二次函数压轴之相似三角形归纳练-2026年中考数学三轮复习备考

二次函数压轴之相似三角形归纳练-2026年中考数学三轮复习备考 1．已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），交轴于点．    (1)求点、、的坐标； (2)连接，抛物线的对称轴与交于点，对称轴上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，并说明理由． 2．如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点M，交x轴于点N． (1)直接写出抛物线和直线的解析式； (2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求m的值； (3)是否存在点这样的点P，使得以O，M，N为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，D为第一象限的抛物线上一点    (1)求抛物线的函数表达式； (2)求面积的最大值； (3)过点D作，垂足为点E，求线段长的取值范围； (4)若点F为，点G为线段上一点，且四边形是平行四边形，直接写出D的坐标； 4．综合与探究 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P是第三象限内二次函数图象上一动点，设点P的横坐标为m，过点p作直线分别交x轴，y轴于点D，E．    (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的表达式； (2)当时，求m的值； (3)连接，试探究：在点P的运动过程中，是否存在点P，使得是直角三角形，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 5．已知抛物线与x轴分别交于点，对称轴与x轴交于点C，顶点为D．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为右侧抛物线上的一个动点（点P与顶点D不重合），于点Q，当与相似时，求点P的坐标． 6．抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，D是线段上一点，，作射线交抛物线与点E，H是抛物线上一点，连接，若平分，求H点的坐标； (3)在（2）的条件下，如图2，过点E作垂直于x轴于点F，在直线上存在点M，使得．请直接写出点M的坐标． 7．如图，抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点为，对称轴与x轴交于点P．    (1)抛物线的解析式为__________； (2)点M为y轴正半轴上的一个动点，连接，过点M作的垂线，与抛物线的对称轴交于点N，连接AN． ①若与相似，求点M的坐标； ②若点M在y轴正半轴上运动到某一位置时，有一边与线段相等，并且此时这一边与线段具有对称性，我们把这样的点M称为“对称点”，请写出“对称点”M的坐标． 8．如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，点P为线段上一点，过P作轴交抛物线于点B，过B作轴交抛物线于点C，连接交于点D    (1)如图1，若点A的横坐标为， ①求抛物线的解析式： ②当时，求点P的坐标： (2)若，点Q为线段CD上一点，点N为x轴上一点，且，将沿直线翻折得到所在的直线交x轴于点M，且，求点Q的纵坐标 9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A、B两点，其中，与y轴交于点．    (1)求抛物线解析式； (2)如图，连接，过点B作x轴垂线，在该垂线上取点P，使得与相似（包括全等），请求出点P坐标． 10．如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式和点B的坐标； (2)点D是线段（包含点B，C）上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与相似，则点Q的坐标为 ； (3)将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点，点C的对应点为点，在抛物线平移过程中，当的值最小时，请直接写出新抛物线的顶点坐标为及 的最小值为 ． 11．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，对称轴上是否存在点，使周长最小，求出此时点的坐标和周长最小值； (3)如图2，点为第二象限抛物线上一动点连接交于点，： ，是否存在点，使取最大值，如果存在求出此时点的坐标和最值；若不存在，请说明理由． (4)已知点是抛物线对称轴上一点，点是平面内一点，点是第二象限抛物线上一点，点是线段上一点，轴，当线段取得最大值时，是否存在点，使得四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 12．如图，已知直线分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段上一动点，过点P作轴于点C，交抛物线于点D． (1)若抛物线的解析式为，设其顶点为M，其对称轴交于点N． ①求点M和点N的坐标； ②在抛物线的对称轴上找一点Q，使的值最大，请直接写出点Q的坐标； ③是否存在点P，使四边形为菱形？并说明理由； (2)当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 13．如图，已知抛物线经过点，，三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为，过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线于点M．    (1)求该抛物线的表达式； (2)已知点，当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？ (3)点P在线段运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，点D是上方抛物线上一点，连接交于点E，设的面积为，的面积为，当时，求点D的坐标． (3)如图2，已知点，与抛物线有唯一交点F（点F在y轴左侧），点P在第一象限的抛物线上，射线与抛物线另一个交点为Q，连接、，分别交y轴于M、N．当时，探究与的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)，， (2)存在，点的坐标为或 【分析】（1）把代入即可求得的坐标，把代入即可求得点、的坐标； （2）如图，易知抛物线的对称轴，设点，因为是直角三角形，且点、、为顶点的三角形与相似，所以当或者进行分类讨论，即可解答 【详解】（1）解：依题意，把代入， 得，则， 把代入， 得，整理得， 解得，， 则，； （2）解：存在，过程如下， 如图，易知抛物线的对称轴，设点，    易知抛物线的对称轴轴，即，且， 所以当，如下图所示：    即， 所以， 因为， 则， 此时点与的纵坐标相等，即为2， 所以； 当，点P在点D的正上方，如图所示：    易知， 因为， 所以 因为连接，抛物线的对称轴与交于点， 所以设解析式为， 把，代入， 得， 解得， 所以解析式为， 把代入，得， 所以， 则， 因为， 所以， 则 即， 解得或， 如图，点P在点D的正上方， 故舍去， 所以 综上所述：满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，涉及相似三角形的判定，综合性较强． 2．(1)， (2)或或 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求出即可得； （2）先根据直线的解析式求出点的坐标，再利用两点之间的距离公式分别求出，和的值，然后分三种情况：①，②，③，建立方程，解方程即可得； （3）先分别求出的值，再分两种情况：①和②，利用相似三角形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为； 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为． （2）解：，轴交直线于点，交轴于点， ， ， ，，， ①当时，为等腰三角形， 则，即， 解得或（不符合题意，舍去）； ②当时，为等腰三角形， 则，即， 解得或（不符合题意，舍去）； ③当时，为等腰三角形， 则，即， 解得， 综上，或或． （3）解：， ， ①当时， 则，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 将代入得：， 则此时点的坐标为； ②当时， 则，即， 解得或， 将代入得：， 将代入得：， 则此时点的坐标为或； 综上，存在这样的点，此时点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、一次函数的几何应用、相似三角形的性质、等腰三角形等知识点，较难的是题（3），正确分情况讨论是解题关键． 3．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）设，将点，代入，待定系数法求解析式即可求解； （2）过点作轴于点，交于点，直线的解析式为，设点，则点，得出，进而根据三角形的面积公式，得出关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求解； （3）同（2）得出，证明，得出，根据二次函数的性质即可求解； （4）设，根据得，将点D代入二次函数解析式求得t，继而求出点D得坐标． 【详解】（1）抛物线与轴交于点，，，， 设，将点，代入， 得：， 解得：， ； 该抛物线的函数表达式为； （2）解：如图所示，过点作轴于点，交于点，    设直线的解析式为 ，，，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设点，则点， ∴， 当时，面积的最大值为； （3）由（2）得：， ，，， ∴ ∴在中，， ，轴， ， ， ， ， ， ，即， ， 当时，取得最大值为， ； （4）根据题意画出图形如下：    ∵点G为线段上一点， ∴设， ∵，，F为 ∴． 又∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ 点代入二次函数解析式得：， 解得：． ∴． 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 4．(1)，，， (2) (3)存在， 【分析】（1）在抛物线的解析式中令或，即可得到A、B、C的坐标，再利用待定系数法可以得到的表达式； （2）作轴于点F，由题意可得，从而，再由已知可以得到，，从而得到关于m的方程，解方程即可得到m的值； （3）由已知，可以用m表示P、C、E的坐标，然后分当和两种情况讨论 ． 【详解】（1）由得， 当时， ∴点C的坐标为． 当时，， 解得， ∵点A在点B的左侧， ∴点A，B的坐标分别为，． 由上可设BC的表达式为，把B点坐标代入可得：， ∴直线BC的表达式为； （2）作轴于点F，    ∴， 又∵，， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴， ∴，（舍去）； （3）∵， ， ∵， ∴， ， ， ∴①当时，即= ， ∴或（舍去）； ②当时，则轴， ∴， ∴或（舍去）， 综上所述， 存在点P，使得是直角三角形，此时． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握函数的基本知识、全等三角形和相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用及一元二次方程的解法是解题关键 ． 5．(1) (2)点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出及的长，再设点P的坐标为，求出及的长，再分及两种情况进行讨论，分别求出点P的坐标； 【详解】（1）解：将点代入抛物线，得 ∴解得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：抛物线与x轴分别交于点， ∴抛物线的对称轴为直线． ∴． 把代入得，． ∴． 设点P的坐标为， ∴， ∴Q点的坐标为． ∴， ． ①当时， 即 解得（舍去），． 当时，． ∴点P的坐标为． ②当时， 即 解得（舍去）， 当， ∴点P的坐标为． ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、直线与抛物线的交点坐标、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 6．(1) (2) (3)， 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）先求出，过点D作轴于点G，证得，求出，得到过点D作，且，连接并延长交抛物线于点H，点H即为所求，过点D作x轴的平行线，交y轴于点P，过点作于Q，证明得到，求出直线解析式， 与抛物线联立得H点的坐标； （3）满足，可构造圆，利用圆周角定理求出答案． 【详解】（1）把代入得， ，解得： ∴； （2）令得，， ∴， 过点D作轴于点G， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ 过点D作，且，连接并延长交抛物线于点H，点H即为所求 过点D作x轴的平行线，交y轴于点P，过点作于Q    ∵， ∴ ∴ 又∵，∴ ∴，∴， ∴， 设直线为，把点代入得，， ∴， ∴， 与抛物线联立得，解得：，（舍） ∴； （3）解方程组， 得（舍去），， ∴， 设，以为对角线作正方形，则，如图，    当M在上时，， 即， 解得（舍去），， 当M在上时，， 即， 解得（舍去），， ∴或． 【点睛】本题考查了二次函数，一次函数的性质，借助几何知识灵活应用角平分线，正方形及圆周角定理解决问题是解题的关键． 7．(1) (2)①或；②或或 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）①根据与相似，分情况讨论，当，当，即可求解；②分情况讨论：当时，当时，求解即可 【详解】（1）解：把、代入得： ，解得 抛物线的解析式为； （2）解：①抛物线的对称轴为直线， 作直线于点D，作于E， ∵与相似， ∴， ∴当， 即， 如图1，    ∵， ∴ ， ∴， 而， ∴， ∴M点为， ∴当，即 ， 如图2，    同理 ， 又， ∴， ∴M点为； 综上所述，M点的坐标为或； ②∵，， ∴， 当时，， 此时M点坐标为； 当时，点N与点P重合， 则， ， 此时M点坐标为； 当时，在中，， ∵， ∴，即， 解得，此时M点坐标为； 综上所述，M点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质;会利用待定系数法求函数解析式; 会灵活应用相似三角形的判定与性质进行几何计算;理解坐标与图形性质; 会利用分类讨论的思想解决数学问题. 8．(1)①；② (2)或 【分析】（1）①利用待定系数法解答，即可求解；②过点C作于点E，设点C的坐标为，则，，再由，可得，从而得到，联立求出a，b的值，即可求解； （2）分两种情况讨论，当点Q在的左侧时，如图，过点Q作于点F，作轴于点G，过点P作分别交于点H，E，当点Q在的左侧时，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：点A的坐标为， ①把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； ②如图，过点C作于点E，    设点C的坐标为，则，， 又∵， ∴， ∴在中，， ∴，即， 联立得：，解得：（不合题意，舍去）， ∴点C的坐标为， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴点B的纵坐标为， 当时，， 解得：或1（舍去）， ∴点B的坐标为， ∴， 即点P的坐标为； （2）解：当点Q在的左侧时，如图，过点Q作于点F，作轴于点G，过点P作分别交于点H，E， ∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A与O关于对称轴对称，点D与P关于对称轴对称， ∴， 当时，， ∴， ∵当时，， ∴（舍去）， ∴点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴或， ∴点Q的纵坐标为或；    综上所述，点Q的纵坐标或． 【点睛】本题是一道一次函数和二次函数的综合题，本题考查了用待定系数法求解析式、平行形的性质、勾股定理和解一元二次方程等知识，本题难点在第二小问，注意分情况讨论，不要漏情况，且过点P作是解答本题的关键． 9．(1) (2)或 【分析】（1）将点，点代入，即可求解； （2）①当时，，得到，即可求解；②当时，，由，得到，即可求解． 【详解】（1）将点，点代入， 得 ∴解得 ∴抛物线的解析式为； （2）令，则， 解得或， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ①当时，，    ∴， ∴， ∴； ②当时，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述：与相似时，P点坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用三角形相似的判定与性质和分类求解是解题的关键． 10．(1)； (2)或 (3)， 【分析】（1）利用待定系数法可得抛物线的解析式； （2）由可知，要使点Q，N，C为顶点的三角形与相似，则以点Q，N，C为顶点的三角形也是直角三角形，从而分和两种情况讨论，①当时，可推导B与点Q重合，，即此时符合题意，利用求抛物线与x轴交点的方法可求出点Q的坐标；②当时，可推导，即此时符合题意，再证明，从而得到，再设点的横坐标为q，则，，从而得到，解得q的值，从而得到点Q的坐标，最后综合①②即可； （3）设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M右平移m个单位长度得到点，由平移的性质可知，，的值最小就是的最小值，作出点C关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度，利用两点间的距离公式求这个长度，用待定系数法求出直线的解析式，从而确定的坐标，继而确定平移距离，将原抛物线的解析式化为顶点式，从而得到其顶点，继而确定新抛物线的顶点． 【详解】（1）解：∵点A，C坐标分别为， ∴，解得： ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点B的坐标为； （2）∵在中，，以点Q，N，C为顶点的三角形与相似， ∴以点Q，N，C为顶点的三角形也是直角三角形， 又∵轴，直线交直线于点N， ∴，即点N不与点O是对应点． 故分为和两种情况讨论： ①当时， ∵轴， ∴轴，即在x轴上， 又∵点Q在抛物线上， ∴此时点B与点Q重合， 作出图形如下： 此时， 又∵， ∴，即此时符合题意， ∴此时点Q的坐标为 ②当时，作图如下： ∵轴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即此时符合题意， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点的横坐标为q，则，， ∴， ∴， 解得： (舍去)， ， ∴， ∴点Q的坐标是综上所述：点Q的坐标是或； （3）解：设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M向右平移m个单位长度得到点， 作出图形如下： 由平移的性质得：，的值最小就是的最小值， ∴点在直线上运动， 作出点C关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度， ∴， ∴， 设直线的解析式是： ， 将点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 令，解得：， ∴点， 即平移的距离是， 又∵， ∴平移前的抛物线的坐标是， ∴新抛物线的顶点坐标为，即． 故答案是：，． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何变换综合，二次函数与相似三角形综合，最短路径问题，三角形面积公式等知识，难度较大，综合性大，作出辅助线和掌握转换思想是解题的关键，第二问的技巧是转化成直角三角形的讨论问题，如果直接按相似讨论，则有四种情况，可以降低分类讨论的种类，第四问的技巧，是将点M向反方向移动，从而将两个动点转化成一个动点来解决． 11．(1)抛物线的表达式为 (2)；周长最小值 (3)时，取得最大值为； (4)存在， 【分析】（1）将点和点代入待定系数法求二次函数解析式即可； （2）先求得点的坐标，根据抛物线的性质以及轴对称的性质，可得点即为抛物线对称轴与的交点，进而勾股定理求得的长，即可求解； （3）过点作轴交的延长线于点，设，则，证明，根据：，得出，根据二次函数的性质即可求解； （4）设，则得出关于的解析式，根据二次函数的性质，求得当时，线段取得最大值，进而得出，根据菱形的性质可得，建立方程，解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：将点和点代入得， 解得： ∴； （2）解：∵， 对称轴为直线， 当时，，则， 设直线的解析式为，将点代入得，， 解得： ∴直线的解析式为； ∵关于对称， 如图所示，连接交于点，连接，则点即为所求， ∵ ∴当共线时，的周长最小， ∴当时，，则； ∵，，， ∴,， ∴的周长为； （3）解：如图所示，过点作轴交的延长线于点， 设， ∵轴，的纵坐标等于的纵坐标， ∴的横坐标为，即 ∴， ∵，， ∴ ∵轴 ∴ ∴ ∵： ∴ ∴当时，即时，取得最大值为； （4）解：依题意，设，则 ∴ 则当时，线段取得最大值 则， 又 ∴ ∵点是抛物线对称轴上一点，设，依题意，四边形是菱形， ∴ ∴ 解得： ∴ 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质与判定，轴对称的性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 12．(1)①，，②，③不存在，理由见解析 (2)存在，或． 【分析】（1）①函数的对称轴为：，故点，将代入直线解析式可得的坐标，从而得解； ②设抛物与x轴左侧的交点为，则点A与R关于抛物线的对称轴对称，连接并延长交抛物线的对称轴于点Q，则点Q为所求，即可求解 ③四边形为菱形，首先，即，解得：或(舍去)，故点，而，即可求解； （2）分为直角、为直角两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：①函数的对称轴为：，故点， 当时，，故点； ②设抛物线与轴左侧的交点为，则点与关于抛物线的对称轴对称， 连接并延长交抛物线的对称轴于点，则点为所求，    将、的坐标代入一次函数表达式：并解得： 直线的表达式为：，当时，，故点； ③不存在，理由： 设点，则点，    ， 四边形为菱形，首先， 即，解得：或(舍去)， 故点，而， 故不存在点，使四边形为菱形； （2）当点的横坐标为1时，则其坐标为：，此时点、的坐标分别为：、 ， ①当为直角时，以、、为顶点的三角形与相似，    则，，则， ，， 则，故点； ②当为直角时，以、、为顶点的三角形与相似， 则轴，则点、关于抛物线的对称轴对称，故点， 综上，点的坐标为：或， 设抛物线的表达式是，将点A、B、D的坐标分别代入抛物线的表达式可得： ， 解得 ， 所以得， 或者有 ， 解得 ， 所以得：， 所以存在，抛物线的解析式为：或为所求． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、菱形的性质、三角形相似等知识点，解题的关键是会利用待定系数法求函数解析式，理解坐标与图形性质，灵活运用相似比表示线段之间的关系，会运用分类讨论的思想解决数学问题． 13．(1) (2)或6 (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】（1）可设解析式为，将点代入，求得a的值，即可求出函数表达式； （2）先求出直线BD解析式为，得出、，得出，再求解即可； （3）易知，故分①，利用得，再证得，列出方程，解之即可得此时的值；②，此时点与点重合，，易得点坐标． 【详解】（1）由抛物线过点、 可设解析式为， 将点代入，得：，解得：， 则抛物线解析式为； （2）由题意知点D坐标为，设直线BD解析式为， 将、代入，得：  解得： ∴直线BD解析式为， ∵轴，， ∴、， 则， ∵、， ∴， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 解得：或， 即或时，四边形是平行四边形； （3）如图所示：    ∵， ∴， 分以下两种情况： ①当时，， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：、， 当时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去， ∴，点Q的坐标为； ②当时，此时点Q与点A重合，， 此时，点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或时，以点B、Q、M为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用． 14．(1)二次函数的解析式为： (2)点D的坐标为或 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）过点D作于H，根据抛物线的对称性求出，设，根据，得出，则，解方程得，，即可求解； （3）结合可求直线的解析式，联立直线与抛物线可得，结合与抛物线有唯一交点F，可求出，同法求出直线的解析式为，联立直线与抛物线可得，进而，得出，过点P作轴于I，过点F作轴于J，过点Q作轴于K，证明，得出，进而求出，同理得出，进而求出，即可求解. 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）解：过点D作于H， 抛物线交y轴于点， ∵、B关于直线对称， ∴． 设． ∵， ∴，即 ∴ ∴， 整理得：， 解得：，， ∴点D的坐标为或． （3）解：与的数量关系为：． 理由如下：设直线的解析式为：， 把代入可得，， ∴ 联立直线与抛物线得，． ∴， 整理得． ∵与抛物线有唯一交点F， ∴． ∵， ∴． 设直线的解析式为：， 把代入可得，， ∴． 联立直线与抛物线得，． ∴， 整理得． ∴，即， ∴， ∴． 过点P作轴于I，过点F作轴于J，过点Q作轴于K， 则， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 同理可得：， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $