，并以此为样本得到了如下表格： 其中“良好”和“优秀”学生统称为“达标学生”． 等级 得分区间 人数 未达标 6 良好 28 56 优秀 10 （1）统计学中常用表示在事件发生的条件下事件发生的似然比．现从样本中随机抽取名学生，记事件为该学生为“达标学生”事件为“该学生分数低于分”，求似然比的值． （2）若该机构所有学生的数学得分近似服从正态分布，且．从该学校众多学生中随机抽取名，设这名学生中“良好”学生人数为，求的分布列及数学期望． 18. 某潮玩店推出了“数学家盲盒”，分为典藏盒和经典盒两种：典藏盒中有6个玩偶，其中2个隐藏款，4个常规款；经典盒中有8个玩偶，其中1个隐藏款，7个常规款．已知店里进货时，典藏盒占总量的，经典盒占总量的． （1）若随机挑选一个盒子，顾客从中任取2个玩偶，求恰好抽到1个隐藏款的概率； （2）顾客随机购买两个盲盒，从每个盒子中各抽取1个玩偶． （i）求恰好买到一个典藏盒、一个经典盒，且抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款的概率； （ii）如果顾客抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款，求他购买的是一个典藏盒、一个经典盒的概率． 19. 已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）当，时，证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期质量检测高二数学试题 2026.04 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列求导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据常见函数求导公式以及导数运算法则逐一求导判断. 【详解】，选项A错误； ，选项B正确； ，选项C错误； ，选项D错误. 2. 已知随机变量，，则（ ） A. 0.2 B. 0.7 C. 0.6 D. 0.8 【答案】C 【解析】 【详解】由正态分布性质，均值，根据正态分布对称性， ∴，∴. 3. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，求得的值，根据点在切线上，求得的值，进而求得的值． 【详解】点在切线上，所以， 根据导数的几何意义，所以，所以. 4. 函数y=x2﹣2lnx的单调增区间为（　　） A. （﹣∞，﹣1）∪（0，1） B. （1，+∞） C. （﹣1，0）∪（1，+∞） D. （0，1） 【答案】B 【解析】 【详解】函数的定义域为(0,+∞)， y′=2x−,令,解得x>1或x<−1(舍)， ∴函数的单调增区间为(1,+∞). 故选：B. 5. 的展开式中的系数为（ ） A. 84 B. C. 56 D. 28 【答案】B 【解析】 【详解】. 其中的展开式中的系数为， 的展开式中的系数为， 所以的展开式中的系数为. 6. 从包含甲、乙两人的6人中选出3人分别担任班长、纪律委员、体育委员，则甲、乙两人都入选的不同选法共有（ ）种 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】先从除了甲乙外的人中任选一人，有种情况； 再将甲，乙和所选的人进行全排列，有种情况， 因此，甲、乙两人都入选的不同选法共有种，故D正确. 7. 已知随机事件A，B，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用条件概率和全概率公式即可求解. 【详解】由，得：， 所以， 由，得， 则， 所以. 8. 若过点可以作函数的三条不同的切线，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，根据题意结合导数的几何意义可得，令，题意等价于与有3个交点，利用导数结合函数图象即可得结果. 【详解】因为，则， 设切点坐标为，切线斜率， 则切线方程为， 代入点可得，即， 令，原题意等价于与有3个交点， 因为的定义域为，且， 令，解得；令，解得或； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则的极小值为，极大值为， 当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 可得，所以t的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 若随机变量，则 B. 若随机变量Y的方差，则 C. 若随机变量，当不变时，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越“矮胖” D. 若事件，满足，且，则与独立 【答案】ABD 【解析】 【详解】对A：因为，所以，所以，故A正确； 对B：因为，故B正确； 对C：随机变量，当不变时，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越“瘦高”，故C错误； 对D：因为，, 结合可得，所以事件与独立，故D正确. 10. 已知，若展开式中所有项的系数和比所有二项式系数和大211，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用赋值法，即可判断A；令根据题意可得，即可判断B；令，可得，结合选项B即可判断C；求导，即可判断D. 【详解】因为，则二项式系数和为， 令，可得，故A正确； 令，可得展开式中所有项的系数和为， 由题意可知：，则，即，故B错误； 可得， 令，可得， 且，所以，故C错误； 对求导可得， 令，可得， 所以，故D正确. 11. 已知函数，，为的导函数，则下列结论中正确的有（ ） A. 若，在R上单调递增，则 B. 存在实数a，b，使得有3个极值点 C. 若，，则当时，恒成立 D. 若 ，且不等式  对任意  恒成立，则  【答案】ACD 【解析】 【分析】令，讨论的单调性，进而分析判断AB；对于C：令，，利用导数证明即可；对于D：整理可得，令，结合其单调性分析可得，令，，利用导数求最值即可结果. 【详解】因为，则， 设，则， 若，则，可知在R上单调递增； 若，令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增. 对于选项A：若在R上单调递增，则在R上恒成立， 因为，可知在内单调递减，在内单调递增， 则，即，故A正确； 对于选项B：假设有3个极值点，则有3个变号零点， 因为， 若，可知在R上单调递增，至多1个零点，不合题意； 若，可知在内单调递减，在内单调递增， 则至多有2个零点，不合题意； 综上所述：不可能有3个零点，假设不成立，所以不可能有3个极值点，故B错误； 对于选项C：若，，则， 令，，则， 令，，则在内恒成立， 可知在内单调递增，则，即， 可知在内单调递增，则， 所以当时，恒成立，故C正确； 对于选项D：若，则， 因为恒成立，即恒成立， 可得， 令，则有， 因恒成立，则在定义域上单调递增， 故得，则有， 令，则， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递增，在上单调递减， 则，则，故D正确. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 5人去孔府、孔庙、孔林三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人游览，则不同的游览方法的种数为______．（用数字回答） 【答案】150 【解析】 【分析】分类讨论人数分配，根据捆绑法和特殊元素法，结合排列数、组合数运算求解. 【详解】若景区人数分配为时，则不同的游览方法的种数为； 若景区人数分配为时，则不同的游览方法的种数为； 所以不同的游览方法的种数为. 13. 除以8所得的余数为______． 【答案】1 【解析】 【分析】分析可知，结合二项展开式运算求解即可. 【详解】因为， 令，可得， 又因为， 所以除以8所得的余数为. 14. 2026年春节，甲，乙等5个人在一个微信群里发红包（每次发的红包只有1个人能抢到）．甲先发了一个红包，规定抢到红包的人必须立即再发一个新红包，且自己不能领，群里另外4个人等可能地领到．记第n次发出红包的人是乙的概率为．则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设第n次发出红包的人是乙为事件，，根据全概率公式可得，分析可知数列是以首项为，公比为的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解. 【详解】设第n次发出红包的人是乙为事件，， 则，且， 因为，， 由全概率公式可得， 即，可得， 且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，所以， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，其中n为正整数．若的展开式中，第三项与第五项的二项式系数之比为． （1）求n的值； （2）求展开式中的有理项（系数用数字回答）． 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合二项式系数可得，再结合组合数公式运算求解即可； （2）根据二项式定理可知展开式中的任意项均为有理项，结合二项式定理运算求解即可. 【小问1详解】 因为第三项与第五项的二项式系数之比为， 则，即，可得， 整理可得，解得或（舍去）， 所以n的值为9. 【小问2详解】 因为的二项展开式的通项为， 可知展开式中的任意项均为有理项，依次为. 16. 已知函数，其中． （1）若函数在处取到极值，求函数在区间的最大值与最小值； （2）若，和在区间上具有相同的单调性，求实数a的取值范围． 【答案】（1）最大值为，最小值为 （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，其中，所以， 令，得，即：，所以，， 此时，， 令解得：，令解得：， 所以在上单调递减，在单调递增， 所以函数在处取得极小值， 此时在区间上，最小值为， 而，， ，所以， 则在区间上，最大值为. 【小问2详解】 当时，则，所以，则在区间上单调递减， 由题意得：，且和在区间上均单调递减， 所以在上恒成立，即：在上恒成立 令，则，当时，恒成立， 即函数在上单调递减， 所以，所以，即：实数a的取值范围是. 17. 某学校为了了解学生的数学学习情况，从学生中随机抽取了名学生进行数学能力测试，将学生的得分记为，并以此为样本得到了如下表格： 其中“良好”和“优秀”学生统称为“达标学生”． 等级 得分区间 人数 未达标 6 良好 28 56 优秀 10 （1）统计学中常用表示在事件发生的条件下事件发生的似然比．现从样本中随机抽取名学生，记事件为该学生为“达标学生”事件为“该学生分数低于分”，求似然比的值． （2）若该机构所有学生的数学得分近似服从正态分布，且．从该学校众多学生中随机抽取名，设这名学生中“良好”学生人数为，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2） 数学期望 【解析】 【分析】（1）应用条件概率公式计算求解即可； （2）应用，由二项分布分别写出的分布列及数学期望. 【小问1详解】 已知事件表示该学生为“达标学生”，即或，总人数为， 因此，， 事件表示该学生分数低于分，即，则事件表示该学生既是“达标学生”，也是分数低于分的， 因此，， 根据条件概率公式，有，， 因此，根据似然比公式，似然比. 【小问2详解】 已知且，由正态分布的对称性，有， 故“良好”学生的概率为， 随机抽取名学生，设这名学生是“良好”学生的人数是，其中每人是“良好”学生的概率为，独立同分布， 因此满足二项分布，其中，即， 则，，，， 因此的分布列为： 数学期望. 18. 某潮玩店推出了“数学家盲盒”，分为典藏盒和经典盒两种：典藏盒中有6个玩偶，其中2个隐藏款，4个常规款；经典盒中有8个玩偶，其中1个隐藏款，7个常规款．已知店里进货时，典藏盒占总量的，经典盒占总量的． （1）若随机挑选一个盒子，顾客从中任取2个玩偶，求恰好抽到1个隐藏款的概率； （2）顾客随机购买两个盲盒，从每个盒子中各抽取1个玩偶． （i）求恰好买到一个典藏盒、一个经典盒，且抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款的概率； （ii）如果顾客抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款，求他购买的是一个典藏盒、一个经典盒的概率． 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）分别求出选到典藏盒和选到经典盒任取2个玩偶恰好抽到1个隐藏款的概率，利用全概率公式求解； （2）（i）先求出恰好买到一个典藏盒、一个经典盒的概率，然后求出恰好买到一个典藏盒、一个经典盒的条件下，抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款的概率，最后计算求解；（ii）分别求出恰好买到一个典藏盒、一个经典盒抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款的概率，购买到两个典藏盒抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款的概率，购买到两个经典盒抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款的概率，然后利用贝叶斯公式求解. 【小问1详解】 设事件分别为选到典藏盒、经典盒，事件为任取2个玩偶恰好抽到1个隐藏款， ，， 所以. 【小问2详解】 （i）设事件为恰好买到一个典藏盒、一个经典盒，事件为两个玩偶中只有1个隐藏款， ， ， 所以. （ii）设事件为购买到两个典藏盒，事件为购买到两个经典盒， ， ， 所以. ， ， 所以. ， . 19. 已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）当，时，证明． 【答案】（1） （2）若，在内单调递增，在内单调递减； 若，在定义域内单调递增； 若，在内单调递减，在，内单调递增. （3） 令，， 令，，则在内恒成立， 可知在内单调递减， 又因为，且在内单调递减，则在内单调递减， 则，所以. 【解析】 【分析】（1）求导，可得，，根据导数的几何意义求切线方程； （2）求导可得，分类讨论结合二次不等式的正负性判断原函数单调性； （3）构建令，，利用导数可知在内单调递减，结合函数单调性分析证明. 【小问1详解】 若，则，， 可得，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 因为的定义域为，且， 若，则，可知在定义域内单调递增； 若，即，则，可知有两个不同的根或， 当时，，即； 当时，，即； 可知在内单调递增，在内单调递减； 若，即，则有： 当，即时，则在定义域内恒成立， 即在定义域内恒成立，可知在定义域内单调递增； 当，即时，可知有两个不同的根或，且， 当或时，，即； 当时，，即； 可知在内单调递减，在，内单调递增； 综上所述：若，在内单调递增，在内单调递减； 若，在定义域内单调递增； 若，在内单调递减，在，内单调递增. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $