专题02 全等三角形模型之截长补短与倍长中线的二种模型（高效培优专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

专题02 全等三角形模型之截长补短与倍长中线的二种模型 目录 题型一：全等三角形模型之截长补短模型 1 题型二：全等三角形模型之倍长中线模型 17 题型一：全等三角形模型之截长补短模型 截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。 【常见模型及证法】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+DC=AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 1．（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图1，在四边形中，，点E，点F分别在边上，已知，． (1)请直接写出线段之间的数量关系； (2)证明（1）中的结论； (3)如图2，若点E，点F分别在边的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)不成立，，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）由题目条件结合半角问题，可得到猜想：； （2）延长到H，使，连接，先证明，得，；再证明，得，从而可证明结论； （3）在上截取，证明，得，，再证明，得，即． 【详解】（1）解：； （2）证明：如图，延长到H，使，连接， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：不成立，，理由如下： 如图，在上截取， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·上海·月考）已知在中，，射线、在内部，分别交线段于点、． (1)如图1，若，，作于点，分别交、于点、． ①求证：； ②若，连接，求的度数； (2)如图2，点为上一点，交于点，连接．若，求的值． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）①由，得到为等边三角形，根据等边三角形的性质得到，，求得，推出证得，根据全等三角形的性质即可得到结论； ②证明即可解决问题； （2）如图2，在上取，连接，推出，根据全等三角形的性质得到，，证得是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：①，， 为等边三角形， 则，， ，， ， ，， ， 在与中， ， ， ； ②如图1，取的中点连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ，，， ， 在与中， ， ， ， ； （2）解：如图2，在上取，连接， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ． 3．（25-26八年级上·广东珠海·期末）实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB上的点处（如图1（2））．由，，可得． 【类比探究】 （1）如图2，在中，，类比上述的方法，请证明． 【方法运用】 （2）如图3，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）见解析，（2），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定、三角形外角的性质，三角形内角和定理．构造全等三角形，转化线段和角的关系是解题的关键． （1）把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点D、E，由翻折可得：， （2）在上取，使，连接，可得，进而可得，由此证明， ，进而得出结论． 【详解】（1）证明：把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点、 由翻折的性质可知，， ， ，即 ［方法运用］ （2）解：，理由如下： 如图（3），在上取，使，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ，即 4．（22-23七年级下·江苏盐城·期末）【尝试探究】如图1，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为），点、分别在边、上运动，当时，探究、和的数量关系，并加以说明； 【模型建立】如图2，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想【尝试探究】中的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图3，已知是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为），，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，直接写出的周长．    【答案】【尝试探究】，证明见解析；【模型建立】成立，证明见解析；【拓展应用】16 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是通过旋转构造全等三角形．本题主要考查半角模型，平时多归纳，多积累，可以帮助我们快速解题． [尝试探究]：把绕点顺时针旋转90°至，可使与重合，证明即可得出结论； [模型建立] 将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合，证明，即可得出结论； [拓展应用] 将绕点旋转，得到，证明，得到，再根据三角形的周长公式进行求解即可． 【详解】解：[尝试探究]． 证明：如图，把绕点顺时针旋转至，可使与重合， ∵， ∴，点、、共线， ∴， 即． 在和中，， ∴， ∴， ∴； [模型建立] 成立，如图， 证明：将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合， 由旋转得：，，，， 同理得：点，，在同一条直线上， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴【尝试探究】中的结论还成立，； [拓展应用]∵是边长为8的等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， 将绕点旋转，得到， 则：和重合，，，， ∴， ∴三点共线， 同法，可得：， ∴， ∴的周长． 5．（25-26八年级上·吉林长春·期末）同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题． (1)（1）在中，平分，，求证：；任选下面一种方法，并写出完整的证明过程： 方法一：如图①，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图②，延长到点F，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题． (2)如图③，在中，，交于点H，直接写出之间的等量关系________． (3)如图④，在中，平分，，分别为的角平分线，，，直接写出________． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、解分式方程、等腰三角形的判定和性质等知识，准确添加辅助线构造全等三角形和熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）选择方法一：证明．则，证明，则，即可得到结论；选择方法二：证明．则，即可得到结论； （2）在上取点G，使，证明，，则，即可得到； （3）根据角平分线的性质定理可知点D到的距离等于点D到的距离，得到，又由，得到，同理，，设，列出方程组并解方程组即可得到答案． 【详解】（1）若选择方法一． 证明：如图①，在上截取，使得，连接， ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 若选择方法二． 证明：如图②，延长到点F，使得，连接， ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵ ∴． ∴， ∴， ∴． （2）解：在上取点G，使， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：∵平分， ∴点D到的距离等于点D到的距离， ∴， ∵， ∴， 同理， 设，则 ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·北京·期中）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题． 某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习： 已知在四边形中，，，分别是直线，上的点． （1）如图，若，，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为__________． （2）如图，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组的同学们先猜想线段，，之间的数量关系，然后借助第（1）问中研究问题的思路和方法进行探讨，发现有以下两种证明方法： 方法1：延长至点，使得，先证与的全等，再证与的全等，可得到线段，，的之间的数量关系． 方法2：在上截取，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系． 请你写出猜想结果，并选择一个方法添加辅助线完成证明． （3）如图，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）  （2）   （3） 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等和对应边相等进行推导变形． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得结论； （2）如图2：在上截取，连接，先判定，进而得出，再判定，可得结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图 1，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （2）如图2，， 理由如下： 在上截取，连接， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）结论：． 理由：如图3，在延长线上取一点，使得，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 即， ． 题型二：全等三角形模型之倍长中线模型 （1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） （2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 7．（25-26八年级上·山东济宁·期中）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图，是的中线，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：________； (2)如图，，点为的中点，连接．求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）由可得，再根据三角形三边关系解答即可求解； （）延长至，使，连接，则，同理可证，即得，，再证明，得到，即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，延长至，使，连接，则， 同理可证， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26八年级上·山东德州·月考）综合与实践 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，，点D为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1．请根据小明同学的方法思考： (1)由已知条件和作辅助线，能得到，理由是________． A．    B．    C．    D． (2)由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为________． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【解决问题】 (3)如图2，在四边形中，与不平行，M是边的中点，已知平分，且，垂足为M，若，，试求的长度． 【答案】(1)A (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，解决本题的关键是掌握证明三角形全等的方法． （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长，交于点，证明，得出，，由证得，得出，进而根据即可得出答案． 【详解】（1）解：是边上的中线， ， 在和中， ， ， 故选A； （2）解：，即， ， ， ， 故答案为：； （3）解：延长，交于点， 平分， ， ， 在和中， ， ，． 在和中， ， ． ， ， ，， ． 9．（25-26八年级下·云南曲靖·开学考试）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 以下是小聪同学思考的解决方法：先延长至点，使，然后连接，利用三角形全等将边转化到，最后在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． （1）在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是_____；若线段的长度为整数，则_____； 【灵活应用】 （2）如图2，是的中线，延长到点，连接，使，求证：； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，分别以作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，延长与相交于点，，．试判断与的数量关系，并求出的面积． 【答案】（1），2；（2）见解析；（3）,的面积为12 【分析】（1）如图1：先延长至点，使，连接，易证可得，，再在中利用三角形的三边关系可得，进而得到，再结合已知条件即可解答； （2）如图：延长到点F，使，连接．易证可得，进而得到，再根据等边对等角可得，最后根据等量代换即可解答； （3）如图3：延长到点E，使，连接．易证可得、，再证明可得、，即；再说明，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）如图1：先延长至点，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， ∵线段的长度为整数， ∴． 故答案为：，2． （2）证明：如图：延长到点F，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ∴． ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3）如图3：延长到点E，使，连接． ∵点D是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】灵活运用“倍长中线法”构造全等三角形是解题的关键． 10．（25-26八年级上·山东滨州·期末）【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： 【历史文献】倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究．古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础．数学文献中，倍长中线作为标准术语被确立于世纪，成为初等几何常见技巧． (1)【问题背景】 如图，中，，，是中线，则的取值范围是______； (2)【变式思考】 如图，中，是中线，分别以，为腰在外作等腰和等腰，，，，连接，求证：； (3)【探究延伸】 如图，在四边形中，对角线，相交于点，将沿着翻折，点的对应点为，，点是的中点，，当时，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）通过倍长中线法，构造全等三角形，将、与转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求解的取值范围． （2）延长至点，使，连接，先证，再证，从而得到 （3）延长到点，使，连接，先证，再结合翻折性质和角的关系证，进而得到 【详解】（1）解：延长到点，使，连接， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：延长至点，使，连接， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长到点，使，连接， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， 由翻折性质可知：，，， ∵， ∴， ∴、、三点共线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、倍长中线法以及图形翻折的性质，熟练掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键． 11．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）【问题背景】“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上，建立数量关系是处理问题的重要手段． 【问题探究】 （1）如图1，在中，平分交于点，，点在边上，且，连接，试说明：． 【综合研究】 （2）2025年是国家安全法颁布施行十周年，在第十个全民国家安全教育日来临之际，某校组织了一次推动人工智能技术与国家安全深度融合的校园活动，如图2是活动场地平面示意图，在中，米，校学生会在边、上分别取点、，使得点为的中点，于点，在线段上找点，使得米，为等腰直角三角形，，并沿其三条边搭建安全文化宣传长廊（宽度不计），其他区域规划为展示区．为了预算，需要知道的长，请你帮助校学生会计算出的长． 【答案】（1）见解析；（2）米． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、角平分线的性质等，熟练掌握一线三等角的全等模型和倍长中线的全等模型是解题的关键． （1）先证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）过点作，交的延长线于点，根据等腰的性质证明，再根据倍长中线证明，最后通过等量代换求解即可． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）过点作，交的延长线于点，如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵米， ∴（米）， ∴米， ∵米， ∴（米）． 12．（25-26八年级上·云南昆明·期末）【发现问题】小明遇到这样一个问题，如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 【初步探索】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，易证，于是我们把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 【总结方法】在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】（1）如图1，与的位置关系是_____；的取值范围是_____． 【问题应用】（2）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，求的长． 【答案】 （1）平行； （2） （3） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质、三角形三边关系、以及等腰三角形的判定，核心方法是“倍长中线法”和构造全等三角形，同时结合平行线与角的转化解决问题． （1）考查倍长中线法构造全等三角形，利用全等得到平行关系，再结合三角形三边关系求中线范围； （2）考查倍长中线法构造全等三角形，结合角平分线性质与全等三角形的判定，推导线段的倍数关系； （3）考查平行线的性质、等腰三角形的判定与全等三角形的构造，通过角的转化和线段的等量代换求解长度． 【详解】解：（1）由，得，故． 在中，，，由三边关系，即，化简得． 故答案为：平行；． （2）如图，延长到，使，连接． ∵，，， ∴， ∴，． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）如图，过作，交的延长线于，则． ∵是中点， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵，平分， ∴， ∴，， ∴， 设，则，，故． 由，解得， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02全等三角形模型之截长补短与倍长中线的二种模型 题型归纳 目录 题型一：全等三角形模型之截长补短模型 ...1 题型二：全等三角形模型之倍长中线模型.… ...17 题型专练 题型一：全等三角形模型之截长补短模型 截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句， 可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等)。 截长：指在长线段中截取一段等于己知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。 【常见模型及证法】 (1)截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+DC=AD 方法：①在AD上取一点F,使得AF=BE,证DF=DC;②在AD上取一点F,使DF=DC,证AF=BE (2)补短：将短线段延长，证与长线段相等 1.(25-26八年级上重庆·开学考试)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,点E,点F分别在边 BC,CD上，已知∠EAF=∠DAB,∠ABC+∠ADC=18O, 2 D 图1 图2 (I)请直接写出线段BE,EF,FD之间的数量关系： 1/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)证明(1)中的结论； (3)如图2，若点E,点F分别在边CB,DC的延长线上，其它条件不变，(1)中的结论还成立吗？若成立， 请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并证明， 2.(25-26八年级上·上海月考)已知在ABC中，AB=AC,射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段 AC于点G、H 的 E 图1 图2 (I)如图1，若LABC=60°，∠MBN=30°，作AE⊥BN于点D,分别交BC、BM于点E、F. ①求证：AE=BG; ②若AD=BF,连接CF,求LCFE的度数； ②如图2，点E为BC上一点，AE交BM于点F,连接CF.若∠BFE:∠BAC=2ZCFE,求e的值 S。ABF 3.(25-26八年级上·广东珠海·期末)实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等.那么， 不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组 的同学们对此展开探究： 例如，如图1（1)，在ABC中，AB>AC,怎样证明∠C>∠B呢？ 把AC沿∠A的平分线AD翻折，因为AB>AC,所以点C落在AB上的点C处（如图1(2）).由 LAC'D=LC,LACD>LB,可得∠C>∠B. (1) (2) 图1 【类比探究】 (1)如图2，在ABC中，∠C>∠B,类比上述的方法，请证明AB>AC. 图2 2/9 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【方法运用】 (2)如图3，在ABC中，∠C=2∠B,若AD⊥BC,写出AC,CD,BD之间的数量关系并说明理由. 图3 4.(22-23七年级下·江苏盐城期末)【尝试探究】如图1，已知在正方形ABCD中（四边相等，四个内角均 为90°)，点E、F分别在边BC、DC上运动，当∠EAF=45°时，探究DF、BE和EF的数量关系，并加以 说明； 【模型建立】如图2，若将直角三角形ABC沿斜边翻折得到△ADC,且∠B=∠D=90°，点E、F分别在边 DC、BC上运动，且∠BF-∠BAD,试箱想【尝试探究】中的结论还成立吗？请加以说明： 【拓展应用】如图3，已知ABC是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为60°），BD=CD, ∠BDC=120°，∠DBC=∠BCD=30°，以D为顶点作一个60°角，使其角的两边分别交边AB、AC于点E、 F,连接EF,直接写出△AEF的周长， 图1 图2 图3 5.(25-26八年级上·吉林长春期末)同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角形 的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题。 A B 图① 图② 图③ 图④ (I)(1)在ABC中，AD平分∠BAC,LABC=2LC,求证：AC=AB+BD;任选下面一种方法，并写 出完整的证明过程： 方法一：如图①，在AC上截取AE,使得AE=AB,连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图②，延长AB到点F,使得BF=BD,连接DF,可以得到等腰三角形，进而解决问题， (2)如图③，在ABC中，LABC=2LC,AH⊥BC交BC于点H,直接写出AB、BH、BC之间的等量关 3/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 系 (3)如图④，在ABC中，AD平分∠BAC,∠ABC=2LC,AD、BG分别为LBAC、∠ABC的角平分线， 48D3,46:5,直接写出GC= 6.(25-26八年级上·北京·期中)“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据 题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题， 某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习： 己知在四边形ABCD中，AB=AD,E,F分别是直线BC,CD上的点 (I)如图，若AB⊥CB,AD⊥CD,E,F分别在线段BC,CD上，且满足∠EAF=∠BAD,试探究线段 EF,BE,DF之间的数量关系. G B C FD 数学小组探究此问题的方法是：延长CB到点G,使BG=DF.连接AG,先证△ABG与△ADF的全等，再 证△AEF与△AEG的全等，可得到EF,BE,DF之间的数量关系.经过以上分析，直接写出线段EF, BE,FD之间的数量关系为 (2)如图，若∠48C+∠ADC=180,点E,点F分别在线段CB,DC的延长线上，且满足∠BF=∠BD, 试探究线段EF,BE,DF之间的数量关系. F 数学小组的同学们先猜想线段EF,BE,DF之间的数量关系，然后借助第(1)问中研究问题的思路和方 法进行探讨，发现有以下两种证明方法： 方法1：延长BE至点G,使得BG=DF,先证△ABG与△ADF的全等，再证△AEF与 △AEG的全等，可得到线段EF,BE,DF的之间的数量关系， 方法2：在DF上截取DG=BE，先证△ADG与△ABE的全等，再证△AEF与△AGF的 全等，可得到EF,BE,DF之间的数量关系 请你写出猜想结果，并选择一个方法添加辅助线完成证明. 4/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如图，若LABC+LADC=180°不变，点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，若EF=BE+DF, 请直接写出∠EAF与∠BAD的数量关系. A 题型二：全等三角形模型之倍长中线模型 (1)倍长中线模型（中线型） Bs D B D 图1 图2 条件：AD为△ABC的中线。 结论：△ABD兰△ECD 证明：延长AD至点E,使DE=AD,连结CE。 ,AD为△ABC的中线，∴.BD=CD,∠BDA=∠CDE,∴.△ABD≌△ECD(SAS) (2)倍长类中线模型（中点型） 倍长类中线 B D 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED,使DF-DE,连接CF。 5/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ,D为BC边的中点，.BD=DC,,'∠BDE=∠CDF,∴.△EDB≌△FDC(SAS) 7.(25-26八年级上山东济宁期中)在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法。 B 图(1) 图(2) (I)如图1，AD是ABC的中线，AB=8,AC=5,求AD的取值范围.我们可以延长AD到点E,使 DE=AD,连接BE,根据SAS可证△ADC≌△EDB,所以BE=AC.接下来，在AABE中利用三角形的 三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线AD的取值范围是： ； (2)如图2，AB=AE,AC=AF,∠BAE=LCAF=90°，点D为BC的中点，连接AD.求证：EF=2AD. 8.(25-26八年级上·山东德州月考)综合与实践 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，ABC中，若AB=10,AC=6 ,点D为BC边上的中点，试求中线AD的取值范围. 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长AD到E,使DE=AD, 连接BE,如图1.请根据小明同学的方法思考： M 图1 图2 (I)由己知条件和作辅助线，能得到△ADC≌△EDB，理由是 A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS (②)由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线AD的取值范围为 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形， 把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中， 【解决问题】 (3)如图2，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，M是BC边的中点，已知AM平分∠BAD,且 AM⊥DM,垂足为M,若AD=7,CD=4,试求AB的长度， 9.(25-26八年级下·云南曲靖·开学考试)八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和 他们一起活动吧. 6/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M 图1 图2 图3 【初步探索】 如图1，在ABC中，若AB=4,BC=2,求AC边上的中线BD的取值范围 以下是小聪同学思考的解决方法：先延长BD至点E,使DE=BD,然后连接CE,利用三角形全等将边 AB转化到CE,最后在△DEC中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围. (1)在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是；若线段BD的长度为整数，则 BD= ； 【灵活应用】 (2)如图2，BD是ABC的中线，延长DB到点E,连接AE,使AE=BC,求证：∠AEB=∠DBC; 【拓展提升】 (3)如图3，在ABC中，分别以AB,BC作等腰直角三角形△ABM和△BCN,其中∠ABM=∠CBN=90°， 连接MN,点D是MN的中点，连接DB,延长DB与AC相交于点H,BD=6,BH=2,试判断BD与 AC的数量关系，并求出ABC的面积. 10.(25-26八年级上山东滨州期末)【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一 个问题作如下探究： 【历史文献】倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究.古希腊数学家欧几里得《几何原本》 虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础.数学文献中，倍长中线作为标准术 语被确立于20世纪，成为初等几何常见技巧. H D 图1 图2 图3 (1)【问题背景】 如图1，ABC中，AB=8,AC=6,AD是中线，则AD的取值范围是； (2)【变式思考】 如图2，ABC中，AD是中线，分别以AB,AC为腰在外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，,AB=AE, AC=AF,LBAE=∠CAF=90°，连接EF,求证：EF=2AD; (3)【探究延伸】 7/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如图3，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点E,将△ABD沿着AB翻折，点D的对应点为H, ∠BAC+∠BAD=I80°，点F是BC的中点，∠CEF=∠ADB,当EF=6时，求BD的长 11.(25-26八年级上·陕西榆林·期末)【问题背景转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全 等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上，建立数量关系是处理问题的重要手段 【问题探究】 (1)如图1，在ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D,∠C=2∠B,点K在边AB上，且AK=AC,连 接DK,试说明：AB=AC+CD D B 图1 图2 【综合研究】 (2)2025年是国家安全法颁布施行十周年，在第十个全民国家安全教育日来临之际，某校组织了一次推动 人工智能技术与国家安全深度融合的校园活动，如图2是活动场地平面示意图，在ABC中，AC=100米， 校学生会在边AB、AC上分别取点E、F,使得点E为AB的中点，EF⊥AC于点F,在线段EF上找点 G,使得EG=30米，△BCG为等腰直角三角形，∠BGC=90°，并沿其三条边搭建安全文化宣传长廊（宽度 不计)，其他区域规划为展示区.为了预算，需要知道CF的长，请你帮助校学生会计算出CF的长 12.(25-26八年级上云南昆明·期末)【发现问题】小明遇到这样一个问题，如图1，在ABC中， AB=6,AC=4,求BC边上的中线AD的取值范围. 【初步探索】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长AD到E,使得DE=AD: ②连接BE,易证△ACD=△EBD,于是我们把AB,AC,2AD转化在△ABE中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB-BE<AE<AB+BE,从而得到AD的取值范围 【总结方法】在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线等条件时，可以考虑作辅助线，即 把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为 “倍长中线法”. 【问题解决】(1)如图1，AC与BE的位置关系是；AD的取值范围是 【问题应用】(2)如图2，AD是ABC的中线，点E在BC的延长线上，AC平分∠DAE,∠E=∠BAD, 试探究线段AE与AD的数量关系 【拓展延伸】(3)如图3，在ABC中，AD平分∠BAC,且AD交BC于点D,BC的中点为G,过点G作 GF平行于AD,交AB于点E,交CA的延长线于点F,若AB=I0,AC=6,求BE的长， 8/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E D B B GD 图1 图2 图3 9/9