精品解析：河北省石家庄第四十一中学2025-2026学年第二学期阶段性学业质量评价初二年级数学学科

2025-2026学年第二学期阶段性学业质量评价 初二年级 数学学科 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列图形属于多边形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，某海域有三个小岛A、B、O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各曲线表示的与的关系中，不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点(5，﹣3)所在的象限是(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 如图，在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. y随x的增大而减小 B. 当时， C. 点在一次函数图象上 D. 函数的图象不经过第三象限 7. 若一次函数的图象经过第一、二、三象限，则一次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是 （ ） A. 关于x的方程的解是 B. 关于x的不等式的解集是 C. 当时，函数的值比函数的值大 D. 关于x，y的方程组的解是 9. 如图、有一种绘画程序，屏幕上正方形是黑色区域（含正方形边界），其中．，，，用信号枪沿直线发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域由黑变白，则能够使黑色区域变白的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 如图是关于的函数图象，其中点在轴上，．在下列情境中，的函数关系可以用该图象表示的是（ ） ①向一个空水槽先匀速注水，水槽装满后停止注水一段时间，再打开排水管，将水匀速排空．水槽中水的体积随时间的变化而变化． ②小明从家出发骑车去学校上学，先加速骑行，再匀速骑行，最后减速骑行．小明离家的路程随时间的变化而变化． ③一列高铁从甲地到乙地，速度先匀速增加，达到某一定值后保持不变，然后再匀速减小．高铁行驶的速度随时间的变化而变化． A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 11. 当时，一次函数最大值为6，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 0或 12. 一辆货车从地开往地，一辆小汽车从地开往地，同时出发，都匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为（千米），货车行驶的时间为（小时），与之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是（ ） ①两车相遇时，货车离地千米； ②两车相距千米时，或； ③小汽车比货车提前到达目的地； ④小汽车到达目的地时，货车离地千米． A. ①②④ B. ①② C. ②③④ D. ①④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 五边形的内角和为________． 14. 若，是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是______（填，或） 15. 如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x - 6上时，线段BC扫过的面积为_______ 16. 如图1，在中，，M，N分别是，上的动点，动点P从点A出发，沿运动到点C，速度为，其中的长与运动时间的关系如图2所示． （1）的长为_______； （2）定义：对角线相等的四边形称为对等四边形．在图1中，连接，当点P在上运动时，若四边形始终是对等四边形，则的长度最小为_______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知函数，m为常数． （1）若该函数是正比例函数，求m的值； （2）若该函数是一次函数，且函数图象经过第一、三、四象限，求m的取值范围． 18. 2026年春晚以骐骥驰骋，势不可挡为主题，在文化滋养与科技赋能下，呈现活力满满、蒸蒸日上的新时代奋进气象．某商家推出一款2026势不可挡卡片，深受大家喜爱，经市场调查发现，该卡片每天销售量y（张）是其销售单价x（元）的一次函数．已知销售单价为13元时，每天销售量为115张；当销售单价为16元时，每天销售量为100张．销售单价x满足． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当销售单价是20元时，每天销售量是多少张？ 19. 如图，直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为． （1）填空：点A的坐标是______，点B的坐标是 ． （2）将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到．设点是内部一点，则平移后对应点的坐标为______． （3）的面积是______． 20. 如图，在中，对角线、交于点O，过点O，并与、分别交于点E、F，，． （1）求证：； （2）若，求的周长． 21. 一个有进水管与出水管的容器，前只进水不出水，在随后的既进水又出水，每分的进水量与出水量是两个常数．容器内的水量（单位：L）与时间（单位：）之间的函数关系如图所示． （1）进水管每分进水______L，出水管每分出水______L； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）当容器内的水量是时，求的值． 22. 如图，直线的解析式为，与轴交于点，直线经过点，与直线交于点，且与轴交于点； （1）求点的坐标及直线的解析式； （2）求的面积； （3）已知点在直线上，若的面积是面积的，直接写出点的坐标． 23. 某无人机配件销售公司有和两种配件，其进价和售价如表． 种类 A配件 B配件 进价/（元/件） 260 80 售价/（元/件） 300 100 已知该无人机配件销售公司购进配件和配件共件，并全部售出，设购买配件个，本次销售完件配件获得的总利润为元． （1）求关于函数关系式． （2）若配件购进件数不低于配件购进件数的倍，求购进多少件配件时，总利润最大？最大为多少？ 24. 【探索发现】 如图1，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【迁移应用】 设直线与x轴，y轴分别交于A，B两点． （1）如图2，若，且是以B为直角顶点的等腰直角三角形，点E在第一象限． ①直接填写：__________，__________； ②求点E的坐标． （2）如图3，若，过点B在y轴左侧作，且，连结，当k变化时，的面积是否为定值？若是定值，请求出的面积，若不是定值，请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，点M在x轴负半轴上，，将直线向下平移10个单位，点P是平移后直线上的动点，Q是y轴上的动点，是以动点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期阶段性学业质量评价 初二年级 数学学科 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列图形属于多边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形的定义，逐一判断选项是否符合“平面内由线段首尾顺次相接组成的封闭图形”这一条件，从而选出正确答案． 【详解】解：A选项：是一条线段，不是封闭图形，不属于多边形． B选项：是一个角，不是封闭图形，不属于多边形． C选项：是由线段首尾顺次相接组成的封闭图形，属于多边形． D选项：是由曲线围成的封闭图形，不属于多边形． 2. 如图，某海域有三个小岛A、B、O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了与方向角有关的计算题，明确方向角中角之间的关系，以及角的和差计算是解题的关键． 根据已知条件可直接确定的度数． 【详解】解：表示北偏东方向的一条射线，表示南偏东方向的一条射线， ． 故选：D． 3. 下列各曲线表示的与的关系中，不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是函数的定义，准确理解“的每一个确定值对应唯一的值”是解题的关键． 根据函数的定义，判断取一个值时是否有唯一值与之对应，进而确定不是的函数的选项． 【详解】解：函数的定义是：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应， 选项、、中，任意一条垂直于轴的直线与曲线都只有一个交点，满足“每取一个值，有唯一值对应”，因此是的函数． 故选：． 4. 在平面直角坐标系中，点(5，﹣3)所在的象限是(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：点（5，-3）所在的象限是第四象限． 故选D． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 5. 如图，在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形对角相等的性质，结合已知求出的度数，再利用邻角互补的性质计算的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∴． 6. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. y随x的增大而减小 B. 当时， C. 点在一次函数图象上 D. 函数的图象不经过第三象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与性质，逐一判断各选项结论，找出错误结论即可． 【详解】解：已知一次函数为，其中，， 对于A选项，， 随的增大而减小，A结论正确． 对于B选项，若，则，解得，即当时才有，不是时，B结论错误． 对于C选项，将代入函数，得， 点在函数图象上，C结论正确． 对于D选项，，， 一次函数图象经过第一二四象限，不经过第三象限，D结论正确． 7. 若一次函数的图象经过第一、二、三象限，则一次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 先根据题意判断出、的符号，进而可得出结论． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、三象限， ，， ， 一次函数的图象经过一、三、四象限， 故选：B． 8. 如图，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是 （ ） A. 关于x的方程的解是 B. 关于x的不等式的解集是 C. 当时，函数的值比函数的值大 D. 关于x，y的方程组的解是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程组，图象法确定方程的解，不等式的解集和二元一次方程组的解，逐一进行判断即可． 【详解】解：由题意和图象可知： 关于x的方程的解是；故A正确； 关于x的不等式的解集是；故B错误； 当时，函数的值比函数的值大；故C正确； 关于x，y的方程组的解是，故D正确； 故选B． 9. 如图、有一种绘画程序，屏幕上正方形是黑色区域（含正方形边界），其中．，，，用信号枪沿直线发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域由黑变白，则能够使黑色区域变白的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先明确直线随变化的平移规律，再找到直线与正方形相交的两个临界位置，将对应顶点坐标代入直线解析式，求出的最值，进而确定的取值范围． 【详解】解：直线中， 直线随的增大向上平移． 正方形含边界， 当直线经过点时，取得最小值． 将代入， ， 解得． 当直线经过点时，取得最大值， 将代入， ， 解得． 的取值范围为． 10. 如图是关于的函数图象，其中点在轴上，．在下列情境中，的函数关系可以用该图象表示的是（ ） ①向一个空水槽先匀速注水，水槽装满后停止注水一段时间，再打开排水管，将水匀速排空．水槽中水的体积随时间的变化而变化． ②小明从家出发骑车去学校上学，先加速骑行，再匀速骑行，最后减速骑行．小明离家的路程随时间的变化而变化． ③一列高铁从甲地到乙地，速度先匀速增加，达到某一定值后保持不变，然后再匀速减小．高铁行驶的速度随时间的变化而变化． A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，理解函数图象表示的含义是解题关键．针对三种情境分别讨论分析即可． 【详解】解：①向一个空水槽先匀速注水，体积随时间的增加而增加；水槽装满后停止注水一段时间，时间增加，体积不变；再打开排水管，将水匀速排空，体积随时间的增加而减小，符合函数图象； ②小明从家出发骑车去学校上学，先加速骑行，再匀速骑行，最后减速骑行，整个过程中，离家的路程一直随时间的增加而增加，不符合函数图象； ③速度先匀速增加，达到某一定值后保持不变，然后再匀速减小，则速度随时间的增加而增加，继而不变，最后减小，符合函数图象； 故选：C． 11. 当时，一次函数最大值为6，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 0或 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次项系数的正负判断函数在上的增减性，再结合最大值为，求解的值． 【详解】解：一次函数的斜率为，分两种情况讨论： ①当时： 函数在上随着的增大而增大，最大值出现在处． 代入得：． 由最大值为，得，解得． ②当时： 函数在上随着的增大而减小，最大值出现在处． 代入得：． 由最大值为，得，解得，但不满足，舍去． ③当时： 函数为常函数，最大值为，不符合最大值为，舍去． 综上所述，． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的单调性与最值，解题关键是分斜率正负讨论函数的增减性，再结合区间端点求最值． 12. 一辆货车从地开往地，一辆小汽车从地开往地，同时出发，都匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为（千米），货车行驶的时间为（小时），与之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是（ ） ①两车相遇时，货车离地千米； ②两车相距千米时，或； ③小汽车比货车提前到达目的地； ④小汽车到达目的地时，货车离地千米． A. ①②④ B. ①② C. ②③④ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数图象与行程问题的关系，求出A、B两地全程距离、货车与小汽车的行驶速度，再结合速度、时间、路程的关系，逐一验证题目中的四个说法是否正确，最终确定正确选项． 【详解】解：设货车速度为千米/小时，小汽车速度为千米/小时． 两车在小时相遇， ． ， 小汽车从B到A用时2小时， 千米/小时， 千米/小时． 两车相遇时，货车行驶路程：千米， 货车离B地距离：千米，故①正确． 相遇前相距80千米：， 解得； 相遇后相距80千米：， 解得，故②正确． 货车到达A地用时：小时， 小汽车到达用时2小时， 小时，即小汽车比货车提前1小时到达，故③错误． 小汽车到达目的地时（），货车行驶路程：千米， 货车离A地100千米，故④错误． 综上，①②正确． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 五边形的内角和为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式计算即可． 【详解】解：五边形的内角和为． 14. 若，是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是______（填，或） 【答案】 【解析】 【分析】先根据一次函数解析式判断函数的增减性，再比较两点横坐标的大小，即可得到纵坐标的大小关系． 【详解】解：在一次函数中， ， 随的增大而减小. 的横坐标为，的横坐标为，且， . 15. 如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x - 6上时，线段BC扫过的面积为_______ 【答案】16 【解析】 【分析】根据题意，线段扫过的面积应为一平行四边形的面积，其高是的长，底是点平移的路程．求当点落在直线上时的横坐标即可． 【详解】解：如图所示． 点、的坐标分别为、， ． ，， ∴由勾股定理可得：． ． 点在直线上， ，解得． 即． ． ． 即线段扫过的面积为16． 故选：C． 【点睛】此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，解决本题的关键是明确线段扫过的面积应为一平行四边形的面积． 16. 如图1，在中，，M，N分别是，上的动点，动点P从点A出发，沿运动到点C，速度为，其中的长与运动时间的关系如图2所示． （1）的长为_______； （2）定义：对角线相等的四边形称为对等四边形．在图1中，连接，当点P在上运动时，若四边形始终是对等四边形，则的长度最小为_______． 【答案】 ①. 12 ②. 8 【解析】 【分析】本题考查了通过函数图象获取信息，勾股定理，四边形新定义问题，解题的关键是能通过函数的图象获取相应的信息及理解对等四边形的定义； （1）通过分别与重合，获取重要信息进行求解； （2）连接，过点作于点，在中，由勾股定理可得，根据“垂线段最短”可得当点与点重合时，的值最小即可求解． 【详解】解：（1）由图2可知，当时，，此时点与点重合，， ，点与点重合时，此时． 当点与点重合时，此时， 点在上运动的时间为， ； （2）如图，连接，过点作于点， ， ， 在中，由勾股定理可得． 由“对等四边形”的定义可得，求的最小值， 即求的最小值，根据“垂线段最短”可得当点与点重合时，的值最小， 此时， 的长度最小为． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知函数，m为常数． （1）若该函数是正比例函数，求m的值； （2）若该函数是一次函数，且函数图象经过第一、三、四象限，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是正比例函数的定义，一次函数的定义，解不等式组，根据题意正确的得到不等式组是解题的关键． （1）根据y是x的正比例函数列方程，即可得到结论； （2）根据y是x的一次函数，且图象经过一、三、四象限列不等式组，即可得到结论． 【小问1详解】 解：对于y关于x的函数， ∵y是x的正比例函数， ∴且， 解得：； 【小问2详解】 解：∵y是x的一次函数，且图象经过一、三、四象限， ∴， 解得：， 故m的取值范围为． 18. 2026年春晚以骐骥驰骋，势不可挡为主题，在文化滋养与科技赋能下，呈现活力满满、蒸蒸日上的新时代奋进气象．某商家推出一款2026势不可挡卡片，深受大家喜爱，经市场调查发现，该卡片每天销售量y（张）是其销售单价x（元）的一次函数．已知销售单价为13元时，每天销售量为115张；当销售单价为16元时，每天销售量为100张．销售单价x满足． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当销售单价是20元时，每天销售量是多少张？ 【答案】（1）． （2）每天销售量是张． 【解析】 【分析】（1）设一次函数表达式为，将题目中给出的两组、对应值代入，通过解二元一次方程组求出、的值，进而得到函数表达式． （2）将代入（1）中求出的函数表达式，计算对应的值，即为当天的销售量． 【小问1详解】 解：设与之间的函数表达式为（）．由题意可得 ， 解得，， ． 【小问2详解】 解：当时，， ∴每天销售量是张． 19. 如图，直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为． （1）填空：点A的坐标是______，点B的坐标是 ． （2）将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到．设点是内部一点，则平移后对应点的坐标为______． （3）的面积是______． 【答案】（1）， （2） （3）5 【解析】 【分析】（1）根据直角坐标系中网格点的位置，结合已知点的坐标，确定点、的坐标． （2）根据平面直角坐标系中点的平移规律，计算平移后点的对应坐标． （3）利用割补法，将置于一个长方形中，用长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，求出的面积． 【小问1详解】 解：点A的坐标是，点B的坐标是； 【小问2详解】 解：由题意得，点平移后对应点的坐标为； 【小问3详解】 解： ． 20. 如图，在中，对角线、交于点O，过点O，并与、分别交于点E、F，，． （1）求证：； （2）若，求的周长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 在和中， ， ， ； （2）18 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质： （1）先根据平行四边形的性质得出，，再根据证明即可； （2）根据平行四边形对角线互相平分，可得，再根据推出，进而求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ，， ， 由（1）知， ， ， ， 即的周长为18． 21. 一个有进水管与出水管的容器，前只进水不出水，在随后的既进水又出水，每分的进水量与出水量是两个常数．容器内的水量（单位：L）与时间（单位：）之间的函数关系如图所示． （1）进水管每分进水______L，出水管每分出水______L； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）当容器内的水量是时，求的值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了函数图象的信息获取，待定系数法求一次函数解析式． （1）因为前4分钟只进水，所以用4分钟后的水量除以4可得到进水管每分钟进水量；因为4到12分钟既进水又出水，先算出这段时间的水量变化量，结合进水量和时间，可求出出水管每分钟出水量． （2）因为当时，与是一次函数关系，利用待定系数法求解函数关系式． （3）将代入（2）中求得的函数关系式中，求解即可． 【小问1详解】 解：前只进水，总水量为，因此进水管每分钟进水， 到共，既进水又出水，水量从增加到，总增加水量， 设出水管每分钟出水，可得：，解得． 故答案为：；． 【小问2详解】 解：当时，是的一次函数，设， 由图可知，函数过点和， 代入得： ， 解得， 因此函数关系式为：． 【小问3详解】 解：因为， 所以在范围内， 将代入解析式： ， 解得：． 22. 如图，直线的解析式为，与轴交于点，直线经过点，与直线交于点，且与轴交于点； （1）求点的坐标及直线的解析式； （2）求的面积； （3）已知点在直线上，若的面积是面积的，直接写出点的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）先将点代入直线的解析式求出的值，得到点的坐标；再利用待定系数法，将点和点的坐标代入直线的一般式，求出直线的解析式． （2）先求出直线、与轴的交点、的坐标，得到的长度；再以为底，点到轴的距离为高，利用三角形面积公式计算的面积． （3）根据与的面积关系，先求出的面积；设点的坐标，结合直线的解析式表示出点的横纵坐标关系，再利用三角形面积公式列方程求解点的坐标． 【小问1详解】 解：点在直线上， 当时，， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 直线经过点和， ， 解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：直线与轴交于点， 当时，则， 解得， 点的坐标为， 直线与轴交于点， 当时，则， 解得， 点的坐标为， ， 点到轴的距离为， ； 【小问3详解】 解：的面积是面积的， ， 设点的坐标为， 直线与轴交于点， （或）， ∴，即， ∴， 当时，解得， 此时 当时，解得， 此时 点的坐标为或． 23. 某无人机配件销售公司有和两种配件，其进价和售价如表． 种类 A配件 B配件 进价/（元/件） 260 80 售价/（元/件） 300 100 已知该无人机配件销售公司购进配件和配件共件，并全部售出，设购买配件个，本次销售完件配件获得的总利润为元． （1）求关于函数关系式． （2）若配件购进件数不低于配件购进件数的倍，求购进多少件配件时，总利润最大？最大为多少？ 【答案】（1）(，且为整数) （2）购进100件A配件时总利润最大．最大总利润为8000元． 【解析】 【分析】（1）先分别计算单个A、B配件的利润，再根据A配件的数量，表示出B配件的数量，最后根据总利润=单个利润×数量列出函数关系式，并注明自变量的取值范围． （2）先根据B配件购进件数不低于A配件的2倍列出不等式，求出的取值范围，再结合一次函数的增减性，确定利润最大时的值及最大利润． 【小问1详解】 解：配件单件利润：(元) 配件单件利润： (元)． 配件数量： ， ∴ (，且x为整数)． 【小问2详解】 解：， ， ， 中，， 随的增大而增大． 当时，取得最大值．． ∴购进100件A配件时总利润最大．最大总利润为8000元． 24. 【探索发现】 如图1，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【迁移应用】 设直线与x轴，y轴分别交于A，B两点． （1）如图2，若，且是以B为直角顶点的等腰直角三角形，点E在第一象限． ①直接填写：__________，__________； ②求点E的坐标． （2）如图3，若，过点B在y轴左侧作，且，连结，当k变化时，的面积是否为定值？若是定值，请求出的面积，若不是定值，请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，点M在x轴负半轴上，，将直线向下平移10个单位，点P是平移后直线上的动点，Q是y轴上的动点，是以动点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】（1）①；②点E的坐标为；（2）变化时，的面积是定值，且定值为8；（3）或 【解析】 【分析】（1）①已知，代入可直接写出解析式，分别令，，即可求解；②过点作轴垂线，运用全等三角形的性质证明边长相等，即可求得点坐标． （2）过点N作轴垂线，运用全等三角形的性质表示出点坐标，再用三角形边长表示出三角形面积，即可判断． （3）分两种情况，平移后的解析式为，①当点在轴的下方时，过点P作轴于H， 由全等三角形的性质证明边长相等，进一步求解即可；当点在轴上方时，同理过点P作轴于H，同理用全等三角形的性质证明边长相等，进一步求解即可求解． 【详解】解：（1）①∵，则直线， 令时，， 令时，， ∴， 即，． ②过点作于点D， ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴，， ∴ ∴点E的坐标为． （2）当k变化时，的面积是定值，理由如下： 过点N作轴于点M， 同理： ∴ ∴， ∴k变化时，的面积是定值，且定值为． （3）∵将直线向下平移10个单位， ， ∴平移后的解析式为， ①当点在轴的下方时，过点P作轴于H， 设，，而， 同理可得：， ∴，， ∴， 解得：， ∴点， ②当点在轴上方时，同理过点P作轴于H， 同理可得：， ∴，， ∴， 解得：，， ∴点， 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图象和性质、动点求面积问题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质．熟练掌握一次函数的图象及性质，构造全等三角形及利用全等三角形的性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $