二次函数压轴之相似三角形归纳练-2026年中考数学三轮复习备考

二次函数压轴之相似三角形归纳练-2026年中考数学三轮复习备考 1．如图1所示，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，．    (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线的对称轴上，求的最小值； (3)如图所示，是线段上的一个动点，过点作垂直于轴的直线与直线和抛物线分别交于点， ①若以，，为顶点的三角形与相似，求的面积； ②若点恰好是线段的中点，点是直线上一个动点，在坐标平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，3）．且点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上第一象限内的一个点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连PO、PB，如果把△POB沿OB翻转，所得四边形POP′B恰为菱形，那么在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QAB与△POB相似？若存在求出点Q的坐标；若不存在，说明理由； (3)若（2）中点Q存在，指出△QAB与△POB是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标． 3．如图，抛物线交轴交于A，两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，连接，其中． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为线段上方抛物线上一动点，过点P作于点E，若，求点P 的坐标； (3)过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当与相似时，点E的坐标为______． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H． （1）求该抛物线的解析式； （2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度； （3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点，点P为x轴下方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，当点P的横坐标为2时，D为直线上一点，的周长为7是否成立，若成立，请求出D点坐标，若不成立，请说明理由； (3)若直线与y轴交于点M，直线与抛物线交于点Q，连接与y轴交于点H，求的值． 6．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接，． (1)求的面积； (2)点为轴上一点，是否存在点，使得与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点为抛物线上一点（点与点不重合），且使得中有一个角是，请直接写出点的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，把抛物线 向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线 .所得抛物线与 轴交于 两点（点 在点 的左边），与 轴交于点 ，顶点为 . （1）写出的值； （2）判断的形状，并说明理由； （3）在线段上是否存在点 ，使 与 相似？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由. 8．如图，已知抛物线的顶点为A，直线与抛物线交于B，C两点． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)作CD⊥x轴于点D，求证：△ODC∽△ABC； (3)若点P为抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，则是否还存在除C点外的其他位置的点，使以O，P，M为顶点的三角形与△ABC相似?若存在，请求出这样的P点坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，已知过坐标原点的抛物线经过，，，两点，且、是方程两根，抛物线顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)是抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，是否存在点使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线与轴分别交于、两点（点在点的右边），与轴交于点． (1)如图1，点，顶点坐标为． ①求二次函数的解析式； ②点为抛物线上第四象限内一点，直线与相交于点，当时，求点的坐标； (2)如图2，、两点轴正半轴上，点为抛物线上位于第一象限内的一动点（在的右侧），过点、的直线交轴于点，过点、的直线交轴于点．当、两点的横坐标为时，试探究与之间的数量关系． 11．如图，已知直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=-x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒． （1）求抛物线的解析式； （2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形； （3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标； （4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 12．如图，直线与交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为． (1)求a，b的值； (2)将点A绕点C逆时针旋转至点D，试说明点D在抛物线上； (3)在（2）的条件下，平移直线交抛物线于点E，F（点E在F的左边），点G在线段上．（点E，F，G分别与点B，A，D对应），求点G的坐标． 13．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式： (2)如图1，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交线段于点M，点D是直线上方抛物线上一点．当时，求点N的坐标． (3)如图2，点Q是抛物线上在第一象限的一个动点，连接，交线段于点E，交y轴于点F，令，求S的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2) (3)①或；②点坐标为或或或 【分析】（1）把点代入，可得直线的解析式及的值，再把点代入即可得解； （2）取点关于抛物线的对称轴的对称点，连接，交对称轴于点，连接，此时的值最小； （3）①当时，得，，，可得结论；时，得，设，则，过点作交于点，可求得，再由点在直线上，求出，从而得到，，可得结论； ②设，则，，再由点在直线上，求出，分三种情况讨论：当时；当时；当时． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴， ∴， ∴，， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）作点关于抛物线的对称轴的对称点，连接，交对称轴于点，连接，， 则，当、、共线时，取“”，此时的值最小， ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴，轴于点， ∴， ∴， ∴的最小值为；    （3）①当时， ∴， ∵轴，，， ∴，， ∴，， ∴点的纵坐标为，， 由，得：或， ∴， ∴， ∴；    当时， ∵，即， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点作交于点，设，则， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的面积为或；    ②存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设，则， ∵点是的中点， ∴，将坐标代入， ∴， 解得：或（舍去）， ∴，， ∴， 设点 1）当时，点在垂直平分线上，则点的纵坐标为， ∴，解得：， ∴， ∴， 解得：， ∴； 2）当时，设， ∵， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或， 当点的坐标为时，得： ，解得：， 此时； 当点的坐标为时，得： ，解得：， 此时； 点D坐标为或； 3）当时， ∵，， 此时点与点重合， ∴菱形为正方形， ∴，， ∴点向上平移个单位得到点，再向左平移个单位得到； 综上所述：点坐标为或或或． 【点睛】本题以二次函数动点问题为背景，考查待定系数法确定函数解析式，二次函数图像与性质，最短路径问题，勾股定理，相似三角形判断与性质，菱形存在性的判断，正方形的判定，中点坐标等知识点，运用了分类讨论及数形结合的思想．掌握二次函数图像与性质，相似三角形的判定与性质及菱形的判定与性质是解题的关键． 2．(1)y＝﹣x2+2x+3 (2)存在，（1，5）或（1，﹣5） (3)（3，0）或 【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可； （2）根据抛物线的对称性以及菱形的对称性求得点的坐标； （3）根据（2）的结论找到位似中心，分类讨论，根据相似的性质即可求解． 【详解】（1）∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）在抛物线y＝ax2+bx+c上， ∴， 解得． ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）根据题意为对称轴上的点，为的垂直平分线上的点， B（3，0） 则 当时，y＝﹣2+3+3=； 设直线PB的解析式为y＝mx+n， 则有， 解得． ∴直线PB的解析式为y＝x+． ∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝1， ∴xQ＝1，yQ＝×1+＝5， ∴点Q的坐标为（1，5） 根据对称性点Q坐标还可以为（1，﹣5）． （3）①如图，由（2）可得△QAB△POB，△QAB与△POB位似，则， 又交于点,则位似中心为点B，点B的坐标为（3，0）． ②如图，若当Q点坐标（1，﹣5）时,设与轴的交点为，则位似中心为， 由（2）可得△QAB△POB，则， 又 ，， 解得 则当Q点坐标（1，﹣5）时，位似中心坐标为（，0）； 综上所述，位似中心坐标为（3，0）或（，0） 【点睛】本题考查了二次函数与相似三角形的性质与判定，翻折的性质，菱形的性质，位似图形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 3．(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）求出C点坐标，把B，C点坐标代入二次函数解析式求解即可； （2）过点E作轴，过点P作，先证，由相似的性质可得，求出直线的解析式，设，由等腰三角形的性质可得，进而可得，把P点代入二次函数即可求出t，进而求出P点坐标； （3）分为和两种情况讨论求解即可； 【详解】（1）解：， ， ， 把代入得， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）过点E作轴于M，过点P作于N， ， ， ， ， ， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得：， 直线的解析式为， 设点 ， ， ， ， ， 点P为线段BC上方抛物线上一动点， ，， 整理得， 解得或 （舍去）， ； （3）如图，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，延长交x轴于H，连接，则轴, 令得，，解得， ， ， ， ， ， 设，则， ， 轴， ， ，， ， 和相似，分为和两种情况， 当时，，，解得或（舍去）， 此时E点坐标为； 当时，，解得或（舍去）， 此时E点坐标为； 综上所述，当与相似时，点E的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数与一次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，勾股定理，正确的作出辅助线，数形结合思想，分类讨论思想的应用是解题的关键； 4．（1）；（2）PG=；（3）存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似，此时m的值为﹣1或． 【分析】（1）将A（1，0），B（0，4）代入 ，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式． （2）由E（m，0），B（0，4），得出P（m，），G（m，4），则由 可用含m的代数式表示PG的长度． （3）先由抛物线的解析式求出D（﹣3，0），则当点P在直线BC上方时，﹣3＜m＜0．分两种情况进行讨论：①△BGP∽△DEH；②△PGB∽△DEH．都可以根据相似三角形对应边成比例列出比例关系式，进而求出m的值． 【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，4）， ∴，解得 ∴抛物线的解析式为 （2）∵E（m，0），B（0，4），PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G， ∴P（m，），G（m，4） ∴PG= （3）在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似． ∵， ∴当y=0时，， 解得x=1或﹣3 ∴D（﹣3，0）． 当点P在直线BC上方时，﹣3＜m＜0． 设直线BD的解析式为y=kx+4， 将D（﹣3，0）代入，得﹣3k+4=0，解得k= ∴直线BD的解析式为y=x+4 ∴H（m，m+4）． 分两种情况： ①如果△BGP∽△DEH，那么，即 由﹣3＜m＜0，解得m=﹣1 ②如果△PGB∽△DEH，那么，即 由﹣3＜m＜0，解得m= 综上所述，在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似，此时m的值为﹣1或． 5．(1) (2)不成立，理由见解析 (3)3 【分析】（1）将，两点代入解析式即可求解； （2）过P作轴,作O关于直线的对称点，连接与交于D，连接，可推出此时，最小．由翻折可得：，进而得在中， ，最小值为， 最小值为 ，据此即可判断； （3）过P作轴交于F，过P作轴交于N，过Q作轴交于E，过Q作轴交于K，设，可推出得，；再证得，；进而得；最后证，即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线过，两点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：不成立．理由如下： 过P作轴， 由题意得：当时，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， 作O关于直线的对称点，连接与交于D，连接， 此时最小． 由翻折可得：， ∴， ∴， 当时，， 解得， ∴． ∴， ∴， 在中， ， ∴最小值为， ∴最小值为 ， ∵， ∴的周长不可能为7； （3）解：过P作轴交于F，过P作轴交于N，过Q作轴交于E，过Q作轴交于K， 设， ∴， ∵轴，． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了待定系数法、翻折、相似三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的几何和函数基础． 6．(1)6 (2)存在，点的坐标为或，理由见详解 (3)点坐标为，或． 【分析】（1）分别确定点的坐标，进而可得的长度，然后根据三角形面积公式求解即可； （2）若与相似，则进行分类讨论，当或当，由相似三角形的性质可得对应边成比例，再代入数值进行计算，即可求解； （3）分三种情况讨论：根据题意，点与点不重合，当时；当时，设交轴于点，过点作于点，证明为等腰直角三角形，结合点坐标可得，设，则，，进而解得，即可确定点坐标，利用待定系数法解得直线的解析式，联立直线的解析式与抛物线解析式，求解即可确定点坐标；当时，同理可解． 【详解】（1）解：对于抛物线， 当时，可有，即， 当时，可有， 解得，， 即，， ∴，， ∴； （2）解：存在，点的坐标为，或 理由如下： ∵，，， ∴，，， 如下图，当时，    则有，即， ∴， ∴， ∴； 当时，如图：    则有，即， ∴， ∴ 则， 综上：或 （3）解：根据题意，点与点不重合；且，如图    结合二次函数的对称性，且 ∴ ∴ 则 ∵ ∴对称轴 则 则 ∴的坐标为 当时，如下图，    设交轴于点，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设，则，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将点，代入， 可得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式与抛物线解析式， 可得， 解得（舍去）或， ∴点； 当时，如下图，    设交轴于点，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将点，代入， 可得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式与抛物线解析式， 可得， 解得（舍去）或， ∴点． 综上所述，点坐标为，或． 【点睛】本题是二次函数综合应用，主要考查了坐标与图形、待定系数法求一次函数解析式、解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的性质等知识，综合性强，难度较大，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 7．解：（1）的顶点坐标为Ｄ（－１，－４）， ∴ . …………………………………………２分 （2）由（1）得. 当时， ．解之，得 ． ∴ . 又当时， ， ∴C点坐标为.………………………………4分 又抛物线顶点坐标，作抛物线的对称轴交 轴于点E， 轴于点 ．易知 在中， ； 在中， ； 在中， ； ∴ ． ∴ △ACD是直角三角形．…………………………６分 （3）存在．作OM∥BC交AC于M，Ｍ点即为所求点． 由（2）知，为等腰直角三角形， ， ． 由，得 ． 即. …………………………８分 过点作 于点 ，则 ， . 又点M在第三象限，所以. …………………………10分 【详解】解：（1）的顶点坐标为（0，0）， 的顶点坐标 ， . 3分 （2）由（1）得. 当时， . . . 4分 当时， ， 点坐标为 . 又顶点坐标 ， 5分 作出抛物线的对称轴交 轴于点 .作 轴于点 . 在中， ； 在中， ； 在中， ； ， 是直角三角形 7分 （3）存在. 由（2）知，为等腰直角三角形， ， 连接，过 点作 于点， . ①若，则 ，即 . ， . ， . 点在第三象限， . 10分 ②若，则 ，即 . ， . 点在第三象限， . 综上①、②所述，存在点使 与 相似，且这样的点有两个，其坐标分别为 . 12分 8．(1)A(1，1)，B(2，0)，C(-1，-3)； (2)证明见解析 (3)P点坐标为(，)或(，)或(5，-15)或(-1，-3)． 【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标； （2）根据勾股定理可得∠ABC＝90°，进而可求△ODC∽△ABC. （3）设出M点坐标，可表示出P点坐标，再利用三角形相似的性质，分类讨论即可求得P点的坐标． 【详解】（1）解：， ∴顶点 A(1，1)． 联立， 解得：，， ∴B(2，0)，C(-1，3)； （2）证明：∵A(1，1)，B(2，0)，C(-1，-3)；， ∴， ， ． ∵，即， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 即，， ∴； （3）存在这样的 P 点，设 M(x，0)，则 P(x，)， ∴， 当以 O，P，M 为顶点的三角形与△ABC 相似时， 有或 ， 由（2）知：，， ①当时，即， ⅰ当 P 在第一象限时，x>0，， ∴，解得：（舍） ∴ 符合题意； ⅱ当 P 在第四象限时，x>0，， ∴，解得：（舍）， ∴ 符合题意； ⅲ当 P 在第三象限时，x<0，， ∴，解得：，不符合题意； ②当时，则， ⅰ当 P 在第一象限时，x>0，， ∴，解得：（舍）不符合题意； ⅱ当 P 在第四象限时，x>0，， ∴，解得：（舍）， ，符合题意； ∴ 符合题意； ⅲ当 P 在第三象限时，x<0，， ∴，解得：（舍）， 符合题意； 综上可知P点坐标为(，)或(，)或(5，-15)或(-1，-3)． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有二次函数图象与一次函数图象的交点问题、利用勾股定理逆定理判定直角三角形、相似三角形的判定和性质．掌握二次函数的性质和利用分类讨论的思想是解题关键． 9．(1) (2)或 (3)存在点，的坐标是，，， 【分析】（1）通过解方程求出的值，就可以求出点A、B的坐标，再根据待定系数法就可以求出抛物线的解析式． （2）①当为边时，根据E在上，能求出D的横坐标，根据平行四边形性质求出D的坐标即可；②为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分，求出D和C重合，进一步求出E的坐标； （3）设，根据勾股定理的逆定理求出直角三角形，根据相似三角形的性质，得出比例式，代入求出即可． 【详解】（1）、是方程的两根， 解得原方程的两根分别是：，， ，， 设抛物线的解析式为，，则， 解得：， 抛物线的解析式是． （2）， 对称轴为：， ①当为边时， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ，， 在对称轴上， 的横坐标是1或， 的坐标是或，此时的坐标是； ②当是对角线时，则和互相平分，有在对称轴上，且线段的中点横坐标是， 由对称性知，符号条件的点只有一个，即是顶点，此时， 综合上述，符合条件的点共由两个，分别是或． （3）假设存在，设， ，， ，，， ， 是直角三角形，，， 以、、为顶点的三角形和相似， 又， ，或， ， 解得：或或或， 存在点，的坐标是，，，，，． 【点睛】本题综合考查了二次函数的综合，用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理，平行四边形的判定等知识点的应用，此题综合性比较强，有一定的难度，对学生提出较高的要求．注意：不要漏解，分类讨论思想的巧妙运用． 10．(1)①；②或； (2)，理由见解析 【分析】（1）①设抛物线的表达式为：，然后把代入即可求解； ②求出点的坐标为：，用待定系数法求出直线的解析式，设点，则，证明得，代入数据求出m的值，从而得出点D的坐标； （2）设抛物线解析式为，则，当时，，即．，用待定系数法求出直线的表达式为，得出点的坐标为：，同理可得，点，求出，，进而可证明． 【详解】（1）解：①设抛物线的表达式为：， 把代入，得 ， 解得， ∴； ②令， 解得， 即点的坐标为：， 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴， 如图，作，交直线与H， 设点，则， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴或； （2）解：，理由如下： 设抛物线解析式为，则，当时，，即． 设点， 设直线的表达式为：， 则， 解得， ∴， 当时，， ∴点的坐标为：， 同理可得，点， 则，， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式、二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点，相似三角形的判定与性质，二次函数与几何综合等，难度较大，属中考压轴题． 11．（1）y=-x2+2x+3；（2）t=1或t=；（3）点F的坐标为（2，3）．（4）． 【详解】试题分析：（1）先由直线AB的解析式为y=-x+3，求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入y=-x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）由直线与两坐标轴的交点可知：∠QAP=45°，设运动时间为t秒，则QA=t，PA=3-t，然后再图①、图②中利用特殊锐角三角函数值列出关于t的方程求解即可； （3）设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，-t+3），则EP=3-t，点Q的坐标为（3-t，t），点F的坐标为（3-t，-（3-t）2+2（3-t）+3），则FQ=3t-t2，EP∥FQ，EF∥PQ，所以四边形为平行线四边形，由平行四边形的性质可知EP=FQ，从而的到关于t的方程，然后解方程即可求得t的值，然后将t=1代入即可求得点F的坐标； （4）设运动时间为t秒，则OP=t，BQ=（3-t），然后由抛物线的解析式求得点M的坐标，从而可求得MB的长度，然后根据相似相似三角形的性质建立关于t的方程，然后即可解得t的值． 试题解析：（1）∵y=-x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当y=0时，x=3，即A点坐标为（3，0）， 当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3）， 将A（3，0），B（0，3）代入y=-x2+bx+c， 得，解得 ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3； （2）∵OA=OB=3，∠BOA=90°， ∴∠QAP=45°． 如图①所示：∠PQA=90°时，设运动时间为t秒，则QA=t，PA=3-t． 在Rt△PQA中，，即：，解得：t=1； 如图②所示：∠QPA=90°时，设运动时间为t秒，则QA=t，PA=3-t． 在Rt△PQA中，，即：，解得：t=． 综上所述，当t=1或t=时，△PQA是直角三角形； （3）如图③所示： 设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，-t+3），则EP=3-t，点Q的坐标为（3-t，t），点F的坐标为（3-t，-（3-t）2+2（3-t）+3），则FQ=3t-t2． ∵EP∥FQ，EF∥PQ， ∴EP=FQ．即：3-t=3t-t2． 解得：t1=1，t2=3（舍去）． 将t=1代入F（3-t，-（3-t）2+2（3-t）+3），得点F的坐标为（2，3）． （4）如图④所示： 设运动时间为t秒，则OP=t，BQ=（3-t）． ∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴点M的坐标为（1，4）． ∴MB=． 当△BOP∽△QBM时，即：，整理得：t2-3t+3=0， △=32-4×1×3＜0，无解： 当△BOP∽△MBQ时，即：，解得t=． ∴当t=时，以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似． 考点：二次函数综合题． 12．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）直接利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，先求出点的坐标，则，，，，由旋转的性质的，，根据同角的余角相等得，易通过，证明得到，，于是，则，再判断该点是否满足抛物线解析式即可； （3）联立两函数解析式求出，利用待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式为，由，可设直线的解析式为，，得到直线的解析式为，再联立两函数解析式求得，延长交于点K，设与y轴交于点L，与y轴交于点Z，由，，不难证得，，于是求得直线的解析式为，直线的解析式为，再联立求得，由点在轴上可求出值，再代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：； （2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 则， 由（1）可知，直线的解析式为， ，， 的坐标为． ，， ， 点绕点逆时针旋转至点， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 当时，， 点在抛物线上； （3）由， 解得：或， ， 设直线的解析式为， 将点．代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， ， 可设直线的解析式为，， 直线的解析式为， 由， 解得：或， ， 如图，延长交于点K，设与y轴交于点L，与y轴交于点Z， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设直线的解析式为，设直线的解析式为， 直线过点，直线过点， 直线的解析式为，直线的解析式为， 由， 解得：， ， 是直线上方的轴上一点， ， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查利用待定系数法求函数解析式、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、两直线平行在函数中的应用、抛物线与直线的交点问题，解题关键是正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 13．(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）直线，设点，则点，点，表示出，，再由相似三角形的性求解即可； （3）设点，求出，从而得出，再由计算即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，，即， 设直线的解析式可得， 将代入解析式可得， 解得：， ∴直线 设点，则点，点， ，， ∵， ∴， ， ， ，即， 解得：，（舍去），，（舍去）， ， （3）解：设点， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴， 当时，， ， ， ∴当时，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $