精品解析：广东省深圳市外国语学校2025-2026学年下学期八年级期中考试数学试卷

广东省深圳市外国语学校2025-2026学年下学期八年级期中考试数学试卷 （试卷满分：100分 考试时长：90分钟） 一、选择题：本题共8小题，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个多项式，能因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平方差公式及完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：观察四个选项，只有选项D能分解，且． 2. 风力发电机可以在风力作用下发电，如图，该叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则的值不可能的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查旋转对称图形的性质，确定旋转对称的角度以及理解旋转对称性．通过计算叶片之间的旋转角度来判断图案旋转后能否与原图案重合． 【详解】解：确定旋转对称的角度，图案由三个相同的叶片组成，将平均分成三份，每份对应的中心角为，，旋转、、都能使图案和原图案重合． ， ， ， 不是的整数倍，因此旋转后，图案不会和原图案重合． 故选． 3. 如图，在四边形中，，添加下列条件后，不能判断四边形是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理判定即可． 【详解】解：选项A，两组对边分别平行，四边形是平行四边形，不符合题意； 选项B，一组对边平行且相等，四边形是平行四边形，不符合题意； 选项C,当，时，可以判定四边形是平行四边形，不能判定四边形是平行四边形，符合题意； 选项D，∵ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形，不符合题意． 4. 下列说法错误的是( )． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质进行判断． 【详解】解：A、若，则，原变形正确，故此选项不符合题意； B、若，则，原变形正确，故此选项不符合题意； C、若，则，这里必须满足，原变形错误，故此选项符合题意； D、若，则，原变形正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的性质．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变． 5. 如图，这是一款手推车的平面示意图，其中，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线的性质求出的度数，由邻补角互补求出的度数，最后根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 6. 如图，中，，．、的中垂线、分别交、、于D、E、F、H．若，则的长度是（　　） A. 3 B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，根据线段垂直平分线的性质可知，，故可得出，即，由三角形外角的性质求出的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图所示，连接，， 中，，， ． 是的垂直平分线， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ∴， ∵， ∴， ，即． 在中， ，， ， ∴． 7. 如图，某市三个城镇中心，，恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆（图示中的实线），以城镇中心为出发点设计了三种连接方案，记所需光缆的长度分别为，对于，它们之间的关系正确的是．（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意设等边三角形的边长为，分别计算三种方案的各线段的和，进而比较大小． 【详解】解：设等边三角形的边长为， 如图（1），； 如图（2），∵为的中点，为等边三角形， ∴， ∴， ∴； 如图（3），∵ 为三边的垂直平分线的交点， ∴，， ∴，， 设， ∴中，， 解得， ∴， 则， ∵， ∴ ． 8. 如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点的坐标为，点在第一象限内，将沿到的方向平移个单位至的位置，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作轴，由，可知，可得，利用勾股定理可以求出，从而可知图形向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，根据平移的方向和距离确定点的坐标． 【详解】解：如下图所示，过点作轴， ，， ， ， ， ， 向右平移个单位长度，向上平移个单位长度到达的位置， 点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度到达点的位置， 点的坐标为， 点的坐标为 二、填空题：本题共5小题，共15分． 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴实数x的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 10. 关于的方程的解为2，则的值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】将方程的解代入原方程即可求解的值． 【详解】解∶是方程的解， ， 解得． 11. 如图，是一张长方形纸片，且，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在上（如图中的点），折痕交于点G，那么__________． 【答案】15度##15° 【解析】 【分析】根据三角函数即可求得的度数，进而根据，求得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：15°． 【点睛】本题主要考查了图形的折叠变换，全等三角形的性质，正确求得是解题的关键． 12. 如图，木匠师傅在设计窗格时，先做出平行四边形木框，固定边在窗棱上，再连接各边中点E、F、G、H构造出四边形窗花．请问，在向左推动木框的过程中（各点始终在同一平面内），四边形的面积___________（填“先变大后变小”或“始终不变”或“先变小后变大”）． 【答案】先变大后变小 【解析】 【分析】连接，证明四边形的面积是平行四边形的面积的一半，再根据平行四边形的面积的变化情况：先变大后变小，而得出四边形的面积也是先变大后变小． 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵分别是的中点， ∴, 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴, 在变化过程中，不变，边上的高由短变长再变短， ∴平行四边形的面积先变大再变小， ∴平行四边形的面积先变大再变小． 13. 如图，中，，以为斜边向内部作等腰直角，过直角顶点作于于，则线段的长度为___________．． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过作交的延长线于，交于，连接，证明，再进一步利用等腰三角形的性质与勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过作交的延长线于，交于，连接， ∵等腰直角， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 14. 计算 （1）解不等式组： （2）因式分解： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 【小问2详解】 解：原式 四、解答题：本题共6小题，共53分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 小明准备完成如图所示的这样一道填空题，其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为． （1）求被墨水污染的部分； （2）小明认为当时，原分式的值为1，你同意小明的说法吗？为什么？ 【答案】（1） （2） 不同意，理由如下： 时，除数，原式没意义， ∴当时，原式的值不为1． 【解析】 【分析】（1）根据除数=被除数÷商列式求解即可； （2）根据除数不能等于0解答即可． 【小问1详解】 解：∵ ． ∴被墨水污染的部分为． 【小问2详解】 解：略． 16. 如图，在中，分别是的中点，延长到点，使．连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵点E，F分别为的中点， ． 又， ． 又， ∴四边形是平行四边形． （2）2 【解析】 【分析】（1）证明是的中位线，得出，，由得，可证明四边形是平行四边形； （2）应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，求得长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中， 为的中点，， ． 又∵四边形是平行四边形， ． 17. 如图，在直角坐标系内，已知点，点． （1）点关于轴对称的点的坐标是___________；点关于原点对称的点的坐标是___________． （2）如图1，线段绕着点逆时针旋转一定的角度得到线段，若的对应点为的对应点为，请在图1中用无刻度直尺作出旋转中心（不写作法，保留作图痕迹）． （3）如图2，在公路的同侧，有两个居民小区，现需要在公路边建一个长度为米绿化长廊，要使到小区的距离与到小区的距离和最短，请在图2中用无刻度直尺作出绿化长廊的位置（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1） （2） 解：旋转中心如图所示： （3） 解：绿化长廊如图所示： 【解析】 【分析】（1）根据轴对称和原点对称规则即可写出点和点坐标． （2）分别连接，后，作它们的垂直平分线，交点即为旋转中心． （3）先将点向右平移两个单位得，再作出关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，根据平行四边形的性质可得，，根据轴对称的性质可得，此时，即使到小区的距离与到小区的距离和最短． 【小问1详解】 解：∵点，点， ∴点关于轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，点关于原点对称的点的横纵坐标均为相反数， 即 ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 综合与实践 主题 2026年深圳APEC峰会科技设备购买方案 信息1 为保障2026年深圳APEC峰会智能会务服务，需采购AI翻译终端和智能签到终端．已知AI翻译终端单价是智能签到终端的2倍，用1200元购买智能签到终端的数量比用1600元购买AI翻译终端的数量多10台． 信息2 某会务保障组计划花费2440元采购这两款终端，两款终端的采购数量共40台． 信息3 采购完成后，设备供应商赠送n张（且n为正整数）兑换券，每张兑换券可换取AI翻译终端1台或智能签到终端2台，换取后两款终端的总数量将达到相等，且换取的设备总费用不超过1000元． （1）探求设备单价：请运用适当的方法，求出AI翻译终端与智能签到终端的单价． （2）计算采购数量：购买AI翻译终端___________台，购买智能签到终端___________台．（直接填写结果） （3）确定换取方案：结合信息3，运用数学知识，确定符合条件的一种换取方案． 【答案】（1）智能签到终端单价为40元，AI翻译终端单价为80元 （2）购买AI翻译终端21台，购买智能签到终端19台 （3）张兑换券中4张换取AI翻译终端、3张换取智能签到终端 【解析】 【分析】（1）根据购买智能签到终端的数量与购买AI翻译终端的数量关系，设智能签到终端的单价为x元，列出方程：，解方程，并验证结果是否符合题意，最终得到结果； （2）根据两款终端的采购数量与花费总额，设购买AI翻译终端x台，列出方程：，解方程，得到结果； （3）设张兑换券中张用于换取AI翻译终端，则张用于换取智能签到终端，列出方程．再结合，得到的取值范围，并验证的取值，得到最后结果． 【小问1详解】 解：设智能签到终端的单价为x元，则AI翻译终端的单价为2x元． 由题意得： 解得，， 经检验：当时，分母， 是原方程的解． ∴智能签到终端单价为40元，AI翻译终端单价为80元． 【小问2详解】 解：设购买AI翻译终端x台，则购买智能签到终端台； 由题意得：， 解得：， 购买AI翻译终端21台，购买智能签到终端19台． 【小问3详解】 解：设张兑换券中张用于换取AI翻译终端，则张用于换取智能签到终端， 由换取后两款终端的总数量将达到相等，得到等式： 化简得：， 可得，只能是偶数， 且n为正整数， 是正整数，且为偶数， ． 验证得，，换取AI翻译终端4台，智能签到终端：台， 两种设备总数：， 总费用：， 符合题意的换取方案， 获赠 7张兑换券，4张用于换取AI翻译终端、其余3张换取智能签到终端． 19. 【教材呈现】： 已知是含字母的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，求． 【自主解答】解：根据两个数和或差的平方公式，分两种情况： 当为含字母的一次单项式时，原式可以表示为关于的二项式的平方， ； 当为含字母的四次单项式时，原式可以表示为关于的二项式的平方， ． 综上所述，为或或． 【解后反思】 ①上述解答过程得到等式：， 观察等式左边多项式的系数发现：． ②结合多项式的因式分解又如： ， 发现这两个多项式的系数规律：． ③一般地：若关于的二次三项式（a、b、c是常数）是某个含的二项式的平方，则其系数a、b、c一定存在某种关系． （1）请你写出系数a、b、c之间存在的这种关系式：___________； 【解决问题】 （2）若多项式加上一个含字母的单项式，就能表示为一个含的二项式的平方，请写出所有满足条件的单项式，并对进行因式分解； （3）若关于的多项式是一个含的多项式的平方，求实数的值． 【答案】（1）； （2）为或或， 当 时，， 当 时，， 当时，； （3）1 【解析】 【分析】（）观察发现多项式的系数规律即可． （）根据完全平方公式，先化成即可得到；当为含字母的四次单项式是可化为即可求得． （）根据（）得到的规律代入计算即可． 【小问1详解】 （1）观察发现多项式的系数规律可知； 【小问2详解】 （2）当为含字母的一次单项式时，原式可以表示为关于的二项式的平方 ， ； 当 时，; 当 时，; 当为含字母的四次单项式时，原式可以表示为关于的二项式的平方， ， ， 当时，; 综上所述，为或或； 【小问3详解】 解：， 根据可得：， 解得． 20. 通过旋转将具有特殊数量关系的角组合到一起，转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，这是一种常见的解决问题的思路． （1）如图1，在等腰直角中，，当时，可通过旋转将和这两个角组合到一起，再进一步得到对称全等的三角形，可得出图1中线段，，之间的数量关系为___________（直接填写结果）． 【触类旁通】小张思考，若时，有什么有趣的结论呢？ （2）如图2，在等腰直角中，，当平分且．请求出此时，，之间的数量关系． 【举一反三】 （3）如图3，．将线段绕点顺时针旋转得线段，连接．求的长度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将绕点A顺时针旋转，使与重合，得到连接，证明 ，得出，然后在中，由勾股定理即可得出结论； （2）将绕点A顺时针旋转，使与重合，得到，连接，得出，，证明，得出，，然后在中，由勾股定理即可得出结论； （3）将绕点A顺时针旋转，使与重合，得到，连接，证明，得出，过点作于点，则为等腰直角三角形，可求出，在中，由勾股定理得，即可求解． 【小问1详解】 解：， 理由：在等腰直角中，， ， 将绕点A顺时针旋转，使与重合，得到连接， 则． ， ， ∴在和中， ， ， ， ， ∴在中，由勾股定理得， ，即； 【小问2详解】 解：在等腰直角中， 又平分， ， 将绕点A顺时针旋转，使与重合，得到，连接． 则． ， ， ∴在和中， ， ∴在中，由勾股定理得 ，即； 【小问3详解】 解：， ， 又绕点顺时针旋转得线段 ， ， ， 将绕点A顺时针旋转，使与重合，得到，连接． 则． ， ∴在和中， ， ， 过点作于点， 为等腰直角三角形， ， ， ， 在中，由勾股定理得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省深圳市外国语学校2025-2026学年下学期八年级期中考试数学试卷 （试卷满分：100分 考试时长：90分钟） 一、选择题：本题共8小题，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个多项式，能因式分解的是（　　） A. B. C. D. 2. 风力发电机可以在风力作用下发电，如图，该叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则的值不可能的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在四边形中，，添加下列条件后，不能判断四边形是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列说法错误的是( )． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 如图，这是一款手推车的平面示意图，其中，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，中，，．、的中垂线、分别交、、于D、E、F、H．若，则的长度是（　　） A. 3 B. 2 C. D. 4 7. 如图，某市三个城镇中心，，恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆（图示中的实线），以城镇中心为出发点设计了三种连接方案，记所需光缆的长度分别为，对于，它们之间的关系正确的是．（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点的坐标为，点在第一象限内，将沿到的方向平移个单位至的位置，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，共15分． 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______． 10. 关于的方程的解为2，则的值为___________． 11. 如图，是一张长方形纸片，且，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在上（如图中的点），折痕交于点G，那么__________． 12. 如图，木匠师傅在设计窗格时，先做出平行四边形木框，固定边在窗棱上，再连接各边中点E、F、G、H构造出四边形窗花．请问，在向左推动木框的过程中（各点始终在同一平面内），四边形的面积___________（填“先变大后变小”或“始终不变”或“先变小后变大”）． 13. 如图，中，，以为斜边向内部作等腰直角，过直角顶点作于于，则线段的长度为___________．． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 14. 计算 （1）解不等式组： （2）因式分解： 四、解答题：本题共6小题，共53分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 小明准备完成如图所示的这样一道填空题，其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为． （1）求被墨水污染的部分； （2）小明认为当时，原分式的值为1，你同意小明的说法吗？为什么？ 16. 如图，在中，分别是的中点，延长到点，使．连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 17. 如图，在直角坐标系内，已知点，点． （1）点关于轴对称的点的坐标是___________；点关于原点对称的点的坐标是___________． （2）如图1，线段绕着点逆时针旋转一定的角度得到线段，若的对应点为的对应点为，请在图1中用无刻度直尺作出旋转中心（不写作法，保留作图痕迹）． （3）如图2，在公路的同侧，有两个居民小区，现需要在公路边建一个长度为米绿化长廊，要使到小区的距离与到小区的距离和最短，请在图2中用无刻度直尺作出绿化长廊的位置（不写作法，保留作图痕迹）． 18. 综合与实践 主题 2026年深圳APEC峰会科技设备购买方案 信息1 为保障2026年深圳APEC峰会智能会务服务，需采购AI翻译终端和智能签到终端．已知AI翻译终端单价是智能签到终端的2倍，用1200元购买智能签到终端的数量比用1600元购买AI翻译终端的数量多10台． 信息2 某会务保障组计划花费2440元采购这两款终端，两款终端的采购数量共40台． 信息3 采购完成后，设备供应商赠送n张（且n为正整数）兑换券，每张兑换券可换取AI翻译终端1台或智能签到终端2台，换取后两款终端的总数量将达到相等，且换取的设备总费用不超过1000元． （1）探求设备单价：请运用适当的方法，求出AI翻译终端与智能签到终端的单价． （2）计算采购数量：购买AI翻译终端___________台，购买智能签到终端___________台．（直接填写结果） （3）确定换取方案：结合信息3，运用数学知识，确定符合条件的一种换取方案． 19. 【教材呈现】： 已知是含字母的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，求． 【自主解答】解：根据两个数和或差的平方公式，分两种情况： 当为含字母的一次单项式时，原式可以表示为关于的二项式的平方， ； 当为含字母的四次单项式时，原式可以表示为关于的二项式的平方， ． 综上所述，为或或． 【解后反思】 ①上述解答过程得到等式：， 观察等式左边多项式的系数发现：． ②结合多项式的因式分解又如： ， 发现这两个多项式的系数规律：． ③一般地：若关于的二次三项式（a、b、c是常数）是某个含的二项式的平方，则其系数a、b、c一定存在某种关系． （1）请你写出系数a、b、c之间存在的这种关系式：___________； 【解决问题】 （2）若多项式加上一个含字母的单项式，就能表示为一个含的二项式的平方，请写出所有满足条件的单项式，并对进行因式分解； （3）若关于的多项式是一个含的多项式的平方，求实数的值． 20. 通过旋转将具有特殊数量关系的角组合到一起，转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，这是一种常见的解决问题的思路． （1）如图1，在等腰直角中，，当时，可通过旋转将和这两个角组合到一起，再进一步得到对称全等的三角形，可得出图1中线段，，之间的数量关系为___________（直接填写结果）． 【触类旁通】小张思考，若时，有什么有趣的结论呢？ （2）如图2，在等腰直角中，，当平分且．请求出此时，，之间的数量关系． 【举一反三】 （3）如图3，．将线段绕点顺时针旋转得线段，连接．求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $