第四章《三角形》复习题--三角形全等经典几何模型——倍长中线 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 以倍长中线法为核心，通过构造全等三角形系统解决三角形中线相关的线段关系与取值范围问题，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|选择2-5、填空7-9（7题）|延长中线至等长构造SAS全等，转移线段或角|中线性质→全等构造→条件集中→三边关系应用| |综合拓展|选择1、6，填空10，解答11-17（10题）|结合角平分线、等腰直角三角形等综合构造|全等性质→多条件整合→复杂线段关系证明|

第四章《三角形》复习题-三角形全等经典几何模型一一倍长中线 一、选择题 1.如图，△ABC中，点D为AC的中点，点E是AC下方一点，连接BE,CE.BD平分∠ABE, CE∥AB,若CE=3,BE=7,则AB的长为() A.11 B.10 C.9 D.8 2.已知△ABC的AB边长为4，AC边长为8，则BC边上的中线AD的长度的取值范围() A.1<AD<5B.2<AD<6 C.3<AD<7 D.4<AD<8 3.在△ABC中，AC=6,BC边上的中线AD=7,则AB边的取值范围是() A.6<AB<7 B.5<AB<14 C.7<AB<20 D.8<AB<20 4.如图，在△ABC中，D为BC的中点，若AC=3,AD=4.则AB的长不可能是 A.5 B.6 C.7 D.8 5.已知AD是△ABC的边BC上的中线，AB=12,AC=8,则边BC及中线AD的取值范围分别 是() A.2<BC<20,4<AD<20 B.4<BC<20,4<AD<20 C.2<BC<10,2<AD<10 D.4<BC<20,2<AD<10 6.如图，在△ABC中，AD为中线，在DA延长线上取一点E,连接EC,使∠E=LBAD,过点 C作CF⊥AD于点F.下列结论中正确的个数为() O4F=CF:②4B=CE:③4E=2DF:④3m=3@:⑥5am+Sc=Sc B D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 7.在△ABC中，若AB=5,AC=7,则中线AD的最大整数值是. 8.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AC=4,AD=5,AB的长度为偶数，则AB的所 有可能值为 9.中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法” 添加辅助线.如图，△ABC中，若AB=4,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.同学们经过 合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E,使DE=DA,连接CE. D 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①由已知和作图能得到△ABD≌aECD,其依据是 (用字母表示)； ②由三角形的三边关系可以求得AD的取值范围是 (直接填空)· I0.如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连接CE交AD于点F, 连接BD交CE于点G,连接BE,CD,点H是CD的中点，延长HA交BE于点K,下列结论： 0cE=D,@△40c是幸是直有三有形，©∠A08=a,@E=2,⑤瓜1：共中 正确的是 (填序号) B 三、解答题 I1.如图，在△AEC中，点B、D在EC上，∠E=∠CAD,点D是BC的中点，若AB平分∠DAE, 求证：AC=BE, 12.1)已知，如图△MBC中，A是BC边上的中线，求证：AM<B+AC (2)△ABC中，已知AB=9,AC=5,求AM的取值范围是 B M 13.如图，在四边形ABCD中，AB=CD=8,AB∥CD,G为BC的中点，E在线段AB上，过点G作 GF⊥EG交CD于点F.若CF=3DF,EF=9,求AE的长. D B G C 14.如图，△ABC中，D是BC的中点，M在AC边上，AD与BM交于点F. (1)若AB=10,AC=6,直接写出AD的取值范围是_； (2)若AM=MF,求证：BF=AC. y F B 15.如图，已知在△ABC中，点E是AC的中点，BE⊥ED,∠ABE=∠DBE,那么线段CD、BD、AB 之间具有怎样的数量关系？并证明你得到的结论 16.(1)如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC,E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试 探究AB,AD,DC之间的等量关系，证明你的结论； (2)如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC,AF与DC的延长线交于点F,E是BC的中点，若AE 是∠BAF的平分线，试探究AB,AF,CF之间的等量关系，证明你的结论. y D B 图① 图② 17.(1)如图1，在△ABC中，AB=5,AC=9,AD是BC边上的中线，延长AD到点E使 DE=AD,连结CE,把AB,AC,2AD集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值 范围.AD的取值范围是 (2)如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E,F分别在AB,AC上，且DE⊥DF, 求证：BE+CF>EF.小艾同学受到(1)的启发，在解决(2)的问题时，延长ED到点H, 使DH=DE…请你帮她完成证明过程. (3)如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠A+∠C=180°，∠ADC=120°， DA=DC,点E,F分别在BC,AB上，且∠EDF=6O°，连结EF,试探索线段AF,EF,CE 之间的数量关系，并加以证明. B B D B E 图1 图2 图3 参考答案 一、选择题 1.B 解：连接ED并延长交AB于点F,在BD的延长线上取一点H,使DH=DB,连接FH,如图， ,D、 E H .点D为AC的中点，CE=3,BE=7, :.AD=CD, CE∥AB, .∠A=∠DCE, 又'∠ADF=∠CDE, :△1DF2áCDE(4SM ∴.AF=CE=3,DE=DF, DE=DF,∠FDH=∠EDB,DH=DB, .△DHF≌aDBE(SAS .HF=BE=7,∠H=∠DBE, BD平分∠ABE, ∴.∠DBE=∠DBF, ∴∠H=∠DBF, ∴.BF=HF=7, ∴.AB=AF+BF=3+7=10, 故选：B. 2.B 解：延长AD到点E,使得DE=AD,连接BE,则AE=2AD, A B D E 点D是BC的中点， ∴.BD=DC, 又∠ADC=∠BDE, :AADC≌aEDB(SAS ∴.BE=AC=8, ∴.BE-AB<AE<BE+AB,即8-4<AE<8+4, ∴.4<2AD<12,即2<AD<6, 故选：B. 3.D 解：如图，延长AD至E,使AD=ED=7, D .AD 是△ABC的中线， .BD=CD, 在△ADC和△EDB中， (CD=BD ∠ADC=∠EDB AD=ED ∴.△ADC2AEDB(SAS ∴.AC=EB=6, AD=ED=7. ∴.AE=2AD=14， 14+6=20,14-6=8, .8<AB<20 A、错误，不符合题意； B、错误，不符合题意； C、错误，不符合题意； D、正确，符合题意. 故选：D. 4.A 解：如图，延长AD至H,使AD=DH=4,连接BH, B H 则AH=8, :D为BC的中点， ∴.BD=CD 在△ADC和△HDB中， AD=DH ∠ADC=∠HDB CD=BD ∴AADC≌△HDB(SAS :.AC=BH=3, 在△ABH中，AH-BH<AB<AH+BH, .5<AB<11, 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A 5.D 解：如图所示， D E 在△ABC中，则AB-AC<BC<AB+AC, 即12-8<BC<12+8,4<BC<20, 延长AD至点E,使AD=DE,连接BE, AD是△ABC的边BC上的中线， ∴.BD=CD 又∠ADC=∠BDE,AD=DE ∴.△ACD≌△EBD(SAS ∴，BE=AC 在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE,即AB-AC<AE<AB+AC, 12-8<AE<12+8,即4<AE<20, .2<AD<10 故选：D. 6.D 解：作BG⊥EG,如图： --D ∠G=∠CFD=90°，∠BDG=∠CDF,BD=CD .∴.△BDG≌△CDF .'.DG=DF,BG=CF,SABDG=SACDF :∠E=∠BAD∠EFC=∠AGB=90,CF=BG ∴.△CEF≌△BAG ..AB=CE,AG=EF,SACEF=SABAG ①无法推出AF=CF,故①错误； ②正确； ③，AG=EF AG=AF+GF.EF=AF+AE 且 ∴.AE=GF .'DG=DF ∴.AE=2DF 故③正确： ④，AD为中线 S.ABD =SACD 故④正确； ⑤5aun+Sams=SaMB0+Saax=Sac=5SaE0 故⑤正确； 故选：D 二、填空题 7.5 解：如图，延长AD到E,使DE=AD,连接BE, D .AD是△ABC的中线， ∴.BD=CD, 在△ADC与△EDB中， BD=CD ∠ADC=∠BDE AD=DE :.∴△ADC≌EDB(SAS :.EB=AC, 根据三角形的三边关系得：BE-AB<AE<BE+AB, .2<AE<12, AE =2AD, .1<AD<6, ∴.中线AD的最大整数值是5. 故答案为：5. 8.8,10,12 解：如图，延长AD至E,使DE=AD=5,连接CE, D E :AD为BC边上的中线， .BD=CD 在△ABD和△ECD中， AD=DE ∠ADB=∠EDC, BD=CD ∴.△ABD≌ECD(SAS :AB=EC, AC=4.AE=AD+DE=10, AE-AC<EC<AC+AE, ∴.6<EC<14 .6<AB<14 ·AB为偶数， ∴.AB=8,10,12. 故答案为：8,10,12 9. SAS 1<AD<5 解：①AD是中线， :BD=CD, 在△ABD和△ECD中， CD=BD I∠ADB=∠EDC AD=ED :，∴△ABD≌ECD(SAS) 故答案为：SAS; ②.△ABD≌AECD, :.CE=AB=4, ∴.AC-CE<AE<AC+CE, 6-4<AE<6+4,即2<AE<10, AD DE, AD=2 1<AD<5, 故答案为：1<AD<5. 10.①④⑤ 解：，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， .AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°， ∴.∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD, 即∠BAD=∠CAE, 在△BAD和△CAE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE :.△BAD≌CAE(SAS) ∴.BD=CE, ∴结论①正确； 题目中没有给出AD=AC的条件，只有△ABC和△ADE是等腰直角三角形，即AB=AC, AD=AE, .AD和AC不一定相等， ∴.△ADC不一定是等腰直角三角形， .结论②错误； ,点E的位置不一定使得∠AEC=∠AEB, 结论③错误； 如图，延长AH到M,使HM=AH,连接DM, B H M H是CD的中点， .CH=DH, 在△AHC和△MHD中， AH=MH ∠AHC=∠MHD CH=DH :.△1HC≌MHD(SAS) ∴.AC=MD,∠HAC=∠HMD,AH=MH, 、ACI‖MDAB=AC=MDAM=2AH ∴.∠CAD+∠ADM=180°， .∠BAC=∠DAE=90°， ∴.∠BAE+∠CAD=360°-90°-90°=180°， .∠BAE=∠ADM, 在△BAE和△MDA中， AB=MD ∠BAE=∠ADM AE=AD :aBHE≌aD4川SAS ∴.BE=AM, ∴.BE=2AH, ∴.结论④正确； .△BAE≌△MDA, ∴.∠ABE=∠DMA, .∠HAC=∠DMA, ∴.∠HAC=∠DMA, .'∠HAC+∠BAK=180°-∠BAC=90°， ∴.∠ABE+∠BAK=90°， .∠AKB=90°， ∴.HK⊥BE, ∴.结论⑤正确， 综上，正确的是①④⑤ 故答案为：①④⑤. 三、解答题 11. 解：证明：延长AD至F使DF=AD,连接CF,如图所示： B D为 ,点D是BC的中点， ∴.BD=DC, 在△ABD和△FCD中， BD=DC ∠ADB=∠FDC AD=DF △1BD≌*FCD(SAS) ∴.∠BAD=∠CFD,AB=FC, AB平分∠DAE, ∴.∠BAD=∠EAB, ∴.∠CFD=∠EAB, 在△FCA和△ABE中， [∠CFD=∠EAB ∠CAD=∠E CF=AB :.△FCAABE(AAS) .AC=BE 12.解：证明：延长AM到D,使MD=AM,连接CD, D :AM是BC边上的中线， ∴.BM=CM, 在△ABM和△DCM中， AM=DM ∠AMB=∠DMC BM=CM .△ABM≌△DCM(SAS) .AB=CD, 在△ACD中，则AD<AC+CD, 即2AM<AC+AB, AM4B AC) (2)解：在△ACD中，CD-AC<AD<AC+CD, 由(1)知，AD=2AM,AB=CD, ∴.AB-AC<2AM<AB+AC, AB=9,AC=5, .4<2AM<14, ∴.2<AM<7 13.解：延长EG,DC交于点K.如图， A E B G、 K .AB∥CD, ∴.∠B=∠GCK,∠BEG=∠K, ,G为BC的中点， ∴.BG=CG, △BGB≌CGK(AAS) .BE=CK,EG=KG ,过点G作GF⊥EG交CD于点F. ∴.∠EGF=∠KGF=90°， 又.FG=FG .aFGE≌FGK(SAS) ∴.EF=FK=9 CF=3DF,AB=CD=8 :CF-3CD-6.DF-1CD-2, 4 4 .'BE=CK=KF-CF=3, ∴.AE=AB-BE=8-3=5. 14.解：（1)解：延长AD至E,使DE=AD, F B D E D为BC的中点， ∴.DB=CD, 在△ADC和∠EDB中 AD=DE ∠ADC=∠BDE DB=CD ∴.△ADC≌∠EDB ∴.BE=AC, 在△ABE中， AB+BE>AE, .AB+AC>2AD,AB-AC<2AD. AB=10,AC=6, ∴.2<AD<8」 故答案为：2<AD<8 (2)由(1)得△ADC≌∠EDB, ∴.BE=AC,∠E=∠CAD. AM=MF, ∴.∠CAD=∠AFM, .∠AFM=∠BFE, ∴.∠E=∠BFE, ∴.BF=BE, .BE=AC, ∴.BF=AC. 15.解：延长DE,交AB于点F（如图). A F E D .:由BE⊥ED得∠BED=∠BEF=90O,∠ABE=∠DBE,BE=BE :.△MBE≌△DBE(ASA ∴.BF=BD,EF=ED, 点E是AC的中点，则EA=EC AE=CE ∠AEF=∠CED 在 与 △AEF△CED 中， EF=ED 、△AEF≌△CEDSAS ∴CD=AF ∴.CD+BD=AF+BF=AB 即CD+BD=AB, 16. 解：(1)证明：延长AE交DC的延长线于点F, B F 图① E是BC的中点， ∴.CE=BE, ,AB∥DC, .∠BAE=∠F, ∠BAE=∠F ∠AEB=∠FEC 在△AEB和△FEC中， BE=CE ∴.△AEB≌△FEC, ∴.AB=FC, .AE是∠BAD的平分线， ∴.∠BAE=∠EAD, .AB∥CD, ∴.∠BAE∠F, ∴.∠EAD=∠F, ∴.AD=DF, .AD=DF=DC+CF=DC+AB, (2)如图②，延长AE交DF的延长线于点G, 4 图② G ,E是BC的中点， ∴.CE=BE, .AB∥DC, ∴.∠BAE=∠G, ∠BAE=∠G ∠AEB=∠GEC 在△AEB和△GEC中 BE=CE ∴.△AEB≌△GEC, ..AB=GC, ,AE是∠BAF的平分线， ∴.∠BAG=∠FAG, .AB∥CD, .∠BAG=∠G, ∴.∠FAG=∠G, ∴FA=FG ∴.AB=CG=AF+CF, 17.解：(1)2<AD<7;理由如下： .AD是BC边上的中线， ∴.CD=BD 在△CDE和△BDA中， CD=BD ∠CDE=∠BDA DE=AD :ACDE≌△BDA(SAS), :EC=AB, AB=5, .EC=AB=5. 在△AEC,AC-CE<AE<AC+CE,且AC=9, .4<AE<14, .DE=AD, .4<2AD<14, .2<AD<7 (2)解：如图，延长ED到H,使得DE=DH,连结HC,FH. B E ,在△ABC中，AD是BC边上的中线， ∴.BD=CD 在△BDE和△CDH中， BD=CD ∠BDE=∠CDH DE=DH ∴，△BDE≌CDH(SAS) :BE=CH, :FD⊥EH, 又DE=DH, :EF FH, 在△CFH中，CH+CF>FH, .CH=BE,FH=EF, ∴.BE+CF>EF (3)解：结论：AF+EC=EF, 理由：延长BC到H,使得CH=AF」 D B ·.·∠A+∠BCD=180° :∠DCH+∠BCD=180°， .∴.∠A=∠DCH, .AF=CH,AD=CD, .△AFD≌ACHD(SAS) ∴.DF=DH,∠ADF=∠CDH, :∠EDF=60°，∠ADC=120°， .∠ADF+∠EDC=60°， .∠CDH+∠EDC=60°， ∴.∠EDF=∠EDH, :DE =DE, ,△EDF≌△EDH(SAS) :EF =EH, EH EC+CH=EC+AF, .EF=AF+EC