专题05 不等式与不等式组（期末4大知识点）2025-2026学年人教版数学七年级下册

七年级数学期末总复习讲义 第1课 不等式与不等式组 知识点梳理 考点01不等式的基本性质 考点02一元一次不等式及其解法 考点03一元一次不等式组及其解法 考点04一元一次不等式的应用 知识点01 不等式的基本性质 1. 两个基本事实 (1)不等式的性质的交换性 交换不等式的两边，不等号的方向改变. 如果a>b，那么b<a； (2)不等式的性质的传递性 如果a>b,b>c,那么a>c. 拓展：如果c<b，b<a,那么c<a；如果c≤b,b≤a,那么c≤a；如果c=b,b=a,那么c=a; 2. 不等式的基本性质 (1)不等式性质1 不等式的两边同加(或减)同一个数（或式子），不等号的方向不变. 不等式性质1是解不等式时移项法则的理论依据。 (2)不等式性质2 不等式的两边同乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变. (3)不等式性质3 不等式的两边同乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变. 不等式性质②、③是解不等式时化系数为1和去分母法则的理论依据。 真题汇编 一、单选题 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）若，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·吉林长春·期末）若，则下列式子中错误的是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·期末）已知，且c为有理数，则下列关系一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·云南临沧·期末）已知，下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如果，下列不等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·黑龙江七台河·期末）如果，那么______1．（填“”，“ ”，或“”）． 7．（24-25七年级下·吉林白山·期末）已知，则_____（填“”“”或“”）． 8．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）若，则________.（填“>”“<”“”或“”）． 9．（24-25七年级下·上海·期末）如果的解集为，则的取值范围是______． 10．（24-25七年级下·江西上饶·期末）若，，当时，A与B的大小关系是_________． 三、解答题 11．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知． (1)比较大小：①_____；②_____．（填“”、“”或“”）； (2)若，，，求与的大小关系． 12．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）阅读与思考 下面是小敏同学的数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． ×年×月×日    星期五    晴 我们运用代数推理，对方程与不等式进行变形和化简，可以找到解和解集．下列是我利用不等式的基本性质比较代数式大小的代数推理过程． 例（1）已知，试比较与的大小． 解：∵，，．（依据1） ∴．（依据2） 例（2）已知，，试比较与的大小． 解：∵，∴．① ∵，∴．② 由不等式①②，得． 任务： (1)小敏日记中的“依据1”是________，“依据2”是________． (2)已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比小敏日记中例（2）的推理过程，比较与的大小关系． 13．（24-25七年级下·云南丽江·期末）试比较与的大小． 14．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）果农通过网络直播宣传，使物美价廉的水果畅销全国各地粉丝小级想在直播间购买凤梨和山竹，凤梨每箱元，山竹每箱元，．为了方便快递，直播间要求一单需买两箱，且整箱购买．小级决定在直播间下一单． (1)若小级一单买了箱凤梨，则需花费______元；若他一单买了凤梨和山竹各箱，则需花费 ______元． (2)比较与的大小，并用不等式的基本性质说明理由． 15．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知：a、b、m、n四个数中，， (1)比较与的大小； (2)若a、b、m、n都是正数，利用不等式的基本性质说明： 知识点02 一元一次不等式及其解法 1.不等式的解 能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解； 2.不等式的解集 一个不等式的所有的解，组成这个不等式的解集； 3. 解一元一次不等式的核心步骤： 1 去分母；②去括号； ③移项；④合并同类项；⑤系数化为1； 2.三大易错点： 1 去分母不能漏掉没有分母的项； 2 移项要注意变号； 3 系数化为1要注意同乘除一个负数时不等号要变号； 真题汇编 一、单选题 1．（24-25七年级下·陕西安康·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）将不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·河北沧州·期末）已知关于x的不等式的解集为，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·山西临汾·期中）下面是两位同学在讨论一个不等式．根据如图对话提供的信息，他们讨论的不等式可能是（       ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·山东威海·期末）若，，则的取值范围是___________ ． 7．（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是_________． 8．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）点在第四象限，则的取值范围是_____． 9．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）关于x的不等式恰有三个非负整数解，则b的取值范围是__． 10．（24-25七年级下·黑龙江七台河·期末）若方程组的解满足，则a的取值范围是______． 三、解答题 11．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）解不等式：． 12．（24-25七年级下·吉林四平·期末）解一元一次不等式． 13．（24-25七年级下·吉林白山·期末）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 14．（24-25七年级下·全国·期末）已知关于x的不等式． (1)若是该不等式的解，求a的取值范围． (2)在（1）的条件下，且不是该不等式的解，求符合题意的整数a． 15．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）整理并用好错题本，是提高学习成绩的有效方法之一．下面是小明记录在错题本上的解不等式的过程和自我反思，请认真阅读并完成相应任务： 解答过程 自我反思 解：去分母，得…第一步 去括号，得…第二步 移项，得…第三步 合并同类项，得…第四步 系数化1，得…第五步 第一步正确，其依据是★： 第二步符合去括号法则： 第三步开始出错了！ 任务： (1)以上求解过程中，去分母这步的依据★是（   ） A．不等式的性质1    B．不等式的性质2    C．不等式的性质3 (2)第三步出错的原因是_____． (3)请你帮小明写出正确的解答过程，并在下列数轴上表示该解集： 1. 不等式组的解集知识点03 一元一次不等式组及其解法 不等式组中所有不等式解集的公共部分叫作不等式组的解集. 2. 不等式组解集的四种情形 不等式组 图例 解集 归纳 x>8 同大取大 X<-3 同小取小 -3<x<4.5 大于小的 小于大的 无解 大于大的 小于小的 3. 解一元一次不等式组的一般步骤： (1)求出不等式组中各个不等式的解集，并分别在数轴上表示出来； (2)确定各个不等式的解集的公共部分，得到不等式组的解集. 4. 不等式组的整数解 在不等式组解集范围内的整数叫作不等式组的整数解. 真题汇编 一、单选题 1．（24-25七年级下·新疆阿克苏·期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东威海·期末）若不等式组有且只有2个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的整数的和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·辽宁盘锦·月考）若点在第二象限，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D．不存在这样的 6．（24-25七年级下·山西长治·期末）不等式组的最小整数解是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）不等式组的整数解之和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（24-25七年级下·辽宁盘锦·月考）如图，是李强同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个值”到判断“结果是否”为一次运行过程，如果程序运行两次才停止，那么输入的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25七年级下·四川资阳·期末）已知关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是____________． 10．（24-25七年级下·重庆·期末）已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为____________ 11．（24-25七年级下·江苏南通·期末）若关于的不等式组，的所有整数解的和为，则的取值范围是______． 12．（24-25七年级下·云南丽江·期末）若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是______． 三、解答题 13．（24-25七年级下·新疆阿克苏·期末）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 14．（24-25七年级下·吉林长春·期末）解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来． 15．（24-25七年级下·山西长治·期末）解决下列问题： (1)下面是课堂上某同学的解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 问题：解不等式 过程如下： 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项得，．第四步 两边都除以，得．第五步 任务一：填空： ①以上求解过程中，去分母的依据是______； ②以上求解过程中，从第______步开始处出现错误； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集：______； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议； (2)解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 知识点04 一元一次不等式（组）的应用 应用一元一次不等式（组）解决问题的步骤： ①分析题意，寻找表示（不等）数量关系； ②思考探索，列出一元一次不等式（组）； ③求出解集，解不等式组； ④确定答案，根据具体要求确定答案，从而解决实际问题. 真题汇编 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·期末）某种商品的进价为元，出售时标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打（      ） A．六折 B．七折 C．八折 D．九折 2．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）在特定的实验装置和相对稳定的条件下，对玉米植株进行了连续1小时光照处理，测得植株体内有机物增加了a毫克；还进行了连续1小时黑暗处理，测得植株体内有机物减少了b毫克．在光照强度、温度等条件不变的情况下，对植株进行光照和黑暗处理共24小时，则光照处理的时间最少应超过（　　）（用含有a、b的式子表示）小时，该植株体内才能积累有机物． A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）限速通常是指对一定长度距离内的路段规定一定数值范围内的行车速度，主要目的是保证安全，提醒司机在该路段的行驶速度不得超过规定时速．如图为设立在某小区门口的限速牌，则通过该小区的车辆的速度x（单位：）的取值范围应为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·上海·期末）3月12日是我国的植树节，某校学生会组织七年级和八年级共65名同学参加植树活动，七年级学生平均每人植2棵树，八年级学生平均每人植4棵树，为了保证植树总数不少于220棵，则八年级学生参加活动的人数至少需（ ） A．50名 B．45名 C．40名 D．35名 5．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）某种商品的进价为每件元，商场按进价提高后标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可以打（ ） A．折 B．折 C．折 D．折 6．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）某次知识竞赛共有30道选择题，答对一题得10分，若答错或不答一题，则扣3分，要使总分不低于70分，则至少应答对的题数为（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 7．（24-25七年级下·广东广州·期末）铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为，长与宽的比为，则该行李箱的长的最大值为（　　） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·云南昆明·期末）一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前2天完成任务，以后几天平均每天至少完成的土方数为（   ） A．65 B．70 C．75 D．80 二、填空题 9．（24-25七年级下·吉林长春·期末）某水果商店计划购进山竹和香梨共，已知山竹和香梨的进价分别为元/和元/，售价为元/和元/，若想此次山竹和香梨全部售完的利润不低于元，则最多可购进香梨______． 10．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于21”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于21，则用得到的这个数进行下一次操作． 如果程序操作进行了一次就停止，那么输入的x的最大整数是________． 三、解答题 11．（24-25七年级下·吉林长春·期末）一次智力测验，有道选择题，评分标准为：对题给分，错题扣分，不答题不给分也不扣分，小明有道题未答，则他至少要答对几道题，总分才不会低于分？ 12．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）某学校为丰富课后服务内容，计划采购一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需510元；购买3个篮球和5个足球共需810元． (1)求每个篮球和每个足球的价格． (2)若学校决定购买篮球和足球共50个，总费用不超过5800元，那么最多可以购买多少个篮球？ 13．（24-25七年级下·吉林松原·期末）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． (1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本； (2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 14．（24-25七年级下·山西长治·期末）根据年山西中考体育新政策，体育统一测试环节分值提高为分，增加了专项运动技能测试，分值为分．学生可选择足球、篮球、排球其中项专项运动技能进行测试，各市可根据实际情况增设难度相近的选测项目为了训练，某中学决定购买一定数量的篮球和足球供学生使用．已知购买个篮球和个足球需花费元，购买个篮球和个足球需花费元． (1)购买一个篮球和一个足球各需花费多少元？ (2)如果学校购买篮球和足球的总费用不超过元，且购买篮球和足球共个，那么最多可以购买多少个篮球？ 15．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）新疆是我国面积最大的省，是我国领土不可分割的一部分．“新疆棉”尤其出名，“新疆棉”产量大，品质好，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式．某采棉大户计划用两种车型运输新收割的棉花，运送过程中均满载．已知用1辆A型车和1辆B型车可运载6吨棉花；用2辆A型车和1辆B型车可运载8吨棉花．租用1辆A型车和1辆B型车，运送成本分别为200元和300元． (1)1辆型车和1辆型车可分别运多少吨棉花？ (2)若种棉大户计划共租用型车和型车10辆，且总费用不超过2800元，求至少要租用型车多少辆？ (3)若种棉大户计划同时租用和型车，且恰好将新收割的14吨棉花运完，请写出所有的租车方案，并确定哪种租车方案最省钱． 16．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）一家游泳馆开展冬季促销活动，方案有两种： 方案 优惠方案 方案① 办会员证，每张280元，只限本人使用，凭会员证购买入场券每张20元 方案② 前30次按照每次原价30元收费，超过30次后每次按原价的六折收费 设小明计划这个冬季去游泳次（其中为正整数） (1)若时，选择方案①的总费用为___________元，选择方案②的总费用为___________元； (2)请根据的范围讨论小明选择哪种方案更优惠？ (3)方案一比方案二最多优惠___________元． 17．（24-25七年级下·山东威海·期末）甲、乙两种食品营养成分表如下（每包质量均为50g）： 甲 乙 热量 500kJ 700kJ 蛋白质 12g 15g 脂肪 6.4g 17.5g 碳水化合物 14g 21g 钠 203mg 231mg (1)若要从这两种食品中摄入4100kJ热量和93g蛋白质，应选用甲、乙种食品各多少包？ (2)若每次选用这两种食品共8包，要使每次食用的蛋白质含量不低于99g，且碳水化合物最少，应如何选用这两种食品？ 18．（24-25七年级下·吉林·期末）综合与实践 【背景】家住吉林省蛟河市的小颖想给亲朋好友寄送蛟河特产． 【素材】 素材1：她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如表1； 计费单位 收费标准 吉林省内 江浙沪地区 首重 a 续重 b （表1） 素材2：她查看到该快递公司寄出的2份电子存单如表2； 电子存单1 电子存单2 托寄物：蛟河特产 目的地：长春 计量重量：2千克 件数：1 总费用：12元 托寄物：蛟河特产 目的地：上海 计量重量：5千克 件数：1 总费用：36元 （表2） 素材3：收费说明 ①每件快递按送达地分别计算运费； ②运费计算方式：首重价格＋续重×续重运费．首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以1千克为计重单位（不足1千克按1千克计算）． 【问题解决】 (1)求a，b的值； (2)小颖给珲春（吉林省内）的朋友寄出了3.6千克的蛟河特产，她需要支付多少元快递费？ (3)小颖给杭州（江浙沪地区）的外婆寄特产花了72元快递费，求这份特产重量的取值范围． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学期末总复习讲义 第1课 不等式与不等式组 知识点梳理 考点01不等式的基本性质 考点02一元一次不等式及其解法 考点03一元一次不等式组及其解法 考点04一元一次不等式的应用 知识点01 不等式的基本性质 1. 两个基本事实 (1)不等式的性质的交换性 交换不等式的两边，不等号的方向改变. 如果a>b，那么b<a； (2)不等式的性质的传递性 如果a>b,b>c,那么a>c. 拓展：如果c<b，b<a,那么c<a；如果c≤b,b≤a,那么c≤a；如果c=b,b=a,那么c=a; 2. 不等式的基本性质 (1)不等式性质1 不等式的两边同加(或减)同一个数（或式子），不等号的方向不变. 如果a>b，那么a+m>b+m，a-m>b-m. 不等式性质1是解不等式时移项法则的理论依据。 (2)不等式性质2 不等式的两边同乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变. 如果a>b，m>0，那么am>bm， (3)不等式性质3 不等式的两边同乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变. 如果a>b，m<0，那么am<bm， 不等式性质②、③是解不等式时化系数为1和去分母法则的理论依据。 真题汇编 一、单选题 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）若，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：若，两边同时减去得，则A成立，不符合题意， 由得，则B成立，不符合题意， 若，两边同时乘以得，则C成立，不符合题意， 若，当时，，则D不一定成立，符合题意． 2．（24-25七年级下·吉林长春·期末）若，则下列式子中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴不等式两边同时减2，不等号方向不变，可得，故A正确． B、∵， ∴不等式两边同时加2，不等号方向不变，可得，故B正确． C、∵， ∴不等式两边同时乘，不等号方向改变，可得，故C正确． D、∵， ∴不等式两边同时除以，是正数，不等号方向不变，可得，与选项式子不符，故D错误． 3．（24-25七年级下·全国·期末）已知，且c为有理数，则下列关系一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式性质，根据不等式的性质，逐一进行判断即可．熟练掌握不等式的性质，是解题的关键． 【详解】解：A、，当时，，故原不等式不一定成立，不符合题意； B、，则，故，故原不等式不成立，不符合题意； C、，当时，则，故原不等式不一定成立，不符合题意； D、，则，故原不等式成立，符合题意． 故选：D． 4．（24-25七年级下·云南临沧·期末）已知，下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的基本性质，不等式两边加或减去同一个数或式子，不等号方向不变；不等式两边乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．由此逐项判断即可． 【详解】解：已知， 不等式两边同时乘以，不等号方向改变，得，故A选项错误； 不等式两边同时乘以2，不等号方向不变，得，故B选项错误； 不等式两边同时减1，不等号方向不变，得，不一定正确，例如当时，，不满足，故C选项错误； 不等式两边同时加3，不等号方向不变，得，故D选项正确； 故选：D． 5．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如果，下列不等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，注意在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向． 根据不等式的性质，逐一判断每个选项是否在的条件下成立． 【详解】解：A、两边同时加2，不等号方向不变，得，正确； B、两边同时除以2（正数），不等号方向不变，得，正确； C、两边同时乘以（负数），不等号方向改变，得，正确； D、两边同时乘以（负数），不等号方向改变，得，再两边同时加上1，得，不正确； 故选：D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·黑龙江七台河·期末）如果，那么______1．（填“”，“ ”，或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变是解答此题的关键．直接根据不等式的基本性质即可得出结论． 【详解】解：， ，即． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·吉林白山·期末）已知，则_____（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了不等式性质的应用，注意：①不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变，②不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．直接根据不等式的性质得出答案即可． 【详解】解：， ∴， ． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）若，则________.（填“>”“<”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式两边同时乘以一个相同的负数，不等号开口方向改变进行求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·上海·期末）如果的解集为，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据不等式的运算法则运算求解即可． 【详解】解：∵的解集为， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·江西上饶·期末）若，，当时，A与B的大小关系是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算的应用，不等式的性质，利用作差法求解是解此题的关键． 利用作差法求得，然后根据利用不等式的性质求解即可． 【详解】解： ∴当时， ∴ ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知． (1)比较大小：①_____；②_____．（填“”、“”或“”）； (2)若，，，求与的大小关系． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）运用不等式的性质进行计算求解； （2）运用不等式的性质和作差法进行比较、求解． 此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， 即， 故答案为：，； （2）解：由（1）得，， ∴， ∵，，， ∴ ， ∴． 12．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）阅读与思考 下面是小敏同学的数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． ×年×月×日    星期五    晴 我们运用代数推理，对方程与不等式进行变形和化简，可以找到解和解集．下列是我利用不等式的基本性质比较代数式大小的代数推理过程． 例（1）已知，试比较与的大小． 解：∵，，．（依据1） ∴．（依据2） 例（2）已知，，试比较与的大小． 解：∵，∴．① ∵，∴．② 由不等式①②，得． 任务： (1)小敏日记中的“依据1”是________，“依据2”是________． (2)已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比小敏日记中例（2）的推理过程，比较与的大小关系． 【答案】(1)不等式的基本性质3（或者不等式的两边都乘以或都除以同一个负数，不等号的方向改变）；不等式的基本性质1（或者不等式的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变）． (2) 【分析】本题考查了不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）联系上下文，结合不等式的性质进行分析，即可作答． （2）模仿题干过程，先由，，得，再结合，，则，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，依据1：不等式的基本性质3（或者不等式的两边都乘以或都除以同一个负数，不等号的方向改变）． 依据2：不等式的基本性质1（或者不等式的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变）． （2）解：依题意，∵，， ∴①， 又∵，， ∴②， 由①②可得： 13．（24-25七年级下·云南丽江·期末）试比较与的大小． 【答案】 【分析】利用作差法，结合非负性的应用解答即可． 本题考查了多项式的大小比较，实数的非负性的应用，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， ， ． 14．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）果农通过网络直播宣传，使物美价廉的水果畅销全国各地粉丝小级想在直播间购买凤梨和山竹，凤梨每箱元，山竹每箱元，．为了方便快递，直播间要求一单需买两箱，且整箱购买．小级决定在直播间下一单． (1)若小级一单买了箱凤梨，则需花费______元；若他一单买了凤梨和山竹各箱，则需花费 ______元． (2)比较与的大小，并用不等式的基本性质说明理由． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式，不等式的性质． （1）根据题意列代数式即可； （2）利用不等式的性质即可求得答案． 【详解】（1）由题意得元，元， 故答案为：，； （2），理由如下： ， ， ， ． 15．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知：a、b、m、n四个数中，， (1)比较与的大小； (2)若a、b、m、n都是正数，利用不等式的基本性质说明： 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）利用不等式的性质即可求得答案； （2）利用不等式的性质易得，，然后利用不等式的传递性即可证得结论． 【详解】（1）解：解：， 两边同时乘以得； （2）解：，m是正数， ， ，b是正数， ， 知识点02 一元一次不等式及其解法 1.不等式的解 能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解； 2.不等式的解集 一个不等式的所有的解，组成这个不等式的解集； 3. 解一元一次不等式的核心步骤： 1 去分母；②去括号； ③移项；④合并同类项；⑤系数化为1； 2.三大易错点： 1 去分母不能漏掉没有分母的项； 2 移项要注意变号； 3 系数化为1要注意同乘除一个负数时不等号要变号； 真题汇编 一、单选题 1．（24-25七年级下·陕西安康·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式，移项，合并，系数化为1，解不等式即可． 【详解】解：， ， 即， 解得； 故选D． 2．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式，将不等式的解集表示在数轴上，先解一元一次不等式，再将解集表示在数轴上即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：解不等式可得， 将解集表示在数轴上如图所示： 故选：A． 3．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）将不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．求出不等式的解集，进而将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解得：， 把解集在数轴上表示如下： 故选：A． 4．（24-25七年级下·河北沧州·期末）已知关于x的不等式的解集为，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤． 利用解一元一次不等式的步骤，结合得出，得出，，，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：根据题意得， ∵不等式的解集为， ∴，， ∴，，，， ∴，符合题意， 故选：C． 5．（24-25七年级下·山西临汾·期中）下面是两位同学在讨论一个不等式．根据如图对话提供的信息，他们讨论的不等式可能是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解不等式，用数轴表示不等式，掌握解不等式，用数轴表示不等式是解题的关键，根据两位同学的对话进行判断即可得到答案． 【详解】解：由左边同学的对话可得：讨论的不等式的未知数的系数是负数，故A、B选项不符合题意； 由右边同学的对话可得：讨论的不等式的解集为：， 其中C选项中，，解得； D 选项中，，解得； 综上所述，不等式符合他们的讨论， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25七年级下·山东威海·期末）若，，则的取值范围是___________ ． 【答案】 【分析】本题考查代数式的变形与一元一次不等式的求解，解题思路是先将用含的式子表示，再结合的取值范围列不等式求解的范围． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴，解得． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的求解．求出方程的解，令方程的解大于零，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 由题可知，解得， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）点在第四象限，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，点的坐标，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标为负数，列出不等式求解即可． 【详解】解：点在第四象限， ， 解得． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）关于x的不等式恰有三个非负整数解，则b的取值范围是__． 【答案】 【分析】解出不等式得，根据不等式有三个非负整数解知，求解可得． 本题主要考查一元一次不等式的整数解，根据不等式的解得到范围是解题的关键． 【详解】解：解不等式得：， 由题意可得：， ， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·黑龙江七台河·期末）若方程组的解满足，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程和一元一次不等式的综合问题．解不等式要依据不等式的基本性质进行求解；本题可将两式相加，得到即关于的式子，再根据可求出的取值范围． 【详解】解：两式相加得： 故， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式．按照解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 12．（24-25七年级下·吉林四平·期末）解一元一次不等式． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，掌握一元一次不等式的解法和步骤是解题关键．依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 解得． 13．（24-25七年级下·吉林白山·期末）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】；数轴见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解： ， 解得 ∴原不等式的解集为， 数轴表示为： 14．（24-25七年级下·全国·期末）已知关于x的不等式． (1)若是该不等式的解，求a的取值范围． (2)在（1）的条件下，且不是该不等式的解，求符合题意的整数a． 【答案】(1) (2)整数a的值为：3，4 【分析】本题主要考查了求不等式的解集，理解题意，是解题的关键． （1）根据是该不等式的解集，得出，解关于a的不等式，即可得出答案； （2）根据不是该不等式的解，得出，求出，再根据，得出a的整数值即可． 【详解】（1）解：把代入，得： ， 解得：， ∴a的取值范围是． （2）解：当时，， 即， 解得：， ∵由（1）得， ∴， ∴在（1）的条件下，满足不是该不等式的解的整数a的值为：3，4． 15．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）整理并用好错题本，是提高学习成绩的有效方法之一．下面是小明记录在错题本上的解不等式的过程和自我反思，请认真阅读并完成相应任务： 解答过程 自我反思 解：去分母，得…第一步 去括号，得…第二步 移项，得…第三步 合并同类项，得…第四步 系数化1，得…第五步 第一步正确，其依据是★： 第二步符合去括号法则： 第三步开始出错了！ 任务： (1)以上求解过程中，去分母这步的依据★是（   ） A．不等式的性质1    B．不等式的性质2    C．不等式的性质3 (2)第三步出错的原因是_____． (3)请你帮小明写出正确的解答过程，并在下列数轴上表示该解集： 【答案】(1)B (2)移项时，移动的项没有变号 (3)，数轴表示见解析 【分析】本题考查了解不等式以及不等式的性质、运用数轴表示不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据不等式的基本性质进行作答即可； （2）结合上下式子，得出第三步出错的原因是移项时，移动的项没有变号； （3）先去分母再去括号，然后移项合并同类项，系数化1，即可作答． 【详解】（1）解：去分母的依据是不等式的性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； 故选：B． （2）解：移项时，移动的项没有变号； （3）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化1，得． 该不等式解集在数轴上表示为： ． 1. 不等式组的解集知识点03 一元一次不等式组及其解法 不等式组中所有不等式解集的公共部分叫作不等式组的解集. 2. 不等式组解集的四种情形 不等式组 图例 解集 归纳 x>8 同大取大 X<-3 同小取小 -3<x<4.5 大于小的 小于大的 无解 大于大的 小于小的 3. 解一元一次不等式组的一般步骤： (1)求出不等式组中各个不等式的解集，并分别在数轴上表示出来； (2)确定各个不等式的解集的公共部分，得到不等式组的解集. 4. 不等式组的整数解 在不等式组解集范围内的整数叫作不等式组的整数解. 真题汇编 一、单选题 1．（24-25七年级下·新疆阿克苏·期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：不等式组的解集在数轴上表示为： ． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解不等式的步骤，能求出不等式组中各不等式的公共解集． 先解出每个不等式，再求出不等式组的解集即可． 【解答】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 故选：D． 3．（24-25七年级下·山东威海·期末）若不等式组有且只有2个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的整数的和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查不等式组的整数解与一元一次方程的解，分别求解不等式组的解集、方程的解，结合条件确定的取值范围，进而得到符合条件的整数并求和． 【详解】解：先解不等式组，解不等式①，得；解不等式②，得， 所以不等式组的解集为． ∵不等式组有且只有2个整数解，结合，可知整数解为2、1， ∴，解得． 再解关于的方程，得， ∵方程的解为非正数，即， ∴，解得． 结合与，得，符合条件的整数为2、3， ∵它们的和为， ∴符合条件的整数的和是5． 故选：C． 4．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求不等式组的解集，解题关键是分别求解两个不等式． 分别求解两个不等式，然后求解集的公共部分． 【详解】解：∵不等式组为， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， 故选：D． 5．（24-25七年级下·辽宁盘锦·月考）若点在第二象限，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D．不存在这样的 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系象限坐标特征，解不等式组，根据第二象限点的坐标特征，横坐标小于，纵坐标大于，列出不等式组，然后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得：， 故选：． 6．（24-25七年级下·山西长治·期末）不等式组的最小整数解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照解一元一次不等式组的一般步骤，求出各个不等式的解集，然后按照判断不等式组解集的口诀求出不等式组的解集，从而求出其最小整数解即可． 【详解】解：， 由得，解得， 由得，解得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的最小整数解为． 7．（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）不等式组的整数解之和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，再确定不等式组的公共解集，找出解集内的所有整数，计算整数解的和即可得到结果． 【详解】解：， 解不等式得：； 解不等式得：； 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为， 整数解之和为． 8．（24-25七年级下·辽宁盘锦·月考）如图，是李强同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个值”到判断“结果是否”为一次运行过程，如果程序运行两次才停止，那么输入的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据程序运行两次就停止，即可得出关于的一元一次不等式组，然后求出的取值范围即可，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：依题意，得：， 解得：， 故选：． 二、填空题 9．（24-25七年级下·四川资阳·期末）已知关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式的解的情况确定字母的取值范围．先解不等式组，得到解集，由有个整数解可知整数解为，，，，，从而确定需满足． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得， 故不等式组的解集为． 因有个整数解，即可取，，，，， 故需满足，以确保包含但不包含． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·重庆·期末）已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为____________ 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式，两个方程相减得到，再根据列出关于的不等式，可解得的范围，得到符合条件的所有整数m的值，最后求和即可． 【详解】解： 得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴符合条件的所有整数m的取值为，，，，，，， ∴符合条件的所有整数m的取值之和为， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·江苏南通·期末）若关于的不等式组，的所有整数解的和为，则的取值范围是______． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于的不等式组是解此题的关键. 先求出不等式组的解集，再根据已知得出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 关于的不等式组的所有整数解的和为， 不等式组的解集为， 当时，这两个整数解一定是和，此时， ， ， 当时，有， ， ， 的取值范围是或． 故答案为：或． 12．（24-25七年级下·云南丽江·期末）若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解答的关键是明确“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则． 用含a的式子表示出不等式的解，结合条件进行求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集是， ． 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25七年级下·新疆阿克苏·期末）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】   数轴上表示解集见解析 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 解集在数轴上表示如图所示： 14．（24-25七年级下·吉林长春·期末）解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】求出两个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 将不等式解集表示在数轴上如图： 不等式组的解集为：． 15．（24-25七年级下·山西长治·期末）解决下列问题： (1)下面是课堂上某同学的解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 问题：解不等式 过程如下： 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项得，．第四步 两边都除以，得．第五步 任务一：填空： ①以上求解过程中，去分母的依据是______； ②以上求解过程中，从第______步开始处出现错误； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集：______； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议； (2)解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)任务一：①不等式的性质2∶不等式的两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；②一；任务二：；任务三：在解一元一次不等式时，不等式两边乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变（答案不唯一）； (2)；数轴见解析． 【分析】（1）任务一根据不等式的性质即可得出答案； 根据题干中的解题步骤进行判断即可； 任务二：将错误之处改正并解不等式即可； 任务三：根据解不等式需要注意的细节写出一条即可； （2）解各不等式得出对应的解集后再求得它们的公共部分，然后在数轴上表示出其解集即可． 【详解】（1）解：任务一由解题过程可得去分母的依据是不等式的性质2：不等式的两边乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变， 故答案为：不等式的性质2：不等式的两边乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变； 由解题步骤可得从第一步开始出错； 任务二：原不等式去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 两边都除以得； 任务三：在解一元一次不等式时，不等式两边乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变； （2）解不等式得， 解不等式得， 故原不等式组的解集为， 在数轴上表示其解集如下图所示： ． 知识点04 一元一次不等式（组）的应用 应用一元一次不等式（组）解决问题的步骤： ①分析题意，寻找表示（不等）数量关系； ②思考探索，列出一元一次不等式（组）； ③求出解集，解不等式组； ④确定答案，根据具体要求确定答案，从而解决实际问题. 真题汇编 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·期末）某种商品的进价为元，出售时标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打（      ） A．六折 B．七折 C．八折 D．九折 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 利润率不低于，即利润要大于或等于元，设打折，则售价是元．根据利润率不低于就可以列出不等式，求出的范围，即可得解． 【详解】解：设至多打折， 则， 解得， 因为要求折扣力度最大， 所以售价应最低，应取最小值，故至多可打七折， 故选：B． 2．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）在特定的实验装置和相对稳定的条件下，对玉米植株进行了连续1小时光照处理，测得植株体内有机物增加了a毫克；还进行了连续1小时黑暗处理，测得植株体内有机物减少了b毫克．在光照强度、温度等条件不变的情况下，对植株进行光照和黑暗处理共24小时，则光照处理的时间最少应超过（　　）（用含有a、b的式子表示）小时，该植株体内才能积累有机物． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意正确列一元一次不等式是解题的关键；设光照处理的时间x小时，则黑暗处理的时间为小时，根据有机物的增加量大于有机物减少量列不等式求解即可． 【详解】解：设光照处理的时间x小时，则黑暗处理的时间为小时， 由题意，， 解得：， 光照处理的时间最少应超过小时，该植株体内才能积累有机物， 故选：． 3．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）限速通常是指对一定长度距离内的路段规定一定数值范围内的行车速度，主要目的是保证安全，提醒司机在该路段的行驶速度不得超过规定时速．如图为设立在某小区门口的限速牌，则通过该小区的车辆的速度x（单位：）的取值范围应为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，从图中获取相关信息是解题的关键．根据图可得，进而可求解． 【详解】解：由图得：x的取值范围是． 故选：D． 4．（24-25七年级下·上海·期末）3月12日是我国的植树节，某校学生会组织七年级和八年级共65名同学参加植树活动，七年级学生平均每人植2棵树，八年级学生平均每人植4棵树，为了保证植树总数不少于220棵，则八年级学生参加活动的人数至少需（ ） A．50名 B．45名 C．40名 D．35名 【答案】B 【分析】本题考查用一元一次不等式解决实际问题，解题关键是根据题意列出不等式．设需要x名八年级学生参加活动，则参加活动的七年级学生为名，由“保证植树总数不少于220棵”列出不等式求解即可． 【详解】解：设需要x名八年级学生参加活动，则参加活动的七年级学生为名， 由题意得， ， 解得，， ∴八年级学生参加活动的人数至少需45名． 故选：B． 5．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）某种商品的进价为每件元，商场按进价提高后标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可以打（ ） A．折 B．折 C．折 D．折 【答案】A 【分析】此题考查一元一次不等式的应用，能根据题意列出不等式是解题的关键． 设打折，根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】设打折，由题得，， 解得， 至多可以打8折． 故选：A． 6．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）某次知识竞赛共有30道选择题，答对一题得10分，若答错或不答一题，则扣3分，要使总分不低于70分，则至少应答对的题数为（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式解决实际问题，解题的关键是假设未知数，找出不等关系，列出不等式求解． 设答对道题，则答错或不答的题数为道，根据题意，总得分不低于70分，列出不等式并求解，确定的最小整数值． 【详解】解：设答对道题，则答错或不答的题数为道，根据题意得， 总得分为：， 解不等式得， 即 因为整数，故最小为13， 因此至少需答对13道题， 故选：C． 7．（24-25七年级下·广东广州·期末）铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为，长与宽的比为，则该行李箱的长的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，根据题意，行李箱的高为，长与宽的比为，设长和宽分别为和，根据长、宽、高之和不超过，列出不等式求解即可。 【详解】解：设行李箱的长和宽分别为和， 根据题意，长、宽、高之和不超过160cm，即：， 解得：， 因此，长的最大值为： 故该行李箱的长的最大值为， 故选：C． 8．（24-25七年级下·云南昆明·期末）一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前2天完成任务，以后几天平均每天至少完成的土方数为（   ） A．65 B．70 C．75 D．80 【答案】D 【分析】设以后几天平均每天至少完成的土方数为x方，根据题意，得，解不等式即可． 本题考查了不等式的应用。熟练掌握列不等式，解不等式是解题的关键． 【详解】解：设以后几天平均每天至少完成的土方数为x方， 根据题意，得， 解得． 故选：D． 二、填空题 9．（24-25七年级下·吉林长春·期末）某水果商店计划购进山竹和香梨共，已知山竹和香梨的进价分别为元/和元/，售价为元/和元/，若想此次山竹和香梨全部售完的利润不低于元，则最多可购进香梨______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设购进香梨，则购进山竹，利用总利润每千克香梨的销售利润购进香梨的数量每千克山竹的销售利润购进山竹的数量，结合总利润不低于元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】解：设购进香梨，则购进山竹， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为， 最多可购进香梨． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于21”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于21，则用得到的这个数进行下一次操作． 如果程序操作进行了一次就停止，那么输入的x的最大整数是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 根据程序操作进行了一次就停止，可列出关于x的一元一次不等式，求出最大整数解即可解答． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ∴最大整数解为， 即输入x的最大整数是． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级下·吉林长春·期末）一次智力测验，有道选择题，评分标准为：对题给分，错题扣分，不答题不给分也不扣分，小明有道题未答，则他至少要答对几道题，总分才不会低于分？ 【答案】小明至少答对道题，总分才不会低于分 【分析】设小明答对道题，则答错道题，利用总分答对题目数答错题目数，结合总分不低于分，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】解：设小明答对道题，则答错道题， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为． 答：小明至少答对道题，总分才不会低于分． 12．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）某学校为丰富课后服务内容，计划采购一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需510元；购买3个篮球和5个足球共需810元． (1)求每个篮球和每个足球的价格． (2)若学校决定购买篮球和足球共50个，总费用不超过5800元，那么最多可以购买多少个篮球？ 【答案】(1)篮球每个120元，足球每个90元 (2)最多可以购买43个篮球 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组和一元一次不等式解决实际问题，解题的关键是找准等量关系和不等关系，列出方程组和不等式． （1）设篮球每个x元，足球每个y元，根据两种购买方式列出方程组求解即可； （2）设购买篮球m个，根据购买金额列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设篮球每个x元，足球每个y元， 根据题意，得： 解得 答：篮球每个120元，足球每个90元； （2）解：设购买篮球m个，则购买足球个， 根据题意，得： 解得：， ∵ m为整数， ∴ m的最大值为43， 答：最多可以购买43个篮球． 13．（24-25七年级下·吉林松原·期末）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． (1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本； (2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 【答案】(1)书架上数学书有60本，语文书有30本 (2)90 【分析】（1）利用一元一次方程进行求解； （2）利用一元一次不等式进行求解． 【详解】（1）解：设数学书有本，则语文书有本，根据题意得， ， 解得， （本）， 答：书架上数学书有60本，语文书有30本； （2）解：数学书还可以摆本，根据题意得， ， 解得， 答：数学书最多还可以摆90本． 14．（24-25七年级下·山西长治·期末）根据年山西中考体育新政策，体育统一测试环节分值提高为分，增加了专项运动技能测试，分值为分．学生可选择足球、篮球、排球其中项专项运动技能进行测试，各市可根据实际情况增设难度相近的选测项目为了训练，某中学决定购买一定数量的篮球和足球供学生使用．已知购买个篮球和个足球需花费元，购买个篮球和个足球需花费元． (1)购买一个篮球和一个足球各需花费多少元？ (2)如果学校购买篮球和足球的总费用不超过元，且购买篮球和足球共个，那么最多可以购买多少个篮球？ 【答案】(1)购买一个篮球需花费元，购买一个足球需花费元； (2)最多可以购买个篮球． 【分析】设购买一个篮球需花费元，购买一个足球需花费元，根据购买个篮球和个足球需花费元，购买个篮球和个足球需花费元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买个篮球，则购买足球个，根据学校购买篮球和足球的总费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设购买一个篮球需花费元，购买一个足球需花费元， 依题意得， 解得， 答：购买一个篮球需花费元，购买一个足球需花费元． （2）解：设购买个篮球，则购买足球个， 依题意得， 解得：， 答：最多可以购买个篮球． 15．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）新疆是我国面积最大的省，是我国领土不可分割的一部分．“新疆棉”尤其出名，“新疆棉”产量大，品质好，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式．某采棉大户计划用两种车型运输新收割的棉花，运送过程中均满载．已知用1辆A型车和1辆B型车可运载6吨棉花；用2辆A型车和1辆B型车可运载8吨棉花．租用1辆A型车和1辆B型车，运送成本分别为200元和300元． (1)1辆型车和1辆型车可分别运多少吨棉花？ (2)若种棉大户计划共租用型车和型车10辆，且总费用不超过2800元，求至少要租用型车多少辆？ (3)若种棉大户计划同时租用和型车，且恰好将新收割的14吨棉花运完，请写出所有的租车方案，并确定哪种租车方案最省钱． 【答案】(1)1辆A型车可运2吨棉花，1辆B型车可运4吨棉花 (2)至少要租用型车2辆 (3)共有3种租车方案：①租用A型车1辆，B型车3辆；②租用A型车3辆，B型车2辆；③租用A型车5辆，B型车1辆．方案①最省钱 【分析】本题考查二元一次方程组解决实际问题，一元一次不等式解决实际问题，根据数量关系列出方程或不等式是解题的关键． （1）设1辆A型车可运x吨棉花，1辆B型车可运y吨棉花．根据“用1辆A型车和1辆B型车可运载6吨棉花；用2辆A型车和1辆B型车可运载8吨棉花”即可列出方程组，求解即可； （2）设租用A型车a辆，根据“总费用不超过2800元”列出不等式，求解即可； （3）设租用A型车m辆，B型车n辆．根据“恰好将新收割的14吨棉花运完”列出二元一次方程，求出整数解即可得到租车方案，再求出各种方案的费用，比较即可解答． 【详解】（1）解：设1辆A型车可运x吨棉花，1辆B型车可运y吨棉花．根据题意，得 ，解得， 答：1辆A型车可运2吨棉花，1辆B型车可运4吨棉花． （2）解：设租用A型车a辆，根据题意，得 ， 解得， 答：至少要租用型车2辆． （3）解：设租用A型车m辆，B型车n辆．根据题意，得 ， ∵m，n为正整数， ∴或或， ∴共有3种租车方案： ①租用A型车1辆，B型车3辆， ②租用A型车3辆，B型车2辆， ③租用A型车5辆，B型车1辆． 它们的费用分别为： ①（元）， ②（元）， ③（元）． ∵， ∴方案①租用A型车1辆，B型车3辆最省钱． 16．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）一家游泳馆开展冬季促销活动，方案有两种： 方案 优惠方案 方案① 办会员证，每张280元，只限本人使用，凭会员证购买入场券每张20元 方案② 前30次按照每次原价30元收费，超过30次后每次按原价的六折收费 设小明计划这个冬季去游泳次（其中为正整数） (1)若时，选择方案①的总费用为___________元，选择方案②的总费用为___________元； (2)请根据的范围讨论小明选择哪种方案更优惠？ (3)方案一比方案二最多优惠___________元． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)20 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、列代数式，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）依据题意，方案①：会员证280元每次20元，可得，总费用为元；方案②：根据题意可得总费用为元，进而得解； （2）依据题意，分时、时，和时，分别计算可以得解； （3）依据题意，分、和时，分别分析计算可以得解． 【详解】（1）解：方案①：会员证280元每次20元， ∴x为次数，总费用为元； 方案②：前30次费用元超过30次部分（次），每次元， ∴总费用为元； 故答案为：；； （2）解：①当时， 方案①费用：； 方案②费用：， 令， ∴． 当时，，方案②更优惠； 当时，，两种方案费用相同； 当时，，方案①更优惠； ②当时，方案①费用：；方案②费用：； 令， ∴． 当时，，方案①更优惠； 当时，，两种方案费用相同； 当时，，方案②更优惠； （3）解：方案一比方案二最多优惠的金额优惠额方案②费用方案①费用，需找优惠额的最大值： 当时，方案②更便宜，优惠额为负（无优惠）； 当时，优惠额（随x增大而增大）， 时，优惠额元； 当时，优惠额（随x增大而减小），最大值小于20元． 综上，方案一比方案二最多优惠20元． 故答案为：20． 17．（24-25七年级下·山东威海·期末）甲、乙两种食品营养成分表如下（每包质量均为50g）： 甲 乙 热量 500kJ 700kJ 蛋白质 12g 15g 脂肪 6.4g 17.5g 碳水化合物 14g 21g 钠 203mg 231mg (1)若要从这两种食品中摄入4100kJ热量和93g蛋白质，应选用甲、乙种食品各多少包？ (2)若每次选用这两种食品共8包，要使每次食用的蛋白质含量不低于99g，且碳水化合物最少，应如何选用这两种食品？ 【答案】(1)应选用甲种食品4包，乙种食品3包 (2)当选用甲种食品7包，乙种食品1包时，摄入的碳水化合物最少 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，准确列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设应选用甲种食品x包，乙种食品y包，根据要从这两种食品中摄入4100kJ热量和93g蛋白质，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出结论； （2）设选用甲种食品m包，则选用乙种食品包，根据要使每次食用的蛋白质含量不低于99g，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，由每包甲种食品包含的碳水化合物较少，可得出当选用甲种食品越多时，摄入的碳水化合物越少，进而可得出摄入的碳水化合物最少的选用方案． 【详解】（1）解：设应选用甲种食品x包，乙种食品y包， 根据题意得：， 解得：． 答：应选用甲种食品4包，乙种食品3包； （2）设选用甲种食品m包，则选用乙种食品包， 根据题意得：， 解得：， ∵， ∴每包甲种食品包含的碳水化合物较少， ∴当选用甲种食品越多时，摄入的碳水化合物越少， ∴当时，摄入的碳水化合物最少，此时（包）． 答：当选用甲种食品7包，乙种食品1包时，摄入的碳水化合物最少． 18．（24-25七年级下·吉林·期末）综合与实践 【背景】家住吉林省蛟河市的小颖想给亲朋好友寄送蛟河特产． 【素材】 素材1：她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如表1； 计费单位 收费标准 吉林省内 江浙沪地区 首重 a 续重 b （表1） 素材2：她查看到该快递公司寄出的2份电子存单如表2； 电子存单1 电子存单2 托寄物：蛟河特产 目的地：长春 计量重量：2千克 件数：1 总费用：12元 托寄物：蛟河特产 目的地：上海 计量重量：5千克 件数：1 总费用：36元 （表2） 素材3：收费说明 ①每件快递按送达地分别计算运费； ②运费计算方式：首重价格＋续重×续重运费．首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以1千克为计重单位（不足1千克按1千克计算）． 【问题解决】 (1)求a，b的值； (2)小颖给珲春（吉林省内）的朋友寄出了3.6千克的蛟河特产，她需要支付多少元快递费？ (3)小颖给杭州（江浙沪地区）的外婆寄特产花了72元快递费，求这份特产重量的取值范围． 【答案】(1) (2)16元 (3)大于10千克且小于等于11千克 【分析】本题主要考查了二元一次方程组以及一元一次方程的应用． （1）根据题意列出关于a，b的二元一次方程组，进行求解即可． （2）根据吉林省内收费标准计算即可． （3）设这份特产按千克计费，根据江浙沪地区收费标准列出关于x的一元一次方程，解方程，再结合不足1千克按1千克计算即可得出这份特产重量的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可知： 解得． （2）∵不足1千克按1千克计算，故千克按4千克计算， 即（元）． 故她需要支付快递费16元． （3）解：设这份特产按千克计费， 则 解得． 所以这份特产的重量大于10千克，小于等于11千克． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $