21.2.1.2 平行四边形性质的综合及平行线之间的距离-教学设计--2025-2026学年人教版数学八年级下册

第2课时 平行四边形的性质的运用人教版八年级数学下册 平行四边形的性质的运用 教案 授课年级：八年级 学科：数学 版本：人教版 课时：1课时 授课类型：习题课/应用课 一、教学目标 1. 知识与技能：熟练掌握平行四边形的三大核心性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）及邻角互补的推论；能灵活运用这些性质解决边长计算、角度推理、对角线相关计算、折叠拼接等实际应用问题；规范书写几何解题步骤，明确每一步的推理依据。 2. 3. 过程与方法：通过典例分析、变式训练、小组探究，梳理平行四边形性质的应用思路和解题技巧，培养学生的逻辑推理能力、综合分析能力和数形结合思想，提升运用几何性质解决实际问题的能力。 4. 5. 情感态度与价值观：感受平行四边形性质的实用性，激发学生运用几何知识解决问题的兴趣，培养严谨的解题习惯和合作探究意识，增强学习几何知识的信心，体会数学与生活的密切联系，建立完整的几何应用思维。 6. 二、教学重难点 重点：平行四边形性质的灵活运用；针对不同应用场景（边长、角度、对角线、折叠等）选择合适的性质解题；规范书写几何解题步骤。 难点：灵活运用平行四边形的性质解决含多条件、折叠、拼接、与其他几何知识结合的综合问题；明确几何推理的逻辑顺序，规范标注推理依据。 三、教学准备 教师：多媒体课件（包含性质梳理、典例示意图、变式练习题、易错点解析）、板书模板、直尺、圆规、三角板、平行四边形纸片；学生：复习平行四边形的定义及三大核心性质，整理前期错题，准备直尺、圆规、三角板，预习性质应用相关题型。 四、教学过程 （一）复习回顾（5分钟） 1. 快速回顾：提问学生，平行四边形有哪些核心性质？引导学生完整表述，并规范书写几何语言： ① 对边性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC； ② 对角性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠A=∠C，∠B=∠D（邻角互补：∠A+∠B=180°）； ③ 对角线性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA=OC，OB=OD（O为对角线交点）。 2. 导入课题：强调平行四边形的性质是解决几何计算、推理的核心依据，今天我们重点学习“平行四边形的性质的运用”，通过典例和变式训练，掌握不同场景下的解题思路和技巧，突破应用难点。 （二）核心应用梳理（7分钟） 梳理平行四边形性质的常见应用场景，明确解题核心思路，帮助学生建立应用框架： 1. 场景一：边长计算（核心用“对边相等”） 思路：已知平行四边形的一组对边长度，可直接求另一组对边；结合周长公式（周长=2×（邻边和）），可求未知边长或周长。 2. 场景二：角度推理（核心用“对角相等、邻角互补”） 思路：已知平行四边形的一个角，可求其余三个角；结合角的和差、角平分线等知识，可解决复杂角度推理问题。 3. 场景三：对角线相关计算（核心用“对角线互相平分”） 思路：已知平行四边形一条对角线的长度或其中一段的长度，可求对角线的另一段或整条对角线长度；结合勾股定理，可求边长、面积等。 4. 场景四：综合应用（折叠、拼接、与三角形结合） 思路：先利用平行四边形的性质，转化已知条件，再结合折叠的性质（对应边相等、对应角相等）、三角形全等、勾股定理等知识，逐步求解。 强调：所有应用的前提的是“明确四边形是平行四边形”，解题时先标注已知条件，再选择对应的性质，规范书写推理步骤，注明每一步的依据。 （三）典例精讲（18分钟） 结合不同应用场景，精讲典例，拆解解题步骤，强化解题技巧，规范书写格式。 例1（基础应用：边长与周长计算）：在▱ABCD中，已知AB=8cm，BC=5cm，E、F分别是AB、CD的中点，求EF的长度及▱ABCD的周长。 讲解步骤：① 明确已知条件：四边形ABCD是平行四边形，AB=8cm，BC=5cm，E、F是AB、CD中点；② 选择性质：平行四边形对边平行且相等，故AB=CD=8cm，AB∥CD；③ 推导EF长度：E、F是中点，AE=EB=4cm，CF=FD=4cm，又AB∥CD，故EB∥CF且EB=CF，四边形EBCF是平行四边形，EF=BC=5cm；④ 计算周长：周长=2×（AB+BC）=2×（8+5）=26cm；⑤ 规范书写解题过程，注明每一步依据（平行四边形性质、中点定义等）。 例2（进阶应用：角度与角平分线结合）：在▱ABCD中，∠A=100°，BE平分∠ABC，交AD于点E，求∠AEB、∠BED的度数。 引导学生分析：① 由平行四边形性质，∠A+∠ABC=180°（邻角互补），∠A=∠C=100°，故∠ABC=80°；② BE平分∠ABC，故∠ABE=∠EBC=40°；③ 由AD∥BC（平行四边形对边平行），内错角相等，故∠AEB=∠EBC=40°；④ 由平角定义，∠AEB+∠BED=180°，故∠BED=140°；⑤ 规范书写推理过程，强调“平行四边形对边平行”“邻角互补”的灵活运用。 例3（综合应用：对角线与勾股定理结合）：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AC=12cm，BD=16cm，AB=10cm，求证：▱ABCD是矩形。 引导学生分析：① 由平行四边形性质，对角线互相平分，故OA=OC=6cm，OB=OD=8cm；② 已知AB=10cm，观察OA、OB、AB的长度，6²+8²=10²，由勾股定理逆定理，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°；③ 对角线互相垂直的平行四边形是矩形，故▱ABCD是矩形；④ 规范书写证明过程，体现平行四边形性质与勾股定理逆定理的综合运用，注明每一步推理依据。 例4（拓展应用：折叠与性质结合）：将▱ABCD沿边BC折叠，使点C落在点C'处，连接AC'，已知AB=6cm，AD=4cm，∠ABC=60°，求△ABC'的面积。 引导学生分析：① 由平行四边形性质，AB=CD=6cm，AD=BC=4cm，AB∥CD；② 折叠后，BC=BC'=4cm，∠C=∠C'，∠ABC'=∠ABC=60°；③ 由AB∥CD，∠ABC+∠C=180°，故∠C=120°，∠C'=120°；④ 过点C'作AB的垂线，垂足为H，在Rt△C'BH中，∠C'BH=60°，BC'=4cm，可求C'H=2√3cm；⑤ 计算△ABC'的面积=1/2×AB×C'H=1/2×6×2√3=6√3cm²；⑥ 规范书写解题步骤，梳理折叠性质与平行四边形性质的结合点。 教师板书每道典例的规范解题步骤，重点强调：① 先标注已知条件和图形中的隐含条件；② 选择合适的平行四边形性质，结合其他几何知识（角平分线、勾股定理、折叠性质）；③ 推理过程要严谨，每一步都要注明依据；④ 计算时注意准确性，规范书写单位。 （四）变式训练（10分钟） 布置分层变式练习，贴合典例场景，强化性质运用，及时巩固解题技巧： 1. 基础变式（边长与角度）：在▱ABCD中，AB=7cm，AD=5cm，∠B=70°，E是AD的中点，求CE的长度（提示：过C作AD的垂线）；已知▱ABCD中，∠A比∠B小20°，求四个角的度数。 2. 进阶变式（对角线）：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OA=5cm，OB=12cm，求▱ABCD的边长和面积；若AC⊥BD，AB=13cm，求AC、BD的长度。 3. 综合变式（折叠与全等）：将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A'处，连接A'C，已知AB=5cm，AD=3cm，求A'C的长度（提示：证明△A'CD是等腰三角形）。 学生独立完成，小组内核对答案、交流解题思路，教师巡视指导，针对易错点（如忽略平行四边形对边平行的性质、推理过程不规范、计算失误）集中讲解，强化解题技巧。 （五）易错点总结（3分钟） 梳理学生在性质运用中常见的易错点，重点强调： 1. 忽略前提条件：运用性质前，未明确“四边形是平行四边形”，直接套用性质； 2. 性质混淆：误用“对角互补、邻角相等”，混淆对边、对角的关系； 3. 推理不规范：未注明推理依据，步骤跳跃，逻辑混乱； 4. 综合应用中，无法灵活结合其他几何知识（如勾股定理、折叠性质），难以转化已知条件。 引导学生针对性规避易错点，养成“先找条件、再选性质、规范推理”的解题习惯。 （六）课堂小结（2分钟） 引导学生回顾：本节课重点掌握了平行四边形性质的四大应用场景（边长、角度、对角线、综合应用），梳理了不同场景的解题思路和技巧；明确了运用性质的核心是“先明确平行四边形，再选择对应性质，规范书写推理步骤”；通过典例和变式训练，提升了综合解题能力。师生共同梳理核心解题技巧，加深记忆。 （七）布置作业（2分钟） 基础作业：整理本节课典例及变式题，规范书写解题步骤，注明每一步依据；完成教材对应性质应用习题，巩固基础应用。 拓展作业：收集生活中需要运用平行四边形性质解决的实际问题（如测量边长、角度），尝试写出解题过程；思考：平行四边形的性质在矩形、菱形中的应用有哪些异同。 五、板书设计 平行四边形的性质的运用 一、核心性质（几何语言） 1. 对边：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 2. 对角：∠A=∠C，∠B=∠D（邻角互补） 3. 对角线：OA=OC，OB=OD（O为交点） 二、常见应用场景及思路 1. 边长计算：对边相等+周长公式 2. 角度推理：对角相等+邻角互补 3. 对角线：互相平分+勾股定理 4. 综合应用：性质+折叠/全等/勾股定理 三、解题关键 1. 明确前提：四边形是平行四边形 2. 规范步骤：注明推理依据，逻辑严谨 四、典例精讲（规范书写步骤） 例1：边长与周长 例2：角度与角平分线 例3：对角线与勾股定理 例4：折叠综合 六、教学反思 本节课聚焦平行四边形性质的运用，以典例精讲、变式训练为核心，梳理了不同应用场景的解题思路和技巧，重点强化了几何推理的规范性和性质的灵活运用，衔接前期所学的平行四边形性质、勾股定理、折叠性质等知识，符合八年级学生的认知规律和应用能力培养需求，基本达成教学目标。但部分学生在综合应用场景中，难以快速结合平行四边形性质与其他几何知识，转化已知条件的能力不足；部分学生解题步骤不够规范，推理依据标注不完整；对对角线互相平分的性质应用不够灵活，容易忽略对角线与边长的关联。后续需增加综合变式训练，针对性突破转化难点，强化解题步骤的规范性指导，设计分层习题，兼顾不同层次学生的需求，帮助学生熟练掌握平行四边形性质的运用技巧，提升几何综合解题能力。 教学设计 教学目标 课题 21.2.1 第2课时平行四边形的性质的运用 授课人 素养目标 1.进一步提高对平行四边形性质的认识，并且能灵活运用各种性质. 2.以数学的眼光观察生活中的场景，从中抽象出两条平行线之间的距离. 3.理解两条平行线之间的距离的概念，能度量两条平行线之间的距离. 教学重点 1.平行四边形性质的运用. 2.两条平行线之间的距离. 教学难点 结合其他几何知识求两条平行线之间的距离. 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：回顾知识，情境激趣 【回顾导入】 回顾一下，平行四边形有哪些性质? 【情境导入】 如图是一条小河，河的两岸a，b平行.从河岸a 上的点A 处向对岸建桥，为了使桥的长度最短，桥应与河岸a，b都垂直.如果改变点A 的位置向对岸建桥(桥仍与河岸a，b都垂直)，桥的长度会发生变化吗? 让我们带着这两个问题进入今天的学习吧. 【教学建议】 (1)让学生自主回顾下上节课的一些性质，强化认知. (2)在进行情境导入时，根据生活经验，学生一般知道从不同点建桥，桥的长度是一样的，这时教师可追问原因，引发讨论. 设计意图 (1)通过回顾性质为其应用作铺垫. (2)通过实际生活场景引出课题，体会数学与现实世界的紧密联系. 活动二：复习巩固，引入新知 探究点 1 平行四边形的性质的运用 平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，通过这些性质，我们可以将四边形的问题进行有效转化，一般可以将四边形的问题转化为三角形的问题，从而解决问题，我们来看一道例题. 例1 (教材P58例2)如图,▱ABCD的对角线AC,BD 相交于点O,EF 过点O且与AB,CD 分别相交于点E,F.求证 OE=OF. 证明:在▱ABCD 中,AB∥CD, ∴∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO. 又OA=OC, ∴△AOE≌△COF.∴OE=OF. 【对应训练】 如图,□ABCD的对角线AC,BD 相交于点O,分别过点 A,C 作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F.求证 BE=DF. 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD,AB∥CD,∴∠ABE=∠CDF. ∵AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F, ∴∠AEB=∠CFD=90°. 在△AEB 和△CFD 中, ∴△AEB≌△CFD(AAS),∴BE=DF. 【教学建议】 提醒学生由平行四边形的对角线互相平分可以得到线段相等，结合平行四边形的其他性质还可以得到角相等，通过引导学生证明全等来证明线段相等. 设计意图 培养学生对平行四边形性质的灵活运用能力. 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 设计意图 探究点 2 两条平行线之间的距离 利用方格纸画出直线a∥b，A，C为直线a上任意两点. (1)如图①,过点A,C 分别画直线c,d,使c∥d,B,D 分别是直线c 和b,直线d 和b的交点，用刻度尺测量点A，B的距离和点C，D的距离，它们相等吗?你能结合平行四边形的概念和性质，说说其中的原因吗? 答:点 A,B 的距离和点C,D 的距离相等.原因:∵AC∥BD,AB∥CD,∴四边形 ABCD 是平行四边形.∴AB=CD. 归纳总结：夹在两条平行线之间的任何两条平行线段都相等. (2)如图②,分别过A,C 两点作直线b的垂线AB 和CD. AB 和CD 相等吗?为什么? 答：相等.理由：∵AB 和CD 都与直线b垂直，∴易得AB∥CD.结合上面的归纳总结可知,AB=CD. 概念引入：从上面的结论可以知道，如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离.图②中线段AB，CD 的长均可表示平行线a，b之间的距离. 说一说：两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别? 答：点与点之间的距离是定义点到直线的距离、两条平行线之间距离的基础，它们本质上都是点与点之间的距离. 【对应训练】 如图,已知l₁∥l₂,AB∥CD,CE⊥l₂,FG⊥l₂,下列说法错误的是(B) A. l₁与 l₂之间的距离是线段 FG 的长度 B.线段 CD 的长度就是l₁与l₂ 之间的距离 C. AC=BD D. CE=FG 【教学建议】 (1)说理的过程 可让学生自己完成，必要时教师予以指引和纠正. (2)告诉学生：任 何两条平行线之间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度. 将几何直观与推理证明相结合，引出两条平行线之间的距离. 活动三：知识巩固，综合运用 例2 (教材P58例3)如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC,AB=DC.求证∠B=∠C. 分析：由于AD∥BC，可以考虑运用平行线之间的距离，通过三角形全等进行证明. 证明:如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,过点 A,D 分别作 AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为 E,F. ∵AE,DF 的长都是平行线AD,BC 之间的距离, ∴AE=DF. 又AB=DC, ∴Rt△ABE≌Rt△DCF. ∴∠B=∠C. 【教学建议】 对于例2，让学生 思考不同的解题思路，给出指引后，让学生完成剩余的证明过程. 设计意图 综合其他几何知识，加强对平行四边形相关知识点的掌握，提升推理能力和计算能力. 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 追问：你还有其他证明方法吗? 提示:还可过点 D 作DG∥AB,如图所示.证 DG=DC,得∠DGC=∠C,再证∠B=∠DGC=∠C. 例3 如图,在▱ABCD 中,∠BAD 的平分线AP 交BC于点P,∠ABC=110°. (1)求∠APB 的度数; (2)若AB=3,AD=5,求 PC 的长. 解:(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠DAB=180°-∠ABC=70°,∠APB=∠DAP. ∵AP 平分∠ ∴∠APB=∠DAP=35°. (2)∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD=BC=5. 由(1)得∠DAP=∠BAP,∠DAP=∠APB, ∴∠APB=∠BAP, ∴BP=AB=3,∴PC=BC-BP=5-3=2. 【对应训练】 教材P59练习. 【教学建议】 对于例3，引导学 生根据平行四边形对边平行且相等的相关性质，结合角平分线的已知条件解题.再就是引导学生复习等腰三角形的相关知识，注意边角关系的有效转换. 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 两条平行线之间的平行线段有什么关系?什么是两条平行线之间的距离? 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P66~67 习题21.2第9,11,12,15题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练. 板书设计 21.2.1 平行四边形及其性质 第2课时平行四边形的性质的运用 两条平行线之间的任何两条平行线段都相等→两条平行线之间的距离. 教学反思 本节课利用生活中的场景，通过逐步设问，引出课题的学习.学生在日常生活中有很多经验感受，通过今天的学习，进一步体会到了背后隐藏的数学道理.今后的教学中，要鼓励学生主动去思考，用数学知识去解释一些常见的生活现象，这对于学生用数学的眼光认识现实世界是很有帮助的，能够显著提升学生的社会实践能力. 学科网（北京）股份有限公司 备课素材 解题大招 解题大招一 利用平行线间的距离解决面积问题 同底(等底)等高(同高)的三角形或平行四边形的面积相等. 例1 如图,已知l₁∥l₂,点E,F在l₁上,点G,H 在l₂上.求证:△EGO与△FHO的面积相等. 证明:∵l₁∥l₂,∴点E,F 到l₂的距离相等,设这个距离为h. ∴△EGO 与△FHO 的面积相等. 解题大招二 利用平行四边形的性质求点的坐标 在平面直角坐标系中求平行四边形的顶点坐标，关键是利用平行四边形的边的性质将问题转化为求平面直角坐标系中平行且相等的线段的端点坐标，再结合平行线间的距离、平移等知识求解. 例2 如图,在平面直角坐标系中,▱ABCD的顶点B,C,D的坐标分别是(-5,0),(0,0),(2,3),则顶点 A 的坐标是 (-3,3) . 解析:∵四边形ABCD 是平行四边形,且BC边在x轴上,∴AD∥x轴, ∴点 A 与点 D 的纵坐标相等. ∵点B,C,D 的坐标分别是(-5,0),(0,0),(2,3),∴AD=BC=0-(-5)=5, ∴点A 的横坐标为2-5=-3,∴点A 的坐标为(-3,3).故答案为(-3,3). 培优计划 培优点 平行四边形中的面积关系 例 如图,▱ABCD 的面积为S. (1)如图①,P为AD 边上任意一点,则△PAB的面积S₁和△PDC 的面积S₂之和与▱ABCD 的面积S之间的数量关系是 (2)如图②,设▱ABCD的对角线AC,BD 相交于点P,则△PAB 的面积S₁和△PDC的面积S₂之和与▱ABCD 的面积S之间的数量关系是 (3)如图③,P 为▱ABCD 内任意一点时,试猜想△PAB 的面积S₁和△PDC 的面积S₂之和与▱ABCD的面积S之间的数量关系，并加以证明. (4)如图④,已知 P 为▱ABCD 内任意一点,△PAB 的面积为2,△PBC的面积为8,连接BD,求△PBD 的面积. 分析：(1)AD与BC 平行，这两条平行线之间的距离是一个确定的值，再结合三角形与平行四边形的面积公式可以求解；(2)(3)过点 P 作PE⊥AB 于点E,延长EP 交CD 于点F; (4)结合(3)中结论，利用面积的和差求解. 解:(3)结论: 证明:如图③,过点 P 作PE⊥AB 于点E,延长EP 交CD 于点F. ∵在▱ABCD中,AB∥CD,AB=CD,PE⊥AB,∴PF⊥CD, 由(3)中结论可知， 学科网（北京）股份有限公司 $