专题03有理数的乘法与除法复习讲义(知识梳理+题型突破)2025-2026学年人教版五四制六年级数学下册

专题03有理数的乘法与除法复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解有理数乘法、除法的意义，熟记有理数乘、除法法则，掌握符号判定规则。 2.掌握多个有理数相乘的符号规律，理解倒数的概念，明确 0 没有倒数。 3.熟练掌握乘法交换律、结合律、分配律，知晓乘除混合运算的转化规则。 1.能准确判断乘除运算结果的符号，规范完成有理数乘法、除法基础计算。 2.灵活运用乘法运算律简化运算，提升简便计算能力与运算准确率。 3.学会将除法转化为乘法计算，独立完成有理数乘除混合运算，解决简单实际问题。 1.基础乘除计算题零失误，杜绝符号错误、倒数混淆等高频问题。 2.熟练掌握简便运算题型，灵活套用运算律，快速解题。 3.吃透乘除混合运算题型，理清运算逻辑，轻松应对课时练习、单元检测。 题型01两个有理数的乘法运算 题型02.多个有理数的乘法运算 题型03.有理数乘法的实际应用 题型04.倒数 题型05.有理数乘法运算律 题型06.有理数的除法运算 题型07.有理数除法的应用 题型08.有理数乘除混合运算 题型09.有理数乘除中的简便 题型10.有理数四则混合运算 题型11.有理数四则混合运算的实际应用 题型12.数轴上的翻折 题型13.由点在数轴位置判断式子正负 解答题9题 知识点01:倒数【本节重中之重】 1.倒数定义 乘积为 1 的两个有理数，互为倒数。 2.核心关键 正数的倒数仍是正数 负数的倒数仍是负数 1 的倒数是 1，−1 的倒数是 −1 0 没有倒数（必考易错点） 3.求倒数方法 整数：写成几分之一 分数：分子分母直接互换 小数：先化分数，再求倒数 4.易混区分 相反数：和为 0，只变符号 倒数：积为 1，符号不变、上下颠倒 知识点02:有理数的乘法（符号定成败，运算有技巧） 1. 乘法核心意义 不仅是 “求几个相同加数和的简便运算”，更能表示相反意义的连续变化（如：连续上升 / 下降、重复增减），是衔接加减、铺垫乘方的关键运算。 2. 四大乘法法则（精准不啰嗦） 同号两数相乘：得正，并把绝对值相乘； 异号两数相乘：得负，并把绝对值相乘； 任何数与 0 相乘：结果都为 0； 互为倒数的两数相乘：结果为 1（核心关联：倒数是除法的基础）。 3. 多个有理数相乘（符号规律秒杀） ✅关键看 负因数的个数： 负因数个数为偶数：结果为正； 负因数个数为奇数：结果为负； 只要有一个因数是 0，结果必为 0。 4. 乘法运算律（简便运算天花板） 交换律：a×b=b×a（交换因数位置，积不变）； 结合律：(a×b)×c=a×(b×c)（改变运算顺序，积不变）； 分配律：a×(b+c)=a×b+a×c（最常用！拆括号、凑整神器）。 5. 必记易错点 先定符号，再算绝对值，符号错 = 全题错； 切勿混淆 “相反数” 与 “倒数”（相反数和为 0，倒数积为 1）； 0 没有倒数，1 的倒数是 1，-1 的倒数是 - 1。 知识点03:有理数的除法（转化是核心，一步变简单） 1. 除法核心法则（黄金公式，记牢就赢） 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数a÷b=a×(b0) ✅核心逻辑：把除法转化为乘法，用乘法法则统一计算，降低运算难度。 2. 除法符号规则（和乘法完全一致，不用额外记） 同号相除：得正； 异号相除：得负； 0 除以任何不等于 0 的数：得 0； 任何数除以 0：无意义（重点警示，绝不踩坑）。 3. 除法计算三步法（规范不出错） ① 定符号（同正异负）；② 变除法为乘法（除数变倒数）；③ 按乘法法则计算，化简结果。 知识点04:有理数乘除混合运算(统一运算，高效解题） 1. 核心原则 先统一成乘法，再按多个有理数相乘的法则计算，避免混合混乱。 2. 运算步骤（标准流程，直接套用） ① 把所有除法转化为乘法（除数→倒数，除号→乘号）；② 确定整个算式的符号（数负因数个数）；③ 合理运用乘法运算律（凑整、同号结合）简化计算；④ 计算绝对值，得出最终结果。 3. 简便运算技巧（省时又准确） 先约分，再计算（避免大数相乘，减少出错）； 把小数、带分数转化为分数，统一形式再运算； 利用分配律拆分计算（适用于乘除混合中含括号的题型）。 知识点05:考场避坑指南（90% 的人栽在这里） 1.多个数相乘，漏数负因数个数，导致符号错误； 2.混淆 “倒数” 与 “相反数”，尤其是求负数的倒数时出错； 3.除法转化时，只变除号、不变除数的倒数（两步缺一不可）； 4.乘除混合运算中，随意改变运算顺序，忽略约分技巧； 5.忽略 “0 不能做除数”“0 没有倒数” 的核心禁忌。 本节一句话通关 乘除运算找规律，符号先定再计算；除法转乘省力气，巧算约分不丢分！ 题型01两个有理数的乘法运算 【典例】若，则内的数字是（    ） A． B．2 C．4 D． 【跟踪专练1】计算： （1）_______（______________）_______； （2）_______（______________）_______； （3）_______（______________）_______； （4）_______（______________）_______； （5）_______． 【跟踪专练2】已知：当时，；当时，；那么当同时满足条件时，式子的值是（   ） A．2 B． C．0 D． 题型02.多个有理数的乘法运算 【典例】下列各式中，计算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如果三角形表示运算，正方形表示运算，那么计算的结果是__________． 【跟踪专练2】已知，，且，则的值为（    ） A．0 B．0或1 C．0或或1 D．0或1或 题型03.有理数乘法的实际应用 【典例】小海去电影院购买电影票时付款100元找回44元．根据如图表信息，可判断小海看的场次是（    ） 《哪吒之魔童闹海》70元/张 上午场：六折    中午场：五折 下午场：八折    夜场：不打折 A．上午场 B．中午场 C．下午场 D．夜场 【跟踪专练1】全球气候正在变暖，科学家认为，这与大气中二氧化碳等温室气体的浓度变化有关，随着科学知识的逐渐普及，人们已自发地响应“低碳生活”方式，减少碳排放，某小区安装太阳能路灯，每盏灯每年节电200度，若减少1度电相当于减排碳，那么10盏灯一年减排碳量为________． 【跟踪专练2】如图，三角形的面积是，圆的面积是（   ）平方米（取） A． B． C． D． 题型04.倒数 【典例】的倒数是（   ） A． B．2.5 C． D． 【跟踪专练1】和互为倒数，_______． 【跟踪专练2】因为，所以（   ） A．是倒数 B．和是倒数 C．和互为倒数 D．和和是倒数 题型05.有理数乘法运算律 【典例】这里没有用到的运算律是（   ） A．乘法结合律 B．乘法交换律 C．乘法分配律 D．不确定 【跟踪专练1】计算：_______． 【跟踪专练2】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型06.有理数的除法运算 【典例】计算：____． 【跟踪专练1】在这四个数中，任意两个数相除，所得的商最小的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，则______________． 题型07.有理数除法的应用 【典例】一辆汽车 小时行千米，照这样的速度小时行____________千米； 【跟踪专练1】汽车油箱中有汽油，行驶的平均耗油量为，则汽车最多能行驶（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在一块长方形的展板上，整齐地贴着许多大小相同的小长方形卡片，卡片之间有三块正方形空隙（图中阴影部分），已知三块阴影部分的总面积是，则小长方形卡片的周长是_____________________cm． 题型08.有理数乘除混合运算 【典例】计算：______． 【跟踪专练1】下列计算①；②；③；④，正确的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【跟踪专练2】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型09.有理数乘除中的简便 【典例】计算：． 【跟踪专练1】计算：． 【跟踪专练2】.阅读下列材料，完成后面任务． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 任务： (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的．（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法 比较简便．（填序号） (3)请你进行简便计算：． 题型10.有理数四则混合运算 【典例】小海去电影院购买电影票时付款50元找回10元，根据图表信息，可判断小海看的场次是（    ） 《哪吒之魔童闹海》80元/张 上午场：6折         中午场：5折 下午场：8折         夜场：不打折 A．上午场 B．中午场 C．下午场 D．夜场 【跟踪专练1】若规定一种新运算：，则_____． 【跟踪专练2】的所有可能的值有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 题型11.有理数四则混合运算的实际应用 【典例】王叔叔的月工资是元，扣除元个税起征点后的部分按缴税，他应缴税（   ）元． A． B． C． D． 【跟踪专练1】一副耳机原价240元，先提价，然后在提价的基础上打九折，现在的价格是 __ 元． 【跟踪专练2】为了节约用水，z市政府规定：家庭用水在以内（含）的按照每立方米元计算，到（含）的按照每立方米元计算，超过按照每立方米元计算，小丽家5月份用水量为，那么小丽家本月水费共（    ）元． A． B． C． D． 题型12.数轴上的翻折 【典例】综合与探究：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究：折叠数轴，使数轴上表示1的点与表示3的点重合，则数轴上表示的点与表示数______的点重合， 【跟踪专练1】如图，数轴上有点、、，点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在点的右侧且到点的距离为，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 【跟踪专练2】操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 左右折叠纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点” 操作一： （1）左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，则表示的点与______表示的点重合； 操作二： （2）左右折叠纸面，使表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①对折中心点所表示的数为______，对折后6表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上，两点之间距离为12（在的左侧），且，两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 题型13.由点在数轴位置判断式子正负 【典例】实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】实数在数轴上表示如图：则下列结论正确的有__________（填序号）． ①；②；③；④． 【跟踪专练2】已知实数在数轴上对应点的位置如图所示，则下列选项中：①；②：③；④；⑤．正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【解答题】 1．计算． (1)； (2)； (3)； 2．计算． (1) (2) (3) (4) 3．直接写出结果： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 4．阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第 步，错误原因是 ； 第二处是第 步，正确步骤的依据是 ； (2)请写出正确的结果 ． 5．计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 6．科技改变世界，快递分拣机器人发展迅猛．据介绍，这些机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物，自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．某分拣仓库计划平均每天分拣万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入．下表是该仓库月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 分拣情况（单位：万件） 0 (1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期几，最少的一天是星期几，最多的一天比最少的一天多分拣了多少万件包裹？ (2)该仓库本周实际总共分拣了多少万件包裹？ 7．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“>”“<”或“＝”填空：b 0， 0， 0， 0； (2) ； (3)化简：． 8．市质量技术监督局从某面粉加工厂生产的袋装面粉中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，把超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如表： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 袋数 1 2 3 4 5 4 1 (1)若标准质量为25千克，则抽样检测的20袋面粉的总质量为多少千克? (2)若该种面粉质量的合格标准为“千克”，求该面粉抽样检测的合格率． 9．小明与同学约定好在距家6千米的公园聚会，可供小明选择的出行方式如下表所示，其中从小明家往公园方向千米处有公交专线直达公园． 出行方式 等待上车时间（分钟） 速度（千米/小时） 费用 出租车 2 30 不超过3千米 超过3千米部分 10元 里程费：2元/千米 时长费：元/分钟 公交专线 3 20 票价共3元 便民自行车 0 15 每15分钟1元，不足15分钟按15分钟计算 步行 0 5 0元 (1)若小明乘坐公交专线前往，则小明需要花费的时间为多少分钟？ (2)下午5∶30同学聚会结束，小明想利用剩余的14元，并在下午6∶00前到家； ①若小明选择乘坐出租车，则小明能否按照计划到家并支付费用？若能，请计算出所需要的费用和到家的时间，若不能，请说明理由； ②请你帮他设计一种用时最短的返程方案，并计算出所需要的费用和到家时间． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03有理数的乘法与除法复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解有理数乘法、除法的意义，熟记有理数乘、除法法则，掌握符号判定规则。 2.掌握多个有理数相乘的符号规律，理解倒数的概念，明确 0 没有倒数。 3.熟练掌握乘法交换律、结合律、分配律，知晓乘除混合运算的转化规则。 1.能准确判断乘除运算结果的符号，规范完成有理数乘法、除法基础计算。 2.灵活运用乘法运算律简化运算，提升简便计算能力与运算准确率。 3.学会将除法转化为乘法计算，独立完成有理数乘除混合运算，解决简单实际问题。 1.基础乘除计算题零失误，杜绝符号错误、倒数混淆等高频问题。 2.熟练掌握简便运算题型，灵活套用运算律，快速解题。 3.吃透乘除混合运算题型，理清运算逻辑，轻松应对课时练习、单元检测。 题型01两个有理数的乘法运算 题型02.多个有理数的乘法运算 题型03.有理数乘法的实际应用 题型04.倒数 题型05.有理数乘法运算律 题型06.有理数的除法运算 题型07.有理数除法的应用 题型08.有理数乘除混合运算 题型09.有理数乘除中的简便 题型10.有理数四则混合运算 题型11.有理数四则混合运算的实际应用 题型12.数轴上的翻折 题型13.由点在数轴位置判断式子正负 解答题9题 知识点01:倒数【本节重中之重】 1.倒数定义 乘积为 1 的两个有理数，互为倒数。 2.核心关键 正数的倒数仍是正数 负数的倒数仍是负数 1 的倒数是 1，−1 的倒数是 −1 0 没有倒数（必考易错点） 3.求倒数方法 整数：写成几分之一 分数：分子分母直接互换 小数：先化分数，再求倒数 4.易混区分 相反数：和为 0，只变符号 倒数：积为 1，符号不变、上下颠倒 知识点02:有理数的乘法（符号定成败，运算有技巧） 1. 乘法核心意义 不仅是 “求几个相同加数和的简便运算”，更能表示相反意义的连续变化（如：连续上升 / 下降、重复增减），是衔接加减、铺垫乘方的关键运算。 2. 四大乘法法则（精准不啰嗦） 同号两数相乘：得正，并把绝对值相乘； 异号两数相乘：得负，并把绝对值相乘； 任何数与 0 相乘：结果都为 0； 互为倒数的两数相乘：结果为 1（核心关联：倒数是除法的基础）。 3. 多个有理数相乘（符号规律秒杀） ✅关键看 负因数的个数： 负因数个数为偶数：结果为正； 负因数个数为奇数：结果为负； 只要有一个因数是 0，结果必为 0。 4. 乘法运算律（简便运算天花板） 交换律：a×b=b×a（交换因数位置，积不变）； 结合律：(a×b)×c=a×(b×c)（改变运算顺序，积不变）； 分配律：a×(b+c)=a×b+a×c（最常用！拆括号、凑整神器）。 5. 必记易错点 先定符号，再算绝对值，符号错 = 全题错； 切勿混淆 “相反数” 与 “倒数”（相反数和为 0，倒数积为 1）； 0 没有倒数，1 的倒数是 1，-1 的倒数是 - 1。 知识点03:有理数的除法（转化是核心，一步变简单） 1. 除法核心法则（黄金公式，记牢就赢） 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数a÷b=a×(b0) ✅核心逻辑：把除法转化为乘法，用乘法法则统一计算，降低运算难度。 2. 除法符号规则（和乘法完全一致，不用额外记） 同号相除：得正； 异号相除：得负； 0 除以任何不等于 0 的数：得 0； 任何数除以 0：无意义（重点警示，绝不踩坑）。 3. 除法计算三步法（规范不出错） ① 定符号（同正异负）；② 变除法为乘法（除数变倒数）；③ 按乘法法则计算，化简结果。 知识点04:有理数乘除混合运算(统一运算，高效解题） 1. 核心原则 先统一成乘法，再按多个有理数相乘的法则计算，避免混合混乱。 2. 运算步骤（标准流程，直接套用） ① 把所有除法转化为乘法（除数→倒数，除号→乘号）；② 确定整个算式的符号（数负因数个数）；③ 合理运用乘法运算律（凑整、同号结合）简化计算；④ 计算绝对值，得出最终结果。 3. 简便运算技巧（省时又准确） 先约分，再计算（避免大数相乘，减少出错）； 把小数、带分数转化为分数，统一形式再运算； 利用分配律拆分计算（适用于乘除混合中含括号的题型）。 知识点05:考场避坑指南（90% 的人栽在这里） 1.多个数相乘，漏数负因数个数，导致符号错误； 2.混淆 “倒数” 与 “相反数”，尤其是求负数的倒数时出错； 3.除法转化时，只变除号、不变除数的倒数（两步缺一不可）； 4.乘除混合运算中，随意改变运算顺序，忽略约分技巧； 5.忽略 “0 不能做除数”“0 没有倒数” 的核心禁忌。 本节一句话通关 乘除运算找规律，符号先定再计算；除法转乘省力气，巧算约分不丢分！ 题型01两个有理数的乘法运算 【典例】若，则内的数字是（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的乘法运算，根据可得答案. 【详解】解：∵， ∴则内的数字是， 故选：A 【跟踪专练1】计算： （1）_______（______________）_______； （2）_______（______________）_______； （3）_______（______________）_______； （4）_______（______________）_______； （5）_______． 【答案】 3 6 12 2 24 0 【分析】本题考查了有理数的乘法， 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积为0．几个有理数相乘的符号法则∶当负因数的个数为偶数时，积为正；当负因数的个数为奇数时，积为负，再把所有因数的绝对值相乘， （1）（2）（3）（4）（5）根据有理数的乘法法则求解即可． 【详解】解∶（1）， 故答案为：，3，6，； （2）， 故答案为：，12，2，24； （3）， 故答案为：，，，； （4）， 故答案为：，，，； （5）， 故答案为：0． 【跟踪专练2】已知：当时，；当时，；那么当同时满足条件时，式子的值是（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的运算，根据，得到同号，均小于0，根据当时，，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴同号，均小于0， ∵当时，， ∴； 故选：D． 题型02.多个有理数的乘法运算 【典例】下列各式中，计算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两个以上有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定，负因数个数为偶数时，积为正，负因数个数为奇数时，积为负．任何数与0的积为0． 【详解】A选项：中负因数个数为2，积为正，不符合题意， B选项：中负因数个数为2，积为正，不符合题意， C选项：中负因数个数为3，积为负， 符合题意， D选项：，不符合题意， 故选C． 【点睛】本题主要考查有理数的乘法的符号规律，解决本题的关键是要熟练掌握有理数乘法法则． 【跟踪专练1】如果三角形表示运算，正方形表示运算，那么计算的结果是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，解题的关键是理解新定义． 根据新定义，列出算式进行求解即可． 【详解】 解： 故答案为：． 【跟踪专练2】已知，，且，则的值为（    ） A．0 B．0或1 C．0或或1 D．0或1或 【答案】A 【分析】本题主要考查代数式求值问题，利用绝对值的基本性质，以及正数与负数的性质，便得所求结果．可由已知，三个数中有两个正数，一个负数，故可得，，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴得三个数中有两个正数，一个负数， ∴，且， 故得． 故选：A． 题型03.有理数乘法的实际应用 【典例】小海去电影院购买电影票时付款100元找回44元．根据如图表信息，可判断小海看的场次是（    ） 《哪吒之魔童闹海》70元/张 上午场：六折    中午场：五折 下午场：八折    夜场：不打折 A．上午场 B．中午场 C．下午场 D．夜场 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数乘法和减法的实际应用，先求出小海所看电影的实际票价，再分别求出四个场次的实际票价即可得到答案． 【详解】解：由题意得，小海所看电影的实际票价为元， 上午场的实际票价为元， 中午场的实际票价为元， 下午场的实际票价为元， 夜场的实际票价为元， ∴可判断小海看的场次是下午场， 故选：C． 【跟踪专练1】全球气候正在变暖，科学家认为，这与大气中二氧化碳等温室气体的浓度变化有关，随着科学知识的逐渐普及，人们已自发地响应“低碳生活”方式，减少碳排放，某小区安装太阳能路灯，每盏灯每年节电200度，若减少1度电相当于减排碳，那么10盏灯一年减排碳量为________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法应用，根据每盏灯每年节电200度，若减少1度电相当于减排碳，进行列式计算得出10盏灯一年减排碳量，即可作答． 【详解】解：∵每盏灯每年节电200度，若减少1度电相当于减排碳， ∵ 故答案为： 【跟踪专练2】如图，三角形的面积是，圆的面积是（   ）平方米（取） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方形的边长为x，根据题意，三角形的面积为，圆的面积为：，代入解答即可． 本题考查了三角形的面积，圆的面积，正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为x，根据题意，三角形的面积为， 圆的面积为：， 故． 故选：D． 题型04.倒数 【典例】的倒数是（   ） A． B．2.5 C． D． 【答案】D 【分析】乘积为1的两个数互为倒数，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴的倒数为． 【跟踪专练1】和互为倒数，_______． 【答案】 【详解】解：， ∵和互为倒数， ∴， ∴原式． 【跟踪专练2】因为，所以（   ） A．是倒数 B．和是倒数 C．和互为倒数 D．和和是倒数 【答案】C 【分析】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解答本题的关键． 根据倒数的定义解答即可． 【详解】解：因为，所以和互为倒数， 故选：C． 题型05.有理数乘法运算律 【典例】这里没有用到的运算律是（   ） A．乘法结合律 B．乘法交换律 C．乘法分配律 D．不确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了整数乘法运算定律推广到分数乘法、分数的连乘运算、分数乘分数，解题的关键是掌握乘法运算律． 乘法交换律是指两个数相乘，交换因数的位置，积不变； 乘法结合律是指三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再与第三个数相乘，也可以先把后两个数相乘，再与第一个数相乘，结果不变，由此进行解答即可． 【详解】解：，是把和交换位置，再把和相结合，运用了乘法交换律和结合律，这里没有用到的运算律是乘法分配律． 故答案为：C． 【跟踪专练1】计算：_______． 【答案】2025 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，简便计算的方法，逆用乘法的分配律将原式变为，再进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：2025． 【跟踪专练2】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、有理数乘法运算律等知识点，正确应用乘法分配律是解题的关键． 根据有理数混合运算法则以及乘法运算律逐项判断即可解答． 【详解】解：A：左边为，根据乘法分配律，应展开为，但选项A的右边为，符号错误，故A错误，不符合题意； B．左边为，正确展开应为，但选项B的右边为，导致结果错误，故B错误，不符合题意； C．左边为，根据分配律展开为，计算得，与左边结果一致，故C正确，符合题意； D．除法不满足分配律，左边，右边，明显不等，故D错误，不符合题意． 故选C． 题型06.有理数的除法运算 【典例】计算：____． 【答案】/0.125 【分析】本题考查了有理数的除法，根据有理数的除法运算法则计算求解，即可解题． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练1】在这四个数中，任意两个数相除，所得的商最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的除法，解决此题的关键是正确的计算；先把所有数的绝对值算出来，算出绝对值最大的正数与绝对值最小的负数的商和绝对值最大的负数与绝对值最小的正数的商，两数比较取小的即可得到答案； 【详解】解：∵，正数只有4， ∴，，，， ∵， ∴在这四个数中，任意两个数相除，所得的商最小的是， 故选：A． 【跟踪专练2】若，则______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性和平方的非负性，有理数的除法运算． 先根据绝对值的非负性和平方的非负性求出，，再根据有理数的除法运算求解即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 题型07.有理数除法的应用 【典例】一辆汽车 小时行千米，照这样的速度小时行____________千米； 【答案】60 【分析】本题考查了有理数的除法，行程问题，理解行程问题的数量关系，掌握有理数的除法运算是关键． 根据行程中的数量关系可得汽车的速度为（千米/小时），由此即可求解． 【详解】解：一辆汽车 小时行千米， ∴汽车的速度为（千米/小时）， ∴（千米）， 故答案为：60 ． 【跟踪专练1】汽车油箱中有汽油，行驶的平均耗油量为，则汽车最多能行驶（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数除法的实际应用，直接用油箱中的油量除以平均耗油量即可得到答案． 【详解】解：， ∴汽车最多能行驶， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在一块长方形的展板上，整齐地贴着许多大小相同的小长方形卡片，卡片之间有三块正方形空隙（图中阴影部分），已知三块阴影部分的总面积是，则小长方形卡片的周长是_____________________cm． 【答案】12 【分析】根据图形，得到3个小长形的宽个小长形的长个小长方形的长，小正方形的边长小长形的长小长方形的宽，得到小正方形的边长的小长方形的宽的小长方形的长，结合阴影部分的面积求出小长方形的长和宽，即可得解． 【详解】解：由图可知：3个小长形的宽个小长形的长个小长方形的长， 小正方形的边长小长形的长小长方形的宽， 所以小正方形的边长的小长方形的宽的小长方形的长， 因为三块阴影部分的总面积是，． 所以单个小正方形面积为． 所以小正方形的边长是cm． ， 所以小长方形长为，宽为， 所以小长方形周长为． 故答案为：12． 【点睛】本题考查有理数的运算．解题的关键是正确的识图，得到小长方形的长和宽与小正方形的边长的关系． 题型08.有理数乘除混合运算 【典例】计算：______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，正确运用运算法则是正确解答此题的关键． 把除法转化成乘法再计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列计算①；②；③；④，正确的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据有理数乘除混合运算法则计算判断即可． 本题考查有理数的乘除运算，需根据运算法则逐一验证每个计算是否正确． 【详解】解： ① ∵ ∴ 计算①错误; ② ∵, ∴ 计算②错误; ③ ∵ , , ∴ 计算③正确; ④ ∵, ∴ 计算④正确. 综上，正确计算有2个， 故选：C． 【跟踪专练2】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合法则是解题的关键． 根据有理数乘除混合法则逐项计算并判定即可． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，计算正确，故此选项符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 题型09.有理数乘除中的简便 【典例】计算：． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键．根据有理数乘除的运算法则即可求解． 【详解】解： ． 【跟踪专练1】计算：． 【答案】432 【分析】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键．根据有理数乘除的运算法则即可求解． 【详解】解： ． 【跟踪专练2】.阅读下列材料，完成后面任务． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 任务： (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的．（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法 比较简便．（填序号） (3)请你进行简便计算：． 【答案】(1)① (2)③ (3) 【分析】本题考查有理数的计算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则即可判断解法的正确性； （2）运用有理数的除法运算法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，运算是最简便的，只有解法三符合这种运算法则， （3）参照解法③进行简便计算． 【详解】（1）解：解法①是错误的． 故答案为：①； （2）解：在正确的解法中，解法③运用了有理数的除法的运算法则，乘法的分配律，比较简便． 故答案为：③； （3）解：原式的倒数为： ， 故原式． 题型10.有理数四则混合运算 【典例】小海去电影院购买电影票时付款50元找回10元，根据图表信息，可判断小海看的场次是（    ） 《哪吒之魔童闹海》80元/张 上午场：6折         中午场：5折 下午场：8折         夜场：不打折 A．上午场 B．中午场 C．下午场 D．夜场 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键．根据题意列式计算后进行判断即可． 【详解】解：， 即小海看的是打五折的场次， 故选：B． 【跟踪专练1】若规定一种新运算：，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，正确列出算式是解此题的关键．根据新定义列式计算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】的所有可能的值有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的四则混合计算：分当都是正数时，当都是负数时，当一正，两负时，当一负，两正时，四种情况去绝对值后计算求解即可． 【详解】解：当都是正数时，则； 当都是负数时，则； 当一正，两负时，不妨设是正数，则； 当一负，两正时，不妨设是负数，则； 综上所述，的值为或，共有4种， 故选：C． 题型11.有理数四则混合运算的实际应用 【典例】王叔叔的月工资是元，扣除元个税起征点后的部分按缴税，他应缴税（   ）元． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，解题关键是掌握有理数的四则混合运算． 根据题意，王叔叔的应纳税所得额为月工资减去个税起征点，再乘以税率计算税款． 【详解】解：(元)， ∴他应缴个人所得税元， 故选：C． 【跟踪专练1】一副耳机原价240元，先提价，然后在提价的基础上打九折，现在的价格是 __ 元． 【答案】237.6 【分析】第一次提价的是240元的10%，第二次打折是元的九折，据此列式计算即可求解． 【详解】解：根据题意得： （元， 则现在的价格是237.6元， 故答案为：237.6． 【跟踪专练2】为了节约用水，z市政府规定：家庭用水在以内（含）的按照每立方米元计算，到（含）的按照每立方米元计算，超过按照每立方米元计算，小丽家5月份用水量为，那么小丽家本月水费共（    ）元． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是用小数计算的复合应用题，关键是水费要分三种情况来计算，然后分别求出水费总价再相加．单价数量总价，是解决本题的依据． 小丽家的水费要分三部分来求，立方米以内（含立方米）的一部分；超过立方米到立方米（含立方米）的；超过立方米的一部分，分别求出再相加．据此解答． 【详解】解：（元）， ， ， （元）， ， ， （元）， （元）， ∴小丽家本月要缴水费元， 故选：C． 题型12.数轴上的翻折 【典例】综合与探究：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究：折叠数轴，使数轴上表示1的点与表示3的点重合，则数轴上表示的点与表示数______的点重合， 【答案】6 【分析】本题考查了有理数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题，一元一次方程的应用．设数轴上表示的点与表示数的点重合，根据题意列式计算即可求解． 【详解】解：设数轴上表示的点与表示数的点重合， ∴， 解得， ∴数轴上表示的点与表示数6的点重合， 故答案为：6． 【跟踪专练1】如图，数轴上有点、、，点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在点的右侧且到点的距离为，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示的数．先根据两点间的距离公式求出点的对应点表示的数，再利用中点公式求出点表示的数即可解答． 【详解】解：设点表示的数为，点对折后的落点为， 点、表示的数分别是，，点落在点的右侧且到点的距离为， 点落在的位置表示的数为， 点表示的数为， ， ， 解得， 点表示的数是， 故选：． 【跟踪专练2】操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 左右折叠纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点” 操作一： （1）左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，则表示的点与______表示的点重合； 操作二： （2）左右折叠纸面，使表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①对折中心点所表示的数为______，对折后6表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上，两点之间距离为12（在的左侧），且，两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 【答案】（1）7；（2）①，；②、 【分析】本题考查数轴上的折叠问题，解题的关键是确定对折中心点： （1）根据左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，得到对折中心点为原点，即可得出结果； （2）①根据对折中心点到两个重合的点之间的距离相等，求出对折中心点，进而求出对折后与6表示的点重合的点表示的数即可；②根据对折中心点到两个重合的点之间的距离相等，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合， ∴对折中心点为原点， ∴表示的点与7表示的点重合； （2）①由题意，对折中心点为， ； 故对折后6表示的点与数表示的点重合； ②解：由题意可得：、两点距离对折中心点的距离为， 因为对折中心点所表示的数为2的点，，； 所以、两点表示的数分别为：、． 题型13.由点在数轴位置判断式子正负 【典例】实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上点的位置关系、有理数的大小比较以及绝对值的几何意义，根据数轴确定 a，b 的取值范围及它们到原点的距离大小，逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可知，、， 故选项 A 错误； 由于在原点左侧，b 在原点右侧， 则， 故选项 C 错误； 由于a 到原点的距离大于 1，b 到原点的距离小于 1， 则、，即， 因此，， 故选项B错误，选项D正确． 【跟踪专练1】实数在数轴上表示如图：则下列结论正确的有__________（填序号）． ①；②；③；④． 【答案】③④ 【分析】本题考查了绝对值、数轴，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据数轴和绝对值的意义解题即可． 【详解】解：由数轴可知，，故④正确； ∴，故①错误； ，故②错误； ，故③正确； 综上，正确的有③④． 故答案为：③④ ． 【跟踪专练2】已知实数在数轴上对应点的位置如图所示，则下列选项中：①；②：③；④；⑤．正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】B 【分析】先根据数轴确定a，b，c，d的大致范围，再分别对①至⑤的结论进行判断，统计正确结论的个数． 【详解】解：由数轴可知：，，，， ①由可知①错误； ② 正数的绝对值大于负数的绝对值，故，②正确； ③ 为负，为正，异号相乘为负，故，③错误； ④ ，，故，④错误； ⑤ 在数轴上b比a偏右，则，故，⑤正确． 综上，正确的结论有②⑤，共2个．． 【解答题】 1．计算． (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算．掌握各运算法则是解题关键． （1）任何数与0相乘都等于0，所以结果为0． （2）利用乘法交换律先算与的积，再乘． （3）将化为后与相乘并约分计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 2．计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)6 (3)11.6 (4)65 【分析】本题考查有理数的加减混合运算、有理数的四则混合运算、有理数的减法法则， （1）根据有理数的减法法则进行计算即可； （2）根据有理数的乘法法则进行计算即可； （3）根据有理数的加减混合运算法则和交换律进行计算即可； （4）先计算有理数的乘法，再计算减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 3．直接写出结果： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）利用运算律进行简便运算即可； （）先算括号内的减法，然后计算除法即可； （）利用乘法分配律进行简便运算即可； （）先把除法转化为乘法，然后利用乘法分配律逆用进行简便运算即可； （）先算乘法，然后算加法即可； （）先算括号内加法和减法，最后算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 4．阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第 步，错误原因是 ； 第二处是第 步，正确步骤的依据是 ； (2)请写出正确的结果 ． 【答案】(1)二，运算顺序错误；三，两数相除同号得正，异号得负，并把绝对值相除 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除混合运算是解题的关键． （1）根据有理数的乘除混合运算的运算顺序及有理数除法的运算法则即可解答； （2）先计算括号内的有理数乘法，再将除法转化为乘法计算即可． 【详解】（1）解：第一处是第二步错误，错误原因是运算顺序错误，应该先计算除法，再计算乘法； 第二处是第三步错误，正确的步骤的依据是：两数相除同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 故答案为：二，运算顺序错误；三，两数相除同号得正，异号得负，并把绝对值相除； （2）解： ． 5．计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先进行除法和乘法运算，再进行减法运算即可； （2）先将除法转化为乘法，然后利用乘法分配律进行变形，接着进行括号内的加法运算，最后进行乘法运算； （3）先进行括号内的减法运算，再进行除法和乘法运算； （4）先计算小括号内的减法，再计算除法，最后进行乘法运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 6．科技改变世界，快递分拣机器人发展迅猛．据介绍，这些机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物，自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．某分拣仓库计划平均每天分拣万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入．下表是该仓库月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 分拣情况（单位：万件） 0 (1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期几，最少的一天是星期几，最多的一天比最少的一天多分拣了多少万件包裹？ (2)该仓库本周实际总共分拣了多少万件包裹？ 【答案】(1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期六，最少的一天是星期日，最多的一天比最少的一天多分拣了万件包裹 (2)该仓库本周实际总共分拣了万件包裹 【分析】（1）比较表中数据得到分拣最多和最少的星期，再由有理数加减运算得出最多比最少多分拣件数； （2）根据表中记录数据，由有理数加减及乘法运算计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴本周内分拣最多的一天是周六，最少的一天是周日， ∴最多比最少多分拣（万件）， 答：该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期六，最少的一天是星期日，最多的一天比最少的一天多分拣了万件包裹； （2）解：（万件）， （万件）， 答：该仓库本周实际总共分拣了万件包裹． 7．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“>”“<”或“＝”填空：b 0， 0， 0， 0； (2) ； (3)化简：． 【答案】(1)<；<；>；< (2) (3) 【分析】本题主要考查数轴表示数的意义和方法、有理数的加减法、绝对值等知识点，根据有理数在数轴上的位置确定其取值范围是解题的关键． （1）根据有理数a，b，c在数轴上的取值范围，进而确定各代数式的正负即可解答； （2）判断的符号，然后再取绝对值、合并同类项即可； （3）判断的符号，然后再取绝对值、合并同类项即可． 【详解】（1）解：由有理数a，b，c在数轴上的位置，可得：， ∴，，，． 故答案为：，，，． （2）解：∵， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴ ． 8．市质量技术监督局从某面粉加工厂生产的袋装面粉中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，把超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如表： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 袋数 1 2 3 4 5 4 1 (1)若标准质量为25千克，则抽样检测的20袋面粉的总质量为多少千克? (2)若该种面粉质量的合格标准为“千克”，求该面粉抽样检测的合格率． 【答案】(1)500.6千克 (2) 【分析】本题考查正负数的应用，有理数混合运算的应用： （1）总质量标准质量抽取的袋数超过（或短缺的）质量，把相关数值代入计算即可； （2）找到所给数值中，与标准质量的差值的绝对值小于或等于0.25的面粉袋数占总袋数的百分比即可． 【详解】（1）解： （千克）． 总质量 (千克)．     答：抽样检测的20袋面粉的总质量为500.6千克． （2）解：合格的袋数为：（袋）， 所以，该面粉抽样检测的合格率为． 9．小明与同学约定好在距家6千米的公园聚会，可供小明选择的出行方式如下表所示，其中从小明家往公园方向千米处有公交专线直达公园． 出行方式 等待上车时间（分钟） 速度（千米/小时） 费用 出租车 2 30 不超过3千米 超过3千米部分 10元 里程费：2元/千米 时长费：元/分钟 公交专线 3 20 票价共3元 便民自行车 0 15 每15分钟1元，不足15分钟按15分钟计算 步行 0 5 0元 (1)若小明乘坐公交专线前往，则小明需要花费的时间为多少分钟？ (2)下午5∶30同学聚会结束，小明想利用剩余的14元，并在下午6∶00前到家； ①若小明选择乘坐出租车，则小明能否按照计划到家并支付费用？若能，请计算出所需要的费用和到家的时间，若不能，请说明理由； ②请你帮他设计一种用时最短的返程方案，并计算出所需要的费用和到家时间． 【答案】(1)分钟 (2)①小明不能按照计划到家并支付费用；②先乘坐出租车4公里，再乘骑便民自行车2公里，最少时间18分钟，费用14元； 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意是解题的关键． （1）根据“步行0.5千米的时间乘车的时间等车的时间”列式计算； （2）①根据收费标准计算； ②分别算出各种方式的费用和时间，再比较求解． 【详解】（1）解：（分钟）， 答：小明乘坐公交专线前往，需要花费的时间为分钟； （2）解：①小明不能按照计划到家并支付费用， 理由：所需要的时间为：（分钟），到家的时间为：， 所需要的费用为： （元，， 小明不能按照计划到家并支付费用； ②方案：先乘坐出租车4公里，再乘骑便民自行车2公里； 乘坐出租车时间：（分钟） 乘坐出租车费用：（元） 乘骑便民自行车时间：（分钟） 乘骑便民自行车费用：8分钟分钟，费用1元． 总费用：（元） 总时间：（分钟） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $