二次函数压轴之特殊三角形归纳练-2026年中考数学三轮复习备考

二次函数压轴之特殊三角形归纳练-2026年中考数学三轮复习备考 1．如图，抛物线y＝ax2+3x+c经过A(﹣1，0)，B(4，0)两点，并且与y轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式； (2)直线BC的解析式为 ； (3)若点M是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为t，过点M作x轴的垂线交BC于点N，设MN的长为h，求h与t之间的函数关系式及h的最大值； (4)在x轴的负半轴上是否存在点P，使以B，C，P三点为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，请证明；如果不存在，说明理由． 2．定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图①，抛物线与抛物线组成一个开口向下的“月牙线”，抛物线与抛物线与x轴有相同的交点M，N（点M在点N左侧），与y轴的交点分别为点，．    (1)求出点M，N的坐标和抛物线的解析式； (2)点P是x轴上方抛物线上的点，过点P作轴于点E，交抛物线于点Q，试证明：的值为定值，并求出该定值； (3)如图②，点D是点B关于抛物线对称轴的对称点，连接，在x轴上是否存在点F，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点E，连接．    (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)在线段上，是否存在一点P，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点，，连接，若二次函数的图象向上平移个单位时，与线段有一个公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围． 4．如图，抛物线与x轴交于、两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)判断的形状，证明你的结论； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当周长最小时，求点的坐标及的最小周长； (4)在该抛物线位于第四象限内的部分上是否存在点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 5．如图， 抛物线与x轴交于点和．    (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线的对称轴交x轴于点E， 点F是位于x轴上方的抛物线对称轴上一点， C是第一象限抛物线上一点， 若， 点C的横坐标是5，求证： 四边形 是平行四边形； (3)在（2）的条件下，若点P是x轴上的一个动点，当是等腰三角形时，求点 P的坐标． 6．已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点P在直线下方的抛物线上，连接交于点，过点作轴的垂线，垂线交于点，垂线，求证；当最大时，求点P的坐标及的最大值； (3)在(2)的条件下，在上是否存在点，使是直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点为． (1)求两点的坐标； (2)若为等边三角形，求的值； (3)若，点是对称轴与的交点，点是抛物线上一点，且横坐标为，轴交于点，点，，构成的三角形是直角三角形，求的值． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过，，三点，点的坐标是，点的坐标是，动点在抛物线上． (1) ， ，点的坐标为 ；(直接填写结果) (2)是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由； (3)若动点在直线下方的抛物线上运动，求的边上的高的最大值． 参考知识：①设，则； ②若直线与直线垂直，则． 9．已知抛物线(为常数，)与x轴交于两点(点A在点B的左侧)，顶点为D，线段与y轴交点C，． (1)求点B的坐标，并用含m的式子表示n； (2)如图，连接，若，求该抛物线的解析式； (3)设M是x轴下方抛物线上的动点，过点M作轴，交直线于点N，若使得线段的点M恰有两个，求m的值． 10．如图，抛物线的顶点为，其坐标为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，，判断的形状； (3)若点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值，并求出取得最大值时E点坐标． 11．如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图1，抛物线与直线（是常数）交于A，B两点（点A在点B的左边），且是直角三角形．    (1)求的值； (2)如图2，将抛物线向下平移，得到抛物线，若抛物线与直线交于C，D两点（点C在点D的左边），与x轴正半轴交于点E．求证：是直角三角形； (3)如图3，若抛物线（）与直线交于M，N两点（点M在点N的左边），点K在抛物线上，当是直角三角形时，直接写出点K的坐标．（用含，的代数式表示） 13．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，点P是x轴下方抛物线上的一个动点（且C，D，P三点不共线），分别过点A，B作，，垂足分别为点E，F，连接，． (1)求点A，B的坐标． (2)求证：为等腰三角形． (3)当为等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标． 14．如图，抛物线y＝﹣x2+4交x轴于点A、B，交y轴于点C，连结AC，BC，D是线段OB上一动点，以CD为一边向右侧作正方形CDEF，连结BF，交DE于点P. (1)试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)求证：BF⊥AB． (3)当点D从点O沿x轴正方向移动到点B时，点E所走过的路线长为______； (4)探究当点D在何处时，△FBC是等腰三角形，并求出相应的BF的长. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1）解：∵抛物线y＝ax2+3x+c经过A(﹣1，0)，B(4，0)两点， ∴， 解得： ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ∴点， 设直线BC的解析式为， 把点B(4，0)，代入得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为； （3）解：如图， ∵点M是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为t， ∴点， ∵MN⊥x轴， ∴点， ∴， ∴， ∴当时，h的值最大，最大值为4； （4）解：在x轴的负半轴上存在点P，使以B，C，P三点为顶点的三角形为等腰三角形，理由如下： 当PC=BC时， ∵OC⊥BP， ∴OP=OB， ∵点B(4，0)，点P在x轴的负半轴上， ∴点； 当PB=BC时， ∵B(4，0)，， ∴OC=4，OB=4， ∴， ∴， ∵点P在x轴的负半轴上， ∴点； 当PC=PB时，点P位于BC的垂直平分线上， ∵OB=OC=4， ∴点O位于BC的垂直平分线上， ∴此时点P与点O重合，不合题意，舍去； 综上所述，在x轴的负半轴上存在点或，使以B，C，P三点为顶点的三角形为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了求二次函数和一次函数的解析式，二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 2．(1)，； (2)证明见解析，该定值为2 (3)在x轴上存在点F，使得是以为腰的等腰三角形，点F的坐标为或 【分析】（1）先由求得，，可得点M，N的坐标，将点，代入抛物线，利用待定系数法即可求抛物线的解析式； （2）设，则，可得，，进而可得，即可证得结论； （3）由抛物线：可得点，两条抛物线的对称轴均为直线，进而求得，连接，由于等腰直角三角形可知，分两种情况讨论：当时，，当时，，分别进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点M、N，且当时， 解得，， ∴，； 将点，代入抛物线， 得，解得 ∴抛物线的解析式为；    3分 （2）证明：设，则， ∴， ， ∴， ∴的值为定值，该定值为2； （3）存在． 由抛物线：可得点，两条抛物线的对称轴均为直线， ∵点D是点B关于抛物线对称轴的对称点，， ∴， 如解图，连接， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 假设存在，设点，分两种情况讨论： ①当时，，如解图①，过点D作轴于点C，连接，， 则，，由勾股定理可知， ∴，解得：，， ∴，；      ②当时，，如解图②，由勾股定理可得， ∴，此方程无解 ，∴此种情况不存在． 综上所述，在x轴上存在点F，使得是以为腰的等腰三角形，点F的坐标为 或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，对称变换等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 3．(1)，抛物线顶点坐标为 (2)存在， (3)当，或时，函数图象与线段有一个公共点 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象的平移规律． （1）通过待定系数法求出函数解析式，将解析式化为顶点式求解． （2）根据是等腰直角三角形，结合图象求解即可． （3）结合图象，分别求出抛物线顶点在上，经过点时的值，进而求解． 【详解】（1）将代入中， ， 解得， ， ∴抛物线顶点坐标为． （2）存在，， 理由如下：为等腰直角三角形，在点P线段上， 点D、C不可能为直角顶点， ， 过点P作轴，    ∴， 则， ， ， 故存在点； （3）二次函数的图象向上平移个单位后解析式， 抛物线顶点坐标为， 当顶点落在线段上时，   ， 解得， 当抛物线向上移动，经过点时，   ， 解得， 当抛物线经过点时，    解得， ∴当，或时，函数图象与线段有一个公共点． 4．(1)抛物线的解析式为：； (2)是直角三角形 (3)，的最小周长为： (4)存在， 【分析】（1）根据点在抛物线上，解出，得到抛物线的解析式，根据顶点坐标公式，即可求出点的坐标； （2）根据（1）得抛物线的解析式，求出点的坐标，根据勾股定理的逆定理即可； （3）当点在与对称轴的交点上，根据点，点是对称点，连接，则且，，三点在一条直线上，距离最短，设的解析式为：，求出的解析式，则得到点的坐标，即可； （4）以为底，则，当点到的距离最远时，的面积最大如图所示，作直线,当直线与抛物线仅有一个交点时，最大，交点即为点． 【详解】（1）∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：； ∵顶点坐标公式为：， ∴点． ∴抛物线的解析式为：；． （2）∵抛物线与轴交于点， ∴，， ∴， ∵抛物线与轴交于点，点， ∴， ∴，， ∴点， ∴，，， ∵；；， ∴， ∴是直角三角形． （3）∵点，点是对称点，点在与对称轴的交点上， ∴ 此时，，三点在一条直线上，距离最短， ； 设的解析式为：， ∴， 解得：， ∴ 当时，， ∴点； ∴点的坐标为，的最小周长为：． （4）存在，理由如下： ∵以为底， ∴， 当点到的距离最远时，的面积最大，作直线，且与仅有一个交点， 设直线的解析式为， ∵， ∴，即， ∵直线与仅有一个交点， ∴仅有一个实数根， ∴，解得， ∴直线的解析式为：， 由，解得， ∴点． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，勾股定理的逆定理，线段的距离． 5．(1)抛物线的解析式为 (2)见解析 (3)点P坐标为或或或 【分析】（1）把点和代入，再建立方程组解题即可； （2）由点和得抛物线的对称轴为直线，可得，把代入抛物线得，可得，可得，，从而可得结论； （3）点P在x轴上，是等腰三角形，分三种情况如下：①当时，②当时，设，可得，③当时，设，可得，再解方程从而可得答案． 【详解】（1）解：依题意得， 解得， ∴抛物线的解析式为．． （2）由点和得抛物线的对称轴为直线，    ∴，而， ∴， ∴ 把代入抛物线得， ∴， ∴轴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． （3）∵， ∴， ∵点P在x轴上，是等腰三角形， 因此有三种情况如下： ①当时，或， ②当时，设， ∴， 解得：，（舍去） ∴， ③当时，设， 又∵，， 则，， ∴， 解得， ∴， 综上所述，在x轴上存在点P，使是等腰三角形，点P坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，平行四边形的判定，等腰三角形的定义，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 6．(1) (2)证明见解析；，的最大值为 (3)或或或 【分析】（1）将、、代入即可求解析式； （2）由，可得 ，，则求的最大值即可； （3），点在上，则,,，勾股定理求得，分三种情况讨论，勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：将点、、代入， 得， 解得， ； （2）如图， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 当时，有最大值， ； （3）， 点在上，则, ∵,， ∴,， 当为斜边时，， 解得：或， 或； 当为斜边时，， 解得：； ， 当为斜边时， ， 解得：； ， 综上所述：是直角三角形时，点坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质，通过构造平行线将的最大值问题转化为求的最大值问题是解题的关键． 7．(1)，； (2)； (3)或或． 【分析】（）令，得，然后解方程即可； （）先把，则，根据两点间的距离求出，，，再由等边三角形的性质即可求解； （）当时，则，再求出解析式为，然后分当时和当时两种情况分析即可； 本题考查了二次函数的图象与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，两点间的距离，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）由抛物线， 令，即， ∵， ∴， 解得，， ∴，； （2）由， ∴， 由（）得：，， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 解得：， 根据图象可知：， ∴； （3）当时，， 令，则， ∴ ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴解析式为， ∴当时，， ∴， 如图，当时， ∵，即轴， ∴， ∴， ∵P的横坐标为，， ∴，， ∴，， ∴或， 整理得：或， 解得：（舍去）或， 如图，当时， 由上可知，， 由勾股定理得：， ∴， ∴或， 解得：（舍去）或，， 综上可知：或或； 8．(1)，，； (2)存在，的坐标是或； (3) 【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）分是直角或为直角两种情况，分别求解即可； （3）根据三角形的面积公式结合二次函数的性质，即可得到结论． 【详解】（1）解：将点、的坐标代入抛物线表达式得， 解得， 故抛物线的表达式为：， 令，则或，故点； 故答案为：，，； （2）存在， 理由：①当是直角时，过点作轴交轴于， 轴， 由点、的坐标知，，即， 为直角三角形， ， ， ， 设，， ， 或舍去， 点； ②当为直角时，过点作轴交轴于， 同理可得：点的坐标为：； 综上所述，的坐标是或； （3）设直线的解析式为， 把，代入得， ， 直线的解析式为为； 动点在直线下方的抛物线上运动， 设， 过作轴于，交于， ， ， ，， ， ， ， 当，的边上的高的最大值为． 【点睛】本题考查了三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，直角三角形的性质，正确地求出函数解析式是解题的关键． 9．(1)， (2) (3) 【分析】（1）由，则，得到，即可求解； （2）由（1）可得，再分别求出的长度，再由勾股定理列方程求出的值，即可求出抛物线的解析式； （3）首先表示的坐标，在得出，由的点M恰有两个得出，再根据题意解不等式即可． 【详解】（1）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 为抛物线与轴的两交点，且点A在点B的左侧， 又， ． ， ， 将代入得：， ． （2）由（1）得， ． ， 设直线为，将点，代入， 得，解得， 直线为 ， ，， ， ， ， ，即， 整理得，， ， ． （3）由（1）（2）可知，， 直线为， 设为， 轴，且在直线上， 为， ， ， 或， 要使线段的点M恰有两个， 由图象可知，①当抛物线在段不存在点时， 在抛物线上段，最多还存在1个点，此时不符合题意， ②当当抛物线在段存在1个点时， ， ，即，有两个相等的实数根， ，即， ． 此时，当时，， ∴此时在抛物线上段，还存在1个点，即共有两个这样的点，符合题意． ③当抛物线在段存在2个点时， 同理可知：，有两个不相等的实数根， 则，解得：， 此时，当时，， ∴此时在抛物线上段，还存在1个点，即共有三个这样的点，不符合题意． 综上所述：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法，勾股定理，和与几何图形结合的综合能力．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，是解决问题关键． 10．(1) (2)是直角三角形 (3)面积的最大值，此时点E的坐标为 【分析】（1）把解析式设为顶点式，求出点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）求出点B的坐标，可证明，据此可得结论； （3）过点E作轴交于点F，求出直线的表达式为；设，则，则，可求出，据此根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，， 解得或， ∴； ∵，， ∴，， ， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：如图所示，过点E作轴交于点F， 设直线的表达式为，则， ∴， ∴直线的表达式为； 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 则，即此时点E的坐标为． 11．(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为或或或或． 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）由点B，C坐标求出直线解析式，设点P坐标为，则，求出的关系式，运用二次函数的性质可得结论． （3）求出函数图象对称轴为，设，求出，，，，分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，有最大值， ∴， 设点Q的坐标为， ∵、， ∴； ； ， 当即时，，即， 解得， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得或， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为或或或或． 12．(1)4； (2)见解析； (3)或． 【分析】（1）设与y轴的交点为P．可得是等腰直角三角形，进而可得点B的坐标为．将其代入即可求解； （2）分别过点C，D作轴于点H，轴于点Q．可通过证求证，也可通过勾股定理的逆定理求证； （3）设平移后得到．过点作x轴的平行线l3，分别过点M'，N'作于点L，于点T．证即可求解． 【详解】（1）解：如图1，设与y轴的交点为P． ∵平行于x轴，的图象关于y轴对称， ∴    ∵是等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴点B的坐标为． ∵点B在抛物线上， ∴． ∵， ∴． （2）证明：如图2，分别过点C，D作轴于点H，轴于点Q．    联立 解得 ∴点C的坐标为，点D的坐标为 将代入，解得，(舍去)． ∴点E的坐标为 ∴，， ，． 证法一：∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴是直角三角形． 证法二：在中，根据勾股定理，得 ． 同理可得 ． ∴． ∵ ∴． ∴是直角三角形． （3）解：点K的坐标为，或． 将抛物线向左平移h个单位得到抛物线． 设平移后得到， 如图3．过点作x轴的平行线l3，分别过点M'，N'作于点L，于点T．      联立 解得    ∴点M'的坐标为(，)，点N'的坐标为(，)． 设的坐标为(，)，． ∴． 易证． ∴． 即． ∴． ∵， ∴． ∴点的纵坐标为，即点的纵坐标为． 解方程，得． ∴点K的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．需要学生熟练掌握二次函数的各项性质． 13．(1)点A的坐标为，点B的坐标为 (2)见解析 (3) 【分析】（1）令，建立一元二次方程求解，即可解题； （2）延长交于点M．利用平行线的性质和判定，以及抛物线的对称性，证明，得到，利用直角三角形性质得到，进而得到，即可证明为等腰三角形； （3）设与抛物线的对称轴交于点N．利用等腰直角三角形性质，证明，进而得到点的坐标，利用抛物线得到点的坐标，设直线的表达式为．利用待定系数法求得直线的表达式，再联立抛物线求解，即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：令，则，解得，． 点A在点B的左侧， 点A的坐标为，点B的坐标为． （2）证明：如图，延长交于点M． ，， ， ． 由抛物线的对称性，可知． 在和中， ， ． ， ． ， ， ， ， 为等腰三角形． （3）解：点P的坐标为． 如图，设与抛物线的对称轴交于点N． ， 抛物线的对称轴为直线． 点D的坐标为． ， ． 是等腰直角三角形，且， ． ， ． ， ． ， ． ， ． ，即． 在和中， ， ． ， ． 对于，令，得． ． 设直线的表达式为． 将，代入，得，解得． 直线的表达式为． 联立方程组，得． 解得（舍去），， 点P的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数与一次函数的图象与性质、平行线的性质和判定、直角三角形性质、待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形性质、解方程等知识点．运用数形结合的数学思想解答是关键． 14．(1)△ABC是等腰直角三角形；理由见解析；(2)证明见解析；(3)；(4)AD＝CD时，BF＝4；AC＝AD时，BF＝4；AC＝BC时，BF＝8. 【分析】(1)根据二次函数与坐标轴的交点的求法求出A、B、C，再求出OA、OB、OC，然后根据等腰直角三角形的判定解答； (2)根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质，求出AC＝BC，CD＝CF，∠ACD＝∠BCF，然后利用“边角边”证明△ACD和△BCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CBF＝∠CAD＝45°，然后求出∠ABF＝90°，再根据垂直的定义证明即可； (3)过点E作EH⊥x轴于H，连接BE，求出∠OCD＝∠HDE，然后利用“角角边”证明△OCD和△HDE全等，根据全等三角形对应边相等可得EH＝OD，OC＝DH，然后求出△BEH是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质表示出BE，从而判断出点E走过的路线长为BC的长度，然后求解即可； (4)根据全等三角形对应边相等可得AD＝BF，利用勾股定理列式求出AC，然后分AD＝CD，AC＝AD，AC＝BC三种情况讨论求解得到AD，即为FB的长. 【详解】(1)解：令x＝0，得y＝4， ∴C(0，4)， 令y＝0，则﹣x2+4＝0， 解得：x1＝4，x2＝﹣4， ∴A(﹣4，0)，B(4，0)， ∴OA＝OB＝OC＝4， ∴△ABC是等腰直角三角形； (2)证明：如图， ∵△ABC是等腰直角三角形，CDEF是正方形， ∴AC＝BC，CD＝CF，∠ACD＝∠BCF， 在△ACD和△BCF中，， ∴△ACD≌△BCF(SAS)， ∴∠CBF＝∠CAD＝45°， ∴∠ABF＝∠ABC+∠CBF＝90°， ∴BF⊥AB； (3)如图，过点E作EH⊥x轴于H，连接BE， ∵∠OCD+∠ODC＝∠HDE+∠ODC＝90°， ∴∠OCD＝∠HDE， 在△OCD和△HDE中，， ∴△OCD≌△HDE(AAS)， ∴EH＝OD，OC＝DH， ∵OD+BD＝OB＝OC， BH+BD＝DH， ∴OD＝BH＝EH， ∴△BEH是等腰直角三角形， ∴BE＝EH， ∵点D从点O沿x轴正方向移动到点B， ∴点E所走过的路线长为为BC的长度，是4； 故答案为：4. (4)∵△ACD≌△BCF， ∴AD＝BF， 由勾股定理得，AC＝＝＝4， ①若AD＝CD，则点O、D重合，BF＝AO＝4， ②若AC＝AD，则BF＝AD＝4， ③若AC＝BC，则BF＝AD＝AB＝8， 综上所述，BF＝4或4或8. 【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数与坐标轴的交点的求解方法，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，难点在于（3）作辅助线构造出点E经过的路线的线段，（4）找出与BF相等的线段AD并分情况讨论． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $