专题01有理数复习讲义(知识梳理+题型突破)2025-2026学年人教版五四制六年级数学下册

专题01有理数复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握正负数、数轴、相反数、绝对值、有理数分类五大概念 2.熟记加减乘除乘方运算法则与运算律 3.会用科学记数法、近似数处理数据 1.能用数形结合快速理解、解题 2.运算又快又准，不丢步骤分、不犯符号错 3.能把实际问题转化为有理数计算 1.概念题零失误，计算题不丢分 2.混合运算、比较大小、绝对值题型全通关 3.本章测试稳拿高分、冲刺满分 题型01.正负数的定义 题型02.相反意义的量 题型03.正负数的实际应用 题型04.有理数的定义 题型05.0的意义 题型06.有理数的分类 题型07.带“非”字的有理数 题型08.数轴的三要素及其画法 题型09.用数轴上的点表示有理数 题型10.数轴上两点之间的距离 题型11.数轴上点的平移 题型12.数轴上找原点 题型13.数轴上的规律探究 题型14.相反数的定义 题型15.化简多重符号 题型16.相反数的应用 题型17.绝对值的几何意义 题型18.求一个数的绝对值 题型19.绝对值非负性 题型20.绝对值的其他应用 题型21.有理数的大小比较 题型22.由数轴比较有理数大小 题型23.数轴上整点覆盖问题 题型24.有理数大小比较的实际应用 解答题9题 知识点01:正数和负数 —— 世界的两种 “方向” 正数：大于 0 的数，代表向上、向前、增加、盈余。 负数：小于 0 的数，代表向下、后退、减少、亏欠。 0：中立王者，既不是正数，也不是负数，是正负之间的分界点。 核心意义：专门表示相反意义的量，让数学能描述真实世界。 知识点02:有理数 —— 数的 “大家族” 核心定义：整数和分数统称为有理数。 重要结论 有限小数、无限循环小数都可以化成分数，都属于有理数。 无限不循环小数（如 π）不是有理数。 知识点03:数轴 ——数形结合的神器 三要素缺一不可：原点、正方向、单位长度。 所有有理数，都能在数轴上找到专属位置。 黄金法则：数轴右边的数永远大于左边，大小一眼看清。 知识点04:相反数 ——符号不同的双胞胎 只有符号不同、绝对值相等的两个数，互为相反数。 0 的相反数仍是 0（最特殊的存在）。 几何意义：数轴上关于原点对称，到原点距离完全一样。 知识点05:绝对值 ——距离决定的力量 定义：数轴上表示数a的点到原点的距离。 符号：∣a∣ 超级性质：绝对值永远≥0（非负性） 判定口诀： 正数的绝对值是它本身 负数的绝对值是它的相反数. 0 的绝对值是 0 知识点06:有理数大小比较 ——最公平的排序规则 通用顺序：正数 ＞ 0 ＞ 负数。 负数比拼：绝对值越大，数反而越小。 最简方法：画数轴，右边大、左边小。 本章一句话通关 认正负、会分类、懂数轴、记相反数、用绝对值、会比大小，有理数轻松吃透！ 题型01.正负数的定义 【典例】，，0，，3这几个数中，正数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题根据正数的定义进行判断，大于0的数是正数，0既不是正数也不是负数，逐个判断给定的数，统计正数的个数即可得到结果． 【详解】解：∵正数的定义为大于0的数，0既不是正数也不是负数 给定的数分别为，，0，，3， 其中大于0的数为，，，共3个 ∴正数有3个． 【跟踪专练1】在“，35，，，，0，，”这8个数中，正数有________个，负数有________个． 【答案】 5 2 【分析】本题考查正数与负数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据正数与负数的定义，直接作答即可． 【详解】解：正数有35，，，，，共5个； 负数有，共2个． 故答案为：5；2． 【跟踪专练2】《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．如果收入3元记作元，那么支出5元，记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】此题主要考查了正数和负数的意义，根据正负数的意义即可得出答案，理解正数和负数是具有相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：∵收入3元记作元， ∴支出5元，记作元， 故选：A． 题型02.相反意义的量 【典例】下列各对量中，不具有相反意义的量是（    ） A．收入100元与支出50元 B．气温上升与下降 C．前进5米和后退3米 D．身高增加与体重减少 【答案】D 【分析】本题考查相反意义的量的概念，一对具有相反意义的量需是同一类量，且意义相反，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：选项A、收入100元与支出50元，是同一类量，意义相反，具有相反意义，不符合要求； 选项B、气温上升与下降，是同一类量，意义相反，具有相反意义，不符合要求； 选项C、前进米和后退米，是同一类量，意义相反，具有相反意义，不符合要求； 选项D、身高增加与体重减少，身高和体重是不同类的量，不具有相反意义，符合要求． 【跟踪专练1】如果电梯上升10米，记作米，那么下降7米可记作______米． 【答案】 【详解】本题考查正负数的相对意义．上升为正，下降为负，据此即可求解． 【分析】解：∵上升为正，下降为负 ∴下降7米可记作米 故答案为：． 【跟踪专练2】在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．上升了6米和后退了7米 B．卖出10斤米和盈利10元 C．收入20元与支出30元 D．向东行30米和向北行30米 【答案】C 【分析】本题考查了对正负数概念的理解，关键明确正负数是表示一对意义相反的量．根据相反意义的量的概念，逐项判断分析即可解题． 【详解】解：A.不是一对具有相反意义的量，不符合题意； B.不是一对具有相反意义的量，不符合题意； C.是一对具有相反意义的量，符合题意； D.不是一对具有相反意义的量，不符合题意． 故本题选：C． 题型03.正负数的实际应用 【典例】第九届亚冬会于2025年2月7日在哈尔滨举办，开幕式当天室外温度可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题结合生活实际，根据哈尔滨2月冬季的气温范围判断合理选项，利用常识排除不符合实际的答案即可． 【详解】解：∵哈尔滨2月为冬季，室外气温低于， ∴排除温度高于的选项B和D. 又∵哈尔滨正常室外温度不会达到，不符合实际气候情况， ∴排除选项A，因此选C． 【跟踪专练1】如图，标号为①②③④的时钟准确显示了同一时刻的伦敦、悉尼、纽约和北京时间，根据如表给出伦敦悉尼、纽约与北京的时差（“”表示同一时刻比北京早的时间，“”表示同一时间比北京晚的时间），表示伦敦、悉尼、纽约和北京时间的时钟标号分别是______． 城市 伦敦 悉尼 纽约 时差 【答案】①④②③ 【分析】此题考查了正数与负数，根据伦敦、悉尼、纽约，与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可． 【详解】解：依题意，得： 标记①②③④的时钟均为12小时制时钟． 标记①时钟表示8:00；②时钟表示3:00；③时钟表示4:00；④时钟表示6:00． （1）若①时钟8:00表示悉尼时间，则北京时间为6:00（能找到④时钟）；进而可知：纽约时间为4:00，伦敦时间为10:00，找不到对应的时钟． ∴标记①的时钟不能表示悉尼时间． （2）若②时钟3:00表示悉尼时间，则北京时间为1:00，①、③、④时钟均找不到． ∴标记②的时钟不能表示悉尼时间． （3）若③时钟4:00表示悉尼时间，则北京时间为2:00，①、②、④时钟均找不到． ∴标记③的时钟不能表示悉尼时间． （4）若④时钟6:00表示悉尼时间，则北京时间为4:00，找到③时钟；纽约时间为3:00，找到②时钟；伦敦时间为8:00，找到①时钟． ∴表示伦敦、悉尼、纽约和北京时间的时钟标号分别为①、④、②、③． 故答案为：①④②③． 【跟踪专练2】如图是一种转盘型密码，每次开锁时需要先把表示“”的刻度线与固定盘上的标记线对齐、再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次，例如，按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，．此时标记线对准的数是．如果一组开锁密码为“，，”要想打开锁，按上述规定方式旋转锁盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的意义，根据开锁密码的意义即可得解，根据实际问题理解表示具有相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：∵按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，，此时标记线对准的数是， ∴开锁密码为“，，”，表示先按顺时针方向转格，再按逆时针方向转格，再按顺时针方向转格， 所以标记线按顺时针转了格， 则锁打开时标记线对准的刻度线表示为， 故选：． 题型04.有理数的定义 【典例】下列7个数：，，，，，（每两个1之间依次多一个4），，其中有理数有（  ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数，解题的关键是掌握有理数和无理数的概念．根据整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都属于有理数，无理数是无限不循环小数，对各个数逐一判断即可． 【详解】有理数有：，，，，共5个， 故选：C． 【跟踪专练1】阅读以下材料：如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节．例如0.666…的循环节是“6”，它可以写作，像这样的循环小数称为纯循环小数．又如0.1333…、0.2456456456…的循环节是“3”“456”，它们可以写作、，像这样的循环小数称为混循环小数． 阅读材料回答下列问题： （1）是________循环小数（填“纯”或“混”） （2）的循环节是________． 【答案】 纯 24 【分析】本题考查了新定义，循环小数等知识，认真读题，理解题意是解题关键． （1）根据纯循环小数和混循环小数的概念判断即可； （2）根据循环节的概念判断即可； 【详解】解：（1）由纯循环小数和混循环小数的概念可知：是纯循环小数， 故答案是：纯； （2）的循环节是24， 故答案为：24． 【跟踪专练2】我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为，则算筹“”表示的数为（   ） A．6037 B． C．637 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数，根据算筹记数的规则即可求解． 【详解】解：个位上的数上有斜线， 这个数是负数， 是横式，不能表示百位数， 表示千位上的数，百位上的数为0， 根据数筹表示数的方法可知，算筹“”表示的数为． 故选B． 题型05.0的意义 【典例】下列说法正确的是（    ） A．是负分数 B．是负数，但不是整数 C．0是正数 D．是分数但不是正数 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数的定义，分式的定义，0的意义，大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数，0既不是正数，也不是负数，据此结合分数的定义可得答案． 【详解】解：A、是负分数，原说法正确，故此选项符合题意； B、是负数，也是整数，原说法错误，故此选项不符合题意； C、0不是正数，原说法错误，故此选项不符合题意； D、是分数，也是正数，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练1】__________既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界线． 【答案】0 【分析】本题主要考查有理数的分类，属于基础知识．根据有理数的分类可求解． 【详解】解：0既不是正数，也不是负数． 故答案为：0． 【跟踪专练2】下列说法正确的有（     ） ①一个数不是正数就是负数；②海拔表示比海平面低； ③负分数不是有理数；④零是最小的数； ⑤零是整数，也是正数；⑥是最大的负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】利用正数和负数的定义判断即可. 【详解】解：0既不是正数也不是负数，①错误； 海拔表示比海平面低，②正确； 负分数是有理数，③错误； 负数比零小，④错误； 零是整数，不是正数，⑤错误； 是最大的负整数，⑥错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了对有理数有关内容的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，解题的关键是掌握正数和负数的定义以及注意0的特殊性． 题型06.有理数的分类 【典例】在，5，，，，中，负分数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题主要考查了负分数的定义，负分数是小于0的有限小数和无限循环小数，据此可得答案． 【详解】解：在，5，，，，中，负分数有，，，共3个， 故选：C． 【跟踪专练1】已知下列各数：，7，，，，0，0.23．其中整数是：______；非负数是：______． 【答案】 ，7，0 7，，0，0.23 【分析】本题考查了整数、非负数的概念，熟练掌握整数、非负数的概念是解题的关键． 利用整数、非负数的概念判断即可得到答案． 【详解】解：根据题意，整数是： ，7，0； 非负数是： 7，，0，0.23， 故答案为：，7，0；7，，0，0.23． 【跟踪专练2】下列描述正确的有（    ）个 ①一个数不是正数就是负数； ②小麦每公顷产量一定，小麦的总产量与公顷数成正比例； ③等底等高的圆柱圆锥，圆柱的体积是圆锥的体积的3倍； ④一件商品先提价，然后再降价，现价和原价一样． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的分类、正比例的定义、圆锥与圆柱、百分数的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． ①根据有理数的分类即可解答；②根据正比例函数的定义即可判断；③根据圆锥与圆柱的体积关系即可判断；④设原价为x，然后求出现价，然后再比较即可解答． 【详解】解：①0既不是正数，也不是负数，即①错误； ②由小麦的总产量等于小麦每公顷产量乘以公顷数，则麦每公顷产量一定，小麦的总产量与公顷数成正比例，即②正确； ③等底等高的圆柱圆锥，圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，说法正确，故③正确； ④设原价为x，则现价为：，由，则一件商品先提价，然后再降价，现价低于原价，即④错误． 综上，正确的有2个． 故选B． 题型07.带“非”字的有理数 【典例】已知下列各数，，，，3，0，，，，其中非负数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查有理数的分类，熟知非负数包括0和正数是解答本题的关键．根据有理数的分类，非负数包括0和正数，进行判断即可． 【详解】解：在，，，3，0，，，中，非负数有，，3，0，共4个， 故选：C． 【跟踪专练1】在下列数中，非负数是________． 【答案】0，， 【分析】根据非负数的定义进行逐一判断即可：大于等于0的数叫做非负数． 【详解】解：是负数，不是非负数； 0是非负数； 是非负数； 是负数，不是非负数； 是非负数； ∴非负数有0，，， 故答案为：0，，． 【点睛】本题主要考查了有理数的分类，绝对值和化简多重符号，灵活运用所学知识是解题的关键． 【跟踪专练2】下列各数中最小非负数是（   ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】C 【分析】根据非负数的意义和有理数的大小比较求解． 【详解】解：∵-2、-1是负数，0、1是非负数，且0<1， ∴题中最小非负数是0， 故选C． 【点睛】本题考查非负数的应用和有理数的大小比较，熟练掌握非负数的意义是解题关键． 题型08.数轴的三要素及其画法 【典例】下列各图中，数轴表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素：原点，单位长度，正方向，即可得到答案． 【详解】解：A、缺少正方向，数轴表示不正确，不符合题意； B、缺少原点，数轴表示不正确，不符合题意； C、单位长度不统一，数轴表示不正确，不符合题意； D、是数轴，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练1】四位同学所画的数轴如图所示，其中正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的三要素，解答即可． 本题考查了数轴的三要素，熟练掌握数轴的三要素是解题的关键． 【详解】解：根据数轴的三要素：原点，单位长度，正方向， 正确的是； 故选：D． 【跟踪专练2】下列各图中，是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），解题的关键是依据三要素逐一验证选项是否符合数轴的定义． 明确数轴的三要素，依次检查各选项是否包含原点、正方向且单位长度均匀，从而选出符合数轴定义的选项． 【详解】解：选项A：缺少正方向（无箭头），不是数轴； 选项B：单位长度不均匀（“”到“0”的距离与“0”到“1”的距离不一致），不是数轴； 选项C：缺少原点（没有标注“0”），不是数轴； 选项D：包含原点（0）、正方向（右箭头）、单位长度均匀，符合数轴的定义． 故选D 题型09.用数轴上的点表示有理数 【典例】如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（    ） A．0.5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题． 【详解】解：由图可得，手掌遮挡住的点表示的数在至0之间， 而， 所以只有B选项符合题意． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数是________． 【答案】0，1 【分析】本题考查了数轴的特点，理解并掌握数轴上点与数的一一对应关系是解题的关键．根据数轴的特点，数形结合分析即可求解． 【详解】解：根据数轴可知：墨迹盖住的整数有0，1． 故答案为：0，1． 【跟踪专练2】下图中，如果A点表示0，点表示1，则点表示__________；如果点表示0，点表示1，则A点表示__________． 【答案】 1.5 【分析】本题考查了数轴的认识，结合正负数知识解答即可． 根据图示，结合数轴知识，如果A点表示0，E点表示1，则每个小格表示0.25，所以G点表示1.5；如果D点表示0，G点表示1，结合正负数知识可知A点表示． 【详解】解：如果A点表示0，E点表示1，则G点表示1.5； 如果D点表示0，G点表示1， 由图知： 所以A点表示． 故答案为：1.5；． 题型10.数轴上两点之间的距离 【典例】到原点的距离是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离，数轴上一点到原点的距离为该点表示的数的绝对值，据此可得答案． 【详解】解：到原点的距离是， 故选：A． 【跟踪专练1】数轴上3.5和的中点所表示的数是______． 【答案】0.5 【分析】本题考查数轴上两点的中点公式，利用中点公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：0.5． 【跟踪专练2】如图，将一刻度尺放在数轴上，刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上表示和的两点，那么刻度尺上的“”对应的点表示的数值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点距离的计算，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据题意可得刻度尺上对应数轴上一个单位长度，即可求解． 【详解】解：刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上表示和的两点， 刻度尺上对应数轴上一个单位长度， 刻度尺上的“”对应的点表示的数值为， 故选：C． 题型11.数轴上点的平移 【典例】点为数轴上表示的点，将点沿数轴向右平移个单位到点，则用含有的代数式表示对应的数是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴上点的平移，掌握知识点是解题的关键． 根据数轴上点的平移规律，向右平移时点的坐标增加，向左平移则减少． 【详解】解：点M对应的数为，向右平移t个单位，即坐标增加t． 因此，点N对应的数为． 故选B． 【跟踪专练1】在数轴上点如图所示，将点在数轴上右移7个单位到达点，则点所表示的数为（   ） A．7 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴上点的平移，以及利用数轴表示有理数，根据图像得到点表示的数，再结合题意得到点所表示的数，即可解题． 【详解】解：由图知点表示的数为， 将点在数轴上右移7个单位到达点，则点所表示的数为， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，．．．，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴，以及找规律问题，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解． 【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列， 即圆的滚动规律为3次一个循环，则： ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上． 点对应的数轴上的数可能为2021， 故选：B． 题型12.数轴上找原点 【典例】如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点表示的数是． （1）在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是___________． （2）在数轴上找一点，使它与点的距离为2个单位长度，那么点表示的数为___________． 【答案】 4 2或6 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，解题关键是正确在数轴上确定表示各数的点的位置． （1）根据点A表示即可得原点位置，进一步得到点B所表示的数； （2）分两种情况讨论即可求解． 【详解】解：（1）如图，∵数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是． ∴O为原点，点B所表示的数是4， 故答案为：4； （2）点C表示的数为或． 故答案为：2或6； 【跟踪专练1】如图，数轴上有三个点，其中是线段的中点，则原点的位置（ ） A．位于线段上，且靠近点 B．位于线段上，且靠近点 C．位于线段上，且靠近点 D．位于线段上，且靠近点 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上找原点，据中点求出点表示的数，进而即可求解，理解中点和数轴的定义是解题的关键． 【详解】解：是线段的中点， 点表示的数是， ∴原点位于线段上，且靠近点， 故选：． 【跟踪专练2】小梦做题时，画了一个数轴，在数轴上原有一个点，其表示的数是，由于粗心，小梦把数轴的原点标错了位置，使点正好落在了的相反数的位置，要把数轴画正确，原点应（　　） A．向右移6个单位长度 B．向右移3个单位长度 C．向左移6个单位长度 D．向左移3个单位长度 【答案】A 【分析】本题考查了对数轴概念的理解，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的特点．先根据题意画出数轴，便可直观解答． 【详解】解：向右移动6个单位长度，正确画数轴为： 故选：A． 题型13.数轴上的规律探究 【典例】如图，等边三角形的边在数轴上，现将等边三角形沿着数轴向右翻滚（无滑动），第1次翻滚后点到点位置．若点表示的数为，等边三角形的边长为2，则翻滚2024次后点在数轴上对应的数为（    ） A．2024 B．4047 C．4049 D．6071 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上动点的规律探究，根据点的变化，找出变化规律是解题的关键． 由图可知，每3次翻转为一个循环，每次循环点表示的数增大6，2024除以3余数为2，根据余数可知点A在数轴上，然后进行计算即可得解． 【详解】解：由题意可得， 每3次翻转为一个循环组依次循环， ， ∴翻转次后点A在数轴上， ∴点A对应的数是． 故选C． 【跟踪专练1】如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴上的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的所对应的点将与圆周上字母（   ）所对应的点重合． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上的规律探索； 根据圆的滚动可得四个字母一循环，被整除后余3，从点与数字0对应开始计算，然后即可求解； 【详解】解：圆的周长为4个单位长度， 个数字为一个循环， ∵点与数字0对应，， 对应的字母是． 故选：A． 【跟踪专练2】在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是______个单位． 【答案】1013 【分析】本题考查了数轴上点运动规律探索，正确理解题意、得到规律是关键； 根据前4个点的运动规律可得：第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是，进而求解． 【详解】解：因为第一次点向左移动1个单位长度到达点，点表示的数是， 第二次将点向右移动2个单位长度到达点，点表示的数是1， 第三次将点向左移动3个单位长度到达点，点表示的数是， 第四次将点向右移动4个单位长度到达点，点表示的数是2， …， 所以第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是， 所以当时，点表示的数是，与原点的距离是1013； 故答案为：1013. 题型14.相反数的定义 【典例】的相反数是（    ） A．2026 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 【跟踪专练1】若与互为相反数，则______． 【答案】 【分析】此题考查了相反数的定义，非负数的性质，关键是利用非负数的性质求出x与y的值． 利用非负数的性质求出x与y的值，代入所求式子计算即可求出值． 【详解】解：与互为相反数， ， 又，， ，， ，， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】下列语句叙述正确的是（    ） A．对于任意有理数，若，则 B．对于任意有理数，若，则 C．对于任意有理数，若，则 D．两个有理数的和为正数，这两个数一定为正数 【答案】A 【分析】本题考查了有理数加法法则，解题关键是熟记法则，逐项判断即可． 【详解】解：A. 对于任意有理数，若，则，符合题意； B. 对于任意有理数，若，则或，不符合题意； C. 对于任意有理数，若，若，则，不符合题意； D. 两个有理数的和为正数，这两个数可能都为正数也可能一正一负，且正数的绝对值较大，不符合题意； 故选：A． 题型15.化简多重符号 【典例】下列化简，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多重符号的化简方法，一个数前面有偶数个负号，结果为正，一个数前面有奇数个负号，结果为负，据此求逐项求解即可． 【详解】解：、，故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 故选：． 【跟踪专练1】比较大小：________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值，相反数等知识点，熟记以上知识点是解答本题的关键． 先根据绝对值和相反数进行计算，再根据有理数的大小比较法则比较即可． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】下列各式中，化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数、绝对值等知识点，掌握相关的定义是解答本题的关键． 根据相反数的定义和绝对值的定义化简即可解答． 【详解】解：A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项符合题意． 故选：D． 题型16.相反数的应用 【典例】若不为的有理数与互为相反数，同学们化简后得出了下列不同的结果：①；②；③；④.其中结果错误的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互为相反的两个数的和是即可得到正确选项． 【详解】解：∵不为的有理数与互为相反数， ∴, ∴①②③错误，④正确； 故选． 【点睛】本题考查了相反数的定义和性质，熟记相反数的性质以及定义是解题的关键． 【跟踪专练1】互为相反数的两个数（都不为零）的商为（　　） A． B．1 C．0 D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查相反数，掌握知识点是解题的关键． 根据相反数的定义，两个互为相反数的数之和为0，其中一个数为a，另一个数为．计算它们的商即可得出结果． 【详解】解：设这两个数分别为a和（a≠0），则它们的商为： ， 无论以哪一个数作为被除数，结果均为−1． 因此，互为相反数的两个非零数的商恒为−1． 故选A． 【跟踪专练2】和互为相反数，那么________． 【答案】1 【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 题型17.绝对值的几何意义 【典例】在下列各温度中，最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题要找出最接近的温度，只需计算各温度与的距离，距离越小越接近，距离用温度和0的差的绝对值表示，比较绝对值大小即可得到结果． 【详解】解：，，，， 又∵， ∴与的距离最小，最接近． 【跟踪专练1】若，则a是（    ） A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数 【答案】B 【分析】本题考查绝对值．根据绝对值的性质：正数的绝对值是本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，即一个数的绝对值是非负数，求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即a一定是非正数． 故选：B． 【跟踪专练2】已知，，且，则的值为________． 【答案】或/或 【分析】本题考查了绝对值的性质，有理数的加法，熟记性质是解题的关键，难点在于确定的对应情况．根据绝对值的性质求出，然后判断出的对应情况，再根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， 当，时，； 当，时，． 故答案为：或． 题型18.求一个数的绝对值 【典例】的绝对值是（    ） A．2026 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，进行计算即可． 【详解】解：∵ 负数的绝对值等于它的相反数，且， ∴ ． 【跟踪专练1】在，，，，中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数大小比较，根据相反数和绝对值的定义化简后，再根据“负数小于正数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小”判断即可． 【详解】解：，， ， ， 最小的数是：． 故选：． 【跟踪专练2】已知，，且，则的值等于（    ） A．7和 B．7 C． D．以上答案都不对 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数的加减法以及绝对值正确掌握运算法则是解题关键；直接利用绝对值的性质以及有理数的加法分类讨论得出答案． 【详解】∵，，且， ∴或， ∴或 ， 故选：D． 题型19.绝对值非负性 【典例】如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的含义，理解是解本题的关键． 根据的最小值是即可求解． 【详解】解： x为有理数，式子存在最大值， 当时，式子最大值为， 故选：A． 【跟踪专练1】，则（　　） A．3 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质可求出a、b的值，再将它们代入式子求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】若有理数a，b满足，且，则的值是（   ） A． B．1 C．或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的定义和性质，有理数的减法，先利用绝对值的定义得出或，或，再根据，得，得出符合条件的a、b，再进行计算的值． 【详解】解：∵， ∴或，或， ∵， ∴， ∴，或，， 当，时，， 当，时，， 即的值是或， 故选：C． 题型20.绝对值的其他应用 【典例】某公司抽检盒装牛奶的容量，超过标准容量的部分记为正数，不足的部分记为负数．从容量的角度看，以下四盒牛奶容量最接近标准的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】实际克数最接近标准克数的是绝对值最小的那个数． 【详解】解：A．+0.8的绝对值是0.8； B．-1.2的绝对值是1.2； C．-0.5的绝对值是0.5； D．+1的绝对值是1． ∵0.5＜0.8＜1＜1.2， ∴C选项的绝对值最小． 故选：C． 【点睛】本题主要考查有理数大小比较．解决本题的关键是求出各项的绝对值． 【跟踪专练1】生产厂家检测4个篮球的质量，结果如图所示，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．其中最接近标准质量的篮球是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数，理解绝对值的意义是解题关键．根据绝对值最小的最接近标准质量可得答案． 【详解】解：∵， ∴质量为的篮球最接近标准质量， 故选：B． 【跟踪专练2】若、为有理数，，，且，那么，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，，且，可得，，，据此判断出，，的大小关系即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，，， ∴， ∴． 故选：C． 【考点】本题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 题型21.有理数的大小比较 【典例】在1，0，2，四个数中，最小的数是（   ） A．1 B．0 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的大小比较，通过比较数的大小，负数小于零和正数，得到是最小的数即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数是． 故选：D． 【跟踪专练1】若，，则，，，中最大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的加减，实数的大小比较，先根据和的正负性，结合实数的加减运算法则，分别比较各数的大小关系，从而得出最大的数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故最大的数是， 故选：B． 【跟踪专练2】下列比较大小错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，分别根据正数与负数、正数与正数、负数与负数比较大小的法则对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、∵，∴，故本选项正确； B、∵，∴，故本选项正确； C、∵，∴，故本选项正确； D、∵，∴，故本选项错误． 故选：D． 题型22.由数轴比较有理数大小 【典例】数轴上表示与的点之间的整数共有（ 　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小比较，根据题意找出满足条件的所有整数即可求解． 【详解】解：数轴上表示与2.1的点之间的整数有，，，0，1，2，共6个． 故选：B． 【跟踪专练1】，是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴及有理数的大小比较，先在数轴上表示出，，然后根据数轴特点比较大小即可． 【详解】解：，在数轴上的位置，如图所示： 根据数轴可知：， 故选：B． 【跟踪专练2】已知有理数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴，利用数轴比大小，利用数形结合的数学思想解答是解题的关键． 观察数轴可得，，，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：，， ，， ， 故选：A． 题型23.数轴上整点覆盖问题 【典例】如图所示，在数轴上，墨渍遮挡住的点表示的数可能是（   ） A． B．0 C． D．2.5 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，墨渍遮挡住的点在0的左边且距离0一个单位，即可得出结论． 【详解】解：在数轴上，墨渍遮挡住的点表示的数为负数，可能是． 故选：A． 【跟踪专练1】若在单位长度的数轴上随意画出一条长的线段，则线段盖住的整数点至少有(    ) A．9个 B．10个 C．100个 D．101个 【答案】C 【分析】分类讨论：线段的两端点是整数点，线段的两端点不是整数点，根据线段的长度，可得答案． 【详解】解：当线段的两端点是整数点时，一条长的线段，则被线段盖住的整数有个， 当线段的两端点不是整数点时，一条长的线段，则被线段盖住的整数有个， 线段盖住的整数点至少有个 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴上两点的距离，熟练掌握数轴的定义是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，可以确定墨迹盖住的整数有________个． 【答案】8 【分析】本题主要考查了数轴，解题的关键是熟练掌握数轴的定义．观察数轴得墨迹盖住的整数有，即可． 【详解】解：根据图中数值，确定墨迹盖住的整数有，共8个， 故答案为：8． 题型24.有理数大小比较的实际应用 【典例】水的凝固温度是，酒精的凝固温度是，水银的凝固温度是，凝固温度最高的是_____，凝固温度最低的是_____ 【答案】 水 酒精 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题关键是掌握有理数大小比较法则：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．比较三种物品的凝固温度，即可得到答案． 【详解】解：， 凝固温度最高的是水，凝固温度最低的是酒精， 故答案为：水；酒精． 【跟踪专练1】有5张卡片，卡片正面分别写有五个数，背面分别写有五个字母，如下表： 正面 的相反数 背面 将卡片正面的数由小到大排列，然后将卡片翻转使背面朝上，卡片上的字母组成的单词是_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较；先化简计算，再根据有理数的大小比较排列即可求解． 【详解】解：∵，的相反数是 ∴． 得到单词是：， 故答案为：． 【跟踪专练2】根据表格提供的四位同学行走的数据，步行速度最快的是（      ） 小杰 小丽 小磊 小明 时间 20秒 30秒 23秒 25秒 距离 68米 100米 64米 80米 A．小杰 B．小丽 C．小磊 D．小明 【答案】A 【详解】解：小杰的速度：＝3.4米/秒， 小丽的速度：＝米/秒， 小磊的速度：＜3米/秒， 小明的速度：＝3.2米/秒， ∵3.4是最大的数， ∴步行速度最快的是小杰； 故选：A． 【点睛】本题考查了行程问题中的速度的计算和有理数大小比较，熟练掌握路程÷时间＝速度是关键． 解答题 1．某百货商店的每个月的营业成本是12万元，去年上半年月收入分别是： 1月：13万元， 2月：16万元， 3月：11万元，4月：17万元，5月：12万元， 6月：10万元 (1)你会用正负数表示百货商店的盈亏情况吗？ 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） (2)哪个月的营业状况最好？哪个月的营业状况最差？ 【答案】(1)见解析 (2)四月的营业状况最好，六月的营业状况最差 【分析】本题主要考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）根据正负数表示具有相反意义的两种量，再结合题意即可解答； （2）根据（1）中表格数据可得答案． 【详解】（1）解：用正负数表示百货商店的盈亏情况如下： 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） 0 （2）解：根据（1）中的百货商店的盈亏情况表可知，四月的营业状况最好，六月的营业状况最差． 2．现有下列各数：①，②，③，④0，⑤，⑥． (1)把上列各数序号填入相应的大括号里： 负数集合：{____________…}； 整数集合：{____________…}． (2)请把下面不完整的数轴（图）补充完整，并在数轴上标出上列各数中的所有整数． 【答案】(1)①②⑤；①④⑥ (2)见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，画数轴并在数轴上表示有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． （1）根据有理数的分类方法解答即可； （2）补充数轴，然后标出所有的整数，即可求解． 【详解】（1）解：①，②，③，④0，⑤，⑥． 负数集合：{①②⑤…}； 整数集合：{①④⑥…}． 故答案为：①②⑤；①④⑥． （2）解：如图所示． 3．（）在数轴上表示出下列各点． A．        B．        C．       D． （）点和点之间相差___________个单位长度． 【答案】 （）见解析 （） 【分析】先将各数在数轴上表示出来，然后可得出点和点之间的距离． 【详解】解：（）如图所示 （）由图可得：点和点之间相差个单位长度． 4．阅读：如图，已知数轴上有A，B，C三个点，它们表示的数分别是，8．A到C的距离可以用表示，计算方法：C表示的数8，A表示的数，8大于，用．用式子表示为：． 根据阅读完成下列问题： (1)填空： ， ； (2)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探索：的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由； (3)现有动点P，Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向右移动，当点P移动6秒时，点Q才从A点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒，写出P，Q两点间的距离（用含t的代数式表示）． 【答案】(1)， (2)不变，理由见解析 (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查了列代数式，数轴上两点间距离，整式的加减的应用，掌握数轴上两点间距离公式并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （）根据数轴上两点间距离公式计算即可； （）根据题意求出点，，移动后表示的数，然后根据数轴上两点间距离公式表示，的值，最后再进行计算即可； （）分三种情况讨论，点在点处，点在点的右边，点在点的右边，根据数轴上两点间距离公式分别列出代数式即可； 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：不变，理由如下： ∵经过秒后，，，三点所对应的数分别是，，， 点C在点B的右边，点A在点B的左边， ∴，， ∴， 的值不会随着时间的变化而改变； （3）解：经过秒后，，两点所对应的数分别是，， 当点追上点时，， 解得， 当时，点在点处， ； 当时，点在点的右边， ； 当时，点在点的右边， ； 综上所述，当时，；当时，；当时，． 5．已知在数轴上，一动点从原点出发，沿直线以每秒钟个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，又向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，又向右移动个单位长度 (1)求出秒钟后动点所处的位置； (2)如果在数轴上还有一个定点，且与原点相距个单位长度，问：动点从原点出发，可能与点重合吗？若能，则第一次与点重合需多长时间？若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)能，或秒． 【分析】本题考查了数轴和数字类规律，解题的关键是掌握用数轴表示有理数，注意要分情况讨论求解，弄清楚跳到点处的次数的计算方法． （）先根据“路程速度时间”求出秒钟走过的路程，然后根据左减右加列式计算即可得解； （）分当点在原点右边时，当点原点左侧时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点走过的路程是， 处于：； （2）当点在原点右边时，即表示的数为，设需要第次到达点， 根据题意得， 则， 解得， ∴动点走过的路程是 ， ， ， ∴时间秒分钟； 当点在原点左侧时，即表示的数为，设需要第次到达点， 根据题意得， 则， 解得， ∴动点走过的路程是， ， ， ， ∴时间秒分钟． 6．化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【分析】本题考查了相反数中多重符号的化简，多重符号的化简：与“”个数无关，有奇数个“”负，有偶数个“”号结果为正． （1 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （2 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （3 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （4 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （5 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 7．检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【答案】(1)3号篮球 (2)见解析 【分析】本题考查了绝对值的应用，理解绝对值的意义，能用绝对值解决实际问题是解题的关键． （1）比较，即可求解； （2）根据绝对值的大小，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ∵， ∴3号篮球最接近标准质量； （2）解：由题意得： 如果，那么结果为的质量好一些； 如果，那么结果为的质量好一些； 如果，那么两个篮球的质量一样好． 8．在数轴上把下列各数表示出来，并按从小到大的顺序用“”号把这些数连接起来： ，，0，，，4 【答案】数轴见解析，， 【分析】本题主要考查有理数的大小比较，解题的关键是把各数正确的表示在数轴上；先把不是最简形式的数化简，再根据数轴上的点表示的数从左到右越来越大即可得到结果； 【详解】解：，，， 表示在数轴上如下： ∴， ∴． 9．妈妈在超市买了一袋面粉，发现包装袋上有这样一段字样：“净重：”． (1)这段文字表示这袋面粉的重量在________和________之间． (2)在一次检测中，检验员从一个包装箱中任取了5袋有上述字样的面粉，记录劈如下： 袋号 1 2 3 4 5 质量 803 798 800 794 805 请你结合（1）和上表中的数据，以为标准，超出标准记为正，不足的记为负，用正、负数表示出这5袋面粉的质量，并判断这5袋面粉中不合格的有________袋． 【答案】(1)795，805 (2)袋分别标记为：，，，，，1． 【分析】本题考查正负数在实际质量误差问题中的应用．解题关键是理解“”所表示的合格质量范围，通过计算各袋面粉与标准质量的差值并用正负数表示，进而判断是否合格． （1）理解“”在“”中的含义，即表示在基础上可上下浮动，分别通过计算下限，计算上限，从而确定面粉重量范围． （2）以为标准，用每袋面粉实际质量减去得到差值，差值为正记为“” 、为负记为“” ，表示出各袋质量情况；再依据第一问得出的合格范围，判断超出此范围的袋数． 【详解】（1）(克) (克) 答：这段文字表示这袋面粉的重量在和之间． 故答案为：795；805． （2）1号袋：，1号袋面粉的质量是，1号袋面粉合格． 2号袋：，2号袋面粉的质量是，2号袋面粉合格． 3号袋：，3号袋面粉的质量是，3号袋面粉合格． 4号袋：，4号袋面粉的质量是，4号袋面粉不合格． 5号袋：，5号袋面粉的质量是，5号袋面粉合格． 所以，这5袋面粉中不合格的有1袋． 故答案为：1． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题01有理数复习讲义 ☆ 复习目标 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握正负数、数轴、相反 1.能用数形结合快速理解、 1.概念题零失误，计算题不 数、绝对值、有理数分类 解题 丢分 五大概念 2.运算又快又准，不丢步骤 : 2.混合运算、比较大小、绝 2.熟记加减乘除乘方运算 分、不犯符号错 对值题型全通关 法则与运算律 3.能把实际问题转化为有理 3.本章测试稳拿高分、冲刺 3.会用科学记数法、近似数 数计算 满分 处理数据 ☆ 题型梳理 题型01.正负数的定义 题型02.相反意义的量 题型03.正负数的实际应用 题型04.有理数的定义 题型05.0的意义 题型06.有理数的分类 题型07.带“非”字的有理数 题型08.数轴的三要素及其画法 题型09.用数轴上的点表示有理数 题型10.数轴上两点之间的距离 题型11.数轴上点的平移 题型12.数轴上找原点 题型13.数轴上的规律探究 题型14.相反数的定义 题型15.化简多重符号 题型16.相反数的应用 题型17.绝对值的几何意义 题型18.求一个数的绝对值 题型19.绝对值非负性 题型20.绝对值的其他应用 题型21.有理数的大小比较 题型22.由数轴比较有理数大小 题型23.数轴上整点覆盖问题 题型24.有理数大小比较的实际应用 解答题9题 试卷第1页，共3页 ☆ 知识梳理 知识点01：正数和负数一 世界的两种“方向” 正数：大于0的数，代表向上、向前、增加、盈余。 负数：小于0的数，代表向下、后退、减少、亏欠。 0:中立王者，既不是正数，也不是负数，是正负之间的分界点。 核心意义：专门表示相反意义的量，让数学能描述真实世界。 越来越大 -3 -2-101 23 小结：利用数轴表示有理数，右边的数总比左边的数大。 正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 知识点02：有理数 数的“大家族” 核心定义：整数和分数统称为有理数。 正整数 整数零 自然数 有理数（按定义分类） 负整数 正分数 分数 负分数 正整数 正有理数 正分数 有理数（按符号分类）零（零既不是正数，也不是负数） 负整数 负有理数 负分数 重要结论 试卷第1页，共3页 有限小数、无限循环小数都可以化成分数，都属于有理数。 无限不循环小数（如π）不是有理数。 知识点03：数轴—数形结合的神器 三要素缺一不可：原点、正方向、单位长度 所有有理数，都能在数轴上找到专属位置。 黄金法测： 数轴右边的数永远大于左边，大小一眼看清。 单位长度 -5-4-3 -2 23 45式 原点 正方向 知识点04：相反数 符号不同的双胞胎 只有符号不同、绝对值相等的两个数，互为相反数。 0的相反数仍是0（最特殊的存在）。 几何意义：数轴上关于原点对称，到原点距离完全一样。 -4-3 -2-1 0 23 5 知识点05：绝对值 距离决定的力量 定义：数轴上表示数a的点到原点的距离。 符号：lal 判定口诀： 正数的绝对值是它本身 负数的绝对值是它的相反数， 0的绝对值是0 试卷第1页，共3页 a 知识点06：有理数大小比较—最公平的排序规则 通用顺序：正数>0>负数。 负数比拼：绝对值越大，数反而越小。 最简方法：画数轴，右边大、左边小。 负数<0<正数 小 大 5-4-3-2-1 0 12 345 数轴上原点右边的点所表示的数是正数，原点左边的点所表示的数是负数 小结：正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数 本章一句话通关 认正负、会分类、懂数轴、记相反数、用绝对值、会比大小，有理数轻松吃透！ 题型精析 题型01.正负数的定义 【典例】-5，+32,0,6,3这几个数中，正数有()个 A.1 B.2 C.3 D.4 【跟踪专练1】在-08,35，写45，+63,0.8-127这8个数巾，正数有 个，负数有 个 【跟踪专练2】《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两 数若其意义相反，则分别叫做正数和负数.如果收入3元记作+3元，那么支出5元，记作 () A.-5元 B.-3元 C.+5元 D.+3元 题型02.相反意义的量 【典例】下列各对量中，不具有相反意义的量是() 试卷第1页，共3页 A.收入100元与支出50元 B.气温上升3C与下降2C C.前进5米和后退3米 D.身高增加2cm与体重减少2kg 【跟踪专练1】如果电梯上升10米，记作+10米，那么下降7米可记作米。 【跟踪专练2】在下列选项中，具有相反意义的量是() A.上升了6米和后退了7米 B,卖出10斤米和盈利10元 C.收入20元与支出30元 D.向东行30米和向北行30米 题型03.正负数的实际应用 【典例】第九届亚冬会于2025年2月7日在哈尔滨举办，开幕式当天室外温度可能是(). A.-60℃ B.20℃ C.-15℃ D.51℃ 【跟踪专练1】如图，标号为①②③④的时钟准确显示了同一时刻的伦敦、悉尼、纽约和北 京时间，根据如表给出伦敦悉尼、纽约与北京的时差(“+”表示同一时刻比北京早的时间， “-”表示同一时间比北京晚的时间)，表示伦敦、悉尼、纽约和北京时间的时钟标号分别 6.3 65 ① ② ③ ④ 伦 悉 城市 纽约 敦 尼 时差 8 +2 -13 【跟踪专练2】如图是一种转盘型密码，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上 的标记线对齐、再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次，例如，按逆时针方向旋 转5个小格记为“+5”，此时标记线对准的数是5.再顺时针旋转2个小格记为“-2”，再逆时 针旋转3个小格记为“+3”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“+5，-2，+3.此时标 记线对准的数是6.如果一组开锁密码为“-15，+10，-5”要想打开锁，按上述规定方式旋 转锁盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？() 试卷第1页，共3页 A.10 B.0 C.30 D.25 题型04.有理数的定义 【爽例】下列7个数：子10101001，号0，-2，-31414144…（每两个1之间 依次多一个4)，3.3，其中有理数有（）个. A.3 B.4 C.5 D.6 【跟踪专练1】阅读以下材料：如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位 起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重 复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节.例如0.666..的循环节是“6”，它可以写作 0.6,像这样的循环小数称为纯循环小数.又如0.1333.、0.2456456456.的循环节是“3“456”， 它们可以写作0.13、0.2456，像这样的循环小数称为混循环小数 阅读材料回答下列问题： (1)0.i23是 循环小数（填“纯”或“混”） (2)0.24的循环节是 【跟踪专练2】我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为： 个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替.发现负数 后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数.如算筹‖三瓜”表 示的数为-248，则算筹“三”表示的数为() 123456789 ‖TTTT瓜 纵式 要至⊥⊥上言 横式 中国古代的算筹数码 A.6037 B.-6037 C.637 D.-637 试卷第1页，共3页 题型05.0的意义 【典例】下列说法正确的是() A.-0.5是负分数 B.-1是负数，但不是整数 C.0是正数 D.3是分数但不是正数 【跟踪专练1】 既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界线. 【跟踪专练2】下列说法正确的有() ①一个数不是正数就是负数；②海拔-155m表示比海平面低155m; ③负分数不是有理数；④零是最小的数： ⑤零是整数，也是正数；⑥-1是最大的负数. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型06.有理数的分类 【爽1在-39,5，令02引号.-2中，负分数有《) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 【跟踪专练1)已知下列各数：-3,7,5，-0.86，名 号，0,023.其中整数是 非负数是： 【跟踪专练2】下列描述正确的有(）个 ①一个数不是正数就是负数： ②小麦每公顷产量一定，小麦的总产量与公顷数成正比例： ③等底等高的圆柱圆锥，圆柱的体积是圆锥的体积的3倍； ④一件商品先提价10%，然后再降价10%，现价和原价一样. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型07.带“非”字的有理数 典例已知下列路数，-7,24，，3,0，-2.8，-12，-2，其中非负数有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【跟踪专练1】在下列数3,0，：4，--4中，非负数是 【跟踪专练2】下列各数中最小非负数是() A.-2 B.-1 C.0 D.1 试卷第1页，共3页 题型08.数轴的三要素及其画法 【典例】下列各图中，数轴表示正确的是() A.-1 0 B. c.-10 D. 0 1→ 【跟踪专练1】四位同学所画的数轴如图所示，其中正确的是() A.20123> B.广2345→ c.1202 D.21012 【跟踪专练2】下列各图中，是数轴的是（) A.-2-1012 B.-1012→ C.3-2-11234> D.2-012> 题型09.用数轴上的点表示有理数 【典例】如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是() 上h -2-10 1 A.0.5 B.-0.5 C.-1.5 D.-2.5 【跟踪专练1】如图，小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数是 -0.8 1.6 【跟踪专练2】下图中，如果A点表示0，E点表示1，则G点表示 ;如果D点 表示0，G点表示1，则A点表示 A B C D E F G 题型10.数轴上两点之间的距离 【典例】写到原点的距离是() 1 A. C.3 3 D.-3 【跟踪专1】数轴上3.5和-2.5的中点所表示的数是 【跟踪专练2】如图，将一刻度尺放在数轴上，刻度尺上的0cm”和“6cm”分别对应数轴上 试卷第1页，共3页 表示-2和4的两点，那么刻度尺上的“4cm”对应的点表示的数值为() -2 4 01234567 A.0 B.1 C.2 D.3 题型11数轴上点的平移 【典例】点M为数轴上表示-2的点，将点M沿数轴向右平移t个单位到点N,则用含有t的 代数式表示N对应的数是() A.-2-t B.-2+t C.2+t D.-t-2 【跟踪专练1】在数轴上点A如图所示，将点A在数轴上右移7个单位到达点B,则点B所 表示的数为() A -5 0 A.7 B.2 C.-7 D.-2 【跟踪专练2】如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，A,B,C 三点将圆三等分，将点A与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为 点B与数轴上表示2的点重合，点C与数轴上表示3的点重合，点A与数轴上表示4的点重 合，···，若当圆停止运动时点B正好落到数轴上，则点B对应的数轴上的数可能为() -10 2 34 5 A.2020 B.2021 C.2022 D.2023 题型12.数轴上找原点 【典例】如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是-3. A B (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是 (2)在数轴上找一点C,使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为 【跟踪专练1】如图，数轴上有三个点A,B,C,其中C是线段AB的中点，则原点O的位置 () 试卷第1页，共3页 A C B 5 A.位于线段AC上，且靠近A点 B.位于线段AC上，且靠近C点 C.位于线段BC上，且靠近B点 D.位于线段BC上，且靠近C点 【跟踪专练2】小梦做题时，画了一个数轴，在数轴上原有一个点A,其表示的数是-3， 由于粗心，小梦把数轴的原点标错了位置，使点A正好落在了-3的相反数的位置，要把数 轴画正确，原点应() A.向右移6个单位长度 B.向右移3个单位长度 C.向左移6个单位长度 D.向左移3个单位长度 题型13.数轴上的规律探究 【典例】如图，等边三角形ABC的边AC在数轴上，现将等边三角形ABC沿着数轴向右翻 滚（无滑动），第1次翻滚后点B到点B位置.若点A表示的数为-1，等边三角形ABC的 边长为2，则翻滚2024次后点A在数轴上对应的数为() 第一次第二次 B A” A.2024 B.4047 C.4049 D.6071 【跟踪专练1】如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母A,B, C,D,先将圆周上的字母A对应的点与数轴上的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数 轴向左滚动，那么数轴上的-2023所对应的点将与圆周上字母()所对应的点重合. B ◆D 、A -3-2-1012 345 A.A B.B C.C D.D 【跟踪专练2】在数轴上，点O表示原点，现将点A从O点开始沿数轴按如下规律移动：第 一次点A向左移动1个单位长度到达点A,第二次将点A向右移动2个单位长度到达点A, 第三次将点A向左移动3个单位长度到达点A,第四次将点A向右移动4个单位长度到达 点A,，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点A,当n=2025时，点A025与原 点的距离是个单位 试卷第1页，共3页 题型14.相反数的定义 【典例】-2026的相反数是() 1 1 A.2026 B.-2026 C. D. 2026 2026 【跟踪专练1】若3x-1与y+1互为相反数，则y= 【跟踪专练2】下列语句叙述正确的是() A.对于任意有理数，若a+b=0,则a月bB.对于任意有理数，若|a曰b1,则 a+b=0 C.对于任意有理数，若a≠0，b≠0，则a+b≠0D.两个有理数的和为正数，这两个 数一定为正数 题型15.化简多重符号 【典例】下列化简，正确的是() A.-[-(-10)=-10 B.-(-3)=-3 C.-(+5)=5 D.-[-(+8)川=-8 【跟踪专练1】比较大小： -(-1.7）（填“>”、“<”或“=”). 【跟踪专练2】下列各式中，化简正确的是() A.--5=5 B.--5）=-5 C.-5=-5 D.-（-5)=5 题型16.相反数的应用 【典例】若不为0的有理数a与b互为相反数，同学们化简a+b后得出了下列不同的结果： ①-2b；②-2a；③2a;④0.其中结果错误的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 【跟踪专练1】互为相反数的两个数（都不为零）的商为() A.-1 B.1 C.0 D.不确定 【跟踪专练2】a+2和b-3互为相反数，那么a+b= 题型17.绝对值的几何意义 【典例】在下列各温度中，最接近0℃的是() A.-1℃ B.5℃ C.-3℃ D.+3℃ 试卷第1页，共3页 【跟踪专练1】若a=-a,则a是() A.正数 B.非正数 C.负数 D.非负数 【跟踪专练2】己知x=7,y=12,且x>y,则x+y的值为 题型18.求一个数的绝对值 【典例】-2026的绝对值是() 1 A.2026 B.-2026 C. 2026 D. 1 2026 【跟踪专练1】在-1，-(-2)，0，--2.5，+3中，最小的数是() A.0 B.--2.5 C.-1 D.-(-2) 【跟踪专练2】已知x=5,y=2,且x+y<0,则x-y的值等于() A.7和-7 B.7 C.-7 D.以上答案都不对 题型19.绝对值非负性 【典例】如果x为有理数，式子2025-x+4存在最大值，这个最大值是() A.2025 B.2024 C.2023 D.2022 【跟踪专练1】a-3+b+2=0,则a+b-3=() A.3 B.-2 C.-3 D.2 【跟踪专练2】若有理数a,b满足a=10,b=9,且a+b=-(a+b),则a-b的值是() A.-19 B.1 C.-1或-19 D.1或-19 题型20.绝对值的其他应用 【典例】某公司抽检盒装牛奶的容量，超过标准容量的部分记为正数，不足的部分记为负数： 从容量的角度看，以下四盒牛奶容量最接近标准的是() B milk D. mil +0.8mL -1.2mL -0.5mL +1mL 【跟踪专练1】生产厂家检测4个篮球的质量，结果如图所示，超过标准质量的克数记为正 数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的篮球是() 试卷第1页，共3页 +1.4 -0.5 +0.6 -2.4 【跟踪专练2】若a、b为有理数，a<0,b>0,且a>b,那么a,b,-a,-b的大小 关系是() A.-b<a<b<-a B.b<-b<a<-a C.a<-b<b<-a D.a<b<-b<-a 题型21.有理数的大小比较 【典例】在1,0,2，-2四个数中，最小的数是() A.1 B.0 C.2 D.-2 【跟踪专练1】若x<0,y>0,则x,x+y,y-x,y中最大的数是() A.x B.y-x C.x+y D.y 【跟踪专练2】下列比较大小错误的是() A.-0.02<1 B.43 3>4 C. >-1-0.751D.2>-3.14 题型22.由数轴比较有理数大小 【典例】数轴上表示-3.5与2.1的点之间的整数共有() A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 【跟踪专练1】a,b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a,-a,b, -b按照从小到大的顺序排列，正确的是() a 0 b A.-b<-a<a<b B.-b<a<-a<b C.-a<-b<a<b D.-b<b<-a<a 【跟踪专练2】己知有理数Q、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是() a -10 1 1 1 A.-<a< <b 11<b b B.a< a a b 试卷第1页，共3页 1 C.-<a<b< .1 b a b 题型23.数轴上整点覆盖问题 【典例】如图所示，在数轴上，墨渍遮挡住的点表示的数可能是() △012> A.-1 B.0 C.-3 D.2.5 【跟踪专练1】若在单位长度1cm的数轴上随意画出一条长100cm的线段AB,则线段AB盖 住的整数点至少有() A.9个 B.10个 C.100个 D.101个 【跟踪专练2】如图，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，可以确定墨迹盖住的整数 有 个 -6.5 -10 4→ 题型24.有理数大小比较的实际应用 【典例】水的凝固温度是0℃，酒精的凝固温度是-117℃，水银的凝固温度是-39℃，凝固 温度最高的是 ，凝固温度最低的是 【跟踪专练1】有5张卡片，卡片正面分别写有五个数，背面分别写有五个字母，如下表： 正面 7的相反数 - 2 -12 0 背面 将卡片正面的数由小到大排列，然后将卡片翻转使背面朝上，卡片上的字母组成的单词是 【跟踪专练2】根据表格提供的四位同学行走的数据，步行速度最快的是() 小杰 小丽 小磊 小明 时间 20秒 30秒 23秒 25秒 距离 68米 100米 64米 80米 A.小杰 B.小丽 C.小磊 D.小明 解答题 试卷第1页，共3页 1.某百货商店的每个月的营业成本是12万元，去年上半年月收入分别是： 1月：13万元，2月：16万元，3月：11万元，4月：17万元，5月：12万元，6月： 10万元 ()你会用正负数表示百货商店的盈亏情况吗？ 月份 月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元》 (②)哪个月的营业状况最好？哪个月的营业状况最差？ 月份 月 月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） +1 +4 -1 +5 0 2现有下列各数：①-k1.②弓@号@0，⑤-9%，@13 (1)把上列各数序号填入相应的大括号里： 负数集合：{ }: 整数集合：{ … (2)请把下面不完整的数轴（图）补充完整，并在数轴上标出上列各数中的所有整数， -3-2 3.(1)在数轴上表示出下列各点. AB. 5 C.-3 D.4 (2)点A和点B之间相差 个单位长度， 4.阅读：如图，已知数轴上有A,B,C三个点，它们表示的数分别是-18，-8,8.A到C 的距离可以用AC表示，计算方法：C表示的数8，A表示的数-18,8大于-18，用 8-(-18).用式子表示为：AC=8-(-18)=26. 根据阅读完成下列问题： A B -18 -8 0 (1)填空：AB=-,BC=- (②)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长 试卷第1页，共3页 度和9个单位长度的速度向右运动，试探索：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变？ 请说明理由； (③)现有动点P,Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向右移动，当点P移动 6秒时，点Q才从A点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动.设点P移动的时间 为t秒(0≤1≤19)，写出P,Q两点间的距离（用含t的代数式表示）. 5.已知在数轴1上，一动点Q从原点0出发，沿直线1以每秒钟2个单位长度的速度来回移 动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单 位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度… 0 (1)求出5秒钟后动点Q所处的位置： (②)如果在数轴1上还有一个定点A,且A与原点0相距20个单位长度，问：动点Q从原点 出发，可能与点A重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由. 6.化简下列各数： (1)+(-2)； (2)-+5): (3)--3.4)； (④-[+(-8)]； 5)-[-(-9]. 7.检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数， 检查的结果如下表： 篮球编号 与标准质量的差/g +4 -9 (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为☑和b,请利用学过的绝对值的知识指出 哪个篮球的质量好一些？ 8.在数轴上把下列各数表示出来，并按从小到大的顺序用“<”号把这些数连接起来： 试卷第1页，共3页 3,分0，（，4 -6-5-4-3-2-10123456→ 9.妈妈在超市买了一袋面粉，发现包装袋上有这样一段字样：“净重：800±5g”. (1)这段文字表示这袋面粉的重量在 g和 g之间。 (②)在一次检测中，检验员从一个包装箱中任取了5袋有上述字样的面粉，记录劈如下： 袋号 1 2 3 质量g 803 798 800 794 805 请你结合(1)和上表中的数据，以800g为标准，超出标准记为正，不足800g的记为负， 用正、负数表示出这5袋面粉的质量，并判断这5袋面粉中不合格的有 袋 试卷第1页，共3页