21.2.1.1 平行四边形的性质-教学设计2025-2026学年人教版数学八年级下册（新教材）

21.2平行四边形 21.2.1 平行四边形及其性质 第 1 课时 平行四边形的性质人教版八年级数学下册 平行四边形的性质 教案 授课年级：八年级 学科：数学 版本：人教版 课时：1课时 授课类型：新授课 一、教学目标 1. 知识与技能：理解平行四边形的定义，掌握平行四边形的表示方法；熟练掌握平行四边形的两组对边分别平行且相等、两组对角分别相等、对角线互相平分的性质；能运用平行四边形的性质解决边长、角度计算及简单推理问题，规范书写解题过程；能结合性质完成简单作图。 2. 3. 过程与方法：通过观察、猜想、动手操作、推理验证，经历平行四边形性质的探究过程，培养学生的动手实践能力、逻辑推理能力和数形结合思想，体会“观察—猜想—验证—应用”的探究方法，提升几何推理与计算能力。 4. 5. 情感态度与价值观：感受平行四边形在生活中的广泛应用，激发学生对几何图形的探究兴趣，培养严谨的推理习惯和合作探究意识，增强学习几何知识的信心，体会数学与生活的密切联系，建立知识间的内在关联。 6. 二、教学重难点 重点：平行四边形的定义及表示方法；平行四边形的核心性质（对边、对角、对角线的性质）；运用平行四边形性质解决边长、角度计算及简单推理问题。 难点：平行四边形性质的推导过程（逻辑推理验证）；灵活运用平行四边形的性质解决含多条件、折叠、拼接等复杂问题；理解平行四边形性质的几何意义，规范几何推理过程。 三、教学准备 教师：多媒体课件（包含平行四边形生活实例、定义示意图、性质推导演示、例题示意图）、板书模板、直尺、圆规、三角板、平行四边形纸片、剪刀；学生：复习多边形的定义、分类相关知识，准备直尺、圆规、三角板、平行四边形纸片、剪刀，预习平行四边形的相关概念，尝试动手折叠平行四边形。 四、教学过程 （一）复习导入（8分钟） 1. 回顾旧知：提问学生：多边形的定义是什么？我们学过的多边形中，哪些图形的对边是平行的？（引导学生回答：由n条线段首尾顺次相接围成的封闭图形叫多边形；长方形、正方形的对边互相平行）；追问：长方形、正方形属于特殊的什么图形？引出平行四边形的初步认知。 2. 情境导入：出示生活中的平行四边形实例（伸缩门、衣架、广告牌、楼梯扶手等），引导学生观察这些图形的共同特征，引出课题——平行四边形的性质，告知学生：今天我们就来学习平行四边形的定义、表示方法，重点探究平行四边形的性质，掌握其应用方法，衔接多边形知识，认识特殊的四边形。 3. 铺垫引导：强调核心思路：探究平行四边形的性质，可通过观察图形、动手操作（折叠、测量）猜想性质，再通过逻辑推理验证性质，最终运用性质解决实际问题，体会数形结合的数学思想。 （二）探究新知（18分钟） 1. 探究一：平行四边形的定义与表示方法 （1）定义：引导学生观察平行四边形实例，结合长方形、正方形的对边平行特征，归纳平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。强调两个核心条件：① 是四边形；② 两组对边分别平行（即AB∥CD，AD∥BC）。 （2）表示方法：讲解平行四边形的规范表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。强调：表示时，要按顺时针或逆时针顺序标注四个顶点，且对角线的两个顶点不相邻（如▱ABCD，不可记作▱ACBD）。 （3）相关概念：补充平行四边形的基本概念：平行四边形的对边（相对的两条边，如AB与CD、AD与BC）、对角（相对的两个角，如∠A与∠C、∠B与∠D）、对角线（连接不相邻两个顶点的线段，如AC、BD）。（结合图形演示，标注对边、对角、对角线，帮助学生理解）。 2. 探究二：平行四边形的性质（核心，动手操作+推理验证） （1）猜想：引导学生观察▱ABCD，结合动手操作（测量边长、角度，折叠平行四边形），猜想平行四边形的性质：① 对边关系：两组对边分别相等；② 对角关系：两组对角分别相等；③ 对角线关系：对角线互相平分。 （2）验证过程（重点讲解，规范推理）： ① 验证“两组对边分别相等”：连接平行四边形ABCD的对角线AC，∵ AB∥CD，AD∥BC，∴ ∠BAC=∠DCA，∠ACB=∠CAD（两直线平行，内错角相等）。又∵ AC=CA（公共边），∴ △ABC≌△CDA（ASA），∴ AB=CD，AD=BC（全等三角形对应边相等），即平行四边形两组对边分别相等。 ② 验证“两组对角分别相等”：由①中△ABC≌△CDA，∴ ∠B=∠D（全等三角形对应角相等）。又∵ AB∥CD，AD∥BC，∴ ∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补），∴ ∠A=∠C，即平行四边形两组对角分别相等。 ③ 验证“对角线互相平分”：连接平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD，交于点O。由AB∥CD，AB=CD，∴ ∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，∴ △AOB≌△COD（ASA），∴ OA=OC，OB=OD（全等三角形对应边相等），即平行四边形对角线互相平分。 （3）总结性质：梳理平行四边形的三大核心性质，强调几何语言规范： ① 对边性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC（定义）；AB=CD，AD=BC（性质）。 ② 对角性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠A=∠C，∠B=∠D。 ③ 对角线性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA=OC，OB=OD（O为对角线交点）。 补充：平行四边形的邻角互补（由对边平行推导得出），即∠A+∠B=∠B+∠C=∠C+∠D=∠D+∠A=180°。 3. 性质应用铺垫：结合简单实例，讲解性质的基本应用：① 已知平行四边形的一组对边，求另一组对边的长度；② 已知平行四边形的一个角，求其他三个角的度数；③ 已知平行四边形的一条对角线，结合平分性质，求对角线的长度，强调解题步骤：先明确平行四边形的性质，再结合已知条件列关系式，求解未知量，规范书写几何推理过程。 （三）典例讲解（12分钟） 例1（基础应用：边长与角度计算）：在▱ABCD中，已知AB=5cm，AD=3cm，∠A=120°，求▱ABCD的其余边长和其余三个角的度数。讲解时强调：① 运用对边相等性质，BC=AD=3cm，CD=AB=5cm；② 运用对角相等、邻角互补性质，∠C=∠A=120°，∠B=∠D=180°-120°=60°；③ 规范书写几何推理步骤，注明依据（平行四边形性质）。 例2（进阶应用：对角线相关计算）：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知OA=3cm，OB=4cm，求AC、BD的长度及▱ABCD的周长（若AB=5cm）。引导学生分析：① 运用对角线互相平分性质，AC=2OA=6cm，BD=2OB=8cm；② 由OA=3cm，OB=4cm，AB=5cm，可验证△AOB为直角三角形（3²+4²=5²）；③ 周长=2（AB+AD），结合勾股定理求出AD=√(BD²-AB²)（或结合直角三角形性质），最终周长=2（5+√7）cm，规范书写推理和计算过程。 例3（拓展应用：折叠与性质结合）：将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，连接B'D，已知∠B=60°，AB=4cm，求△AB'D的度数和边长。引导学生分析：① 由平行四边形性质，AB=CD，AB∥CD，∠B=∠D=60°；② 折叠后AB=AB'，∠B=∠AB'C=60°，进而推出AB'=CD，∠AB'D=∠D=60°，△AB'D为等边三角形；③ 边长AB'=AD=4cm，规范书写推理过程，体现性质与折叠知识的综合运用。 教师板书规范的解题步骤，提醒学生注意：① 运用平行四边形性质时，必须先注明“四边形ABCD是平行四边形”，再引用性质；② 几何推理过程要严谨，注明每一步的依据（定义、性质、全等三角形等）；③ 计算时注意边长、角度的准确性，结合勾股定理、等边三角形等知识灵活运用。 （四）巩固练习（8分钟） 布置分层练习：基础题（边长与角度）：在▱ABCD中，AB=7cm，BC=5cm，∠B=80°，求其余边长和其余三个角的度数；已知▱ABCD中，∠A=70°，求其余三个角的度数。提高题（对角线与综合）：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AC=10cm，BD=14cm，求OA、OB的长度；在▱ABCD中，AB=6cm，AD=4cm，对角线AC⊥AB，求AC的长度和▱ABCD的面积。学生独立完成，小组内核对答案，教师巡视指导，针对性质应用错误、几何推理不规范、计算失误等易错点集中讲解。 （五）课堂小结（3分钟） 引导学生回顾：本节课重点掌握了平行四边形的定义、表示方法及相关概念；掌握了平行四边形的三大核心性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）及邻角互补的推论；能运用性质解决边长、角度、对角线相关的计算和推理问题，规范书写几何推理步骤。师生共同梳理性质推导过程、应用方法和易错点，加深记忆，建立多边形与平行四边形的知识关联。 （六）布置作业（2分钟） 基础作业：教材对应习题，巩固平行四边形的定义、性质及应用，规范书写几何推理步骤；拓展作业：尝试用不同方法验证平行四边形的性质（如测量法、折叠法），写出验证过程；收集生活中的平行四边形实例，运用平行四边形的性质计算其边长或角度；思考：平行四边形的性质与长方形、正方形的性质有哪些联系与区别。 五、板书设计 平行四边形的性质 1. 定义：两组对边分别平行的四边形（▱ABCD，AB∥CD，AD∥BC） 2. 相关概念：对边、对角、对角线（交点O） 3. 核心性质（几何语言）： ① 对边：∵ 四边形ABCD是▱，∴ AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC ② 对角：∵ 四边形ABCD是▱，∴ ∠A=∠C，∠B=∠D（邻角互补） ③ 对角线：∵ 四边形ABCD是▱，∴ OA=OC，OB=OD 4. 性质推导：观察—猜想—验证（全等三角形） 5. 应用：边长、角度、对角线计算；几何推理 例1：基础计算 例2：对角线计算 例3：折叠综合应用 （规范书写推理步骤） （规范书写推理步骤） （规范书写推理步骤） 六、教学反思 本节课聚焦平行四边形的性质，衔接前期多边形相关知识，通过实例导入、动手操作、推理验证，引导学生掌握平行四边形的定义、表示方法及核心性质，体会“观察—猜想—验证—应用”的探究思路，符合八年级学生的认知规律，基本达成教学目标。但部分学生对平行四边形的表示方法掌握不够规范，容易混淆顶点标注顺序；在性质推导过程中，对全等三角形的应用不够熟练，逻辑推理不够严谨；运用性质解决问题时，容易忽略几何推理步骤的规范性，未注明每一步的依据；对对角线互相平分的性质应用不够灵活，难以解决综合类问题。后续需细化定义和表示方法的讲解，强化全等三角形与平行四边形性质的衔接，增加几何推理的专项训练，规范解题步骤，设计变式练习强化性质的综合应用，帮助学生熟练掌握本节课知识点，提升几何推理与综合解题能力。 教学设计 教学目标 课题 21.2.1 第 1 课时平行四边形的性质 授课人 素养目标 1.理解平行四边形的概念. 2.探究并掌握平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，发展学生的合情推理能力，培养学生主动探究的习惯. 3.利用平行四边形的性质进行简单的计算和证明，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力. 教学重点 平行四边形的概念及平行四边形边、角、对角线的性质. 教学难点 如何添加辅助线将平行四边形问题转化为三角形问题. 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：创设情境，导入新课 【情境导入】 仔细观察下列实际生活中的图片，你能从中找到平行四边形的形象吗? 结合图形，回忆小学知识，我们知道，两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.平行四边形用“□”表示,如图①,平行四边形ABCD 记作“□ABCD”. 几何语言(以图①为例)： 试一试:如图②,在▱ABCD中,EF∥BC,则图中共有 3 个平行四边形. 【教学建议】 让学生根据生活 经验及图片思考平行四边形的概念，教师总结并提示平行四边形的概念既是它的一种判定方法，又是它的一个基本性质. 设计意图 通过图片展示，引导学生思考现实生活中的平行四边形，进而引出平行四边形的概念及表示方法. 活动二：动手操作，探究新知 探究点 1 平行四边形边、角的性质 根据上面的概念画一个□ABCD，用刻度尺度量对边 AB 与CD 的长，BC 与DA 的长,并用量角器度量对角∠A 与∠C,∠B 与∠D 的大小. 据此回答下列问题： 1.对边AB与CD 的长,BC 与DA 的长分别相等吗? 答:AB=CD,BC=DA. 2.对角∠A 与∠C,∠B 与∠D 的大小分别相等吗? 答:∠A=∠C,∠B=∠D. 3.平行四边形的对边、对角具有什么性质? 答：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等. 【教学建议】 让学生借助学具 测量，讨论平行四边形边、角的性质，教师进行总结. 设计意图 引导学生自己动手探索平行四边形边、角的性质. 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 设计意图 下面我们一起来进行验证. 已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形. 求证:AB=CD,BC=DA;∠B=∠D,∠BAD=∠DCB. 证明:如图,连接▱ABCD 的对角线 AC. ∵AD∥BC,AB∥CD, ∴∠1=∠2,∠3=∠4. 又 AC 是△ABC 和△CDA 的公共边, ∴△ABC≌△CDA. ∴AB=CD,BC=DA,∠B=∠D. ∵∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠1+∠4=∠2+∠3,即∠BAD=∠DCB. 问题 如图，对于▱ABCD，不添加辅助线你能否直接运用平行四边形的定义，证明它的对角相等呢? 证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB∥CD,AD∥BC, ∴∠B+∠C=180°,∠C+∠D=180°, ∴∠B+∠C=∠C+∠D,∴∠B=∠D. 同理可得∠A=∠C. 归纳总结：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等. 【对应训练】 1.教材P57练习第1,3题. 2.如图,在▱ABCD 中,E,F 分别是AB,CD 的中点.求证:∠ADE=∠CBF. 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠A=∠C,AD=CB,AB=CD. ∵E,F 分别是AB,CD 的中点, ∴△AED≌△CFB(SAS).∴∠ADE=∠CBF. 【教学建议】 (1)提示学生可 以把平行四边形问题转化为三角形问题，根据三角形全等证明结论. (2)仅仅证明平 行四边形的对角相等，可以不添加辅助线.利用“两直线平行，同旁内角互补”以及“同角的补角相等”可证得结论. 通过严格的证明，加深对平行四边形边、角性质的认识，同时提升推理能力. 设计意图 探究点 2 平行四边形的对角线互相平分 请大家画一个□ABCD，并连接对角线AC，BD，设它们交于点 O.用刻度尺度量一下OA,OB,OC,OD 的长,它们之间有什么关系? 答:OA=OC,OB=OD. 据此我们猜想一下：平行四边形的对角线互相平分. 下面我们一起来进行验证： 已知:如图,▱ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O. 求证:OA=OC,OB=OD. 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC,AD=BC.∴∠1=∠2,∠3=∠4. ∴△AOD≌△COB(ASA). ∴OA=OC,OB=OD. 归纳总结：平行四边形的对角线互相平分. 【对应训练】 教材P57练习第2题. 【教学建议】 提醒学生：对角 线互相平分是平行四边形的一个重要性质，应牢记这一结论.它提供了线段相等的条件，在解题时经常会发挥作用. 通过动手操作，让学生在活动中提炼出平行四边形的对角线的性质，加深印象. 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 活动三：综合运用，巩固提升 例(教材 P57例1)如图,▱ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,AB=10,AD=8,AC⊥BC.求 BC,CD,AC,OA 的长,以及▱ABCD 的面积. 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴BC=AD=8,CD=AB=10. ∵AC⊥BC,∴△ABC 是直角三角形. 【对应训练】 1.如图,▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O,AC+BD=22,AB=6,则△AOB 的周长是 17 . 2.如图，校园内有一片平行四边形草地ABCD，其对角线AC，BD 交于点 O.已知OC=3m,AB=10m,AC⊥BC,求该草地的面积. 解:∵四边形 ABCD 是平行四边形,对角线 AC,BD 交于点O, ∴OA=OC=3m,∴AC=2OC=6m. ∵AC⊥BC,AB=10m,∴∠ACB=90°, ∴S▱ABCD=BC·AC=8×6=48(m²). 答：该草地的面积为 48m². 【教学建议】 提醒学生注意： 遇到垂直求面积、边长，往往可考虑利用勾股定理解决. 设计意图 巩固对平行四边形性质的掌握. 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 平行四边形的概念是什么?平行四边形的边、角有哪些性质?平行四边形的对角线有什么性质? 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P65~67 习题21.2第1,2,3,4,10,16,17题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练. 板书设计 21.2.1 平行四边形及其性质 第1课时 平行四边形的性质 1.平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形. 2.平行四边形边、角的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等. 3.平行四边形的对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分. 教学反思 本课时要求掌握平行四边形的概念、表示方法及性质，是重点考查内容，学生要融会贯通. 在探索平行四边形的性质及运用性质解决问题的过程中，培养学生独立思考的习惯，感受获得成功的乐趣，激发学习热情. 学科网（北京）股份有限公司 备课素材解题大招 解题大招一 利用对角线互相平分解决对角线或边的取值范围问题 连接平行四边形的两条对角线后，可以得到一些三角形，由三角形的三边关系可以得到边或对角线的取值范围，再与对角线互相平分结合，能得到相关线段的取值范围. 例1 如图,▱ABCD的对角线AC,BD 相交于点O,AD=5,BD=6,AC=a,则a的取值范围是(D)C A.2<a<8 B.2<a<10 C.4<a<10 D.4<a<16 解析：∵四边形ABCD 是平行四边形， 在△AOD 中,由三角形的三边关系,得AD-OD<OA<AD+OD, ∴5-3<OA<5+3,即2<OA<8. ∴4<AC<16.∴4<a<16.故选 D. 解题大招二 利用平行四边形边、角的性质求角度和线段长 由平行四边形边、角的性质可得到线段相等、角相等，可以利用这些性质求线段长和角度，有些情况下可能还要与等腰三角形和全等三角形的性质结合求解. 例2 如图,在△ABC中,AB=AC,点D 在AC边上,以CB,CD 为邻边作□BCDE,DE交AB 于点F. (1)若∠A=50°,求∠E 的度数; (2)若AD=CD,BC=6,求EF 的长. 解:(1)在△ABC中,∵∠A=50°,AB=AC,∴∠C=∠ABC=(180°-∠A)÷2=65°. ∵四边形BCDE 是平行四边形,∴∠E=∠C=65°. (2)∵四边形 BCDE 是平行四边形,∴BE∥CD,BE=CD,DE=BC=6,∴∠E=∠ADF,∠EBF=∠A. ∵AD=CD,∴BE=AD.∴△BEF≌△ADF(ASA).∴EF=DF= DE=3. 培优计划 培优点 利用平行四边形中心对称的特点求解或证明 性质拓展 (1)平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点. (2)平行四边形的每一条对角线将它分为两个全等的三角形，两条对角线把它分成四个面积相等的三角形，相对的两个三角形全等. (3)若一条直线经过平行四边形两条对角线的交点，则这个交点是这条直线被一组对边所截的线段的中点，且这条直线平分该平行四边形的面积和周长. 例 如图,▱ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,过点O的直线分别与AD,BC 相交于点E,F,且 S△AOE=3,S△BOF=5. (1)求证：四边形ABFE 的周长等于四边形CDEF 的周长； (2)求□ABCD 的面积. 分析:(1)利用平行四边形的性质得出AO=CO,AD∥BC,进而得出∠EAO=∠FCO,再利用ASA证明△AOE≌△COF，即可得到AE=CF，最后根据周长的计算公式进行验证； (2)先由(1)得到△COF 的面积,再求出△BOC 的面积,最后利用 求解. (1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AO=CO,AD∥BC,AD=BC,AB=CD.∴∠EAO=∠FCO.在△AOE 和 △COF 中, ∴△AOE≌△COF(ASA).∴AE=CF.∴AD-AE=BC-CF,即 DE=BF.∵四边形 ABFE 的周长=AB+BF+EF+AE,四边形CDEF 的周长=CD+DE+EF+CF,∴四边形ABFE 的周长等于四边形CDEF 的周长. (2)解:由(1)可知△AOE≌△COF,∴S△COF=S△AOE=3.∵S△BOF=5,∴S△BOC=S△BOF+S△COF=5+3=8. ∵四边形ABCD是平行四边形,∴S□ABCD=4S△BOC=4×8=32. 学科网（北京）股份有限公司 $