专题05与平行四边形有关的几何变换、定值、最值、动点、存在性问题 2025-2026学年八年级数学下学期期中复习专项训练（苏科版）

专题05 与平行四边形有关的几何变换、定值、最值、动点、存在性问题 （期中复习专项训练，八大题型） 【题型1 平行四边形与平移问题】 1 【题型2 平行四边形与对称问题】 2 【题型3 平行四边形与旋转问题】 3 【题型4 平行四边形与定值问题】 5 【题型5 平行四边形与最大值问题】 7 【题型6 平行四边形与最小值问题】 8 【题型7 平行四边形与动点问题】 9 【题型8 平行四边形与存在性问题】 11 【题型1 平行四边形与平移问题】 1．如图，在中，，将沿向右平移得到，若四边形的面积等于8，则平移的距离等于__________． 2．如图，等边三角形的边长，点在边上，且．过点作，垂足为，以、为邻边作平行四边形．将沿向右平移，使点的对应点落在边上，则平移的距离为__________． 3．如图所示，在Rt△ABC外作等边△ADE，点E在AB边上，AC＝5，∠ABC＝30°，AD＝3．将△ADE沿AB方向平移，得到△A′D′E′，连接BD′．给出下列结论：①AB＝10；②四边形ADD′A′为平行四边形；③AB平分∠D′BC；④当平移的距离为4时，BD′＝3．其中正确的是_____（填上所有正确结论的序号）． 4．如图，和都可以由平移得到，则图中共有____________个平行四边形． 【题型2 平行四边形与对称问题】 5．如图，在平面直角坐标系中，点O，，A，，B，，C，…都是平行四边形的顶点，点A，B，C，……在x轴正半轴上，，，，，，，，…．按照此规律依次排列，则第8个平行四边形的对称中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．阳光在单位长度为1的网格纸上画了一艘小船，如图所示．图中标记字母的点中，点A，D在格点上，点B，C，E在格线上，，点，关于船舷对称，则的值为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 7．如图，在Rt中，，，，已知点是延长线上任意一点，以，为邻边作平行四边形，连，，则下列结论错误的是（   ） A．的面积不变 B．若点与点关于对称，则的最大值为 C．的最小值为 D．的周长的最小值为 8．如图，点，为平面直角坐标系中的两点，其中、满足，点在第一象限内，且满足，． (1)求点的坐标； (2)如图，作直线关于轴的对称直线，在直线上找一点不同于点的点，使得的面积为，求：点的坐标； (3)在（2）的条件下，当点在轴右侧时，在直线上是否可找一点，轴上找一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型3 平行四边形与旋转问题】 9．如图，在中，，将绕顶点A按顺时针方向旋转得到，当首次经过点D时，旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 10．在综合与实践活动中，同学们以“图形的旋转”为主题展开数学研究性学习．在中，，的垂直平分线分别交，于点，，将绕点按顺时针方向旋转得到，点，的对应点分别是点，．交于点，连接，BF．若，下列结论正确的有（    ） ①；②；③四边形为平行四边形；④若，，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点、的坐标分别为、，将风车绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为________． 12．综合与实践： 问题情境： 图形变换包括平移、旋转、对称、位似等，其中旋转就是将图形上的每一点在平面内绕着旋转中心旋转固定角度的位置移动，其中“旋”是过程，“转”是结果．旋转的性质则是解决实际问题的关键．如图，在平行四边形中，，对角线、相交于点，将直线绕点顺时针旋转一个角度，分别交线段、于点、，已知， ，连接． 猜想验证： （1）如图1，在旋转的过程中，请写出线段与的数量关系，并说明理由； 探索发现： （2）如图2，当时，请写出线段与的数量关系，并说明理由； 拓展延伸： （3）如图3，当时，求的面积． 【题型4 平行四边形与定值问题】 13．如图，中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且，则下列为定值的是（    ） A．线段的长 B．的度数 C．四边形的周长 D．四边形的面积 14．根据所给素材，完成相应任务． 玩转三角尺 活动背景 在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角尺，如图1所示．其中为直角，，，把两直角顶点重合（点与点重合于点），旋转三角尺进行探究活动． 素材1 小明同学的探究结果如图2所示，三点在一条直线上． 素材2 小聪同学的探究结果如图3所示，，连结，发现四边形是平行四边形． 素材3 李老师提出问题，如图4，在上述操作过程中（），与的面积比是否为定值？ 解决问题 任务1 （1）根据图2，直接写出线段的长为______． 任务2 （2）根据图3写出小聪同学判定平行四边形的依据，并计算的面积． 任务3 （3）请你解答李老师的问题，并说明理由． 15．如图1，点、，其中a、b满足，将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D，连接． (1)请直接写出______、______、c的坐标是______； (2)连接交于一点E，求； (3)如图2，点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上运动，同时点N从B点出发，以每秒2个单位的速度向左运动．设运动时间为t秒，射线交y轴于点F．问的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 16．（1）如图1，平行四边形，，，，、分别为、上的点，且，四边形的面积与有关，当有最 值(填“大”、“小”)时，四边形的面积有最 值(填“大”、“小”)． （2）如图2，，且，连接，则的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 问题解决 （3）如图3，在四边形中，，对角线交于，已知，且，则与的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值． 【题型5 平行四边形与最大值问题】 17．如图，中，，在的同侧作等边、等边和等边，则四边形面积的最大值是（    ） A． B． C．15 D． 18．如图，点D在等边三角形外，点A、点D分别在的两侧．若，，则四边形的面积的最大值为______． 19．如图，已知中，，，点为平面内一点，满足，分别以，为边作平行四边形，连接，则 （1）的最小值是__________； （2）的最大值是__________． 20．如图，在中，，，，点在线段上运动（含、两点）．连接，以点为中心，将线段逆时针旋转得到，连接，当点落在的边上时，则线段长度的最小值为______，最大值为______． 【题型6 平行四边形与最小值问题】 21．如图，在中，，，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，，有下列结论：①的面积不变；②的最小值为；③的最小值为4．其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 22．如图，在中，，，，为边上的动点，以，为邻边作，连接，则长的最小值是（   ） A． B． C． D． 23．如图，在中，，，，点为边上的一个动点，以、为邻边构造，连接，则的最小值为______． 24．如图，在平行四边形中，，点为边上的一动点，连接．过点作，则的最小值为______． 【题型7 平行四边形与动点问题】 25．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（   ） A．2或秒 B．秒 C．或秒 D．秒 26．如图，在四边形中，，，．动点从点出发，以的速度向点运动．同时，动点从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，当运动时间______时，四边形为平行四边形． 27．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）． (1)设的面积为，请用含的式子表示； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当为何值时，的长度为？ 28．如图，等边的边长为，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以的速度运动． (1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？ (2)若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请指出此时点D的具体位置． 【题型8 平行四边形与存在性问题】 29．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到点返回，动点从点A出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点，分别从点同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为（秒）． (1)当时，是否存在点，使四边形是平行四边形，若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． (2)当为何值时，以，，，为顶点的四边形面积等于； (3)当时，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． 30．如图1，在中，，，，中，，，从点C开始沿射线平移，直角边始终在射线上，连接、，如图2，设的长度为．    (1)是否存在点在垂直平分线上的情况？存在，求的值；不存在，说明理由； (2)连接，当为何值时，四边形是平行四边形？说明理由； (3)将绕点逆时针旋转，得到，是否存在的值，使点落在的边上？若存在，直接写出的值为 ；若不存在，说明理由． 31．如图，在中，， (1)求度数． (2)点是上的动点，将沿直线翻折等到，则线段是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． (3)在（2）的条件之下，点是线段上的动点，连接，，是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． 32．如图1，在中，，，点为边上一点，连接，在上取一点，使得． (1)填空：如果，那么___________（用含的代数式表示）； (2)已知线段，连接，求的面积； (3)如图2，延长交于点，当点恰好是边的中点时，是否存在一个常数，使得恒成立？若存在，请求出常数；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 与平行四边形有关的几何变换、定值、最值、动点、存在性问题 （期中复习专项训练，八大题型） 【题型1 平行四边形与平移问题】 1 【题型2 平行四边形与对称问题】 4 【题型3 平行四边形与旋转问题】 13 【题型4 平行四边形与定值问题】 20 【题型5 平行四边形与最大值问题】 29 【题型6 平行四边形与最小值问题】 35 【题型7 平行四边形与动点问题】 40 【题型8 平行四边形与存在性问题】 46 【题型1 平行四边形与平移问题】 1．如图，在中，，将沿向右平移得到，若四边形的面积等于8，则平移的距离等于__________． 【答案】2 【分析】本题考查平移的性质，平行四边形的判定和性质，根据平移的性质推出四边形为平行四边形，利用平行四边形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵平移， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积， ∴，即平移距离为2； 故答案为：2 2．如图，等边三角形的边长，点在边上，且．过点作，垂足为，以、为邻边作平行四边形．将沿向右平移，使点的对应点落在边上，则平移的距离为__________． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质以及平移的性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和性质． 已知是等边三角形，，求出，再根据，求出和，再根据四边形是平行四边形求出，进而求出即可． 【详解】解：∵是等边三角形，， ， ， ， ， ∵将沿向右平移， ∴、、三点共线， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， 故答案为：． 3．如图所示，在Rt△ABC外作等边△ADE，点E在AB边上，AC＝5，∠ABC＝30°，AD＝3．将△ADE沿AB方向平移，得到△A′D′E′，连接BD′．给出下列结论：①AB＝10；②四边形ADD′A′为平行四边形；③AB平分∠D′BC；④当平移的距离为4时，BD′＝3．其中正确的是_____（填上所有正确结论的序号）． 【答案】①②④． 【分析】根据含30角的直角三角形的性质可得AB＝2AC＝10，可判定①；根据平移的性质可得A'D'＝AD，A'D'//AD，证得四边形ADD'A'为平行四边形，可判定②；当平移的距离为4时，EE'＝4，证得BE'＝D'E'，，则∠E'BD'＝∠E'D'B＝∠A'E'D'＝30°，即∠A'D'B＝60°+30°＝90°，再由含30°角的直角三角形的性质可得BD'＝A'D'＝3，则可判断④；由④得：当平移的距离为4时，∠E'BD'＝∠ABC＝30°，则可判断③． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，AC＝5，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝10，故①正确； 由平移的性质得：A'D'＝AD，A'D'//AD， ∴四边形ADD′A′为平行四边形，故②正确； 当平移的距离为4时，EE'＝4， ∴BE'＝AB﹣AE﹣EE'＝10﹣3﹣4＝3， 由平移的性质得：∠A'D'E'＝∠A'E'D'＝∠AED＝60°，A'D'＝D'E'＝DE＝AD＝3， ∴BE'＝D'E'， ∴∠E'BD'＝∠E'D'B＝∠A'E'D'＝30°， ∴∠A'D'B＝60°+30°＝90°， ∴BD'＝A'D'＝3，故④正确； 由④得：当平移的距离为4时，∠E'BD'＝∠ABC＝30°，故③错误； 故填①②④． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、平移的性质、含30角的直角三角形的性质等知识点灵活利用等边三角形的性质和平移的性质是解答本题的关键． 4．如图，和都可以由平移得到，则图中共有____________个平行四边形． 【答案】3 【详解】解：∵和都可以由平移得到， ∴，，， ∴图中的平行四边形有，共三个， 故答案为：． 【题型2 平行四边形与对称问题】 5．如图，在平面直角坐标系中，点O，，A，，B，，C，…都是平行四边形的顶点，点A，B，C，……在x轴正半轴上，，，，，，，，…．按照此规律依次排列，则第8个平行四边形的对称中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的坐标变化规律、平行四边形的性质，根据题意先求出前几个平行四边形的对称中点的坐标，从而可找出规律，即可求解． 【详解】解：如图，作轴于点M， ∵，， ∴， ∵， ∴点M、A重合， ∴， 则的中点即为平行四边形的对称中点，其坐标为， 同理可得，，，， 则的中点即为第2个平行四边形的对称中点，其坐标为， 同理可得，第3个平行四边形的对称中点的坐标为， ⋯， 同理可得，第n个平行四边形的对称中心的坐标为， ∴第8个平行四边形的对称中心的坐标是，即， 故选：C． 6．阳光在单位长度为1的网格纸上画了一艘小船，如图所示．图中标记字母的点中，点A，D在格点上，点B，C，E在格线上，，点，关于船舷对称，则的值为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】取格点H，F，连接，根据轴对称可得，又，且，可得四边形是平行四边形，则，再利用勾股定理及等量代换即可求解． 【详解】解：取格点H，F，连接，如图所示：    由题意可得：， 又，且， 四边形是平行四边形， ， 在中，，即 在中，，即， 由得：， 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称图形的性质，平行四边形的判定及性质熟练掌握勾股定理，利用等量代换思想解决问题是解题的关键． 7．如图，在Rt中，，，，已知点是延长线上任意一点，以，为邻边作平行四边形，连，，则下列结论错误的是（   ） A．的面积不变 B．若点与点关于对称，则的最大值为 C．的最小值为 D．的周长的最小值为 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等，过点作于点，证明，得到，即得，即可判断；作点关于的对称点，连接，由轴对称的性质得，由三角形三边关系得，可知当点三点共线时，的值最大，利用勾股定理求出，进而求出即可判断；由可知点到直线的距离为，即点在如图直线上运动，延长交直线于点，至点，使得，连接，可得，即得，即可判断；由，可知当点三点共线时，取得最小值，求出最小值的长，进而可求出的周长的最小值，即可判断，综上即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，则， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积不变，故正确； 如图，作点关于的对称点，连接，则， ∵， ∴当点三点共线时，的值最大，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴的最大值为，故正确； ∵， ∴点到直线的距离为，即点在如图直线上运动， 延长交直线于点，至点，使得，连接， ∵，，   ∴， ∴点为点关于直线上的对称点， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为，故正确； ∵， ∴当点三点共线时，取得最小值，最小值即为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为， 又∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴的周长， ∴当取最小值时，的周长最小， ∴的周长的最小值为，故错误； 综上，结论错误的是， 故选：． 8．如图，点，为平面直角坐标系中的两点，其中、满足，点在第一象限内，且满足，． (1)求点的坐标； (2)如图，作直线关于轴的对称直线，在直线上找一点不同于点的点，使得的面积为，求：点的坐标； (3)在（2）的条件下，当点在轴右侧时，在直线上是否可找一点，轴上找一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点坐标为或 (3)存在，点或 【分析】（1）根据非负数的性质解得的值，进而确定点坐标，过点作轴于，证明，结合全等三角形的性质可得，，易知，即可获得答案； （2）首先根据轴对称的性质可得，利用待定系数法解得直线的解析式，设点，然后分点在点的上方、点在线段上、点在的下方三种情况，分别求解即可； （3）首先确定直线解析式为，可设点，点，分为边和为对角线多种情况，分情况讨论，即可获得答案． 【详解】（1）解：， 即， ∴， ∴， ，， 点，点， ，， 过点作轴于，如下图， 又∵， ， ， ， 又， ， ，， ， 点； （2）解：作直线关于轴的对称直线， 点， ∴， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 设点， 如图，当点在点的上方时， ， ， 解得， 点； 当点在线段上时， ， 点不在线段上； 当点在的下方时，如图所示， ， ， ， 点， 综上所述：点坐标为或； （3）解：当点在轴右侧， 点， 点，点， 设直线解析式为，将点代入， 可得，解得， 直线的解析式为， 设点，点， 当为边时， 若四边形是平行四边形， 与互相平分， ， ， 点； 若四边形是平行四边形， 与互相平分， ， ， 点； 当为对角线时， 四边形是平行四边形， 与互相平分， ， ， 点； 综上所述：点或． 【点睛】本题综合性强，有一定难度，分情况讨论是解题关键，避免遗漏． 【题型3 平行四边形与旋转问题】 9．如图，在中，，将绕顶点A按顺时针方向旋转得到，当首次经过点D时，旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，旋转的性质，等边对等角． 根据平行四边形的性质得到，由旋转的性质得到，，根据等边对等角得到，即可求出旋转角的度数． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵绕顶点A按顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 故选：C 10．在综合与实践活动中，同学们以“图形的旋转”为主题展开数学研究性学习．在中，，的垂直平分线分别交，于点，，将绕点按顺时针方向旋转得到，点，的对应点分别是点，．交于点，连接，BF．若，下列结论正确的有（    ） ①；②；③四边形为平行四边形；④若，，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①直接根据旋转的性质，中垂线的性质，得到； ②由平行线的性质及直角三角形两锐角互余可得出结论； ③根据旋转的性质，中垂线的性质，推出，平行线的性质，得到，进而得到，得到，得到四边形为平行四边形，进而得到，得到，即可得出结论； ④勾股定理求出的长，设，在中，勾股定理求出x的值，再利用勾股定理求出的长，由即可得出结果． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，，， ∴， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ∵， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 故②正确，符合题意； ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵绕点D按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； 故③正确，符合题意； ∵，，， ∴， ∴， ∵， 设， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴， 故④错误，不符合题意． 综上，共有3个正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，中垂线的性质，旋转的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用． 11．如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点、的坐标分别为、，将风车绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的额性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．由平行四边形的性质可得，然后找到规律得到第2025次旋转结束相当于第9次旋转结束，即相当于顺时针旋转了，此时点对应点记为点，连接、，过点作轴于点，过点作轴于点，证明，即可求解． 【详解】解：、， ， 四边形是平行四边形， ， ， 风车绕点逆时针旋转，每次旋转，， 次为一个周期， ， 第次旋转结束相当于第次旋转结束， ， 第次逆时针旋转了，则相当于顺时针旋转了，此时点对应点记为点， 如图 ，连接、，过点作轴于点，过点作轴于点， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 即第2025次旋转结束时，点的坐标为， 故答案为：． 12．综合与实践： 问题情境： 图形变换包括平移、旋转、对称、位似等，其中旋转就是将图形上的每一点在平面内绕着旋转中心旋转固定角度的位置移动，其中“旋”是过程，“转”是结果．旋转的性质则是解决实际问题的关键．如图，在平行四边形中，，对角线、相交于点，将直线绕点顺时针旋转一个角度，分别交线段、于点、，已知， ，连接． 猜想验证： （1）如图1，在旋转的过程中，请写出线段与的数量关系，并说明理由； 探索发现： （2）如图2，当时，请写出线段与的数量关系，并说明理由； 拓展延伸： （3）如图3，当时，求的面积． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，则，由证得，即可得出结论； （2）由勾股定理得出，由平行四边形的性质得出，，推出，求出，即，由，即可得出结论； （3）由，得出，证得四边形是平行四边形，则，由得，得出，由得，由，，则． 【详解】解：（1） ；理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ， 在与中， ， ， ； （2）；理由如下： ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 又， ， ，， ， ， ， ； （3）， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ， 由（1）得：， ， 由（）得：， ，， 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了旋转性质、平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积计算等知识；熟练掌握平行四边形的性质、证明三角形全等、同底等高的三角形面积相等是解题的关键． 【题型4 平行四边形与定值问题】 13．如图，中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且，则下列为定值的是（    ） A．线段的长 B．的度数 C．四边形的周长 D．四边形的面积 【答案】D 【分析】利用平行四边形的判定与性质，分析四边形各边、角、面积等是否为定值，重点关注面积能否通过转化为平行四边形面积的一部分来判断． 【详解】解：连接， 在中，，分别为，中点， 且，，， 且， 四边形是平行四边形， 同理可证四边形是平行四边形， ∵与的面积分别为与面积的一半， 又四边形的面积， 四边形的面积始终为面积的一半，是定值． 选项A：长度随、移动改变； 选项B：随位置改变； 选项C：、等边长随、移动变化，周长不定； 综上，四边形的面积是定值，故选项D符合题意． 14．根据所给素材，完成相应任务． 玩转三角尺 活动背景 在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角尺，如图1所示．其中为直角，，，把两直角顶点重合（点与点重合于点），旋转三角尺进行探究活动． 素材1 小明同学的探究结果如图2所示，三点在一条直线上． 素材2 小聪同学的探究结果如图3所示，，连结，发现四边形是平行四边形． 素材3 李老师提出问题，如图4，在上述操作过程中（），与的面积比是否为定值？ 解决问题 任务1 （1）根据图2，直接写出线段的长为______． 任务2 （2）根据图3写出小聪同学判定平行四边形的依据，并计算的面积． 任务3 （3）请你解答李老师的问题，并说明理由． 【答案】（）；（）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，；（）与的面积比是定值，理由见解析． 【分析】（）在中，利用直角三角形的性质求得，在中，利用等腰直角三角形和勾股定理求得即可，由求解； （）根据平行四边形的判定定理解答即可，过点作于点， 交于点，利用，求得，利用， 求得，从而求得，然后根据平行四边形的面积公式求解即可； （）作于，交延长线于，证明，得到，然后由三角形面积公式计算出 ，从而得出结论． 【详解】解：（）在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）∵（已知）， （已知）， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， 过点作于点， 交于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （）与的面积比是定值，理由： 作于，交延长线于，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴与的面积比是定值． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 15．如图1，点、，其中a、b满足，将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D，连接． (1)请直接写出______、______、c的坐标是______； (2)连接交于一点E，求； (3)如图2，点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上运动，同时点N从B点出发，以每秒2个单位的速度向左运动．设运动时间为t秒，射线交y轴于点F．问的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 【答案】(1)，3， (2) (3)的值是定值，定值为3 【分析】本题考查三角形综合题，考查了非负数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）利用非负数的性质，构建方程组即可解决问题． （2）利用面积法求解即可． （3）结论：的值是定值．分两种情形：如图2-1中，当点N在线段上时，连接．如图2-2中，当点N在的延长线上时，连接．分别说明即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D， ∴， 故答案为：，3，； （2）解：如图1中， ∵， ∴， 即， ∴； （3）解：结论：的值是定值． 理由：如图2-1中，当点N在线段上时，连接． 设运动时间为t秒， 由题意：，， ∴， ∴， ∴， ∵定值． 如图2-2中，当点N在的延长线上时，连接． ∵定值， 综上所述，的值是定值，定值为3． 16．（1）如图1，平行四边形，，，，、分别为、上的点，且，四边形的面积与有关，当有最 值(填“大”、“小”)时，四边形的面积有最 值(填“大”、“小”)． （2）如图2，，且，连接，则的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 问题解决 （3）如图3，在四边形中，，对角线交于，已知，且，则与的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值． 【答案】（1）小，大；（2）存在，；（3）不是，周长之和的最小值为15 【分析】（1）先求出平行四边形的面积，利用面积和差关系可得四边形的面积，则当有最小值时，四边形的面积有最大值，即可求解； （2）在中，由勾股定理可求的长，由线段的和差关系可求解； （3）如图3，过点作，交的延长线于，过点作于，可证四边形是平行四边形，可，，则与的周长之和为，由直角三角形的性质可求的长，即可求解． 【详解】解：（1）过点作，交延长线于，过点作，交的延长线于， 四边形是平行四边形， ，，，， ，， ， ，， ，， 四边形的面积， ， ， ∴ 四边形的面积 ， 四边形的面积， 则当有最小值时，四边形的面积有最大值， 故答案为：小，大； （2）存在， 设， ， ， ， 的周长， 当时，的周长的最小值为； （3）与的周长之和不是定值， 理由如下：如图3，过点作，交的延长线于，过点作于， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 与的周长之和不是定值， 当时，与的周长之和的最小值为15． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【题型5 平行四边形与最大值问题】 17．如图，中，，在的同侧作等边、等边和等边，则四边形面积的最大值是（    ） A． B． C．15 D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识；过点E作交延长线于F；证明，得，，则得四边形是平行四边形，则当重合时，四边形的面积最大，即可求得其最大面积． 【详解】解：如图，过点E作交延长线于F， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵是等边三角形， ∴， ∴， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴的最大值为3， ∴四边形的最大面积为， 此时当重合且时，四边形的面积最大． 故选：C． 18．如图，点D在等边三角形外，点A、点D分别在的两侧．若，，则四边形的面积的最大值为______． 【答案】20+ 【分析】将绕点顺时针旋转得到，再将绕点顺时针旋转得到，易证是边长为的等边三角形，是边长为的等边三角形，四边形为平行四边形，所以可得，要使四边形的面积最大，则平行四边形的面积最大即可，据此求解即可． 【详解】解：为等边三角形， ，， 如图，将绕点顺时针旋转得到，则为等边三角形，， ， 再将绕点顺时针旋转得到， 则，， 同理可得为等边三角形， ， ，， 四边形为平行四边形， ， 是边长为的等边三角形，是边长为的等边三角形， ，， 要使四边形的面积最大，则平行四边形的面积最大即可， 过作于点，则， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、旋转的性质、平行四边形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 19．如图，已知中，，，点为平面内一点，满足，分别以，为边作平行四边形，连接，则 （1）的最小值是__________； （2）的最大值是__________． 【答案】 6 6 【分析】（1）在延长线上截取，连接，，由平行四边形的性质得到，，证明四边形是平行四边形，得到，求出，根据三角形三边关系求出的最小值； （2）由（1）求出的最大值即可． 【详解】解：（1）如图，在延长线上截取，连接，， ，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的最小值是； （2）由（1）得， ， 的最大值是． 20．如图，在中，，，，点在线段上运动（含、两点）．连接，以点为中心，将线段逆时针旋转得到，连接，当点落在的边上时，则线段长度的最小值为______，最大值为______． 【答案】 【分析】根据旋转性质得到，，结合题意分析，要使点落在的边上，分两种情况讨论：①当点落在边上时；②当点落在边上时，分别作出对应图分析即可得解． 【详解】解：依题得：，， 要使点落在的边上，则只有两种可能性： ①当点落在边上时，如下图： ，四边形是平行四边形， 平行于，，， ， ， 是等边三角形， ， ，； ②当点落在边上时，如下图： 此时点和点重合， ， 是等边三角形， ， 过点作交于点， 中，， ，， ，， ， 中，， ， 线段长度的最小值为；最大值为． 故答案为：①②． 【点睛】本题考查的知识点是旋转性质、平行四边形性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形性质、勾股定理，解题关键是找到符合题意的情形． 【题型6 平行四边形与最小值问题】 21．如图，在中，，，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，，有下列结论：①的面积不变；②的最小值为；③的最小值为4．其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 过点作于点，证明得到，再由三角形面积公式即可判断①；确定点在如图直线上运动，延长交直线于点，至点，使得，连接，则点为点关于直线上的对称点，那么，则，当点三点共线时，取得最小值为，在中，求出，即可判断②；由于点在直线上运动，则，故的最小值为4，即可判断③． 【详解】解：过点作于点，则， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积不变，故①正确； 由上知， ∴点到直线的距离为2，则点在如图直线上运动， 延长交直线于点，至点，使得，连接， ∵，， ∴， ∴点为点关于直线上的对称点， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为，②错误； ∵点在直线上运动， ∴， ∴的最小值为4，故③正确， ∴正确的为①③， 故选：B． 22．如图，在中，，，，为边上的动点，以，为邻边作，连接，则长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设交于点，由，，求得，因为，所以，则，由平行四边形的性质得，，所以，当时，的值最小，此时的值最小，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点， ∵，， ， ∵， ， ， ∵四边形是平行四边形， ，， ， 如图，当时，的值最小，此时的值最小， ，， ， ， ∴长度的最小值为． 23．如图，在中，，，，点为边上的一个动点，以、为邻边构造，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】设与交于点，过点作于点，由直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，由平行四边形的性质可得，当时，取得最小值，最小值为，即可得出结果． 【详解】解：如图，设与交于点，过点作于点， ， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 当时，取得最小值，最小值为， ∴的最小值为． 24．如图，在平行四边形中，，点为边上的一动点，连接．过点作，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质和三角形面积公式，可知的面积为定值，由，可得.要使最小，需最大；当点与点重合时，取得最大值，通过构造直角三角形利用勾股定理求出的长，进而求出的最小值． 【详解】解：过点作交的延长线于点，连接，， ∵四边形是平行四边形，， ， ， ， ，， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ， ， 又， ∴， ∴要使最小，则需最大， ∵点为边上的一动点， ∴点与点重合时，最大此时， 的最小值为， 故答案为． 【题型7 平行四边形与动点问题】 25．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（   ） A．2或秒 B．秒 C．或秒 D．秒 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒）， ，的速度为每秒，到达的时间为（秒）， 当在点以及点的左边时，即时，， 当在的右边时，即时，， 以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形． 故选：C． 26．如图，在四边形中，，，．动点从点出发，以的速度向点运动．同时，动点从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，当运动时间______时，四边形为平行四边形． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，由题意可得，，进而根据平行四边形的判定列出方程解答即可求解，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即， 解得， 故答案为：． 27．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）． (1)设的面积为，请用含的式子表示； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当为何值时，的长度为？ 【答案】(1) (2)当时，四边形是平行四边形 (3)当或时，的长度为 【分析】（1）由题可知：，，则，可得点到的距离等于的长，再由求解即可； （2）若要使四边形为平行四边形，只需，得到，即可求解； （3）过点作于点，可得四边形为平行四边形，则，，，然后对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，点运动到点需要：（秒），点运动到点需要：（秒）， ∵其中一个动点到达端点时运动停止， ∴的取值范围是， 由题可知：，，则， ∵， ∴ ∵， ∴点到的距离等于的长， ∴； （2）解：∵，点在上，点在上， ∴， 若要使四边形为平行四边形，只需， 即： 解得： 经检验，在范围内，符合题意， ∴当时，四边形是平行四边形； （3）解：过点作于点，则 ∵， ∴， ∴ 又 ∴四边形为平行四边形， ∴，， 在中，由勾股定理得： 其中，，， ∴ ∴ 由此可得两种情况： ①当时，解得 ②当时：解得 经检验，和均在范围内，均符合题意， ∴当或时，的长度为． 28．如图，等边的边长为，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以的速度运动． (1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？ (2)若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请指出此时点D的具体位置． 【答案】(1)秒 (2)当时间， ；当时间， 【分析】（1）设经过t秒钟两点第一次相遇，然后根据点M运动的路程+点N运动的路程列方程求解即可； （2）分类讨论：当点M在线段上，点N在上时；当点M在线段上，点N在上时；当点M在线段上，点N在上时，利用等边三角形的性质和点M、N的运动规律列出关于t的方程，借助于方程解答即可． 【详解】（1）解： 第一次相遇时间（秒）； 答：若动点M、N同时出发，经过秒钟两点第一次相遇； （2）如图2，当点M在线段上，点N在上时： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵为等边三角形， ∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 此时； 如图3，当点M在线段上，点N在上时： 同理和是等边三角形， ， ， ∴， ， ， 此时， 如图4，当点M在线段上，点N在上时， 同理和是等边三角形， ， ， ∴， ， （不合题意，舍去）． 综上所述：当时间， ；当时间，． 【点评】本题主要考查的是平行四边形的性质和等边三角形的性质，利用平行四边形的性质和等边三角形的性质求得相关线段的长度，然后列方程求解是解题的关键． 【题型8 平行四边形与存在性问题】 29．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到点返回，动点从点A出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点，分别从点同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为（秒）． (1)当时，是否存在点，使四边形是平行四边形，若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． (2)当为何值时，以，，，为顶点的四边形面积等于； (3)当时，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)秒 (2)或15秒 (3)秒或秒 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、动点问题等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）由题意已知，要使四边形是平行四边形，则只需要让即可，然后利用时间、路程、速度的关系求解即可； （2）要使以C、D、Q、P为顶点的梯形面积等于，可以分为两种情况，点P、Q分别沿运动或点P返回时，再利用梯形面积公式，即，因为Q、P点的速度已知，的长度已知，用t可分别表示的长，即可求得时间t； （3）当时，点P向点C运动，使是等腰三角形，可分三种情况，即；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用t表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间t即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ∵， ∴ ∴P从B运动到C，即：，， ∴，解得：， ∴当秒时，四边形是平行四边形； （2）解：若点P、Q分别沿运动时，，，， ∴，解得：（秒）； 若点P返回时，，， ∴，解得：（秒）． 故当或15秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等； （3）解：如图：当时，作于H，则，， ∵， ∵， ∴，解得： 秒； 当时，， ∵， ∴，解得（秒）； 当时，， ∵， ∴，即， ∵， ∴方程无实根， 综上可知，当秒或秒时，是等腰三角形． 30．如图1，在中，，，，中，，，从点C开始沿射线平移，直角边始终在射线上，连接、，如图2，设的长度为．    (1)是否存在点在垂直平分线上的情况？存在，求的值；不存在，说明理由； (2)连接，当为何值时，四边形是平行四边形？说明理由； (3)将绕点逆时针旋转，得到，是否存在的值，使点落在的边上？若存在，直接写出的值为 ；若不存在，说明理由． 【答案】(1)存在， (2)当时，四边形是平行四边形；理由见解析 (3)存在，的值为或 【分析】本题是一个几何探究题，主要考查了线段垂直平分线，平行四边形，旋转的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，得，当时，点在的垂直平分线上，由列出的方程求得的值便可； （2）易得，当时，四边形便是平行四边形，由列出的方程进行解答便可； （3）分三种情况：在上；在上；在上．分别求出便可． 【详解】（1）解：如图，∵在中，，，，    ∴，， ∵中，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当点在的垂直平分线上时，有， ∴， ∴， 故存在点在垂直平分线上，此时； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 当时，四边形是平行四边形， 此时有， 解得：， ∴当时，四边形是平行四边形； （3）解：①当在上时，如图，    则， ∵， ∴， ∴点与点重合， ∴， 即， ∴； ②当点在上时，如图，    则， ∴， ∴， ∴； ③当点在上时， 由是绕点逆时针旋转得到的， 若点在上时， 则可得点的轨迹应为线段绕点顺时针旋转得到的线段，如图，    但题中点是在图中射线上运动， ∴不可能在上， 综上可知，存在的值，使点落在的边上，的值为或． 31．如图，在中，， (1)求度数． (2)点是上的动点，将沿直线翻折等到，则线段是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． (3)在（2）的条件之下，点是线段上的动点，连接，，是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，； (3)存在，． 【分析】（1）取的中点，连接、，则，证明是等边三角形得出，再由等边对等角结合三角形外角的定义及性质计算即可得解； （2）得出的轨迹是以为圆心，以为半径的半圆．结合当点在线段上时，线段最小，即可得解； （3）作点关于直线的对称点，连接交于，连交于，点即为所求，当、、共线时，的值最小，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：取的中点，连接、，则， ，，， 是等边三角形 ∴， 又， ∴， ． （2）解：∵到点的距离等于， ∴的轨迹是以为圆心，以为半径的半圆． 当在线段上时，线段最小， 由（1）可得， ∴， 即线段长度最小值为 （3）解：存在． 作点关于直线的对称点，连接交于，连交于，点即为所求． ， 则， 当、、共线时，的值最小， 由题意可得：，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，即， ∴ ∴，即的最小值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、轴对称的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 32．如图1，在中，，，点为边上一点，连接，在上取一点，使得． (1)填空：如果，那么___________（用含的代数式表示）； (2)已知线段，连接，求的面积； (3)如图2，延长交于点，当点恰好是边的中点时，是否存在一个常数，使得恒成立？若存在，请求出常数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据角的和差及等边对等角得，再根据三角形内角和定理可得答案； （2）如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，根据等腰三角形三线合一得，证明得，再根据三角形面积公式可得答案； （3）如图，过点作交的延长线于点，连接，证明得，证明四边形是平行四边形，推出，，继而得到，，设，，可得，，，最后根据勾股定理得，继而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，过点作于点，过点作交的延长线于点， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即的面积为； （3）解：如图，过点作交的延长线于点，连接， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，， ∴，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即存在常数，使得恒成立． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，通过作辅助线构造全等三角形及平行四边形是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $