精品解析：山西晋城市第一中学校2025-2026学年高三下学期3月过程性诊断数学试题

绝密★启用前 晋城一中2025-2026学年高三3月过程性诊断 数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案写在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 0 3. 圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则的最大值与最小值之差为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知曲线：（），曲线：的离心率分别为，，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和都等于同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和．已知等和数列中，，公和为5，则（ ） A. 0 B. C. D. 4 7. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别在线段和上，下面结论中不正确的是（ ） A. 四面体的体积为 B. 存在点，使为等边三角形 C. 过点三点的正方体截面一定是平行四边形 D. 有且仅有一条直线与垂直 8. 已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为评估某款“端侧AI芯片”在不同模型架构下的推理延迟表现，研发团队在固定输入长度（128tokens）的条件下，对200个公开的深度学习模型进行了单次推理延迟测试（单位：）．测试结果经异常值剔除后，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为，，，，，则下列结论正确的是（ ） A. 样本中延迟在内的模型个数为60 B. 估计样本的中位数落在区间内 C. 估计样本的平均数约为22.5 D. 该分布呈现出右边“拖尾”形态，说明大部分模型的延迟较低 10. 已知是定义在上的奇函数，且对任意，有，当时，，则（ ） A. 是以为周期的周期函数 B. 点是函数的一个对称中心 C. D. 函数有个零点 11. 如图，在中，，的内切圆与相切于点，的面积为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为定值2 C. D. 记的内心为，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的系数为 . 13. 在个数字的全排列中，若一个较大的数字排在一个较小的数字的前面，则称它们构成逆序，这个排列的逆序的个数，称为这个排列的逆序数，记为.例如：，，.若为奇数，则该排列称为奇排列，若为偶数，则该排列称为偶排列.请计算： _________.（其中，其中为虚数单位） 14. 是1，2，3，4，5的一个随机排列，对每一个中间位置的数，要求它左右相邻的两个数与中，至少有一个大于它，则该排列满足此条件的概率为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，，，． （1）求； （2）点在外接圆上，设的面积为，若，求的周长． 16. 近年我国人工智能大模型发展迅猛，其中语言模型（处理、理解和生成人类语言）和多模态模型（处理、理解和生成文本、图像、音视频等）是其中两个重要的领域，某研究机构对2025年某区域的企业发布的所有大模型中随机抽取了14款进行标准化测试，由测试数据得到下面的散点图： （1）用频率估计概率，根据2025年该区域的企业发布大模型的分布情况，估计该区域2026发布的大模型是多模态模型的概率； （2）若t为时间变量，y为分数，根据多模态模型数据（，2，3，4，5，6，表示2025年1月份，表示2025年6月份，…），计算得，，. （i）建立y关于t的线性回归方程； （ii）根据语言模型的数据建立的回归方程为，该区域的某家企业在2026年4月发布了1款标准化测试得分为68分的大模型，定义统计量，Q值越小的大模型发生的可能性越大，则该款大模型更有可能是语言模型还是多模态模型，并说明理由. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，. 17. 已知四棱锥的底面为菱形，且底面，为棱上一点，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知函数（），. （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，对任意，都有； （3）若方程没有实根，求整数的最小值. 19. 椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆（）的左顶点为，点在E上，且在x轴的上方，从E的左焦点发出的光线，经过E反射后，交E于点.按照如下方式依次构造点和（）：光线经过E反射后，交E于点；光线经过E反射后，交E于点. （1）求E的方程； （2）设直线的斜率为，求证：数列是等比数列，并求出其公比； （3）求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 晋城一中2025-2026学年高三3月过程性诊断 数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案写在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，的唯一元素是零，而，所以，故A错误； 对于B，是无理数，是有理数集，故B错误； 对于C， 左边为数字集合，右边为点集，不是同类型，故C错误； 对于D，由集合的无序性可得D正确. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【详解】因为， 所以. 3. 圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式求出圆锥的底面半径r，再利用圆锥的侧面积公式即可得出结果. 【详解】根据题意，设圆锥的底面半径为r，因为圆锥的轴截面为等边三角形， 所以圆锥的母线长，，解得， 所以圆锥的侧面积为. 4. 已知函数，则的最大值与最小值之差为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数结合指数函数单调性计算得出最值即可求解. 【详解】函数， 因为单调递增，所以； 因为单调递减，所以； 所以当时，；当时，； 则的最大值与最小值之差为. 5. 已知曲线：（），曲线：的离心率分别为，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线的离心率公式进行求解. 【详解】由椭圆：（）可得：， ，离心率； 由双曲线：可得：， ，离心率； 又，即，两边同时平方得：， 化简得：，计算得：. 6. 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和都等于同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和．已知等和数列中，，公和为5，则（ ） A. 0 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分析可知数列是以2为周期的周期数列，结合周期性分析求解. 【详解】因为（公和）， 所以， 两式相减可得，， 可知数列是以为周期的周期数列， 因为，所以， 又公和为5，所以， 所以，. 7. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别在线段和上，下面结论中不正确的是（ ） A. 四面体的体积为 B. 存在点，使为等边三角形 C. 过点三点的正方体截面一定是平行四边形 D. 有且仅有一条直线与垂直 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，根据锥体体积公式进行求解；B选项，设，，需满足与的夹角等于，建立空间直角坐标系，由夹角公式得，令，结合零点存在性定理可得B正确；C选项，画出截面图形，得到C正确；D选项，举出例子，得到不止一条直线与垂直. 【详解】A选项，点在线段上，故点到直线的距离， 故， 又点在线段上，故点到平面的距离， 故四面体的体积为，故A正确； B选项，假设存在点，使为等边三角形，故， 由勾股定理可得， 所以，故只需与的夹角等于即可， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，，则， 故， 则， 整理可得，两边平方得， 即，令， 显然在上单调递增， 其中，， 故由零点存在性定理可得，使得， 所以假设成立，故存在点，使为等边三角形，B正确； C选项，在平面中，过点作， 分别交于点，连接， 由于平面平面，故，故四边形为平行四边形， 当分别在线段和运动时，均满足四边形为平行四边形， 故过点三点的正方体截面一定是平行四边形，C正确； D选项，当分别与重合时，⊥， 又为等边三角形，所以当为的中点，与重合时，⊥， 故不止一条直线与垂直，D错误. 8. 已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性，即可作出其图象，由此可得到的图象，将方程有且仅有4个不同的实根，转化为和对应的方程的根的总数为4个，数形结合，即可求解. 【详解】由可得定义域为，且， 当且时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以：是极大值点，； 当时，；当时，； 由此可作出函数的图象： 令，则原方程可化为：， 得或， 原方程有且仅有4个不同的实根，等价于和对应的方程的根的总数为4个； 结合的图象可得的图象： 由题意知以及，故，且， 结合图象，要使得和有且仅有4个不同的实根， 需满足且，即得，此时有1个解，有3个解， 即. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为评估某款“端侧AI芯片”在不同模型架构下的推理延迟表现，研发团队在固定输入长度（128tokens）的条件下，对200个公开的深度学习模型进行了单次推理延迟测试（单位：）．测试结果经异常值剔除后，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为，，，，，则下列结论正确的是（ ） A. 样本中延迟在内的模型个数为60 B. 估计样本的中位数落在区间内 C. 估计样本的平均数约为22.5 D. 该分布呈现出右边“拖尾”形态，说明大部分模型的延迟较低 【答案】AD 【解析】 【分析】求各组频率，即可判断A；对于B：根据中位数的定义分析判断；对于C：结合加权平均数公式运算求解；对于D：结合频率分布直方图分析判断即可. 【详解】由频率分布直方图可知每组的频率依次为：，，，，. 对于选项A：样本中延迟在内的模型个数为，故A正确； 对于选项B：因为，， 所以估计样本的中位数落在区间内，故B错误； 对于选项C：估计样本的平均数约为，故C错误； 对于选项D：该分布峰值在左侧低延迟区间，频率随延迟增大逐渐降低， 所以呈现右拖尾形态，说明大部分模型的延迟较低，故D正确. 10. 已知是定义在上的奇函数，且对任意，有，当时，，则（ ） A. 是以为周期的周期函数 B. 点是函数的一个对称中心 C. D. 函数有个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】A：根据奇偶性和对称性可判断出周期性；B：根据关于点中心对称以及关于直线对称，可作出判断；C：利用周期性可得，由此可计算出结果；D：在同一坐标系中作出的图象，根据图象可判断出结果. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 又因为，所以函数关于直线对称； 所以， 所以， 所以函数是周期为的周期函数，所以A选项错误； 由于函数是奇函数，关于点中心对称，且函数关于直线对称， 因此点是函数的一个对称中心，所以B选项正确； 由于函数是周期为的周期函数，且时，， 那么，因此，所以C选项正确； 作出函数与函数的图象如图所示， 根据图象可知，两个图象有个交点，因此函数有个零点，所以D选项正确， 故选：BCD． 11. 如图，在中，，的内切圆与相切于点，的面积为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为定值2 C. D. 记的内心为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由三角形内切圆的性质可判断A；由三角形的面积公式，结合余弦定理可判断B；由直线的斜率公式及二倍角公式可判断C；联立直线的方程，表示出点的坐标，结合双曲线的定义，可判断D. 【详解】 如图1，设的内切圆与分别相切于点. 对于A，根据内切圆的性质，得， 则， 而，所以，则，故A正确. 对于B，在中，由余弦定理得①， 又，即，得， 代入①中，得，所以， 所以. 故，故B错误. 对于C，以的中点为原点，为轴建立如图2所示的平面直角坐标系， 则，，由， 结合双曲线的定义知，点在以为焦点，以为顶点的双曲线右支上， 其方程为. 设，则，即. 当时，， 而， 故. 又，所以. 当时，，所以，故，依然满足. 综上所述，，故C正确. 对于D，若的内心为，则等价于点在双曲线的右支上. 如图2，不妨设，则，又， 故. 由，， 联立解得交点， 则，即点满足，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的系数为 . 【答案】60 【解析】 【分析】由二项展开式的通项公式即可求出结果. 【详解】展开式的通项为： 令，则即可得到的系数为. 【点睛】本题主要考查二项式定理，属于基础题型. 13. 在个数字的全排列中，若一个较大的数字排在一个较小的数字的前面，则称它们构成逆序，这个排列的逆序的个数，称为这个排列的逆序数，记为.例如：，，.若为奇数，则该排列称为奇排列，若为偶数，则该排列称为偶排列.请计算： _________.（其中，其中为虚数单位） 【答案】 【解析】 【分析】借助对数函数图象的规律，先比较，，的大小，再写出逆序数，最后利用复数的运算即可求解. 【详解】 如图，借助对数函数的图象，可知， 由逆序数的定义可得，， 所以. 故答案为：. 14. 是1，2，3，4，5的一个随机排列，对每一个中间位置的数，要求它左右相邻的两个数与中，至少有一个大于它，则该排列满足此条件的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知1，2，3，4，5的全排列有种，进而判断出5的位置，然后对第二位进行分类讨论，同时注意数字4的位置，结合对称性可求解出满足要求的排列的总数，再求概率即可． 【详解】由题意可知1，2，3，4，5的全排列有种， 因为没有比5大的数，所以5只能排在第一位或者第五位， 当5排在第一位时，若4排在第二位，此时排列可以是（5，4，1，2，3）， （5，4，2，1，3），（5，4，3，1，2），（5，4，3，2，1），共4种情况； 当5排在第一位时，若3排在第二位，此时若4排在中间位置（如或）， 其邻居（来自剩下的数）必然都小于4，不满足题设条件，故4只能排在第五位， 此时排列可以是（5，3，1，2，4），（5，3，2，1，4），共2种情况； 当5排在第一位时，若2排在第二位，此时没有比4大的数，故4只能排在第五位， 此时排列可以是（5，2，1，3，4），共1种情况； 当5排在第一位时，若1排在第二位，此时没有比4大的数，故4只能排在第五位， 此时排列可以是（5，1，2，3，4），共1种情况； 由上可知，当5排在第一位时，共有8种情况； 同理可得，当5排在第五位时，也有8种情况满足条件； 综上所述，共有种排列满足条件， 所以该排列满足此条件的概率为． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，，，． （1）求； （2）点在外接圆上，设的面积为，若，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求解，即可利用正弦定理求解， （2）根据三角形的面积公式即可求解，即可求解. 【小问1详解】 由余弦定理知：，解得， 由正弦定理可知，则． 【小问2详解】 因为， 则， 故，则为锐角，又点在外接圆上，所以， 故，则，， 则的周长为． 16. 近年我国人工智能大模型发展迅猛，其中语言模型（处理、理解和生成人类语言）和多模态模型（处理、理解和生成文本、图像、音视频等）是其中两个重要的领域，某研究机构对2025年某区域的企业发布的所有大模型中随机抽取了14款进行标准化测试，由测试数据得到下面的散点图： （1）用频率估计概率，根据2025年该区域的企业发布大模型的分布情况，估计该区域2026发布的大模型是多模态模型的概率； （2）若t为时间变量，y为分数，根据多模态模型数据（，2，3，4，5，6，表示2025年1月份，表示2025年6月份，…），计算得，，. （i）建立y关于t的线性回归方程； （ii）根据语言模型的数据建立的回归方程为，该区域的某家企业在2026年4月发布了1款标准化测试得分为68分的大模型，定义统计量，Q值越小的大模型发生的可能性越大，则该款大模型更有可能是语言模型还是多模态模型，并说明理由. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）该款大模型更有可能是语言模型. 【解析】 【分析】(1)依据图示可以得到多模态模型的个数与总数作比值；(2) (i)根据线性回归模型的计算公式代入数据；(ii)分别计算两款模型的值，比较即可； 【小问1详解】 由2025年的数据可知，随机抽取了14款大模型，其中多模态模型有6款，用频率估计概率，多模态模型的频率为，所以该区域2026发布的大模型是多模态模型的概率为. 【小问2详解】 (i) 因为，，， 表示2025年1月份，表示2025年6月份，所以 所以， 所以，根据， 所以y关于t的线性回归方程为： (ii) 已知2026年4月，则，计算多模态模型的预测值和残差，，残差为：， 所以.再计算语言模型的预测值和残差，，残差为：，，所以，所以根据值越小的大模型发生的可能性越大，所以该款大模型更有可能是语言模型. 17. 已知四棱锥的底面为菱形，且底面，为棱上一点，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）取中点为，取中点为，连接，连接，连接交于点，连接， 因为点为中点，点为中点，所以， 因为为的中点，所以为的中点， 又因为为的中点， 所以，又平面平面，故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点为，取中点为，连接，连接，连接交于点，利用中位线性质，得到为的中点，再结合中位线性质，利用线面平行的判定定理证明即可； （2）以的中点为原点，以为轴，为轴，过且垂直底面的直线为轴，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而利用向量法，直接求解面面角的余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以的中点为原点，以为轴，为轴， 过且垂直底面的直线为轴，建立空间直角坐标系. 设，则，菱形中，，所以， 则， 又， 所以，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，得， 设平面的法向量为， 则，即， 取得， 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 【点睛】 18. 已知函数（），. （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，对任意，都有； （3）若方程没有实根，求整数的最小值. 【答案】（1）当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. （2）证明如下： 当时，，要证， 即证，即. 设， 则， 令（），则， 故当时，，在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减. 故， 所以当时，，当时，， 所以在处取最小值， 故恒成立，原不等式得证. （3）1 【解析】 【分析】（1）求导后,讨论的取值范围进行求解； （2）转化为，即.设，求导，研究函数的单调性进行求解； （3）方程可化为，所以.记，，对函数求导，由单调性和最值求解． 【小问1详解】 的定义域为，， 当时，恒成立，在区间上单调递增； 当时，令，得， 在区间上单调递增，在区间上单调递减. 综上，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 方程可化为，所以. 记，，则. 记， 则. 记， 则， 故函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减， 又，，当时，， 故当时，，即，在区间上单调递减， 由，， 根据零点存在性定理可知存在，使得，即. 且当时，单调递增，当时，单调递减， 故， 且，当时，， 设（），则， 设（），则， 所以， 所以在区间上单调递减， 且，，所以， 所以若没有实数根，则整数的最小值为1. 19. 椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆（）的左顶点为，点在E上，且在x轴的上方，从E的左焦点发出的光线，经过E反射后，交E于点.按照如下方式依次构造点和（）：光线经过E反射后，交E于点；光线经过E反射后，交E于点. （1）求E的方程； （2）设直线的斜率为，求证：数列是等比数列，并求出其公比； （3）求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1） （2）数列是等比数列，公比为 （3）直线恒过定点 【解析】 【分析】（1）根据的关系即可求出； （2）设，直线的方程为，联立得到，再求直线的斜率之积，设直线的斜率为，求出即可证明； （3）直线的方程为，根据（2）的结论求出即可证明. 【小问1详解】 由题意得，， 故E的方程为. 【小问2详解】 设，直线的方程为， 由，消去，整理得， ， 直线的斜率之积为 ， 设直线的斜率为，依题意可知均存在且不为零， 由经过E的右焦点，知①， 由经过E的左焦点，知②， ②①得，故数列是等比数列，公比为. 【小问3详解】 直线的方程为，由（2）知， 故，解得， 故直线恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $