21.2.2 平行四边形的判定第1课时教案2025-2026学年数学人教版八年级下册

该教案聚焦平行四边形的判定，涵盖定义及三组对边、对角、对角线相关判定定理。通过“几何拼图”游戏情境导入，从还原平行四边形碎片出发，回顾定义作为基础判定，再引导从性质逆命题提出猜想，搭建“定义-猜想-证明”的学习支架。 以游戏情境激发探究兴趣，体现数学眼光的创新意识，通过性质与判定互逆关系的推理证明，培养数学思维的推理能力，例题中多种证明方法对比，发展数学语言的表达能力。帮助学生积累几何探究经验，为教师提供结构化、互动性强的教学方案。

21.2.2　平行四边形的判定（第1课时） 教学目标 1．经历平行四边形判定定理的探索过程，即从性质定理的逆命题出发提出猜想，再通过逻辑推理证明猜想，从而得出判定定理，积累发现问题和提出问题的经验，培养推理能力． 2．综合运用平行四边形的性质和判定定理进行证明和计算，解决相关的图形问题，发展几何直观与推理能力． 教学重点 平行四边形判定定理的证明；平行四边形性质定理与判定定理的综合应用． 教学难点 平行四边形性质定理与判定定理的综合应用． 教学过程 新课导入 【问题】在一款“几何拼图”游戏中，参与者需要依据现有碎片，还原完整的平行四边形ABCD．小明抽到一张“残缺碎片”（如图），上面保留了顶点 A，B，C及部分边．你能帮小明在图纸上还原出完整的平行四边形吗？ 【师生活动】教师引导学生观察碎片中保留的完整边AB，BC及∠B的信息，讨论交流后发现：过点A作BC的平行线，过点C作AB的平行线，两条平行线的交点即为顶点D，从而得到完整的平行四边形ABCD．学生在学习任务单上作图复原． 教师借此总结平行四边形的定义（两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形），既明确了平行四边形的相关特征，也是最基础的判定平行四边形的方法． 【新知】平行四边形的判定定理1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 【追问】根据定义，从边的位置关系判断一个四边形是否是平行四边形，这是最直接的判定方法．但在实际问题中，有时无法直接获知两组对边的位置关系．除了边，角和对角线也是平行四边形的重要要素，那么，我们能否从边、角或对角线的其他特征出发，找到新的判定方法呢？ 【设计意图】通过游戏情境激发探究兴趣，自然引入对平行四边形判定方法的研究． 新知探究 【问题1】探讨平行四边形的判定，本质上是研究当四边形的边、角、对角线满足哪些特定的位置关系或数量关系时，可以判断该四边形为平行四边形．联系前面学习过的平行线的判定、等腰三角形的判定以及勾股定理的逆定理等，你有什么想法？ 【师生活动】教师引导学生回忆学过的一些图形判定定理的内容，发现：这些图形的判定定理都是相应的图形性质定理的逆定理，由此得到启发：可以尝试从性质定理的逆命题出发来研究图形的判定方法． 【追问】我们知道，平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分．反过来，对边相等，或对角相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？也就是说，平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？ 【师生活动】教师给出表格，学生写出平行四边形性质定理的逆命题，提出猜想．教师指出：形成猜想后，要通过逻辑推理，证明猜想正确，才能获得结论． 平行四边形的性质 逆命题 平行四边形的对边相等 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 平行四边形的对角相等 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 平行四边形的对角线互相平分 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【猜想】 1．两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 2．两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 3．对角线互相平分的四边形是平行四边形． 【设计意图】回顾已学图形的性质与判定之间的互逆关系，引导学生从性质定理的逆命题的角度提出猜想． 【问题2】我们从猜想1开始，请你画出图形，写出已知和求证，尝试进行证明． 【师生活动】学生在学习任务单上画出图形，写出已知、求证． 已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 教师引导学生分析：可以利用平行四边形的定义进行判定，这就需要证明AB∥CD且BC∥AD，而证明两直线平行时，往往会借助对应角相等（互补）的关系．结合已知条件，可以添加适当的辅助线，通过证明三角形全等得到角相等．师生共同完成猜想1的证明，得到判定定理2．教师强调：连接对角线可以把平行四边形问题转化为三角形问题，是解决平行四边形相关问题时常作的辅助线．学生在学习任务单上记录关键结论． 【答案】证明：如图，连接BD． ∵ AB＝CD，AD＝CB，BD＝DB， ∴ △ABD≌△CDB（SSS）． ∴ ∠ADB＝∠CBD，∠ABD＝∠CDB． ∴ AD∥BC，AB∥CD． ∴ 四边形ABCD是平行四边形． 【新知】平行四边形的判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【问题3】你能继续证明猜想2是正确的吗？ 【师生活动】学生在学习任务单上画图，写出已知、求证． 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 教师引导学生分析：可以结合对角分别相等的条件和四边形的内角和，利用同旁内角互补证明四边形的两组对边分别平行，进而利用定义证明该四边形是平行四边形．学生在学习任务单上完成猜想2的证明，得到判定定理3．教师强调：此判定定理的使用前提是两组对角分别相等，若两组邻角分别相等，不能判定四边形是平行四边形．学生在学习任务单上记录关键结论． 【答案】证明：在四边形ABCD中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°． 　　∵ ∠A＝∠C，∠B＝∠D， 　　∴ ∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°． 　　∴ AD∥BC，AB∥CD． ∴ 四边形ABCD是平行四边形． 【新知】平行四边形的判定定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 【追问】经过严格的推理证明，我们发现以上两个命题都是真命题，可以作为判定四边形是平行四边形的依据，由此得到了两个平行四边形的判定定理．请同学们进一步思考，上述两个命题的证明过程有什么共同特点？ 【师生活动】教师引导学生发现，以上两个命题均是利用平行四边形的定义进行判定，让学生再次体会到定义既是性质，又是判定方法． 【设计意图】让学生经历几何命题从发现到证明的完整过程，发展几何直观和推理能力，感悟数学表达的准确性和严谨性． 【问题4】学习到现在，我们已经掌握了平行四边形的3个判定定理．你能利用以上判定方法，完成对猜想3的证明吗？ 【师生活动】学生在学习任务单上画图，写出已知、求证，思考后尝试证明，小组交流证明思路． 已知：如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 【师生活动】教师组织学生交流，口述证明思路，重点讲清楚如何联想到这种证明方法． 思路1：用定义进行证明． 如图，通过证明△AOB≌△COD，得到∠OAB＝∠OCD，进而得到AB∥CD．同理可得AD∥BC．据此即可判定四边形ABCD是平行四边形． 思路2：用判定定理2进行证明． 如图，通过证明△AOB≌△COD，得到AB＝CD．同理可得BC＝DA．据此即可判定四边形ABCD是平行四边形． 思路3：用判定定理3进行证明．（和前两种方法相比，用判定定理3进行证明相对复杂，若有学生提出这种方法，应予以肯定．） 如图，证明△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，得到∠OAB＝∠OCD，∠OAD＝∠OCB，进而得到∠BAD＝∠DCB．同理可得∠ABC＝∠CDA．据此即可判定四边形ABCD是平行四边形． 教师示范其中一种证明过程，学生在学习任务单上补充完善自己的证明过程． 【答案】证明：∵ OA＝OC，OB＝OD，∠AOB＝∠COD， ∴ △AOB≌△COD． ∴ ∠OAB＝∠OCD． ∴ AB∥CD． 同理 AD∥BC． ∴ 四边形ABCD是平行四边形． 【新知】平行四边形的判定定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 【归纳】平行四边形的性质定理的条件与结论互换以后，所得命题仍然成立．也就是说，平行四边形的判定定理与平行四边形的性质定理互为逆定理． 【设计意图】通过展示和比较不同证明方法的思路，提升思维的灵活性，帮助学生进一步巩固对平行四边形判定方法的理解． 例题精讲 【例】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，并且AE＝CF．求证：四边形BFDE是平行四边形． 【师生活动】学生独立思考，教师引导学生从平行四边形对角线互相平分的角度切入，学生在学习任务单上完成初步证明，教师请学生代表分享证明方法，进行板书示范，规范书写过程． 【答案】（方法一）证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AO＝CO，BO＝DO． ∵ AE＝CF， ∴ AO－AE＝CO－CF，即EO＝FO． 又 BO＝DO， ∴ 四边形BFDE是平行四边形． 【追问】你还有其他证明方法吗？ 【师生活动】学生小组交流讨论，教师引导学生尝试利用“三角形全等”的思路进行证明，随后师生共同对比不同方法，总结如何根据已知条件和求证选择适当的判定方法，从而简化证明过程． 【答案】（方法二）证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD＝BC，AD∥BC， ∴ ∠DAC＝∠BCA． 又 AE＝CF， ∴ △AED≌△CFB（SAS）， ∴ ED＝FB． 同理 BE＝DF， ∴ 四边形BFDE是平行四边形． 【设计意图】通过不同证明方法的对比，引导学生从已知条件和要证明的结论出发，选择合理的方法，灵活运用性质定理和判定定理解决问题， 课堂练习 1．如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝∠CBD，∠C＋∠ABC＝180°，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由． 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师点评． 【答案】解：四边形ABCD是平行四边形．理由如下： ∵ ∠ADB＝∠CBD， ∴ AD∥BC． ∵ ∠C＋∠ABC＝180°， ∴ AB∥CD． ∴ 四边形ABCD是平行四边形． 2．如图，AB＝DC＝EF，AD＝BC，DE＝CF．图中有哪些互相平行的线段？ 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师点评． 【答案】解：∵ AB＝DC，AD＝BC， ∴ 四边形ABCD是平行四边形． ∵ DC＝EF，DE＝CF， ∴ 四边形DCFE是平行四边形． ∴ AB∥CD∥EF，AD∥BC，DE∥CF． 3．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且E，F分别是OA，OC的中点，连接DE，DF，BE，BF．求证：四边形DEBF是平行四边形． 【答案】证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA＝OC，OB＝OD． ∵ E，F分别是OA，OC的中点， ∴ OE＝OA，OF＝OC． ∴ OE＝OF． ∴ 四边形DEBF是平行四边形． 【设计意图】通过课堂练习，让学生综合运用平行四边形的性质和判定定理进行证明和计算，发展几何直观与推理能力． 课堂小结 【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录． 1.你掌握了哪几种平行四边形的判定方法？ 2.结合本节课的探究过程，谈一谈你对研究几何图形判定方法的思考． 【思维导图参考】 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 教材第66～67页习题21.2第7，14题． 学科网（北京）股份有限公司 $