精品解析：河北石家庄市第二十八中学2024-2025学年下学期八年级期中数学试卷

河北省石家庄二十八中2024-2025学年下学期八年级期中数学试卷 一、精心选择（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 精准扶贫是全面建成小康社会的重要保障，某乡为了解果农的年收入情况，从全乡果农中随机抽取50户果农进行调查，这50户果农的年收入是（ ） A. 样本 B. 样本容量 C. 个体 D. 总体 2. 若正比例函数的图象经过点（，2），则这个图象必经过点（ ）． A. （1，2） B. （，） C. （2，） D. （1，） 3. 一次函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 4. 在平行四边形中，，则度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，A，B两地被池塘隔开，小明在外选一点C，连接，分别取的中点D，E，为了测量A，B两地间的距离，则可以选择测量线段（ ） A. B. C. D. 6. 如图是我国古代计时器“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶底的小孔漏出．壶壁内画有刻度，人们根据壶中水面的位置计时，用x表示时间，y表示壶底到水面的高度，则y与x的函数关系式的图象是 A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，，，则以为边长的正方形的面积为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 在平面直角坐标系中，将三角形三个顶点的横坐标都增加3，纵坐标保持不变，所得的新图形与原图形相比（ ） A. 向上平移了3个单位长度 B. 向下平移了3个单位长度 C. 向左平移了3个单位长度 D. 向右平移了3个单位长度 9. 杆秤是我国传统的计重工具．数学兴趣小组利用杠杆原理自制了一个如图1所示的无刻度简易杆秤．在量程范围内，之间的距离l与重物质量m的关系如图2所示，下列说法不正确的是（ ） A. 在量程范围内，质量m越大，之间的距离l越大； B. 未挂重物时，之间的距离l为； C. 当之间的距离l为时，重物质量m为； D. 在量程范围内，重物质量m每增加，之间的距离l增加． 10. 如图，已知直线与相交于点，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 11. 如图是甲、乙两张完全相同的三角形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的矩形，则（ ） A. 甲、乙都可以 B. 甲、乙都不可以 C. 甲不可以、乙可以 D. 甲可以、乙不可以 12. 对于题目：“在长为7的线段AE上取一点B，使，以AB为边向上作矩形，且，点N从点D出发，沿射线DC方向以每秒2个单位长的速度运动，点M从点E出发，先以每秒1个单位长的速度向点B运动，到达点B后，再以每秒3个单位长的速度沿射线方向运动．已知M、N同时出发，运动时间为，以E、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，求t的值”．甲答：1；乙答：3．（　　） A. 只有甲答的对 B. 只有乙答的对 C. 甲、乙答案合在一起才完整 D. 甲、乙答案合在一起也不完整 二、准确填空（本大题共4个小题，每题3分，共12分） 13. 函数y＝的自变量x的取值范围为____________． 14. 足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角．这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的大小为 ______． 15. 某批发部对经销的一种电子元件调查后发现，一天的盈利y（元）与这天的销售量x（个）之间的函数关系的图象如图所示． （1）当销售量是300个时，盈利 ________ 元； （2）批发部每天至少销售 ________ 个这种电子元件才不亏本． 16. 将正方形按如图方式放置在平面直角坐标系中，点，点． （1） ________________ ； （2）点B的坐标是 __________ ． 三、细心解答（本大题共8小题，共72分） 17. 某区教研部门对本区初二年级的学生进行了一次随机抽样问卷调查，其中有这样一个问题：老师在课堂上放手让学生提问和表达 _____． A．从不 B．很少 C．有时 D．常常 E．总是 答题的学生在这五个选项中只能选择一项，下面是根据学生对该问题的答卷情况绘制的两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题： （1）该区共有 名初二年级的学生参加了本次问卷调查； （2）请把这幅条形统计图补充完整； （3）求在扇形统计图中，“很少”的圆心角的度数． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知，点，点． （1）若点C在第二象限，则a的取值范围是 ； （2）若点C到x轴距离是2，则a的值是 ； （3）当时， ①画出，的面积是 ； ②的长是 ． 19. 如图是一个函数值y的运算． （1）若输入x的值是，则输出y的值是 ． （2）若输出的y的值是4，求输入的x的值． （3）输出的y值只有一个x值与之对应，则x的取值范围是 ． 20. 甲骑摩托车从地去地，乙开汽车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为与甲行驶的时间为之间的关系如图所示． （1）结合图象，在点三个点中，点________代表的实际意义是乙到达终点； （2）求甲、乙各自的速度； （3）当乙到达终点时，求甲、乙两人的距离； 21. 如图，嘉淇同学用一张矩形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，为．当嘉淇折叠时，顶点D落在边上的点F处（折痕为）． （1） ， ； （2）求的长． 22. 如图，小亮在他与电视塔之间竖立一根高的标杆，当他站在距标杆2m的D处时，眼睛F、标杆的顶端E与塔尖A恰好在一条直线上，已知小亮的眼睛距地面的高度是，标杆与电视塔之间的距离是． （1）小亮以点D为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，为1个单位长度，建立平面直角坐标系，则点F的坐标为 ，点E的坐标为 ； （2）求电视塔的高度． 23. 综合与实践：折纸中的数学． 【主题】四边形与折纸 【素材】如图①，一张矩形纸片，，． （1）【实践操作1】 步骤一：将矩形纸片上下对折，折痕为； 步骤二：然后左右对折，折痕为； 步骤三：将原纸片展开还原后，如图②所示得到四边形． 【实践探索】 ①四边形的形状为 ； ②求四边形的边上的高． （2）【实践操作】 步骤一：将矩形纸片先沿对角线对折； 步骤二：再将纸片折叠使点与点重合得折痕； 步骤三：将原纸片展开还原后，连接．如图③所示，得到四边形． 【实践探索】判断四边形的形状，并加以证明． 24. 某服装店同时购进甲、乙两种款式的运动服共套，进价和售价如表中所示，设购进甲款运动服套（为正整数），该服装店售完全部甲、乙两款运动服获得的总利润为元． 运动服款式 甲款 乙款 进价（元套） 售价（元套） （1）求与的函数关系式； （2）该服装店计划投入万元购进这两款运动服，则至少购进多少套甲款运动服？若售完全部的甲、乙两款运动服，则服装店可获得的最大利润是多少元？ （3）在（2）的条件下，若服装店购进甲款运动服的进价降低元（其中），且最多购进套甲款运动服，若服装店保持这两款运动服的售价不变，请你设计出使该服装店获得最大销售利润的购进方案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省石家庄二十八中2024-2025学年下学期八年级期中数学试卷 一、精心选择（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 精准扶贫是全面建成小康社会的重要保障，某乡为了解果农的年收入情况，从全乡果农中随机抽取50户果农进行调查，这50户果农的年收入是（ ） A. 样本 B. 样本容量 C. 个体 D. 总体 【答案】A 【解析】 【分析】从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本，据此可得结论． 【详解】解：某乡为了解果农的年收入情况，从全乡果农中随机抽取50户果农进行调查，这50户果农的年收入是样本， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了抽样调查，从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；一个样本包括的个体数量叫做样本容量． 2. 若正比例函数的图象经过点（，2），则这个图象必经过点（ ）． A. （1，2） B. （，） C. （2，） D. （1，） 【答案】D 【解析】 【详解】设正比例函数的解析式为y=kx（k≠0）， 因为正比例函数y=kx的图象经过点（-1，2）， 所以2=-k， 解得：k=-2， 所以y=-2x， 把这四个选项中的点的坐标分别代入y=-2x中，等号成立的点就在正比例函数y=-2x的图象上， 所以这个图象必经过点（1，-2）． 故选：D． 3. 一次函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数图象与系数的关系进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数中，，， ∴一次函数经过一、三、四象限，B选项符合题意． 4. 在平行四边形中，，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角相等求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． 5. 如图，A，B两地被池塘隔开，小明在外选一点C，连接，分别取的中点D，E，为了测量A，B两地间的距离，则可以选择测量线段（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位线定理可得，即可得到解答． 【详解】解：是的中点，是的中点， 是的中位线， ， ， 即为了测量A，B两地间的距离，则可以选择测量线段， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，属于基础题，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 6. 如图是我国古代计时器“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶底的小孔漏出．壶壁内画有刻度，人们根据壶中水面的位置计时，用x表示时间，y表示壶底到水面的高度，则y与x的函数关系式的图象是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知x表示时间，y表示壶底到水面的高度，然后根据x、y的初始位置及函数图象的性质来判断． 【详解】解：由题意知：开始时，壶内盛一定量的水，所以y的初始位置应该大于0，可以排除A、B；由于漏壶漏水的速度不变，所以图中的函数应该是一次函数，可以排除D选项， 故选：C． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象应用，熟练掌握一次函数的图象特征是解答的关键． 7. 如图，在菱形中，，，则以为边长的正方形的面积为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握菱形的性质是解答此题的关键． 先根据菱形的性质得出，再由可知是等边三角形，故可得出的长，根据正方形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：四边形是菱形，， ． ， 是等边三角形， ， ∴． 故选：D． 8. 在平面直角坐标系中，将三角形三个顶点的横坐标都增加3，纵坐标保持不变，所得的新图形与原图形相比（ ） A. 向上平移了3个单位长度 B. 向下平移了3个单位长度 C. 向左平移了3个单位长度 D. 向右平移了3个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象平移特点，横坐标增加3，纵坐标不变，即图象向右平移，据此解题即可． 【详解】因为三角形三个顶点的横坐标都增加3，纵坐标保持不变， 所以所得的新图形与原图形相比向右平移了3个单位长度， 故选：D 【点睛】本题考查坐标与图形变化之平移，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 9. 杆秤是我国传统的计重工具．数学兴趣小组利用杠杆原理自制了一个如图1所示的无刻度简易杆秤．在量程范围内，之间的距离l与重物质量m的关系如图2所示，下列说法不正确的是（ ） A. 在量程范围内，质量m越大，之间的距离l越大； B. 未挂重物时，之间的距离l为； C. 当之间的距离l为时，重物质量m为； D. 在量程范围内，重物质量m每增加，之间的距离l增加． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象．数形结合，从函数图象中获取正确的信息是解题的关键． 由图象可知，在量程范围内，质量m越大，之间的距离l越大，进而可判断A的正误；未挂重物时，之间的距离l为，进而可判断B的正误；当之间的距离l为时，重物质量m为，进而可判断C的正误；在量程范围内，重物质量m每增加，之间的距离l增加，进而可判断D的正误． 【详解】解：由图象可知，在量程范围内，质量m越大，之间的距离l越大，A正确，故不符合要求； 未挂重物时，之间的距离l为，B正确，故不符合要求； 当之间的距离l为时，重物质量m为，C错误，故符合要求； 在量程范围内，重物质量m每增加，之间的距离l增加，D正确，故不符合要求； 故选：C． 10. 如图，已知直线与相交于点，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集． 根据图象和交点坐标得出关于x的不等式的解集是，即可得出答案． 【详解】解：由图象可得，当时，， ∴关于x的不等式的解集是， 用数轴表示为： 故选：D 11. 如图是甲、乙两张完全相同的三角形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的矩形，则（ ） A. 甲、乙都可以 B. 甲、乙都不可以 C. 甲不可以、乙可以 D. 甲可以、乙不可以 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形可得甲可以拼成一个与原来面积相等的矩形，图形乙可以拼成一个与原来面积相等的矩形． 【详解】解：所做图形如图所示： 甲乙够可以拼成一个与原来面积相等的矩形， 故选：A． 【点睛】本题考查图形的简拼，解答本题的关键是根据题意作出图形． 12. 对于题目：“在长为7的线段AE上取一点B，使，以AB为边向上作矩形，且，点N从点D出发，沿射线DC方向以每秒2个单位长的速度运动，点M从点E出发，先以每秒1个单位长的速度向点B运动，到达点B后，再以每秒3个单位长的速度沿射线方向运动．已知M、N同时出发，运动时间为，以E、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，求t的值”．甲答：1；乙答：3．（　　） A. 只有甲答的对 B. 只有乙答的对 C. 甲、乙答案合在一起才完整 D. 甲、乙答案合在一起也不完整 【答案】D 【解析】 【分析】分析点N在点C的左右两侧结合点M的运动方向可得有四种情况，列方程即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴当时，以E、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形， 分四种情况讨论： ①当点N在点C左侧，点M向左运动时，，， ∴， 解得； ②当点N在点C右侧，点M向左运动时，，， ∴， 解得，； ③当点N在点C右侧，点M向右运动时，，， ∴， 解得，； ④当点N在点C右侧，点M向右运动且过了点E时，，， ∴， 解得，， 故甲和乙答案合在一起也不完整， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定等知识；根据题意得出t的方程是解决问题的关键． 二、准确填空（本大题共4个小题，每题3分，共12分） 13. 函数y＝的自变量x的取值范围为____________． 【答案】x≥－1 【解析】 【详解】由题意得，x+1≥0， 解得x≥﹣1． 故答案为x≥﹣1． 14. 足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角．这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的大小为 ______． 【答案】12°##12度 【解析】 【分析】先由多边形的内角和公式求出正六边形和正五边形的内角，再根据周角是360°即可求出∠AOB的大小． 【详解】解：因为正多边形内角和为（n-2）•180°，正多边形每个内角都相等， 所以正五边形的每个内角的度数为（5-2）•180°=108°， 正六边形的每个内角的度数为（6-2）•180°=120°． ∴∠AOB的度数为：360°-108°-120°×2=12°． 故答案为：12°． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式．熟练掌握正多边形的性质，多项式的内角和公式是解决问题的关键． 15. 某批发部对经销的一种电子元件调查后发现，一天的盈利y（元）与这天的销售量x（个）之间的函数关系的图象如图所示． （1）当销售量是300个时，盈利 ________ 元； （2）批发部每天至少销售 ________ 个这种电子元件才不亏本． 【答案】 ①. 400 ②. 100 【解析】 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以写出当销售量300个时，盈利多少钱； （2）根据题意和函数图象中的数据可以写出批发部每天至少销售多少个这种电子元件才不亏本． 【详解】解：（1）由图象可得， 当销售量是300个时，盈利400元； （2）由图象可得， 批发部每天至少销量100个这种电子元件才不亏本． 16. 将正方形按如图方式放置在平面直角坐标系中，点，点． （1） ________________ ； （2）点B的坐标是 __________ ． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求得，根据正方形的性质得出； （2）过点B作轴于点E，证明，得出，，求出，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∴在中，， ∵四边形为正方形， ∴． （2）过点B作轴于点E，如图所示， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵轴， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为． 三、细心解答（本大题共8小题，共72分） 17. 某区教研部门对本区初二年级的学生进行了一次随机抽样问卷调查，其中有这样一个问题：老师在课堂上放手让学生提问和表达 _____． A．从不 B．很少 C．有时 D．常常 E．总是 答题的学生在这五个选项中只能选择一项，下面是根据学生对该问题的答卷情况绘制的两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题： （1）该区共有 名初二年级的学生参加了本次问卷调查； （2）请把这幅条形统计图补充完整； （3）求在扇形统计图中，“很少”的圆心角的度数． 【答案】（1）3200 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）结合两个统计图中的“从不”的人数与所占百分比，即可求出初二年级的学生参加的数量； （2）用总人数分别减去“从不”、“很少”、“常常”、“总是”的人数，计算出“有时”的人数即可将条形统计图补充完整； （3）利用乘“很少”所占的比例即可． 【小问1详解】 解：初二年级的学生参加了本次问卷调查的共有（名）； 【小问2详解】 解：“有时”的人数（人）， 如图所示： 【小问3详解】 解：， 答：在扇形统计图中，“很少”的圆心角的度数为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知，点，点． （1）若点C在第二象限，则a的取值范围是 ； （2）若点C到x轴距离是2，则a的值是 ； （3）当时， ①画出，的面积是 ； ②的长是 ． 【答案】（1） （2）0或 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意列不等式组即可得到结论； （2）根据点C到x轴距离是2，求得，解方程即可得到结论； （3）①根据割补法即可得到结论； ②根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵点，点C在第二象限， ∴， ∴a的取值范围是， 【小问2详解】 解：∵点C到x轴距离是2， ∴， ∴或， ∴或， 【小问3详解】 解：①如图： ∵， ∴点， ∵，， ∴； ②． 19. 如图是一个函数值y的运算． （1）若输入x的值是，则输出y的值是 ． （2）若输出的y的值是4，求输入的x的值． （3）输出的y值只有一个x值与之对应，则x的取值范围是 ． 【答案】（1）6 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入相应的流程计算即可； （2）根据题意，分别把代入不同的式子中计算x的值，并验证结果即可解答； （3）先根据题意作出函数图像，得到输出的y值只有一个x值与之对应时，，再结合图像确定x的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，． 【小问2详解】 解：①当时，在中， 令，得，解得：，符合题意； ②当时，在中， 令，得，解得：， 综上，或． 【小问3详解】 解：如图，分别作出和的函数图像， ∵当时，，， ∴输出的y值只有一个x值与之对应时，， ∴把代入，得， 把代入，得， ∴当时，输出的y值只有一个x值与之对应． 故答案为：． 20. 甲骑摩托车从地去地，乙开汽车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为与甲行驶的时间为之间的关系如图所示． （1）结合图象，在点三个点中，点________代表的实际意义是乙到达终点； （2）求甲、乙各自的速度； （3）当乙到达终点时，求甲、乙两人的距离； 【答案】（1）； （2）甲的速度为千米时，乙的速度为千米时； （3）当乙到达终点时，则甲乙两人的距离是千米． 【解析】 【分析】本题考查函数图象的意义，读懂函数图象的信息是解题的关键． （）根据函数图象，两个相距为时两个相遇，然后距离逐渐增加，当增加量减小时说明一个已经停止，最后达到最大停止即可得到答案； （）由图象可得，两地相距千米，甲走完全程需要小时，即可求出甲的速度，根据当时，两人相遇，即可求出甲乙两人的速度之和，进而求出乙的速度； （）当乙到达终点地时，求出甲离开出发地地的路程，即为甲乙两人的距离． 【小问1详解】 解：由图象可得，在点时，，此时两人相遇， 点之后，两人的距离增加速度减少，此时乙先到达终点， 点表示两人距离为，此时甲到达终点， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由图象可得，两地相距千米，甲走完全程需要小时， ∴甲的速度为（千米时）， 当时，两人相遇 ， 两人的速度之和为（千米时）， ∴乙的速度为（千米时）， 答：甲的速度为千米时，乙的速度为千米时； 【小问3详解】 解：当乙到达终点地时，甲离开出发地地有（千米）， ∴当乙到达终点时，则甲乙两人的距离是千米． 21. 如图，嘉淇同学用一张矩形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，为．当嘉淇折叠时，顶点D落在边上的点F处（折痕为）． （1） ， ； （2）求的长． 【答案】（1）6，4 （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质及勾股定理可得出答案； （2）设，由勾股定理可得，则可得出答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是长方形，，，是 折叠得到， ∴．， ∴在中，， ∴． 【小问2详解】 解：设， ∴，． 在中，， ∴， 解得：， ∴． 22. 如图，小亮在他与电视塔之间竖立一根高的标杆，当他站在距标杆2m的D处时，眼睛F、标杆的顶端E与塔尖A恰好在一条直线上，已知小亮的眼睛距地面的高度是，标杆与电视塔之间的距离是． （1）小亮以点D为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，为1个单位长度，建立平面直角坐标系，则点F的坐标为 ，点E的坐标为 ； （2）求电视塔的高度． 【答案】（1）， （2）电视塔的高度为 【解析】 【分析】（1）根据题意建立直角坐标系，直接写出点的坐标即可； （2）根据点E和点F的坐标得出直线的解析式，根据解析式求出A点的坐标即可得出电视塔的高度． 【小问1详解】 解：根据题意建立直角坐标系： ∴，； 【小问2详解】 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线EF的解析式为， ∵A点的横坐标为， ∴A点的纵坐标为， 即电视塔的高度为． 23. 综合与实践：折纸中的数学． 【主题】四边形与折纸 【素材】如图①，一张矩形纸片，，． （1）【实践操作1】 步骤一：将矩形纸片上下对折，折痕为； 步骤二：然后左右对折，折痕为； 步骤三：将原纸片展开还原后，如图②所示得到四边形． 【实践探索】 ①四边形的形状为 ； ②求四边形的边上的高． （2）【实践操作】 步骤一：将矩形纸片先沿对角线对折； 步骤二：再将纸片折叠使点与点重合得折痕； 步骤三：将原纸片展开还原后，连接．如图③所示，得到四边形． 【实践探索】判断四边形的形状，并加以证明． 【答案】（1）①菱形；② （2）四边形是菱形，证明见解析 【解析】 【分析】（）①由折叠可知对角线互相垂直且平分，据此即可得解；②先求出菱形的面积和边长，再利用等面积即可得解； （）由折叠可得，，由矩形可得，从而有，进而可证，则有，再根据菱形的判定即可求证． 【小问1详解】 解：①由折叠可知：与互相垂直平分， ∴四边形为菱形． 故答案为：菱形； ②由折叠可得：，， ∴，菱形边长， ∴菱形的高为； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，证明如下：如图③， 由折叠可得：，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点是解题的关键． 24. 某服装店同时购进甲、乙两种款式的运动服共套，进价和售价如表中所示，设购进甲款运动服套（为正整数），该服装店售完全部甲、乙两款运动服获得的总利润为元． 运动服款式 甲款 乙款 进价（元套） 售价（元套） （1）求与的函数关系式； （2）该服装店计划投入万元购进这两款运动服，则至少购进多少套甲款运动服？若售完全部的甲、乙两款运动服，则服装店可获得的最大利润是多少元？ （3）在（2）的条件下，若服装店购进甲款运动服的进价降低元（其中），且最多购进套甲款运动服，若服装店保持这两款运动服的售价不变，请你设计出使该服装店获得最大销售利润的购进方案． 【答案】（1）；（2）套，元；（3）详情见解析 【解析】 【分析】（1）若购进甲款运动服套，则购进乙款运动服套，然后根据题意可得出甲乙两款售出后每件的利润，据此进一步列出关系式化简即可； （2）根据题意首先表示出购进甲款运动服的费用为元，购进乙款运动服的费用为元，据此进一步列出不等式，求出的范围即可得出至少购进甲款运动服的数量，然后利用一次函数的性质进一步求出最大利润即可； （3）根据题意首先列出此时与的函数关系式，其中，据此进一步化简，然后分①当时、②当时、③当时三种情况进一步分析讨论即可. 【详解】（1）∵购进甲款运动服套，∴购进乙款运动服套， 根据题意得，， 化简得：， 即与的函数关系式为：； （2）由题意得： 购进甲款运动服的费用为元，购进乙款运动服的费用为元， ∴， 解得：， ∴至少要购进甲款运动服套． 又，其中， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最大值，此时最大值为：， ∴若售完全部的甲、乙两款运动服，则服装店可获得的最大利润是元， 答：至少要购进甲款运动服套，若售完全部的甲、乙两款运动服，则服装店可获得的最大利润是元； （3）由题意得，，其中， 化简得，， ∵，则： ①当时，，随的增大而减小， ∴当时，有最大值， 则服装店应购进甲款运动服套、乙款运动服套，获利最大； ②当时，，， 则服装店应购进甲款运动服的数量应满足，且为整数时，服装店获利最大； ③当时，，随的增大而增大， ∵，∴当时，有最大利润， 则服装店应购进甲款运动服套、乙款运动服套，获利最大． 【点睛】本题主要考查了一次函数与不等式的综合运用，根据题意找出正确的等量关系是解题关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $